2009届二模南汇区高考数学文
上海市南汇中学2009届高三高考模拟卷(数学)
上海南汇中学2008—2009学年度高考模拟卷数学试题一、填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数()()x x f +=1log 3的定义域是 . 2．计算：=-+ii11 （i 为虚数单位）. 3．函数x y 2sin =的最小正周期T = .4．若集合{}{}a x x B x x A <-=<<=1,40,且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 5．焦距为4且过点)的双曲线的标准方程是 ____________________.6．ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，设向量),(b c a p +=,),(a c a b q --=,若q p //,则角C 的大小为_________.7．（理）从4名男生和2名女生中任选3人参加“上海市实验性、示范性高中”区级评估调研座谈会，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ的数学期望为 .（文）已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤02y y x xy ，则3z x y =+的最大值是_____.8．（理）在极坐标系中，过点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π且与极轴 垂直的直线l 的极坐标方程是 . （文）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都 是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那 么这个几何体的全面积为 .9． 为迎接2010年世博会召开，营造良好的生活环境，上海市政府致力于城市绿化．现有甲、乙、丙、丁4个工程队承包5个不同的绿化工程，每个工程队至少承包1项工程，那么工程队甲承包两项工程的概率是______.10．图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= .（答案用数字或n 的解析式表示）11．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y为关于,x y 的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数,x y 的广义“距离”：（1）非负性：(,)0f x y ≥,当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于,x y 的广义“距离”的序号： .①(,)f x y x y =-;②2(,)()f x y x y =-;③(,)f x y =.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，其它一律得零分.12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线异面”的 （ ） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件.C ．充要条件.D ．既不充分也不必要条件.13．若直线220(0,0)ax by a b +-=>>平分圆224210x y x y +--+=的周长，则ba 21+ 的最小值为（ ）A ．1.B ．5.C ．D ．223+.14．将函数sin ()cos xf x x的图像向左平移()0n n >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ）A ． 6p .B ．3p.C ．56p .D ．23p15．若函数()2009=+f x ，则对任意的12,x x 满足1220082009<<<x x ，则有 （ ） A ．）1221()()x f x x f x >. B ．1221()()x f x x f x <. C ．1221()()x f x x f x =.D ．1122()()x f x x f x =三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题写出必要的步骤. 16． (本题满分12分)已知复数i z +=θcos 1和θsin 12i z -=，求221z z -的最大值和最小值．17． (本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.)如图，图（1）是一个正方体的表面展开图，MN 和PQ 是两条面对角线． （1）请在图（2）的正方体中画出MN 、PQ ；并求此时MN 与PQ 所成角的大小； （2）求四面体MNPQ 的体积与正方体的体积之比．（说明：求角与体积时，若需画辅助图，请分别画在图（3）、（4）中） MNA CQP（1）AC（2）AC （3）AC（4）18．(本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分) （理）某公司2008年底共有员工200人，当年的生产总值为1600万元．该企业规划从2009年起的10年内每年的总产值比上一年增加100万元；同时为扩大企业规模，该企业平均每年将录取m（)5m名新员工；经测算，这10年内平均每年有5名员工退休．设>从2009年起的第x年（2009年为第1年）该企业的人均产值为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式)y=；f(x（2）要使该企业的人均产值在10年内每年都有增长，则每年录用的新员工至多为多少人？（文）为了缓解交通压力，某省在两个城市之间特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车．如果该列火车每次拖4节车厢，每日能来回16趟；如果每次拖7节车厢，则每日能来回10趟．火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数，每节车厢满载时能载客110人．（1）求出y关于x的函数关系式；（2）这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．19． (本题满分16分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分.)已知(01)OB =，，直线:1l y =-，动点P 到直线l 的距离d PB = （1）求动点P 的轨迹方程M ；（2）证明命题A ：“若直线m 交动点P 的轨迹M 于C 、D 两点，如m 过点B ，则3OC OD ⋅=-”为真命题；（3）写出命题A 的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由.20． (本题满分18分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.)设向量)2(，x a =，)12(-+=x n x b ， (n 为正整数)，函数b a y ⋅=在[]0,1上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{}n b 满足：()12121999121101010n n n n nb n b b b ---⎛⎫⎛⎫+-+⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求证：1+=n a n ； （2）求n b 的表达式；（3）若n n n c a b =-⋅，试问数列{}n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n k c c ≤成立？证明你的结论．参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3．第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4．给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1．()1-∞，+ 2．i 3．π 4．3a ≥ 5．22131x y -= 6．3π7．1；48．cos 1ρθ=；32π 9．1410．41；44n - 11．① 12．B 13．D 14．C 15．B16．3±-----12分17．解：（1）图略，MN 与PQ 所成角的大小为60；-------8分（2）四面体MNPQ 的体积与正方体的体积之比为1∶6．--------14分 18．（理）（1）),101()5(2001001600*∈≤≤-++=N x x xm x y -------6分（2）当函数)(x f 为增函数时，该企业的人均产值在10年内每年都有增长。
数学_2009年浙江省宁波市高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2009年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={1, 2, 5}，∁U B ={4, 5, 6}，则集合A ∩B =( )A {1, 2}B {5}C {1, 2, 3}D {3, 4, 6}2. 某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是（ ） A 7 B 6 C 5 D 43. 已知定义在复数集C 上的函数f(x)满足f(x)={1+x,x ∈R(1−i)x,x ∉R，则f(1+i)等于（ ）A −2B 0C 2D 2+i4. 已知两个平面α、β，直线a ⊂α，则“α // β”是“直线a // β”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5. 已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, −π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（ ）A f(x)=2sin(12x +π4) B f(x)=2sin(12x +3π4) C f(x)=2sin(12x −π4) D f(x)=2sin(12x −3π4)6. 下列命题中是假命题的是（ ）A ∃α，β∈R ，使cos(α+β)=cosα+sinβB ∀a >0，函数f(x)=ln 2x +lnx −a 有零点C ∃m ∈R ，使f(x)=(m −1)⋅x m 2−4m+3是幂函数，且在(0, +∞)上递减 D ∀φ∈R ，函数f(x)=sin(2x +φ)都不是偶函数7. 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）A 15 B 25 C 35 D 458. 对于非零向量m →，n →，定义运算“#”：m →#n →=|m →|⋅|n →|sinθ，其中θ为m →，n →的夹角．有两两不共线的三个向量a →，b →，c →，下列结论： ①若a →#b →=a →#c →，则b →=c →；②a →#b →=b →#a →；③若a →#b →=0，则a → // b →；④(a →+b →)#c →=a →#c →+b →#c →； ⑤a →#b →=(−a →)#b →．其中正确的个数有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个9. 已知x ，y 满足{x ≥1x +y ≤4x −y −2≤0，记目标函数z =2x +y 的最大值为a ，最小值为b ，则a +b =( )A 1B 2C 7D 810. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈[3, 5]时，f(x)=2−|x −4|，则( )A f(sin π6)<f(cos π6) B f(sin1)>f(cos1) C f(sin2π3)<f(cos2π3) D f(sin2)>f(cos2)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 已知双曲线的右焦点为(5, 0)，一条渐近线方程为2x −y =0，则此双曲线的标准方程是________．