第13章 结构的稳定计算

D
FP
D k
l
FP
k
l
l
l
l
(1)假设失稳形式，如图所示。位移参数为y1和 y2
FAx = FP A FAx = FP A B y1 B B1y1 y2 C1 y2 C D FP
C C1 FR2= ky2 FR2= ky2
D FP
FP y 2 l Fy P 2 FDy = l
FP y 1 FAy = lF y P 1 FAy = l
Ⅰ(不稳定)
（1）假设失稳形式，如图所示 （2）建立临界状态的平衡方程 EI0 =∞
l
B C1
FPcr = kl
A
C Ⅱ(随遇平衡)
Ⅰ(稳定)
（3）建立稳定方程：
A
( FP l kl 2 ) 0A
方程有两个解，其一为零解，
O
0 0
对应于原始平衡路径I (图中OAB)；其二为非零解， 对应于新的平衡路径II (图中AC或AC1)
3FP kl 0
C
D D1 FP k
l
FRC
解稳定方程，得特征荷载值
确定临界荷载为
kl FP 3
FPcr
kl FP 3
三、无限自由度体系的稳定计算(静力法)
用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点： FP 第一，位移参数为无穷多个；
y O
FR
x
第二，临界状态平衡方程为微分方程。
3）根据平衡具有二重性静力特征(位移有非零解)，建
立特征方程，习惯称稳定方程。
4）解稳定方程，求特征根，即特征荷载值。
5）由最小的特征荷载值，确定临界荷载(结构所能承 受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持 其稳定平衡)。
二、静力法计算示例
以图示的一个单自由度体系为例。
FP k B
F
（1）假设失稳形式，如图所示 （2）建立临界状态的平衡方程
关于位移参数为y1和 y2的齐次线性方程组
建立稳定方程：
y1 y2 0
则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况
y1 y2
不全为零，则对应于相应新的平衡形式
kl 2 FP D FP
FP 0 kl 2 FP
此方程就是稳定方程。
解稳定方程，求特征荷载值：
(kl 2FP )2 FP2 0
B1 FR1= ky1 FR1= ky1
FDy =
各支座反力分别为别计算如图示
（2）建立临界状态平衡方程：分别取A-B1-C1部分和B1C1-D部分为隔离体，则有
FAx = FP A B y1 B1 FP y 1 FAy = l FR1= ky1 y2 C1 FR2= ky2 FDy = FP y 2 l C D FP
二、静力法计算示例
FP FP FRB B B1
Ⅰ(不稳定)
FP
（1）假设失稳形式，如图所示
B
k
（2）建立临界状态的平衡方程 （3）建立稳定方程：
EI0 =∞ C1
FPcr = kl l
B A C Ⅱ(随遇平衡)
Ⅰ(稳定)
( FP l kl 2 ) 0
A A
为了得到非零解，方程的系数应为零 FPl－kl2＝0
l /2 l /2
Ⅰ(不稳定)
不稳定平衡 随遇平衡 稳定平衡
Ⅱ(大挠度理论)
C B A
D FPcr
Ⅰ(稳定)
D1
Ⅱ(小挠度理论)
O
理想体系的失稳形式是分支点失稳。其特征是：丧失稳 定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因 此，亦称质变失稳（属屈曲问题）。
FPcr FPcr
qcr
FPcr
a) 受静水压力的圆弧拱单纯
用静力法计算图示弹性理想压杆的临界荷载。 （1）假设失稳形式，如图中实线所示。 （2）建立临界状态平衡方程： 按小挠度理论，压杆弹性曲线的 近似微分方程为
l /2
FP
FP
Ⅰ(不稳定)
状态的静力特征是：平衡形
式具有二重性。静力法的要 不稳定平衡 C
随遇平衡 B 点是：在原始平衡路径之外，
Ⅱ(大挠度理论)
D FPcr
Ⅰ(稳定)
寻找新的平衡路径，确定二 者交叉的分支点，从而求出 临界荷载。
l /2
稳定平衡
A
D1
Ⅱ(小挠度理论)
O
静力法计算步骤
1）假设临界状态时体系的新的平衡形式(失稳形式)。 2）根据静力平衡条件，建立临界状态平衡方程。
EI0 =∞
M
弹簧反力
A
0 FP l FRB l 0
A FP k B FRB B FP B1
FRB kl
于是有
EI0 =∞
l
l
C
FPcr = kl
( FP l kl 2 ) 0
A
A
