2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例课件文
2018高中数学文人教A版一轮参考课件：5-4 平面向量的综合应用
主干梳理
要点梳理
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5.河水的流速为 2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸, 则小船的静水速度大小为 . 解析:如图,v1 表示河水的速度,v2 表示小船在静水中的速度,v 表示小船的实 际速度,则|v2|= |������1 |2 + |v|2 =2 26(m/s).
主干梳理
要点梳理
考点自测
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1.判断下列结论正确的是(
)
①若������������ ∥ ������������,则 A,B,C,D 四点共线. ②解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决. ③在△ABC 中,若������������ ·������������ <0,则△ABC 为钝角三角形. ④物理中的力、速度、位移都是既有大小,又有方向的量. A.①② B.①③ C.②④ D.①④
第4讲 平面向量的综合应用
考纲解读
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
主干梳理
要点梳理
考点自测
1.向量在平面几何中的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积 解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题. (2)用向量解决常见平面几何问题的技巧.
主干梳理
要点梳理
考点自测
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3.在△ABC 中,|������������|=5,|������������ |=4,������������ ·������������ =10,则△ABC 的面积是( A.5 B.10
高考数学一轮复习第五章平面向量第4节平面向量的应用举例市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
的中点，
故O→N·O→Q－M→O·O→Q＝O→Q·(O→M＋O→N)＝2O→Q2＝4. [答案] 4
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考点三 向量在三角函数中的应用 ——共研型
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角度 1：向量与三角恒等变换结合 (2016·山东临沂模拟)已知向量 m＝(sinα－2，
－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中 α∈R. (1)若 m⊥n，求角 α； (2)若|m－n|＝ 2，求 cos2α 的值．
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[解] (1)向量 m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)， 若 m⊥n，则 m·n＝0， 即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0， 即 sinα＝12，可得 α＝2kπ＋π6或 2kπ＋56π，k∈Z.
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(2)若|m－n|＝ 2，即有(m－n)2＝2， 即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2， 即为 4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2， 即有 8－8sinα＝2，可得 sinα＝34， 即有 cos2α＝1－2sin2α＝1－2×196＝－18.
)
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(4) 在△ABC 中 ，若 A→B·B→C <0，则 △ABC 为 钝角 三角
形．(
)
(5)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间
的转化的主要手段是向量的坐标运算．(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
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2 ． (2016·湖 南 长 沙 模 拟 ) 如 图 ， 正 方 形
题型突破
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考点一 向量在平面几何中的应用 ——互动型
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(1)(2016·河 南 中 原 名 校 第
课标通用2018年高考数学一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例学案
§5.4 平面向量应用举例考纲展示► 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．考点1 向量在平面几何中的应用向量在几何中的应用a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b ⇔a ＝λb ⇔____________(b ≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b ⇔a·b ＝0⇔____________.(3)平面几何中夹角与线段长度计算： ①a ，b ＝a·b|a||b |＝________________；②|AB |＝|AB →|＝|AB →|2＝____________.答案：(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＋y 1y 2＝0 (3)①x 1x 2＋y 2y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 ②x 2－x 12＋y 2－y 12[典题1] 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心[答案] C[解析] 由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)．根据平行四边形法则知，AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．[题点发散1] 在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案：A解析：由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.而AB→|AB →|和AC→|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB→|AB →|＋AC→|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．[题点发散2] 在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案：D解析：由条件，得 AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C＝λ·|AB →||BC →－B|AB →|cos B＋λ·|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C＝0， ∴AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心． [点石成金] 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．答案：2解析：解法一：如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.解法二：建立如图所示平面直角坐标系．由题意知，A (0,1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0)．由BC ＝3BE ，DC ＝λDF 可求，点E ，F 的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2.考点2 平面向量在三角函数中的应用[典题2] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A2，－cos A 2，且2m·n ＋|m |＝22，AB →·AC →＝1.(1)求角A 的大小； (2)求△ABC 的面积S .[解] (1)因为2m·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m|＝1，所以2m·n ＋|m |＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0＜A ＜π，所以－π4＜A －π4＜3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.(2)cos A ＝cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝cos π6cos π4－sin π6sin π4＝6－24， 因为AB →·AC →＝bc cos A ＝1， 所以bc ＝6＋ 2.又sin A ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32.[点石成金] 1.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．