12. 有四条线段长度分别为1，2，3，4，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成三角形的概率为________．13. 若过点A(a, a)可作圆x 2+y 2−2ax +a 2+2a −3=0的两条切线，则实数a 的取值范围是________．14. 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积是________．15. 设向量e 1→和e 2→是夹角为60∘的两个单位向量，则向量e 1→+2e 2→的模为________． 16. 已知数组：(11)，(12,21)，(13,22,31)，(14,23,32,41)，…，(1n ，2n−1，3n−2，…，n−12，n1)，…记该数组为：(a 1)，(a 2, a 3)，(a 4, a 5, a 6)，…，则a 2009=________．17. 由9个正数组成的矩阵[a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33]中，每行中的三个数成等差数列，且a 11+a 12+a 13，a 21+a 22+a 23，a 31+a 32+a 33成等比数列．给出下列结论：①第2列中的a 12，a 22，a 32必成等比数列；②第1列中的a 11，a 21，a 31不一定成等比数列；③a 12+a 32≥a 21+a 23；④若9个数之和等于9，则a 22≥1．其中正确的序号有________（填写所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ．b ．c ，且a 2−(b −c)2=(2−√3)bc ，sinAsinB =cos 2C2，BC 边上中线AM 的长为√7．（1）求角A 和角B 的大小； （2）求△ABC 的面积．19. 如图，已知ABCD 为平行四边形，∠A =60∘，AF =2FB ，AB =6，点E 在CD 上，EF // BC ，BD ⊥AD ，BD 与EF 相交于N ．现将四边形ADEF 沿EF 折起，使点D 在平面BCEF 上的射影恰在直线BC 上．（1）求证：BD ⊥平面BCEF ；（2）求折后直线DE 与平面BCEF 所成角的余弦值．20. 已知正项数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n 2+2a n (n ∈N +)，令b n =log 2(a n +1)．（1）求证：数列{b n }为等比数列； （2）记T n 为数列{1log2b n+1⋅log 2b n+2}的前n 项和，是否存在实数a ，使得不等式T n <log 0.5(a 2−12a)对∀n ∈N +恒成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=13ax 3+12x 2−(2+2a)x +b(a ∈R)(I)若y =f(x)在点P （1, f(1)）处的切线方程为y =12，求y =f(x)的解析式及单调递减区间；(II)若y =f(x)在[−2, 0]上存在极值点，求实数a 的取值范围．22. 已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，F 1，F 2分别为其左右焦点．一动圆过点F 2，且与直线x =−1相切． （1） (I)求椭圆C 1的方程；（2）求动圆圆心轨迹C 的方程；(II)在曲线C 上有四个不同的点M ，N ，P ，Q ，满足MF 2→与NF 2→共线，PF 2→与QF 2→共线，且PF 2→⋅MF 2→=0，求四边形PMQN 面积的最小值．2009年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）答案1. A2. B3. C4. A5. B6. D7. A8. C9. D 10. C 11.x 25−y 220=112. 1413. (−∞, −3)∪(1, 32) 14. 4+2√10 (cm 2) 15. √7 16. 717. ①②③18. 解：（1）由a 2−(b −c)2=(2−√3)bc 得a 2−b 2−c 2=−√3bc ， ∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc=√32，A =π6.由sinAsinB =cos 2C 2，得12sinB =1+cosC 2即sinB =1+cosC则cosC <0，即C 为钝角，故B 为锐角，且B +C =56π则sin(56π−C)=1+cosC ⇒cos(C +π3)=−1⇒C =23π故B =π6．（2）设AC =x ，由余弦定理得AM 2=x 2+x 24−2x ⋅x 2⋅(−12)=√72解得x =2故S △ABC =12⋅2⋅2⋅√32=√3．19. 解：（1）∵ EF⊥DN，EF⊥BN，DN∩BN=N ∴ EF⊥面DNB∵ EF⊂平面BCEF，∴ 平面BDN⊥平面BCEF，∵ BN=平面BDN∩平面BCEF，∴ D在平面BCEF上的射影在直线BN上，∵ D在平面BCEF上的射影在直线BC上，∴ D在平面BCEF上的射影即为点B，∴ BD⊥平面BCEF．（2）连接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即为直线DE与平面BCEF所成角．在原图中，由已知，可得AD=3,BD=3√3，BN=√3，DN=2√3，DE=4折后，由BD⊥平面BCEF，知BD⊥BN则BD2=DN2−BN2=9，即BD=3则在Rt△DEB中，有BD=3，DE=4，则BE=√7，故cos∠DEB=√74即折后直线DE与平面BCEF所成角的余弦值为√74．20. 解：（1）∵ a n+1=a n2+2a n，∴ a n+1+1=a n2+2a n+1，∴ log2(a n+1+1)= 2log2(a n+1)，∵ b n=log2(a n+1)，∴ b n+1b n=2，∴ 数列{b n}为等比数列．（2）∵ 数列{b n}为等比数列，b1=1，q=2，∴ b n=2n−1，∴ 1log2b n+1⋅log2b n+2=1n(n+1)=1 n −1n+1，∴ T n=1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1<1，∵ 不等式T n<log0.5(a2−12a)对∀n∈N+恒成立，只要log0.5(a2−12a)≥1=log0.50.5即可，即{a2−a2>0a2−a2≤12，即{a<0或a>12−12≤a≤1，解得−12≤a<0，或12<a≤1，故a的取值范围为[−12, 0)∪(12, 1]．21. 解：f′(x)=ax2+x−(2+2a)(I)由已知可得{f′(1)=0f(1)=12⇒{a=−1b=13此时f′(x)=−x2+x，由f′(x)=−x2+x<0得y=f(x)的单调递减区间为(−∞, 0)，(1, +∞)；(II)由已知可得y=f′(x)在[−2, 0]上存在零点，且在零点两侧y=f′(x)值异号(1)a=0时，f′(x)=0⇒x=2∉[−2, 0]，不满足条件；(2)a≠0时，可得x2+1a x−(2a+2)=0在[−2, 0]上有解且△>0设g(x)=x2+1a x−(2a+2)①当g(−2)g(0)≤0时，满足g(x)=0在[−2, 0]上有解⇒(4−2a −2a−2)(−2a−2)≤0⇒a≥2或a≤−1此时满足△>0②当g(−2)g(0)>0时，即g(x)=0在[−2, 0]上有两个不同的实根则{g(−2)>0 g(0)>0−2<−12a <0△>0⇒a无解综上可得实数a的取值范围为(−∞−1]∪[2, +∞)．22. 解：(1)(I)由已知可得{2a=4e=ca=12⇒{a=2c=1⇒b2=a2−c2=3，则所求椭圆方程C1：x 24+y23=1．（2）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为(1, 0)，准线方程为x=−1，则动圆圆心轨迹方程为C:y2=4x．（2）由题设知直线MN，PQ的斜率均存在且不为零，设直线MN的斜率为k(k≠0)，M(x1, y1)，N(x2, y2)，则直线MN的方程为：y=k(x−1)联立C:y2=4x消去y可得k2x2−(2k2+4)x+k2=0由抛物线定义可知：|MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1=2k2+4k2+2=4+4k2同理|PQ|=4+4k2，令1+k2=t>1，故有S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12(4+4k2)(4+4k2)=8(2+k2+1k2)≥32，当且仅当k=±1，取等号，所以四边形PMQN面积的最小值为8．。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅱ)解析版
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}，则()(U MN =ð )A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{2，4，8}D ．{1，3，5，6，7}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题 【分析】先求集合MN ，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}， {1MN ∴=，3，5，6，7}，{1U =，2，3，4，5，6，7，8}， (){2U MN ∴=ð，4，8}故选：C ．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．2．（5分）函数0)y x =…的反函数是( )A ．2(0)y x x =…B ．2(0)y x x =-…C ．2(0)y x x =…D ．2(0)y x x =-…【考点】4R ：反函数 【专题】11：计算题【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域． 【解答】解：由原函数定义域0x …可知A 、C 错， 原函数的值域0y …可知D 错， 故选：B ．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题． 3．（5分）函数22log 2xy x-=+的图象( )A ．关于直线y x =-对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断；3M ：奇偶函数图象的对称性 【专题】31：数形结合【分析】先看函数的定义域，再看()f x -与()f x 的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为(2,2)-关于原点对称， 又222222()loglog()x x x x f x f x +--+-==-=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性． 4．（5分）已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos (A = ) A ．1213B ．513C ．513-D ．1213-【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【专题】11：计算题【分析】利用同角三角函数的基本关系cos A 转化成正弦和余弦，求得sin A 和cos A 的关系式，进而与22sin cos 1A A +=联立方程求得cos A 的值． 【解答】解：12cot 5A =-A ∴为钝角，cos 0A <排除A 和B ，再由cos 12cot sin 5A A A ==-，和22sin cos 1A A +=求得12cos 13A =-， 故选：D ．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( )A B ．15C D ．