二、静力法计算示例 以图示的一个单自由度体系为例。 FRB k B
B B1 FP FP FP
二、三种平衡状态
无干扰的平衡状态 对轴心受压 件施以干扰 干扰后的平衡状态 恢复原平衡状态
撤除干扰
新位置保持平衡 继续偏离
临界状态：是由稳定平衡向不稳定平衡过渡的中介状态。 使杆件处于临界状态的外力称为临界荷载，以FPcr表示。 它既是使杆件保持稳定平衡的最大荷载，也是使杆件 产生不稳定平衡的最小荷载。
由此解得两个特征荷载值，即
FP1 kl 3
FP 2 kl
确定临界荷载值：取二特征荷载值中最小者，得
FPcr kl 3
【讨论】将以上二特征荷载值分别回代，可求得对应位 移参数的比值。
C1 A B y1 B 1 C y2= y1 D FP1= FPcr= kl 3
a) 反对称失稳（实际失稳形式）
l /2
不稳定平衡 随遇平衡
Ⅱ(大挠度理论)
C B A
D FPcr
Ⅰ(稳定)
l /2
稳定平衡
D1
Ⅱ(小挠度理论)
O
FP FPcr
B点是路径Ⅰ与Ⅱ的分支点（也可理解为共解点）。 该分支点处，二平衡路径同时并存，出现平衡形式 的二重性（其平衡既可以是原始直线形式，也可以 是新的微弯形式）。 原始平衡路径I在该分支点处，由稳定平衡转变为不 FP FP 稳定平衡。 因此，这种形式的失稳 称为分支点失稳，对应 的荷载称为第一类失稳 的临界荷载，对应的状 态称为临界状态。
三、两类稳定问题
失稳：随着荷载的逐渐增大，原始平衡状态丧失其稳定性 第一类失稳：分支点失稳
FP FP
Ⅰ(不稳定)
l /2
Ⅱ(大挠度理论)
不稳定平衡 随遇平衡
C B A
D FPcr
Ⅰ(稳定)
l /2
稳定平衡
D1
Ⅱ(小挠度理论)
O
简支压杆的理想体系的平衡路径
FP FPcr π EI l
2
2
压杆单纯受压，不发生弯曲变形（挠度D＝0）。仅 有惟一平衡形式——直线形式的原始平衡状态，是 稳定的，对应原始平衡路径Ⅰ（OAB表示）。
七、 稳定分析的自由度
体系稳定分析的自由度——确定结构失稳时所有的变形状 态所需的独立几何参数（位移参数）的数目，用W表示。
FP FP y1 FP
y2 EI 0 =∞ EI 0 =∞
y(x) EI
a) W=1
b) W=2
c) W=∞
x
13.2 确定临界荷载的静力法
一、 静力法及其计算步骤 静力法，根据临界状态的静力特征而提出的 。 在分支点失稳问题中，临界
A y1 B1
B
C y2= y1 C1
D
FP2=kl
b) 正对称失稳
【例13-2】试用静力法求图所示结构的临界荷载。弹簧刚度 系数为k。
A B EI 0 =∞ C D FP
A
l
B
B
EI 0 =∞ l
C
l
D FP
1 (1)假设失稳形式，如图所示，位移参数为D 。 d l l l A C F P
B B1
三、稳定计算的核心内容
对于单个荷载，要确定临界荷载 FPcr 对于一组荷载或均布荷载，则要确定荷载的临界参数 cr 小挠度理论和大挠度理论 结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结 论； 小挠度理论可以用比较简单的办法得到能满足工程需 要的基本正确的结论。 该二理论均以变形后的位形为计算依据，所不同的是， 小挠度理论的曲率采用近似表达式，而大挠度理论的 曲率采用精确表达式。
二、三种平衡状态
轴心受压杆件受到轻微干扰而稍微偏离了它原来的直 线平衡位置，当干扰消除后 该杆件能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态 称为稳定平衡状态。 该杆件继续偏离，不能回到原来的平衡位置，则原来 的平衡状态称为不稳定平衡状态 该杆件在新位置上就地静止并平衡，则原来的平衡状 态称为随遇平衡状态（或中性平衡状态），亦称临界 状态。
D1
FP
FP FP
A
l
B
C FRC D1 FRC
D
k
FP
FP
lБайду номын сангаас
k
建立临界状态平衡方程：
( FP )2l FPd (kd ) l 0 l
建立稳定方程：
A B EI 0 =∞ C
d
M
C
0
(3FP kl )d 0
D FP l
未知量d 有非零解的条件是 l l
B1 FP A B FP
l
l
l
M C1 0 (C 以左部分) M B1 0 ( B 以右部分)
1 1
FP y1 ky1l ( )2l FP y2 0 l FP y2 ky2 l ( )2l FP y1 0 l