2．熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正余弦定理等知识.1.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3答案：C解析：由m⊥n ，得m·n ＝0， 即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0.∵π6<A ＋π6<7π6， ∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ， 且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， 即c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，又C ∈(0，π)， ∴C ＝π2，∴B ＝π－π3－π2＝π6.2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m∥n ，则角B 的大小为________．答案：5π6解析：∵m∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－(3a ＋c )sin C ＝0， 又∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ，化简，得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32.∵0<B <π，∴B ＝5π6.考点3 向量在解析几何中的应用[典题3] 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． [解] (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因为PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任意一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 2＝16－4y 23，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因为y 0∈[－23，2 3 ]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20， 故PE →·PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值为13－43(此时x 0＝0)，故PE →·PF →的最小值为12－4 3. [点石成金] 向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b ⇔a·b ＝0；a∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R )，则ab ＝()A.14 B ．1 C.12 D.18答案：A解析：由题意易知，E 1(2,1)，E 2(2，－1)， ∴e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)， 故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )． 又点P 在双曲线上， ∴a ＋2b24－(a －b )2＝1，整理可得，4ab ＝1，∴ab ＝14.[方法技巧] 1.用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用．一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决．2．牢记以下4个结论(1)重心：若点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0或PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)(其中P 为平面内任意一点)；反之，若GA →＋GB →＋GC →＝0，则点G 是△ABC 的重心．(2)垂心：若点H 是△ABC 的垂心，则HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →或HA →2＋BC →2＝HB →2＋CA →2＝HC→2＋AB →2；反之，HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →，则点H 是△ABC 的垂心．(3)内心：若点I 是△ABC 的内心，则有|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →＝0；反之，若|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →＝0，则点I 是△ABC 的内心．(4)外心：若点O 是△ABC 的外心，则(OA →＋OB →)·BA →＝(OB →＋OC →)·CB →＝(OC →＋OA →)·AC →＝0或|OA →|＝|OB →|＝|OC →|；反之，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则点O 是△ABC 的外心．[易错防范] 1.对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等．2．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．3．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a ，b 夹角为锐角和a·b ＞0不等价． 4．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．真题演练集训1．[2016·四川卷]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案：B解析：由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max ＝494，故选B.2．[2015·福建卷]已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案：A解析：∵ AB →⊥AC →，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t＋t ，t＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)． PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13.当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.3．[2015·天津卷]在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．答案：2918解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得AD ＝DC ＝1. 建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,0)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－(2,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32， DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝(1,0)． ∵ BE →＝λBC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ，32λ，∴ E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ.∵ DF →＝19λDC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19λ，0，∴ F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32.∴ AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时等号成立，符合题意．∴ AE →·AF →的最小值为2918.4．[2016·江苏卷]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案：78解析：解法一：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)，A (b ，c )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ，23c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，13c ，BA →＝(b ＋a ，c )， CA →＝(b －a ，c )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b3＋a ，c 3，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫b 3－a ，c 3，BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫23b ＋a ，23c ，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ，23c ，由BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4， BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，解得b 2＋c 2＝458，a 2＝138，则BE →·CE →＝49(b 2＋c 2)－a 2＝78.