35【考点】LM ：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G ：空间角【分析】由11//BA CD ，知1AB E ∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，由此能求出异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值．【解答】解：正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点， 11//BA CD ∴，1A BE ∴∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，设122AA AB ==，则11A E =，BE =，1A B ==2221111cos 2A B BE A E A BE A B BE +-∴∠===．∴异面直线BE 与1CD ． 故选：C ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量(2,1)a =，10a b =，||52a b +=，则||(b = )AB C ．5D ．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对||a b +=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可． 【解答】解：||52a b +=，||5a =222()250a b a b a b ∴+=++=， 得||5b = 故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a lge =，2()b lge =，c =，则( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【考点】4M ：对数值大小的比较；4O ：对数函数的单调性与特殊点【分析】因为101>，所以y lgx =单调递增，又因为110e <<，所以01lge <<，即可得到答案．【解答】解：13e <<< 01lge ∴<<，21()2lge lge lge ∴>>．a cb ∴>>．故选：C ．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线22163x y -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则(r = )A B ．2C ．3D ．6【考点】IT ：点到直线的距离公式；KC ：双曲线的性质 【专题】11：计算题【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =，即0x ±=，圆心(3,0)到直线的距离d ==r ∴=故选：A ．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式． 9．（5分）若将函数tan()(0)4y x πωω=+>的图象向右平移6π个单位长度后，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14 C ．13D ．12【考点】HJ ：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 【专题】11：计算题【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，比较系数，求出16()2k k Z ω=+∈，然后求出ω的最小值．【解答】解：tan()4y x πω=+，向右平移6π个单位可得：tan[()]tan()646y x x πππωω=-+=+∴466k πππωπ-+=1()2k k Z ω∴=+∈，又0ω> 12min ω∴=． 故选：D ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种【考点】5D ：组合及组合数公式 【专题】11：计算题【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数224436C C =， ②两人所选两门都相同的有为246C =种，都不同的种数为246C =， 故选：C ．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法． 11．（5分）已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则(k = )A ．13B C ．23D 【考点】8K ：抛物线的性质 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，根据||2||FA FB =，推断出||2||AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，进而可知1||||2OB AF =，进而推断出||||OB BF =，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【解答】解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =- 直线(2)(0)y k x k =+>恒过定点(2,0)P -如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由||2||FA FB =，则||2||AM BN =， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则1||||2OB AF =， ||||OB BF ∴=，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为k ∴==故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用． 12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位( )A ．南B ．北C ．西D ．下【考点】LC ：空间几何体的直观图 【专题】16：压轴题【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定． 【解答】解：如图所示．故选：B ．【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，634S S =，则4a = 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n 项和 【专题】11：计算题【分析】根据634S S =可求得3q ，进而根据等比数列的通项公式，得到答案． 【解答】解：设等比数列的公比为q ，则由634S S =知1q ≠， 63614(1)11q q S q q--∴==--． 33q ∴=．313a q ∴=． 故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）4(-的展开式中33x y 的系数为 6 ． 【考点】DA ：二项式定理【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x ，y 的指数都为1求出33x y 的系数【解答】解：4224(x y =，只需求4展开式中的含xy 项的系数．4的展开式的通项为414(rr r r T C -+= 令422r r -=⎧⎨=⎩得2r =∴展开式中33x y 的系数为246C = 故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 15．（5分）已知圆22:5O x y +=和点(1,2)A ，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=254． 【考点】7J ：圆的切线方程 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】判断点A 在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A 在圆上，切线斜率为111221OA K --==-， 用点斜式可直接求出切线方程为：12(1)2y x -=--，即250x y +-=，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以，所求面积为15255224⨯⨯=．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 16．（5分）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45︒角的平面截球O 的表面得到圆C ．若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 8π ． 【考点】LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案． 【解答】解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ， 2277,44r r ππ==由得．因为22R OC R ==． 由222217)84R r R =+=+得22R = 故球O 的表面积等于8π 故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 前n 项和n s ． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和 【专题】34：方程思想【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于1a ，d 的方程组，求出1a 、d ，进而代入等差数列的前n 项和公式求解即可．【解答】解：设{}n a 的公差为d ，则1111(2)(6)16350a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩，解得118822a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 因此8(1)(9)n S n n n n n =-+-=-，或8(1)(9)n S n n n n n =--=--．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解． 18．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B ．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；HP ：正弦定理 【专题】11：计算题【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sin B （负值舍掉），从而求出答案． 【解答】解：由3cos()cos 2A CB -+=及()B AC π=-+得 3cos()cos()2A C A C --+=， 3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2A C A C A C A C ∴+--=， 3sin sin 4A C ∴=． 又由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =， 故23sin 4B =，∴sin B =sin B =， 于是3B π=或23B π=．又由2b ac = 知b a …或b c … 所以3B π=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ．（Ⅰ）证明：AB AC =；（Ⅱ）设二面角A BD C --为60︒，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小．