八年级数学下册1.4.1角平分线的性质一课件新版湘教版
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA DE⊥BC（已知）
B
E
C
∴ DE=AD=6（角平分线上的任意点 到角的两边的距离相等） 1 1 S△DBC = BC×DE= ×16×6=48 2 2
4.已知：如图，∠C=∠D=90° ，AC=AD .
求证:（1） ∠ABC= ∠ABD ；
（2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定 理是证明角相等、线段相等的新途径.
4、通过这节课的学习，觉得自己有什么收获吗？
一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
E A
A
1 2 1、填空： (1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB E DC=DE ∴___________ C B D 角平分线上的点到角的两边的距离相等 (____________________________________) (2). ∵DC⊥AC ，DE⊥AB ，DC=DE ∠1= ∠2 ∴__________ （ 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 ）
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD ∴点B在∠ADC的平分线上 （2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中， ∵ BA=BC BD=BD ∴ Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL) ∠ABD= ∠CBD
B
2
A
1
D
C
∴ BD是∠ABC的平分线
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是 ∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相 等的线段有哪些？为什么？ 答： (1) DE=DC ∵ ∠C=90° （已知） 3 D 4 ∴ DC⊥BC（垂直的定义） 1 2 B C 又∵ BD是∠ABC的平分线 ∵ DE⊥BA（已知） ∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距 离相等） (2) BE=BC 做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识? 角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又 提供了新的方法与途径
A 证明： (1)∵∠C= ∠D=90°， ∴∆BAD和∆BCD均为直角三角形， 又∵AC= AD，AB=AB ∴Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL) ∴∠ABC= ∠ABD （2）由（1）得： ∠CAB= ∠DAB 即：AB是∠CAD的平分线 ∵∠C= ∠D=90°，即：BC⊥AC，BD⊥AD ∴ BC=BD
湘教版SHUXUE.1
角平分线的性质（一）
1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 如图∠AOB沿射线OC对折， ∠AOC 和∠COB重合。
O A C B
2、什么是角平分线 一条射线将一个角分成为两个相等的角， 这条射线就叫做这个角的角平分线。 如上图，射线OC是∠AOB的平分线。 1 ∠AOC = ∠COB = ∠AOB 2
O
E 用符号语言表示为： ∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE ∴ ∠1= ∠2 . •角的平分线是到角的两边距离 相等的所有点的集合.
B
1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 . （1）求证：点B在∠ADC的平分线上 . （2）求证：BD是∠ABC的平分线 . 证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
A
B
D C
B D
C
(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ BD = CD ， （ √ ）
A
B
D C
3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC， AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。 解：∵ ∠A=90° （已知） ∴ DA⊥AB（垂直的定义）
A D
A D
将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE 重合，即：PD=PE. 已知：OC是∠AOB的平分线， O 点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB， 垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. ∆PDO≌∆PEO(AAS) 在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
P
E B
结论
角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等
(3)如图所示，在△ABC中， ∠C=90°，AD是∠BAC的平 分线交BC于D，BC=15，且 DB=10，则点D到AB的距离 为 5。
A E C
D
B
2、判断以下所填结论是否正确： （1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） A × ∴ BD= CD ( ) （2）∵ 如图，DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ BD = CD，( × )
作业：p24 练习 p26 A 1、2
A D
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB
O 1 2
P
E
B
∴PD=PE. 注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
交换定理的题设和结论得到的命题为： 到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。 分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 . 则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上） 证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可 A 角平分线的判定定理： D 角的内部到角的两边距离相等的点， P 1 在角平分线上。 2
3、用尺规作已知角的平分线： 作法：1．以O为圆心，适当长为半径 作弧，交OA于M，交OB于N． 1 2.分别以MN为圆心．大于 2 MN的长为半径作 弧．两弧在∠AOB的内部交于C． 3．作射线OC． 射线OC即为所求． 你能证明吗？
Ｂ Ｃ A Ｍ
Ｎ
Ｏ
探究
如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取 一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为 E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
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湘教版八年级下册数学：1.4-角平分线的性质-课件(共15张PPT)
6
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
八年级数学下册 第一章 第4节 角平分线的性质课件 (新版)湘教版
HL
角平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
第二十四页，共26页。
1. “斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所独 有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是 两个直角三角形.
2. 2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判 定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及 其逆定理等，它们都是互为逆命题.
图1-26
第三页，共26页。
将∠AOB 沿OC 对折，我发现PD 与PE 重合， 即PD与PE相等.
你能证明吗？
图1-26
第四页，共26页。
我们来证明(zhèngmíng)这个结论.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中，
∵ ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP，
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
第二十一页，共26页。
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，
BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段(xiànduàn)DE
上.
证明(zhèn求gm证í：ngA) B=作ADC+MB⊥E.AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
第七页，共26页。
图1-27
如图1-27，过点O，P作射线(shèxiàn)OC.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.
湘教版八年级下册1.4角平分线的性质课件(共27张PPT)
1.4 角平分线的性质
例题2 如图1-4-9, BD是∠ABC的平分线, AB=BC, 点P在BD上, PM⊥AD, PN⊥CD, 垂足分别是 M, N．试说明PM=PN.