解法二：设BD →＝a ，DF →＝b ，则BA →·CA →＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF →·CF →＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138，|b |2＝58， 则BE →·CE →＝(a ＋2b )·(－a＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78.课外拓展阅读巧解平面向量高考题的5种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题．在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决．基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答．[典例] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B．1C. 2 D．2解法一：目标不等式法[思路分析][解析]因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝2.展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案] B解法二：向量基底法[思路分析][解析]取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝m a＋n b.由|c|＝1，即|m a＋n b|＝1，可得(m a)2＋(n b)2＋2mn a·b＝1，由题意知，|a|＝|b|＝1，a·b ＝0. 整理，得m 2＋n 2＝1.而a －c ＝(1－m )a －n b ，b －c ＝－m a ＋(1－n )b ， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得[(1－m )a －n b ]·[－m a ＋(1－n )b ]≤0， 展开，得m (m －1)a 2＋n (n －1)b 2≤0， 即m 2－m ＋n 2－n ≤0. 又m 2＋n 2＝1，故m ＋n ≥1. 而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ，故(a ＋b －c )2＝[(1－m )a ＋(1－n )b ]＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2＝(1－m )2＋(1－n )2＝m 2＋n 2－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )．又m ＋n ≥1，所以3－2(m ＋n )≤1. 故|a ＋b －c|2≤1，即|a ＋b －c|≤1. [答案] B 解法三：坐标法 [思路分析][解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π2.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．设C(x，y)，则c＝(x，y)，且x2＋y2＝1.则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，故由(a－c)·(b－c)≤0，得(1－x)×(－x)＋(－y)×(1－y)≤0，整理，得1－x－y≤0，即x＋y≥1.而a＋b－c＝(1－x,1－y)，则|a＋b－c|＝－x2＋－y2＝3－x＋y.因为x＋y≥1，所以3－2(x＋y)≤1，即|a＋b－c|≤1.所以|a＋b－c|的最大值为1.[答案] B解法四：三角函数法[思路分析][解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π2.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则A (1,0)，B (0,1)． 因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0，整理，得sin θ＋cos θ≥1.而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， 则|a ＋b －c |＝－cos θ2＋－sin θ2＝3－θ＋cos θ.因为sin θ＋cos θ≥1，所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1，即|a ＋b －c |≤1. 所以|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B解法五：数形结合法 [思路分析][解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上．易知CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，|c |＝|OC →|. 由(a －c )·(b －c )≤0，可知CA →·CB →≤0， 则π2≤∠BCA <π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a·b ＝0，得OA ⊥OB ，设OD →＝a ＋b ，如图所示，因为a ＋b －c ＝OD →－OC →＝CD →，所以|a ＋b －c |＝|CD →|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离，显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1，即|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B。
【中小学资料】2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 理 新人教版
第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 理 新人教版1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋－2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4， 即x ＋2y ＝4.4．(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 答案 4解析 设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]， ∴|2a －b |∈[0,4]． ∴|2a －b |的最大值为4.5．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).题型一 向量在平面几何中的应用例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 (1)12(2)C解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为(AB→|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC . 又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC＝π3，所以△ABC 为等边三角形． (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )，则PA →＋3PB →＝(5,3a －4y )， 即|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2的最小值为25.故|PA →＋3PB →|的最小值为5. 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝________________________________________________________________________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即y x＝± 3. 思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用例3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________． 答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.命题点2 向量在解三角形中的应用例4 (2016·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35，故选C.命题点3 向量在物理中的应用例5 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为()A ．27B ．2 5C ．2D ．6答案 A解析 如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)3 (2)3解析 (1)由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3. (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三审图形抓特点典例 (2016·太原一模)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6E 为函数图象的对称中心，C 为图象最低点―――――――――――→作出点C 的对称点MD 、B 两点对称 CD 和MB 对称―――――――――――→CD →在x 轴上的投影是π12BM 在x 轴上的投影OF ＝π12 ――――――→A (－π6，0)，AF ＝π4―→T ＝π―→ω＝2――――――――→y ＝x ＋φ和y ＝sin 2x 图象比较φ2＝π6―→φ＝π3解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0， 由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.3．(2016·南宁模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a∥b ，则sin 2α等于( ) A ．