【考点】LQ ：平面与平面之间的位置关系 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）连接BE ，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD DC =，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB AC =；（2）求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可，作AG BD ⊥于G ，连GC ，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，在三角形AGC 中求出GC 即可．【解答】解：如图 ()I 连接BE ，111ABC A B C -为直三棱柱，190B BC ∴∠=︒，E 为1B C 的中点，BE EC ∴=．又DE ⊥平面1BCC ，BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）． ()II 求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可．作AG BD ⊥于G ，连GC ， AB AC ⊥，GC BD ∴⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=︒不妨设AC =2AG =，4GC =在RT ABD ∆中，由AD AB BD AG =，易得AD =设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面BCD 所成的角为α． 利用11133B BCBCD SDE Sh ∆=，可求得h =1112h B C B C α===，30α∴=︒． 即1B C 与平面BCD 所成的角为30︒．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】3B ：分层抽样方法；6C ：等可能事件和等可能事件的概率 【专题】11：计算题【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有210C 种，恰有1名女工人的结果有1146C C 种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有221010C C 种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有2266C C ②甲乙各抽1名男工11116446C C C C ③两名男工都来自乙有2244C C 种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则11462108()15C C P A C ==（3）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，0i =，1，2 Bj 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，0j =，1，2B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．i A 与j B 独立，i ，0j =，1，2，且021120B A B A B A B =++故P （B ）021*********()()()()()()()P A B A B A B P A P B P A P B P A P B =++=++22111122666464442210103175C C C C C C C C c C ++== 【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若当0x …时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 【考点】3R ：函数恒成立问题；6B ：利用导数研究函数的单调性 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在0x …时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定()f x 在2x a =或0x =处取得最小值，求出最小值，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a '=-++=-- 由1a >知，当2x <时，()0f x '>， 故()f x 在区间(,2)-∞是增函数； 当22x a <<时，()0f x '<， 故()f x 在区间(2,2)a 是减函数； 当2x a >时，()0f x '>，故()f x 在区间(2,)a +∞是增函数．综上，当1a >时，()f x 在区间(,2)-∞和(2,)a +∞是增函数， 在区间(2,2)a 是减函数．（2）由（1）知，当0x …时，()f x 在2x a =或0x =处取得最小值． 323214(2)(2)(1)(2)422442433f a a a a a a a a a a =-+++=-++，(0)24f a =由假设知1(2)0(0)0a f a f >⎧⎪>⎨⎪>⎩即14(3)(6)03240.a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得16a << 故a 的取值范围是(1,6)【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 设(,0)F c ，则直线l 的方程为0x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离求得c ，进而根据离心率求得a 和b ．()II 由()I 可得椭圆的方程，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得方程△0>．由韦达定理可求得12y y +和12y y 的表达式，假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，代入椭圆方程；把A ，B 两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c ，进而求得P 点坐标，求出m 的值得出直线l 的方程．【解答】解：()I 设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l=1c =又c e a ==∴a b = ()II 由()I 知椭圆的方程为22:132x y C += 设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然△0>． 由韦达定理有：122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，① 假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为： 点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，点P 在椭圆上，即221212()()132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=． 又A 、B 在椭圆上，即2211236x y +=，2222236x y +=、 故12122330x x y y ++=②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =∴12y y +=，2122432232m x x m +=-+=+，即3(,2P当3,,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭；当3,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。
2009年上海高考数学(文科卷)
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件得 到 的式子 无法进 行推 理．第 （ｌ Ｉ） Ｉ 问难度 太 大 ． 涉及 大量 的数 学思 想方 法， 比如反 证法、 分类讨论等思想方 法．
2009年高考全国2卷文科数学全解全析
2009年普通高校招生统一考试全国2卷——数学（文）全解全析1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7} 则UC M N ⋃=（） A {5，7} B {2，4} C {2,4,8}D {1,3,5,7} 解析：集合的并补运算 答案：C2．函数0)y x =≤的反函数是A 2(0)y x x =≥B 2(0)y x x =-≥C 2(0)y x x =≤D 2(0)y x x =-≤ 解析：反函数概念 答案：B 3．函数22log 2x y x-=+的图像A 关于原点对称B 关于直线y x =-对称C 关于y 轴对称D 关于直线y x =对称 解析：函数奇偶性及对数式定义域及运算 答案：A4．3.已知 ABC 中，cotA=125-,则cosA=（A ）1213（B ）513（C ）513- (D)1213-解析：同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 答案：D5．已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，E 为1A A 中点，则异面直线BE 与1C D 所成角的余弦值为（A ）10(B)15(C)10(D)35解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于900答案：C6．已知向量(2,1)a =，10a b ∙=,||a b +=,则b =（A ） (B) (C) 5 (D) 25答案：C解析：将||a b +=平方即可7．2lg ,(lg ),lga eb ec ===(A) a ＞b ＞c (B) a ＞c ＞b (C) c ＞a ＞b (D) c ＞b ＞a 解析：将lg lg 20.3e =看作判断即可 答案：B 8．双曲线22163xy-=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则r=A B 2 C 3 D 6解析：联立消y 得x 的一元二次方程，由判别式为0，得 答案：A9．若将函数tan(0)4y x πωω=+＞的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan(6y x πω=+的图像重合，则ω的最小值为 （A ）16(B) 14(C)13(D) 12解析：由646x x k πππωωπ-+=++（可得答案：D10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（A ）6种 （B ）12种 （C ）30种 （D ）36种解析：由222444c c c -得答案：C11．已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=（A ）13(B)3(C)23(D)3解析：由一元二次根系关系出1212,x x x x +，由抛物线定义出1222(2)x x +=+，三式联立得k答案：D12．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标∆“”的面的方位是（A ）南 （B ）北 （C ）西 （D ） 解析：空间想象几何体还原能力 答案：B13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n s .若163,41,4a S S ===则a .解析：由条件得q 3=3，所以4133a =⨯=答案：314．4(的展开式中33x y 的系数为 .解析：224(1)c -答案：615．已知圆O ：225x y +=和点A （1，2），过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为解析：由切线方程 得横、纵截距分别为5和52，得面积为15255224⨯⨯=答案：25416．设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45角的平面截球O 的表面得到圆C.若圆C 的面积等于74π,则球O 的表面积等于 .