1.4 角平分线的性质
分析 根据角平分线的定义, 可得∠ABD= ∠CBD, 然后利用“SAS” 证明
△ABD 和△CBD全 等, 再根据全等三角形的对应角相等, 可得∠ADB= ∠CDB, 然后根据角平分线上的点到角的两边的距离 相等即可证明.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
考场对接
1.4 角平分线的性质
考场对接
题型一 运用角平分线的性质定理证明线段相等
例题1 如 图 1 - 4 - 8 所 示 , AD是△ABC的角平分线, DE, DF 分别是 △ ABD和 △ A C D 的 高 . 求证：AE=AF.
1.4 角平分线的性质
题型四 运用角平分线的性质定理解决其他几何问题
例题5 如图1-4-13所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=BC, AD平分 ∠CAB, 交BC于点D, DE⊥AB于点E, 且AB=6 cm, 求△BDE的周长.
1.4 角平分线的性质
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2. ∵DC⊥AC, DE⊥AB, ∴DE=DC, ∴BD+DE=BD+DC=BC. 由已知易证△ADE≌△ADC, ∴AE=AC. 又∵BC=AC, ∴BC=AE, ∴BD+DE=AE, ∴BD+DE+BE=AE+BE=AB. ∵AB=6 cm, ∴BD+DE+BE=6 cm, 即△BDE的周长为6 cm.
八年级数学下册 1.4.1《角平分线的性质(一)》课件 (新版)湘教版
4、通过这节课的学习，觉得自己有什么收获吗？
一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
作业：p24 练习 p26 A 1、2
一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为
E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
A
将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE
D
重合，即：PD=PE.
P
已知：OC是∠AOB的平分线， O 点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
EB
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
∆PDO≌∆PEO(AAS) 在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴点B在∠ADC的平分线上
A
（2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中，
1
∵ BA=BC BD=BD
B
D
∴ Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL)
2
∠ABD= ∠CBD
C
∴ BD是∠ABC的平分线
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是 ∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 . 则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可
角平分线的判定定理：
A
1、填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴__D_C__=_D_E____
一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
作业：p24 练习 p26 A 1、2
一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为
E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
A
将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE
D
重合，即：PD=PE.
P
已知：OC是∠AOB的平分线， O 点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
EB
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
∆PDO≌∆PEO(AAS) 在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴点B在∠ADC的平分线上
A
（2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中，
1
∵ BA=BC BD=BD
B
D
∴ Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL)
2
∠ABD= ∠CBD
C
∴ BD是∠ABC的平分线
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是 ∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 . 则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可
角平分线的判定定理：
A
1、填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴__D_C__=_D_E____
湘教版数学八年级下册 1.4角平分线的性质课件
角平分线的性质
教学目的：
学习角平分线的性质定理
重点：
角平分线的性质定理
难点：
角平分线性质定理的应用
课前思考与回顾
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
10㎝，AC＝5㎝，求BE的长?
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
O
E B
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A
E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵∠AOC=∠BOC
OP=OP
O
∴△DOP≌△EOP
∴PD=PE
A
D
教学目的：
学习角平分线的性质定理
重点：
角平分线的性质定理
难点：
角平分线性质定理的应用
课前思考与回顾
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
10㎝，AC＝5㎝，求BE的长?
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
O
E B
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A
E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵∠AOC=∠BOC
OP=OP
O
∴△DOP≌△EOP
∴PD=PE
A
D
《角平分线的性质》PPT课件 湘教版
A D
PC
EB
图1-26
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点 D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
证明：如图1-27，过点O, P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO= ∠PEO= 90°.
由此得到角平分线性质定理的逆定理：
A D角的内部到角的两边距离等的C点在角的平分线上.
O P
符号语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE． ∴ OP平分∠AOB．
E B
图1-27
图名 形称
性 质 定 角理 平 分 线逆 定 理
归纳小结
图形语言
文字语言
符号语言
关键词
角的平分线 ∵OP平分∠AOB 一平分，
将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重 合，即PD与PE相等.
A D
PC
O
你能证明吗？
EB
图1-26
探究新知
如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO= 90°. 在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO， ∠DOP=∠EOP，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO. ∴PD= PE.
P C
图1-31
探究新知
如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离 相等吗?
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
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1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
角平分线是以一个角的顶点为端点 的一条射线，它把这个角分成两个相 等的角.
探究
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点 P,作PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D,E,试 问PD与PE相等吗？
将∠AOB沿OC对折，我发现PD与 重合，即PD与PE相等
C
D
B
∴ CF=EB .
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 10:37:14 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
练习
1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA
于点C，ED⊥OB于点D，求证：（1）
∠ECD=∠EDC;（2）OC=OD.
解：（1）∵E是∠AOB的平分线上 一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB 于点D， ∴CE=DE. ∴∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△COE和Rt△DOE中， CE=DE，OE=OE. ∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL). ∴OC=OD.