3 B ．－3 C.45 D ．－45答案 D解析 由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0， ∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.4．(2016·武汉模拟)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cosB ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3. 5．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．*6.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为两边的三角形的面积为14，故β的终点在如图所示的线段AB 上(α∥AB →，且圆心O 到AB 的距离为12)，因此夹角θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.7．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a与b 的夹角的范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π解析 设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根， 即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.*10.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．答案 6解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1， ∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HF ＝HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23，sin∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|·cos∠EHF ＝23×23×12＝6.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32y －b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝(23sin A2，cos 2A2)，n ＝(cos A2，－2)，m ⊥n .(1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长． 解 (1)已知m ⊥n ，所以m·n ＝(23sin A2，cos 2A 2)·(cos A2，－2)＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin(A －π6)＝12，因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63. 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，所以b ＝a ·sin Bsin A＝2×6332＝423.*13.已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 且NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19， 当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.。
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：5.4 平面向量的应用(专题拔高配套PPT课件)
第五章
知识梳理 双击自测
5.4 平面向量的应用
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-3-
1.向量在平面几何中的应用
问题类型 线平行、点共 线等问题 垂直问题 夹角问题 长度问题 所用知识 共线向 量定理 数量积的 运算性质 数量积 的定义 数量积 的定义 公式表示 a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0 , 其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2) a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0 , a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b 为非零 向量 cos θ=
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由 2������������ + ������������ + ������������ =0, 得������������ + ������������ =0, 所以 BC 为圆 O 的直径. π 又|������������|=|������������|=1, 所以在 Rt△ABC 中, AB⊥AC, ∠ACB= .故������������ ·������������ = 3 3
解析 答案
第五章
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5.4 平面向量的应用
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3.若△ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2������������ + ������������ + ������������=0,|������������|=|������������|,则������������ ·������������= .
第五章
知识梳理 双击自测
5.4 平面向量的应用
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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1.在四边形 ABCD 中,������������=(2,4),������������=(-6,3),则该四边形的面积为 ( ) A.3 5 B.2 5 C.5 D.15
高三数学一轮复习精品课件2：5.4 平面向量的应用
D．10
(2)在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°，E 为 CD 的
中点．若A→C·B→E＝1，则 AB 的长为__________．
解析：(1)因为A→C·B→D＝0，所以 AC，BD 是互相垂直的对角线， 所以 S＝12|AC|·|BD|＝12· 5·2 5＝5.
(2)方法一：因为A→C＝A→B＋A→D，B→E＝B→A＋A→D＋D→E＝－A→B＋A→D ＋12A→B＝A→D－12A→B，
2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用 向量的有关性质解题．
3．平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角 函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有 未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的 关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数 列的综合问题．
答案：①xx12＝yy12 ②x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)
③a·b＝0
④x1x2＋y1y2＝0
⑤
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22
⑥y－y0＝aa21(x－x0) ⑦y－y0＝－aa12(x－x0)
疑点清源
1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一 个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、 代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
标 系 ， 则 A(0,0) ， D(1,0) ， 设 AB 的 长 为 a ， 则 B a2， 23a ，
C1＋a2， 23a，因为 E 是 CD 的中点，
所以
E
1＋a4，
43a
，
所
以
→ AC
＝
1＋a2，
高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用课件理苏教版
的最大值是最小值的 8 倍，则实数 a 的值是__8___.
答案
解析
命题点2 向量在解三角形中的应用
例 4 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 20aB→C＋15bC→A
＋12cA→B＝0，则△ABC
3 最小角的正弦值等于___5__.
答案
解析
命题点3 向量在物理中的应用 例5 如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处 于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小 为_____.2 7 答案 解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
在 x 轴上的投影为1π2，则 ω，φ 的值分别为
_2_，__π3__. 审题路线图
答案
解析
课时作业
1.(教材改编)已知平面向量a，b，满足|a|＝ 3 ，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋ 2b|＝___7__.