解析：由小圆面积得小圆的274r =，由222()2()2R R r=-得22R =，所以248S R ππ==答案：8π17．17.(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=，求数列{}n a 的前n 项和S n 32461111116,0d,(2)(6)16884022a a a a a d a d a a a d d d =-+=++=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+===-⎩⎩⎩解：由，设公差为则 解得或122*(1)2S 9S 9)n n nn n S na d n n n n n N -=+=-=-+∈所以由得或（ 18．(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c 23cos()cos ,2A CB b ac -+==求B答案：060222sin sin sin cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin 3cos()cos 2sin sin 2sin 2sin 23cos B cos A-C 02B B 60b ac B A C A C A C A C A C A C A C A C B A C B B =⇒=-=+⎧⎨+=-⎩⇒-+===⇒==-=解：由又（）〉故为锐角，所以19．本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，A B A C ⊥，D 、E 分别为AA 1、BC 1的中点D E ⊥平面1BC C证明：AB=AC（1） 设二面角A-BD-C 为600，求1B C 与平面BCD 所成角的大小111111BC F EF AF W EIAD EFD E BC C AF BC CAF BC BF=C F AB=AC(2)AC=AB1AA2xxAG BD G,AG=C A ABB C G C G BDACC G A60tanAG,AA2AC G Axx⊥⊥⊥==⊥⊥⊥∠==∠===（）证明：取中点，连、，依题意有矩形因为面，所以面所以，又，所以解：设，作于则依题意有面，连，则所以，由得解得所以以为11AB AC AABD-10BC-1102n BD x z0n x,y,z),,2n BC x y0n(1,1,C B1-1==⎧⋅=-+=⎪=⎨⎪⋅=-+=⎩==坐标原点，、、分别为x、y、z轴正方向建系，则（，，，（，，）设（且取又（，1111cos n,C B n,C B60,2B C BC D30<>=<>=于是可得，所以其余角即为所求，所以与面所成的角的大小为20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。
数学_2009年上海市南汇区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2009年上海市南汇区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分）1. 函数y=2x+1(x<0)的反函数是________．2. 若复数a−3i1+2i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a=________．3. y=sin4x+cos4x的最小正周期为________．4. limn→∞C n22n2+1=________．5. 三个好朋友同时考进同一所高校，该高校有10个专业，则至少有2人分在同一专业的概率为________．6. 地球的半径为R，在北纬45∘东经30∘有一座城市A，在北纬45∘东经120∘有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是________ （飞机的飞行高度忽略不计）．7. ，如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是________．8. 设z=2x+y，变量x，y满足{x−4y≤−33x+5y≤25x≥1，则z的最大值为________．9. f(x)=sin nπ4(n∈N∗)，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2009)=________．10. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)…试用n表示出第n个图形的边数a n=________．11. 三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，分别给出下面三个结论：①函数f(x)的值域为(−1, 1)；②若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；③若规定f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)]，则f n(x)=x1+n|x|对任意n∈N∗恒成立．你认为上述三个结论中正确的个数有________．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）12. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ）A a 2+a 13B a 2a 13C a 1+a 8+a 15D a 1a 8a 1513. 1+i 是实系数方程x 2−ax −b =0的一个虚数根，则直线ax +by =1与圆C:x 2+y 2=1交点的个数是（ ）A 2B 1C 0D 以上都可能14. 在△ABC 中，“A >B”是“cosA <cosB”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件15. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 分别是它的左右焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ）A 4aB 2(a −c)C 2(a +c)D 以上答案均有可能三、解答题（本大题有5道题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）16. 已知函数f(x)=|1sinx √3cosx 0sinx sinx 2m 00|的定义域为[0,π2]，最大值为4．试求函数g(x)=msinx +2cosx(x ∈R)的最小正周期和最值．17. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，如图所示，底面圆的半径为1，点O 是圆心，过顶点S 的截面SAB 与底面所成的二面角是60∘（1）求截面SAB 的面积；（2）求点O 到截面SAB 的距离．18. 为减少世博中心区域内的环境污染，有关部门决定，从2006年开始停止办理世博中心区域内摩托车入户手续．此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆．据测算，每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的4%．若从2006年年初起n 年内退役部分摩托车，第一年退役a 万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力．（1）求n 年内新增公交车的总量S n （万辆）；（2）要求到2010年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为b ，问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到0.01）19. 设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，其右焦点是直线y =x −1与x 轴的交点，短轴的长是焦距的2倍．（1）求椭圆的方程；（2）若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→⋅PF 2→的最大值和最小值；（3）若P是该椭圆上的一个动点，点A(5, 0)，求线段AP中点M的轨迹方程．20. 对于定义在R上的函数f(x)，可以证明点A(m, n)是f(x)图象的一个对称点的充要条件是f(m−x)+f(m+x)=2n，x∈R．（1）求函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点；（2）函数f(x)=ax3+(b−2)x2(a, b∈R)在R上是奇函数，求a，b满足的条件；并讨论在区间[−1, 1]上是否存在常数a，使得f(x)≥−x2+4x−2恒成立？（3）试写出函数y=f(x)的图象关于直线X=M对称的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究函数f(x)=ax3+bx2(a, b∈R)图象的对称性．2009年上海市南汇区高考数学二模试卷（文科）答案1. y=log2(x−1)(1<x<2)2. 63. π24. 145. P=1−P10310×10×10=7256. π3R7. n>20或i>108. 129. √2210. 3×4n−111. 312. C13. A14. C15. D16. 解：f(x)=2msin2x−2√3msinx⋅cosx=−2msin(2x+π6)+m由x∈[0,π2]⇒2x+π6∈[π6,7π6]⇒sin(2x+π6)∈[−12,1]…4’当m>0时，f(x)max=−2m(−12)+m=4，解得m=2，…6’从而，g(x)=2sinx+2cosx=2√2sin(x+π4)(x∈R)，T=2π，最大值为2√2，最小值为−2√2；…8’当m<0时，f(x)max=−2m⋅1+m=4，解得m =−4，…10’从而，g(x)=−4sinx +2cosx =2√5sin(x −arctan 12)， 函数的最小正周期为：T =2π，最大值为2√5，最小值为−2√5．…12’17.解：（1）取AB 中点C ， 连接OC ，SC ，则∠SCO =60∘SO =1，所以OC =√33，SC =2√33，AB =√63， ∴ 截面SAB 的面积S =12×AB ×SC =12×√63×2√33=√23． （2）在Rt △SOC 中，作OD ⊥SC ，则OD 即为所求，OD =SO×OCSC =1×√332√33=12． 18. 解：（1）设2006年底退役摩托车为a 1万辆，2007年底为a 2万辆，依此类推，则：a 1=a ，a n+1=0.8a n所以n 年内退役的摩托车数量是S’=a 1+a 2+...+a n =a(1−0.8n )1−0.8=5a(1−0.8n )所以n 年内新增公交车的总量S n =5a(1−0.8n )4%=0.2a(1−0.8n )（2）到2010年年初退役的摩托车数量是：5a(1−0.84)剩余的摩托车数量是：1.6−5a(1−0.84)新增公交车的数量S 4=0.2a(1−0.84)依题：[1.6−5a(1−0.84)]b +0.2a(1−0.84)7b ≤0.5×1.6b解得a ≥0.38所以第一年至少退役摩托车0.38万辆19. 解：（1）易知直线y =x −1与x 轴的交点是(1, 0)，所以c =1，且b =2c =2， 所以椭圆的方程是x 25+y 24=1…（2）易知F 1=(−1, 0)，F 2(1, 0)…设P(x, y)，则PF 1→⋅PF 2→=(−1−x,−y)⋅(1−x,−y)=x 2+y 2−1=x 2+4−45x 2−1=15x 2+3…∵ x ∈[−√5，√5]，∴ 当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→⋅PF 2→有最小值3；当x =±√5，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→⋅PF 2→有最大值4 …（3）设M(x, y)，则P 点坐标为(2x −5, 2y)，…代入椭圆方程，得：(2x−5)25+(2y)24=1，即(2x−5)25+y 2=1…20. 