应用与提高
第1课时 角平分线的性质
角平分线是以一个角的顶点为端点 的一条射线，它把这个角分成两个相 等的角.
探究
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点 P,作PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D,E,试 问PD与PE相等吗？
将∠AOB沿OC对折，我发现PD与 重合，即PD与PE相等
C
D
B
∴ CF=EB .
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 10:37:14 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
练习
1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA
于点C，ED⊥OB于点D，求证：（1）
∠ECD=∠EDC;（2）OC=OD.
解：（1）∵E是∠AOB的平分线上 一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB 于点D， ∴CE=DE. ∴∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△COE和Rt△DOE中， CE=DE，OE=OE. ∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL). ∴OC=OD.
应用与提高
【最新】湘教版八年级数学下册第一章《角平分线的性质》公开课课件
例题
例 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上 任取一点P，作PE⊥DB,PF⊥AC，垂足分别为点
E,F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
解 ∵AP是∠DAC的平 分线， 又PE⊥DB,PF⊥AC， ∴PE=PF. 在△EBP中， BE+PE>PB， ∴BE+PF>PB.
动脑筋
如图，你能在△ABC中找到一点P,使其到三年
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
角平分线是以一个角的顶点为端点 的一条射线，它把这个角分成两个相 等的角.
探究
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点 P,作PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D,E,试 问PD与PE相等吗？
将∠AOB沿OC对折，我发现PD与 重合，即PD与PE相等
E B
∵BA=BC,BD=BD,
∴Rt△BAD和Rt△BCD. ∴∠ABD=∠CBD.
∴BD是∠ABC的平分线.
Hale Waihona Puke 练习1.如图，在直线MN上求作一点P,使点P到∠AOB两边的 距离相等. 解：作∠AOB的平分线， ∠AOB的平分线与MN 交于一点， 如图1所示：点P即为所 求.
图1
2.如图，在△ABC中，AD平分∠ABC， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,BD=CD. 求证：AB=AC.
求证：AB=AD+BE.
解：过C作CF⊥AB于F. ∵AC,BC分别平分∠BAD,∠ABE， 且AD⊥DE，BE⊥DE, ∴DC=CF,CE=CF. ∴Rt△ACD≌Rt△ACF(HL), Rt△BCE≌Rt△BCF(HL). ∴AD=AF,BE=BF. ∴AB=AF+BF=AD+BE.
湘教版八年级数学下册第一章《角平分线的性质》课课件
角的平分线的性质
创设情境
［教学内容1］ 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民 楼的一楼，刚好位于一条暖气 和天然气管道所成角的平分线 上的P点，要从P点建两条管道 ，分别与暖气管道和天然气管 道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有 什么关系，画来看看.
暖气
探究体验
2．探究体验［教学内容6］ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条 折痕.分组讨论、交流，再利用几何画板软件验 证结论，并用文字语言阐述得到的性质. 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.
探究体验
［教学内容6］
结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
合作交流
［教学内容7］ 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则
PE=PF. （2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F 分别在OA、OB上，则PE=PF.
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P 到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.
A
A
A
E
E
E
P
P
P
O 图1 F B O 图2F B O 图3 B
合作交流
［教学内容8］ 运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由 是什么？
暖气
天然气
A
E B
F
D
C
合作交流
4．评价反思［教学内容11］ 作业（选做题） （4）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E，F，连接EF.EF与AD交于G.AD与EF垂直吗？ 证明你的结论.
创设情境
［教学内容1］ 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民 楼的一楼，刚好位于一条暖气 和天然气管道所成角的平分线 上的P点，要从P点建两条管道 ，分别与暖气管道和天然气管 道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有 什么关系，画来看看.
暖气
探究体验
2．探究体验［教学内容6］ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条 折痕.分组讨论、交流，再利用几何画板软件验 证结论，并用文字语言阐述得到的性质. 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.
探究体验
［教学内容6］
结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
合作交流
［教学内容7］ 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则
PE=PF. （2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F 分别在OA、OB上，则PE=PF.
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P 到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.
A
A
A
E
E
E
P
P
P
O 图1 F B O 图2F B O 图3 B
合作交流
［教学内容8］ 运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由 是什么？
暖气
天然气
A
E B
F
D
C
合作交流
4．评价反思［教学内容11］ 作业（选做题） （4）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E，F，连接EF.EF与AD交于G.AD与EF垂直吗？ 证明你的结论.
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第1章 直角三角形 第1课时 角平分线的性质定理
E
10
6
DC = DE，DB = DB，
D
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
B
∴BE ＝ BC ＝ 8. ∴ AE＝AB - BE = 2.
8
C
∴△AED的周长 = AE + ED + DA = 2 + 6 = 8.
6.如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交 点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的距离.
解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
A
求证：PD = PE.
D
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
C P
在 △PDO 和 △PEO 中，
O
E
B
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP， OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴ PD = PE.
作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、
PE 的长.将三次数据填入下表：
PD
PE
D AC P
第一次 第二次
O
EB
第三次
2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系，
写出结：_P_D__=__P_E___
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等