答案
解析
由题意可得|a＋2b|＝ |a＋2b|2 ＝ a2＋4a·b＋4b2＝ 7.
满足O→M·C→M＝0，则yx＝__±___3__.
答案
解析
∵O→M·C→M＝0，∴OM⊥CM， ∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx， 由 1|2＋k|k2＝ 3，得 k＝± 3，即yx＝± 3.
思维升华
向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题 的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之 间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可 解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几 何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.
2018版高考数学(文)(人教A版)大一轮复习配套讲义：第五章 平面向量含解析
第1讲平面向量的概念及线性运算最新考纲 1.了解向量的实际背景；2。
理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义;5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义;6。
了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1。
向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a｜a｜平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02。
向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1）交换律:a＋b＝b＋a。
（2）结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋（－b)数乘求实数λ与向量a的积的运（1）|λa|＝｜λ｜｜a｜；（2）当λ＞0时,λaλ（μa）＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；算的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时,λa＝0λ（a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.诊断自测1。
判断正误(在括号内打“√”或“×"）精彩PPT展示(1)零向量与任意向量平行.（)（2）若a∥b,b∥c，则a∥c。
（)（3)向量错误!与向量错误!是共线向量，则A，B，C,D四点在一条直线上.( )（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )（5）在△ABC中，D是BC中点,则错误!＝错误!（错误!＋错误!）.( ）解析(2)若b＝0，则a与c不一定平行。
A版2018版高考数学理一轮专题复习课件专题5 平面向量 精品
第一步,观察并将待求向量表示成两个 (或多个)相关向量a,b（或a,b,c,…）的和 或差；
第二步,把向量a,b（或a,b,c,…）分别进 行分解,直到用基底表示出向量a,b（或 a,b,c,…） ； 第三步,将a,b（或a,b,c,…）代入第一步 中的式子,从而得到结果．
第一步,把待求向量看作未知量； 第二步,列出方程组； 第三步,用解方程组的方法求解待求向 量．
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求 向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解.
3.平面向量的坐标运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算
考点29
✓ 考法3 平面向量基本定理的应用
✓ 考法4 平面向量的共线问题 ✓ 考法5 平面向量的坐标表示与运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
应注意的是,基底的选择并不唯一，只 要两个向量不共线，都可作为一组基底. 2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴 正方向相同的两个单位向量i, j作为基底,对 平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使得 a＝xi＋yj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐 标,记作a＝(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴，y 轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同 的向量是相等向量．
高三数学大一轮复习5.4平面向量应用举例课件.ppt
5．某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量
b：“向北走3 km”，则a＋b表示
(B )
A．向东南走3 2 km B．向东北走3 2 km C．向东南走3 3 km D．向东北走3 3 km 解析 要求a＋b，可利用向量和的三角形法则来求解，
如图所示，适当选取比例尺作O→A＝a＝“向东走3 km”, A→B＝b＝“向东走3 km”， 则O→B＝O→A＋A→B＝a＋b. |O→B|＝ 32＋32＝3 2 (km)， 又O→A与O→B的夹角是45°， 所以a＋b表示向东北走3 2 km.
由A→M＝－32M→Q，
得(x－a，y)＝－32(－x，b－y)＝32x，32(y－b)，
∴xy－ ＝a32＝ y－3232xb
，∴ab＝＝－3y x2
.
把a＝－2x代入①，得－2xx＋2x＋3y＝0， 整理得y＝14x2 (x≠0)．
探究提高 (1)向量法解决平面解析几何问题的关键是 把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算． (2)相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用 到，必须熟练掌握．
(2)若x∈－38π，π4，求函数f(x)＝a·b的最值；
(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝
2 2 sin
2x
(x 求向量的夹角，即通过数量积与模的积的比
值求得夹角的余弦值，而数量积通过坐标转化可得出，
图象的变换则可根据平移公式得出．
解 (1)∵x＝π3，∴|a|＝ sin2π3＋cos2π3＝1. 又|c|＝1，a·c＝－sin π3＋0＝－ 23， 设a、c的夹角为α， ∴cos α＝|aa|··c|c|＝－ 23，α∈[0，π]，∴α＝56π. 即向量a与c的夹角为56π.