解：（1）解：设A(m, n)为函数f(x)=x 3+3x 2图象的一个对称点，则f(m −x)+f(m +x)=2n ，对于x ∈R 恒成立．即(m −x)3+3(m −x)2+(m +x)3+3(m +x)2=2n 对于x ∈R 恒成立，∴ (6m +6)x 2+(2m 3+6m 2−2n)=0由{6m +6=02m 3+6m 2−2n =0解得：{m =−1n =2 故函数f(x)图象的一个对称点为(−1, 2)．（2）①因为函数是奇函数，则由f(−x)=−f(x)得：−ax 3+(b −2)x 2=−ax 3−(b −2)x 2，解得a ∈R ，b =2；②当a ∈R ，b =2时f(x)是奇函数．不存在常数a 使f(x)≥−x 2+4x −2x ∈[−1, 1]时恒成立．依题，此时f(x)=ax 3，令g(x)=−x 2+4x −2，x ∈[−1, 1]，∴ g(x)∈[−7, 1]，若a =0，f(x)=0，不合题；若a >0，f(x)=ax 3此时为单调增函数，f(x)min =−a ．若存在a 合题，则−a ≥1，与a >0矛盾．若a <0，f(x)=ax 3此时为单调减函数，f(x)min =a 若存在a 合题，则a ≥1，与a <0矛盾．综上可知，符合条件的a 不存在．（3）函数的图象关于直线x =m 对称的充要条件是f(m +x)=f(m −x)①a =b =0时，f(x)=0(x ∈R)，其图象关于x 轴上任意一点成中心对称；关于平行于y 轴的任意一条直线成轴对称图形；②a =0，b ≠0时，f(x)=bx 2(x ∈R)，其图象关于y 轴对称图形；③a ≠0，b =0时，f(x)=ax 3，其图象关于原点中心对称；④a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax 3+bx 2的图象不可能是轴对称图形．设A(m, n)为函数f(x)=ax 3+bx 2图象的一个对称点，则f(m −x)+f(m +x)=2n 对于x ∈R 恒成立．即a(m −x)3+b(m −x)2+a(m +x)3+b(m +x)2=2n 对于x ∈R 恒成立，(3am +b)x 2+(am 3+bm 2−n)=0由，由{3am +b =0am 3+bm 2−n =0解得{m =−b 3a n =2b 327a 2 故函数f(x)图象的一个对称点为(−b 3a , 2b 327a 2)．。
湛江市2009届高三第二次模拟考试(数学文)
试卷类型：A湛江市2009年普通高考测试题(二)数 学(文科)本试卷共4页，共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱锥的体积公式()()()P A B P A P B +=+ 13V S h =⋅⋅如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 是底面面积，h 是高球的表面积公式 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 24S R π=一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B =（ ）A ．{|34}x x x ≤>或B ．{|13}x x -<≤C ．{|34}x x ≤<D ．{|21}x x -≤<-2．若向量(2,4)AB = ，(1,3)AC =，则BC =（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(3,7)D ．(3,7)-- 3．已知复数z 满足(2)z i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1i - B ．2i + C ．1i + D ．2i4．某一网络公司为了调查一住宅区连接互联网情况，从该住宅 区28000住户中随机抽取了 210户进行调查，调查数据如 右图，则估计该住宅区已接入 互联网的住户数是（ ） A ．90B ．1200C ．12000D ．140005．若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图象是（ ）6．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（ ） A 3πB ．2πC ．3πD ．4π7．设m 在[0,10]上随机地取值，则方程24460x mx m +++=有实根的概率是（ ） A ．15 B ．35 C ．710 D ．9108．若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(1)(sin )16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（ ） A ．3 B ．3- C 3 D 39．已知1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy （ ） A ．有最大值e B e C ．有最小值e D e10．设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”．现给出下列函数：①()2f x x =；②2()1f x x =+；③()sin cos f x x x =+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-．其中是“倍约束函数”的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分．满分20分． (一)必做题(11～13题)11．曲线324y x x =-+在(1,3)处的切线的倾斜角为 ．12．设z x y =+，其中x 、y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值为2-，则z 的最大值为 ．13．阅读右图的流程图，若输入的a ，b ，c 分别是10，32，70，则输出的a ，b ，c 分分别是 ． (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+=的距离是 ．15．(几何证明选讲选做题)如图，MN 是半圆O 的直径，A 在半圆上，AB MN ⊥于B 且3MB BN =，设AOB α∠=，则tan α= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数2()sin()sin()cos 2f x x x x ππ=--+．(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)当3[,]88x ππ∈-时，求函数()f x 的值域。
2009年上海市南汇县初中数学二模卷试题及参考答案【纯word版,完美打印】
2009年南汇区初三数学模拟卷测试时间：100分钟，满分：150分考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知a 的倒数是21-，则a 是（ ） （A ）21； （B ）-2； （C ）21-； （D ）2． 2．下列运算中，正确的是（ ）（A ）2a a a =+； （B ）22a a a =⋅； （C ）a a a 32=+； （D ）()2222a a =．3．在平面内，∠AOB =60°, ∠COB =30°,则∠AOC 等于（ ）（A ）30°； （B ）30°或60°； （C ）30°或90°； （D ）90°．4．已知直角梯形的一腰长为18cm ，另一腰长是9cm ，则较长的腰与底所成的角为（ ）（A ）120°和60°；（B ）45°和135°； （C ）30°和150°； （D ）90°． 5．如图，在⊿ABC 中，如果b AC a AB ==,，那么b a -等于（ ） （A ）BC ； (B)； （C ）CB ； （D ）．6．如果0<yx，那么点P(x,y )在（ ）（A ）第二象限； （B ）第四象限； （C ）第一或第三象限； （D ）第二或第四象限． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．12和15的最大公因数是 ．8．分解因式=-822a ．9．化简11-+x x的结果是 ． 10．如果x =1是方程37=-kx 的解，则k = ．ABCb a 第5题图11．已知,15441544,833833,322322=+=+=+…，.77ba b a =+（a 、b 均为实数）则a = ,b = .12．在一个不透明的袋中装有除颜色外其它都相同的若干个球.若其中有 2个绿球，且摸到绿球的概率是51，那么袋中球的总数为 ．13．在如图所示的长方体中，与棱BF 异面的棱有 ． 14．如果等腰三角形的两边长分别为1cm ，2cm ，那么这个三角形的周长为 cm ．15．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C ，并分别测得∠BAC =90°, ∠ABC =30°，又量得BC =120m ，则A 、B 两点之间距离为 m （结果保留根号）．16．从多边形一个顶点可作17条对角线，则这个多边形内角和为 度．17．两个圆的半径分别是8cm 和x cm ，圆心距为5cm ，如果两圆内切，则x 的值是 cm ．18．如图为二次函数c bx ax y ++=2的图像，在下列说法中：① ac <0；②0>++c b a ；③当x >1时，y 随x 的增大而增大；④022<++c b a .其中正确的说法有 （写出所有正确说法的序号）. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：().1212345sin 20++-+︒20．（本题满分10分）观察下列方程：①12=-x x ，②23=-x x ，③34=-xx ，… （1）按此规律写出第8个方程是 ； (2) 解方程：23=-xx .B FDH EGC A 第13题图CBA 第15题图第18题图21．（本题满分10分）解不等式：16275432-->+x x ，并把它的解集在数轴上表示出来 .22．（本题满分10分）某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以统一标准划分为“不合格”“合格”“优秀”三个等级.为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示.试根据统计图提供的信息回答下列问题：(1) 这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是 ，培训后考分的中位数所在等级是 . （2）这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 下降到 .（3）估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有 名.（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？ 答： . 理由： . 23．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）（1）如图1，点O 是⊿ABC 内任意一点， G 、D 、E 分别为AC 、OA 、OB 的中点，F 为BC 上一动点，问四边形GDEF 能否为平行四边形？若可以，指出F 点位置，并给予证明.（2）（填空，使下列命题成立，不要求证明）如图3，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点.当 时，四边形EFGH 为矩形. 当 时，四边形EFGH 为菱形. 当 时，四边形EFGH 为正方形.51015202530合格不合格优秀培训前培训后第22题图BAC O EG D BACOEG D FCDA GFE H第23题图图3图2(备用图)图1-4-3-2-101234第21题图24．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图①，在锐角⊿ABC 中，BC>AB>AC ，D 和E 分别是BC 和AB 上的动点，联结AD ，DE .(1) 当D 、E 运动时，在图②中画出仅有一组三角形相似的图形；在图③中画出仅有两组三角形相似的图形；在图④中画出仅有三组三角形相似的图形.（要求在图中标出相等的角，并写出相似的三角形）(2) 设BC =9，AB =8，AC =6，就图③求出DE 的长.（直接应用相似结论）B CABC ABC ABCAD E第24题图②③④①25．（本题满分14分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分8分）如图所示，抛物线()23m x y --=(m >0)的顶点为A ，直线l ：m x y -=33与y 轴交点为B .（1）写出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数；（3）动点Q 在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与⊿OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.第25题图)2- m参考答案及评分标准1.B2. C3.C4.C5.D6.D7. 38. ()()222-+a a9.11+-x 10.10 11.7，48 12.10 13.HG 、HE 、DC 、AD 14.5 15.360 16.3240 17.3或13 18. ①③④ 19.解：原式=121222-++------------------6分 22+= -----------------2分22=-------------------2分 20.解：（1）89=-xx -----------------2分 （2）两边同乘x 整理得0322=--x x ------------------3分解得 .3,121=-=x x ------------------2分 经检验：3,121=-=x x 都是原方程的根. ----------2分 所以原方程的根是.3,121=-=x x ------------------1分 21.解： 不等式两边同乘以16得()275324-->+x x ------------------2分275128-->+x x ------------------2分 3913->x ------------------2分 3->x ------------------2分 作图正确2分22.（1）不合格，合格-----------4分 （2）75%， 25% -----------2分 （3）240. -----------2分（4）合理,该样本是随机样本（或该样本具有代表性）. -----------2分 23.（1）答：当F 为BC 中点时，四边形GDEF 为平行四边形---------2分 证明：∵G 、F 分别是AC 、BC 中点，∴G F ∥AB ,且GF =21AB ---------2分 同理可得，DE ∥AB ,且DE =21AB ---------2分∴GF ∥DE ,且GF =DE∴四边形GDEF 是平行四边形--------------2分(2)DB ⊥AC ----1分; DB=AC ----1分; DB ⊥AC ，且DB=AC -----2分. 24.解 （1）BC AC BCAD EE④③②第24题图图②中仅有⊿ABC ∽⊿DAC ；图③中仅有⊿ABC ∽⊿DAC ，⊿ABD ∽⊿DBE ； 图④中仅有⊿ABD ∽⊿ADE ∽⊿DBE ；作图正确且表述也正确各2分，作图正确，表述有错误扣1分.（2）在图③中，由⊿ABC ∽⊿DAC ，得316,49622=⋅====BC AB AC AD BC AC CD -----------3分 ∴ BD=BC -CD =5. -----------1分 由⊿ABD ∽⊿DBE ，得DE =310=⋅AB BD AD -----------2分25.解：（1）对称轴：m x 3= --------1分顶点:A(0,3m )--------1分(2)将 m x 3=代入函数m x y -=33，得 0333=-⨯=m m y --------1分 ∴点A (0,3m )在直线l 上. --------1分当x =0时，y=- m ，∴B (0,-m ) --------1分 ta n ∠OAB =333=mm ，∴∠OAB=30°. --------1分 (3) 以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与⊿OAB 全等共有以下四种情况：①当∠AQP =90°，PQ =m 3,AQ=m 时,如图1，此时点P 在y 轴上，与点B 重合，其坐标为（0，-m ）,代入抛物线()23m x y --=得23m m -=-，∵m >0，∴m =31这时有⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,01P --------1分其关于对称轴的对称点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31,3322P 也满足条件. --------1分②当∠AQP =90°，PQ =m ,AQ=m 3时点P 坐标为（m m m 3,3--）,代入抛物线()23m x y --=得23m m =，∵m >0，∴m =3这时有()3,333--P --------1分还有关于对称轴的对称点()3,334-+P .--------1分③当∠APQ =90°，AP =m 3,PQ=m 时点P 坐标为（m m 23,23-）,代入抛物线()23m x y --=得图224323m m =，∵m >0，∴m =2 这时有()3,35-P --------1分还有关于对称轴的对称点()3,336-P .--------1分④当∠APQ =90°，AP =m , PQ =m 3时点P 坐标为（m m 21,23-）,代入抛物线()23m x y --=得24321m m =，∵m >0，∴m =32这时有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31,337P --------1分还有关于对称轴对称的点⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,38P .--------1分所以当m =31时，有点⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,01P 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,3322P ； 当m =3时，有点()3,333--P 、()3,334-+P； 当m =2时，有点()3,35-P 、()3,336-P ；当m =32时，有点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,337P 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,38P .图4。
江西省九江市2009年第二次高考模拟统一考试文科数学
江西省九江市2009年第二次高考模拟统一考试文 科 数 学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式|1|1x -<的解集是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞2．已知函数122log ()(1)x f x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩(1)(1)x x ≥<的反函数为1()f x -，则1(4)(1)ff -'+-=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．53．若直线1x ya b+=与圆221x y +=相交，则（ ）A ．221a b +<B ．221a b +>C ．22111a b +<D ．22111a b +>4．若sin αα=，则sin cos αα=（ ）A．2BC．3D．45．已知集合22{(,)|(2)(2)2}M x y x y =-+-≤、{(,)|()(4)0}N x y x y x y =-+-≥则集合M N 所表示的平面图形的面积S =（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π6．已知向量(2,0)O B =，(2,2)O A x x =++，则O A 与O B夹角的取值范围是（ ） A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．函数()ln |1|f x x =--的单调递减区间为（ ） A ．(1,2) B ．(1,)+∞ C ．(0,1) D ．(,1)-∞ 8．棱长为1的正三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） A．27B．2C．8D．249．4个相同．．的白球与5个相同．．的黑球放入3个不同．．的盒子中，每个盒子中既要有白球又要有黑球，且每个盒子中都不能同时放2个白球和2个黑球，每个盒子所放球的个数不限，则所有不同放法的种数为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．1810．已知函数2()l o g f x x =，等比数列{}n a 的首项10a >，公比2q =，若，246810()25f a a a a a =，则122009()()()2f a f a f a +++= （ ）A ．100420082⨯ B ．100420092⨯ C ．100520082⨯ D ．100520092⨯11．椭圆22221x y ab+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ，若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．1(0,)2) B．(0,2) C ．1(,1)2D．212．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ，作向量(,)a m n =．则向量a 与向量(1,1)b =-的夹角成为直角三角形内角的概率是（ ）A ．712B ．512C ．12D ．34二、填空题(本大题4小题，每小题4分，共计16分，请把答案填在答题卡上)13．某校1000名，对学习教学的兴趣情况作问答调查，结果如下：性别选项 则该校对学习教学不感兴趣的人中男生比女生约多 人。
2009年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析(1)
图2
华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·3
1 12 3 m2 1 12 1 m2 ．解得 m 1 ．
2
此时点 B 的坐标为 (1, ) ． 因此，当△ABP 是等腰三角形时，点 B (1, ) ．
华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·3
2009 年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析