探究提高 用向量知识研究物理问题的基本思路和 方法是：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量 之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理现 象转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识 解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利 用这个结果，对原物理现象作出合理解释．即用向 量知识圆满解决物理问题． 本题易错原因是不能按物理意义进行力的合成，错 误得出F3的大小为6.
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所以点P的轨迹必过△ABC的内心.
思维升华
向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于 未知量的方程进行求解.
3 1 － △ABC 的面积为________. 2
答案
解析
→ → 2＋ 6 AB· AC ∵cos∠BAC＝ ＝ ， 15 → → |AB||AC|
2－ 3 ∴sin∠BAC＝ ， 15
1→ → 3 ∴S△ABC＝2|AB|· |AC|· sin∠BAC＝1－ 2 .
题型分类
深度剖析
题型一 向量在平面几何中的应用
(2)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90° ，AD＝2，BC＝1，P → → 5 是腰 DC 上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________. 答案
解析
题型二 向量在解析几何中的应用 → ＝(4,5)， → → ＝(k,12)， OB 例2 (1)已知向量 OA OC ＝(10，k)，且A、B、C 三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为
得，当 x＝0，y＝1 时，zmax＝3.
审题路线图系列
典例
三审图形抓特点 π (2016· 太原一模)已知 A， B， C， D 是函数 y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，0＜φ＜2
π 一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A－6，0，B
为 y 轴上的点，C
答案 解析 2x＋y－3＝0 ____________. → → → ∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)， → → → → → BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0， 解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝ －2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
→ → ∵PO与PC共线且方向相反，
∴当大小相等时，乘积最小. 3 3 3 9 由条件知，当 PO＝PC＝2时，最小值为－2×2×2＝－2.
题型三 向量的其他应用 命题点1 向量在不等式中的应用
例3
y≥x， 已知 x，y 满足x＋y≤2， x≥a，
→ → → → 若OA＝(x,1)，OB＝(2，y)，且OA· OB
2
长度问题
数量积的定义
为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 设向量 运算 解决向量问题 还原 解决几何问题. 平面几何问题 ― ― ― ― → 向量问题 ― ― ― → ― ― →
2.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过 向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.
§5.4 平面向量应用举例
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 线平行、点 共线等问题 垂直问题 所用知识 公式表示 a∥b⇔ a＝λb ⇔ x1y2－x2y1＝0 ，其中a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
跟踪训练 2
(2016· 合肥模拟 ) 如图所示，半圆的
直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的 → → ＋ PB ) 任意一点，若P为半径OC上的动点，则 (PA 9 －2 → 答案 解析 · PC 的最小值为______. ∵圆心O是直径AB的中点，
→ → → → → → → → ∴PA＋PB＝2PO，∴(PA＋PB)· PC＝2PO· PC，
知识拓展
→ → → 1.若 G 是△ABC 的重心，则GA＋GB＋GC＝0.
几何画板展示
2. 若直线 l 的方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，则向量 (A ， B) 与直线 l 垂直，向量 (－B，A)与直线l平行.
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) → → (1)若 AB ∥AC ，则A，B，C三点共线.( √ ) (2)若a· b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a· b＜0，则a和b的夹角为钝角.( × ) →· → <0，则△ABC为钝角三角形.( × ) (3)在△ABC中，若AB BC (4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点 → → → → ，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.( √ ) P满足： OP＝OA＋t(AB＋AC)
答案 解析
1 由图像可知，M2，1，NxN，－1，
1 → → 1 所以OM· ON＝2，1· (xN， －1)＝2xN－1＝0，
解得xN＝2，
所以函数 f(x)的最小正周期是
1 2×2－2 ＝3.
(2)已知在平面直角坐标系中， O(0,0)， M(1,1)， N(0,1)， Q(2， 3)， 动点 P(x， → → → → → → y)满足不等式 0≤OP· OM≤1,0≤OP· ON≤1，则 z＝OQ· OP的最大值为
解析
C.重心
D.垂心
→ → → → → → → 由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法 → → → 则，知AB＋AC是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD的 2 倍， 所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心.
引申探究
→ → AC AB → → 本例(2)中，若动点P满足 OP＝OA＋λ → ＋ → ，λ∈(0，＋∞)，则点 |AB| |AC|
答案 内心 P的轨迹一定通过△ABC的______.
解析
→ → → → AC AC → → → AB AB ＋ ＋ 由条件，得OP－OA＝λ ，即AP＝λ ， → → → → |AB| |AC| |AB| |AC|
→ → AB AC → → 而 和 分别表示平行于AB，AC的单位向量， → → |AB| |AC| → → AB AC → 故 ＋ 平分∠BAC，即AP平分∠BAC， → → |AB| |AC|
为图像上的最低点， E 为该函数图像的一个对称中心， B 与 D 关于点 E 对称， π → CD在 x 轴上的射影为12，则 ω，φ 的值为
思维升华
向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问 题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐 标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用：利用a⊥b⇔a· b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)， 可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解 析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.
→ |BC|＝ 36＋36＝6 2，
→2 →2 →2 ∴|AB| ＋|BC| ＝|AC| ，
∴△ABC为直角三角形.
→ → → → 2.已知在△ABC 中，|BC|＝10，AB· AC＝－16，D 为边 BC 的中点，则|AD| 等于 答案
A.6 C.4
解析
B.5 D.3
在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB· AC· cos A＝BC2， → → → → 又AB· AC＝|AB|· |AC|· cos A＝－16， 所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点， → → → ，两边平方得4|→ |2＝68－32＝36， 所以AB ＋AC＝2AD AD → |＝3，故选D. 解得| AD
3.(2016· 武汉模拟)平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满 → → x＋2y－4＝0 足OP· OA＝4，则点 P 的轨迹方程是____________.
答案 解析
→ → ＝4，得(x，y)· 由 OP (1,2)＝4， · OA
即x＋2y＝4.
4.(2016· 银川模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝( 3 ，－1)，则|2a－b| 4 的最大值为_____. 设a与b夹角为α，
考点自测
1.(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1， －4)，则该三角形为 答案 A.锐角三角形 C.钝角三角形
解析
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
→ → → AB＝(2，－2)，AC＝(－4，－8)，BC＝(－6，－6)，
→ → 2 2 ∴|AB|＝ 2 ＋－2 ＝2 2，|AC|＝ 16＋64＝4 5，
(2)设 O 为坐标原点， C 为圆(x－2)2＋y2＝3 的圆心， 且圆上有一点 M(x， y → → ± 3 答案 y)满足OM· CM＝0，则 x＝______.
→ → ∵ OM· CM＝ 0 ， ∴ OM ⊥ CM ，
解析
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
|2k| y 由 2＝ 3，得 k＝± 3，即x＝± 3. 1＋k
例1 (1)在平行四边形ABCD中， AD＝1，∠BAD ＝60°，E为 CD的中 1 → → 答案 解析 BE＝1，则AB＝____. 点.若 AC· 2
(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若 → → → → 动点P满足 OP ＝OA＋λ(AB＋AC)， λ∈(0 ，＋ ∞) ，则点 P 的轨迹一定通 过△ABC的 答案 A.内心 B.外心
共线向量定理
b＝0 ⇔ x1x2＋y1y2＝0 ，其中 a⊥b⇔ a·
数量积的运算性质 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非 零向量