例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例 10 例 11 例 12 例 13 例 14 例 15 例 16 例 17 例 18 例 19 例 20 例 21 例 22 例 23 例 24 例 25 例 26 例 27 例 28 例 29 例 30 例 31 例 32 2009 年上海市宝山区中考模拟第 24 题 2009 年上海市宝山区中考模拟第 25 题 2009 年上海市崇明县中考模拟第 24 题 2009 年上海市崇明县中考模拟第 25 题 2009 年上海市部分学校抽样测试第 25 题 2009 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题 2009 年上海市奉贤区中考模拟第 25 题 2009 年上海市虹口区中考模拟第 24 题 2009 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 2009 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 2009 年上海市黄浦区中考模拟第 25 题 2009 年上海市金山区中考模拟第 24 题 2009 年上海市静安区中考模拟第 24 题 2009 年上海市静安区中考模拟第 25 题 2009 年上海市卢湾区中考模拟第 24 题 2009 年上海市卢湾区中考模拟第 25 题 2009 年上海市闵行区中考模拟第 24 题 2009 年上海市闵行区中考模拟第 25 题 2009 年上海市南汇区中考模拟第 25 题 2009 年上海市浦东新区中考模拟第 24 题 2009 年上海市浦东新区中考模拟第 25 题 2009 年上海市普陀区中考模拟第 25 题 2009 年上海市青浦区中考模拟第 24 题 2009 年上海市青浦区中考模拟第 25 题 2009 年上海市松江区中考模拟第 24 题 2009 年上海市松江区中考模拟第 25 题 2009 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 2009 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 2009 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题 2009 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 2009 年上海市长宁区中考模拟第 24 题 2009 年上海市长宁区中考模拟第 25 题
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南汇区2009年高考模拟考试高三数学（文科）试卷（时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分） 1．函数21x y =+的反函数是 2．若复数),(213为虚数单位i a iia R ∈+-是纯虚数，则实数a=____ 3．函数44sin cos y x x =+的最小正周期是4．22lim 21nn C n →∞+=5．三个好朋友同时考进同一所高校，该高校有10个专业，则至少有2人分在同一专业的概率为___________．6．地球的半径为R ，在北纬45东经30有一座城市A ，在北纬45东经120有一座城市B ，则坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离是_______ （飞机的飞行高度忽略不计）。
7．如图所示，这是计算111124620++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 .8．设2z x y =+，x 、y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z的最大值是_____________ 9．()()sin4n f x n N π*=∈，则(1)(2)(3)(2009)f f f f ++++= ____________． 10．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……试用 n 表示出第n 个图形的边数 ____________n a =. 11．三位同学在研究函数()1xf x x=+ (x ∈R ) 时，分别给出下面三个结论： 7题图① 函数()f x 的值域为 (－1,1) ② 若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠③ 若规定1()()f x f x =，[]1()()n n f x f f x +=，则()1n x f x n x=+对任意n N *∈恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ）A ．a 2 + a 13B ．a 2·a 13C ．a 1 +8a +a 15D ．a 1·a 8·a 1513．1i +是实系数方程20x ax b --=的一个虚数根，则直线1ax by +=与圆C ：221x y +=交点的个数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．以上都可能14．在ABC ∆中,“A B >”是“cos cos A B <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ）A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能三、解答题（本大题有5道题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 16．(本题满分12分)已知函数1sin ()0sin sin 20x x f x x x m =的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为4．试求函数()sin 2cos g x m x x =+（x R ∈）的最小正周期和最值．17．（本小题满分14分第1小题7分，第2小题7分) 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，如图所示，底面圆的半径为1，点O 是圆心，过顶点S 的截面SAB 与底面所成的二面角是060， （1）求截面SAB 的面积； （2）求点O 到截面SAB 的距离。
18．（本小题满分15分第1小题7分，第2小题8分)为减少世博中心区域内的环境污染，有关部门决定，从2006年开始停止办理世博中心区域内摩托车入户手续.此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆.据测算，每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的4%.若从2006年年初起n 年内退役部分摩托车，第一年退役a 万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力.（1）求n 年内新增公交车的总量n S （万辆）;（2）要求到2010年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为b ,问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到0.01）19．（本小题满分16分第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)设1F 、2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，其右焦点是直线1y x =-与x 轴的交点，短轴的长是焦距的2倍.（1）求椭圆的方程；（2）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；（3）若P 是该椭圆上的一个动点，点A （5，0），求线段AP 中点M 的轨迹方程。
20. （本题18分，其中（1）题4分，（2）题6分，（3）题8分）对于定义在R 上的函数)(x f ，可以证明点(,)A m n 是)(x f 图像的一个对称点的充要条件是()()2f m x f m x n -++=,R x ∈. (1) 求函数233)(x x x f +=图像的一个对称点； （2）函数()()32()2,f x ax b xa b R =+-∈在R 上是奇函数，求a,b 满足的条件；并讨论在区间[-1，1]上是否存在常数a ，使得2()42f x x x ≥-+-恒成立？（3）试写出函数)(x f y =的图像关于直线x m =对称的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究函数()32(),f x ax bx a b R =+∈图像的对称性。
南汇区2009年高考模拟考试高三数学文科答案一、填空题1． ()()2log 11y x x =-> 2． 6 3． 2π 4． 14 5．3107110101025P P =-=⨯⨯6．3R π7． 20n ≤ 8．12 9．210．134n -´ 11．3 二、选择题 12．C 13． A 14． C 15． D 三、解答题16．解析：2()2sin sin cos f x m x x x =-⋅2sin(2)6m x m π=-++0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤⇒+∈⎢⎥⎣⎦1sin(2),162x π⎡⎤⇒+∈-⎢⎥⎣⎦……………4’当m ＞0时，max ()f x =12()42m m --+=， 解得2m =，……………………6’从而，()2sin 2cos )4g x x x x π=+=+()x R ∈，T=2π，最大值为-；……………………………………………8’ 当m ＜0时，max ()f x =214m m -⋅+=， 解得4m =-，……………………………10’从而，1()4sin 2cos arctan2g x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， T=2π，最大值为-．………………………………………12’17．解：（1）取AB 中点C ，连接OC ，SC ，则∠SCO=060SO=1,所以，，∴截面SAB 的面积=11223AB SC ⨯⨯== （2）在Rt SOC 中，作OD SC ⊥，则OD 即为所求，SO OC OD SC ⨯=112==18．解：（1）设2006年底退役摩托车为1a 万辆，2007年底为2a 万辆，依次类推，则： 1a =a ，n n a a 8.01=+所以n 年内退役的摩托车数量是S ’=1a +n a a ++ 2=)8.01(58.01)8.01(n n a a -=-- 所以n 年内新增公交车的总量n S =5a （)8.01n -4%=0.2a （n8.01-） （2）到2010年年初退役的摩托车数量是：)8.01(54-a 剩余的摩托车数量是：1.6-)8.01(54-a 新增公交车的数量=4S )8.01(2.04-a依题 ：[1.6-)8.01(54-a ]b+)8.01(2.04-a 7b ≤0.5×1.6b解得：a ≥0.38所以第一年至少退役摩托车0.38万辆19．解：（1）易知直线1y x =-与x 轴的交点是()1,0，所以1c =，且22b c ==，所以椭圆的方程是22154x y += ……………………………………4分 （2）易知12(1,0),(1,0)F F =- …………………………………………6分 设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF=3511544222+=--+x x x ……………………………………8分 ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4 ……10分 （3）设(),M x y ，则P 点坐标为()25,2x y -，………………………………12分 代入椭圆方程，得：()()22252154x y -+=，即()222515x y -+=…………………………16分20. 解：(1)解：设(,)A m n 为函数233)(x x x f +=图像的一个对称点，则()()2f m x f m x n -++=对于R x ∈恒成立.即3232()3()()3()2m x m x m x m x n -+-++++=对于R x ∈恒成立，……………(2分)232(66)(262)0m x m m n ∴+++-=由32660122620m m n m m n +==-⎧⎧⇒⎨⎨=+-=⎩⎩， 故函数)(x f 图像的一个对称点为)2,1(-. ……………………(4分) （2）ａ∈Ｒ，ｂ＝２时，ｆ(x)是奇函数。
不存在常数a 使 2()42f x x x ≥-+- x ∈[-1，1] 时恒成立。
依题，此时3()f x ax =令2()42g x x x =-+- x ∈[-1，1] ∴()g x ∈［－7，1］ 若a=0,()f x ＝0，不合题；若a>0, 3()f x ax =此时为单调增函数，()f x min＝－a.若存在a 合题，则-a ≥1,与a>0矛盾。