学海导航1高三数学人教理B第一轮总复习课件：第讲 绝对值不等式

解析：由|2x＋1|<3 可得－3<2x＋1<3， 即－4<2x<2，所以－2<x<1， 所以原不等式的解集为{x|－2<x<1}．
理数
8
学海导航
4．不等式 1<|x＋1|<3 的解集为
理数
.
9
学海导航
理数
解析：原不等式⇔||xx＋ ＋11||><13 ⇔x－＋31<<x－＋11或<3x＋1>1 ⇔0<x<2 或－4<x<－2. 故原不等式的解集为{x|－4<x<－2 或 0<x<2}．
10
学海导航
理数
11
学海导航
理数
一 含绝对值不等式的解法
【例1】已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
12
学海导航
理数
解析：(1)当 a＝－3 时，f(x)≥3⇔|x－3|＋|x－2|≥3 ⇔x3≤ －2x＋2－x≥3 或23－<xx<＋3 x－2≥3 或xx≥ －33＋x－2≥3 ⇔x≤1 或 x≥4， 所以不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}．
25
学海导航
理数
【拓展演练3】 已知函数f(x)＝|x－a|－2|x－1|(a∈R)． (1)当a＝3时，求函数f(x)的最大值； (2)解关于x的不等式f(x)≥0.
26
学海导航
解析：(1)当 a＝3 时， －x－1 x≥3
f(x)＝|x－3|－2|x－1|＝－3x＋5 1<x<3 ， x＋1 x≤1
.
36
学海导航
解析：由|kx－4|≤2 可得 2≤kx≤6， 所以 1≤2kx≤3，所以2k＝1，故 k＝2.
理数
37
无解，则实数 a 的取值范围是
.
32
学海导航
理数
解析：要使不等式无解，则 a 必须小于或等于|x－5| ＋|x＋3|的最小值，而|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8， 则 a≤8，所以实数 a 的取值范围是(－∞，8]．
33
学海导航
理数
3.(2012·湖 南 卷 ) 不 等 式 |2x ＋ 1| － 2|x － 1|>0 的 解 集
为
.
34
学海导航
解析：令 f(x)＝|2x＋1|－2|x－1|，
－3
x<－12
则由 f(x)＝4x－1
－21≤x≤1
，
3 x>1
得 f(x)>0 的解集为{x|x>14}．
理数
35
学海导航
理数
4.(2012·山 东 卷 ) 若 不 等 式 |kx － 4|≤2 的 解 集 为
{x|1≤x≤3}，则实数 k＝
所以，当 x＝1 时，函数 f(x)取得最大值 2.
理数
27
学海导航
理数
(2)由 f(x)≥0 得|x－a|≥2|x－1|， 两边平方得(x－a)2≥4(x－1)2， 即 3x2＋2(a－4)x＋4－a2≤0， 得[x－(2－a)][3x－(2＋a)]≤0， 所以，①当 a>1 时，不等式的解集为[2－a，2＋3 a]； ②当 a＝1 时，不等式的解集为{x|x＝1}； ③a<1 时，不等式的解集为[2＋3 a，2－a]．
【例3】设函数f(x)＝ |x＋1|＋|x－2|＋a. (1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．
22
学海导航
理数
解析：(1)a＝－5 时，|x＋1|＋|x－2|－5≥0，解得 x≥3 或 x≤－2，所以定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
理数
4
学海导航
理数
2．若不等式|x－2|＋|x＋3|<a的解集为∅，则a的取值范
围为( D )
A．a>5
B．a≥5
C．a<5
D．a≤5
5
学海导航
理数
解析：|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，则 a≤5，故 选 D.
6
学海导航
3．不等式|2x＋1|<3的解集为
.
理数
7
学海导航
18
学海导航
证明：因为|x|>m≥|b|且|x|>m≥1， 所以|x2|>|b|2，又因为|x|>m≥|a|， 所以|xa＋xb2|≤|xa|＋|xb2|＝||xa||＋||xb||2<||xx||＋||xx||22＝2， 故原不等式成立．
理数
19
学海导航
理数
【拓展演练2】已知实数x，y满足：|x＋y|<
学海导航
理数
第75讲 绝对值不等式
1
学海导航
理数
2
学海导航
理数
1．若|x＋x 1|>x＋x 1，则实数 x 的取值范围是( A )
A．(－1,0) B．[－1,0] C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
3
学海导航
解析：因为|x＋x 1|>x＋x 1，所以x＋x 1<0， 所以 x(x＋1)<0，所以－1<x<0，故选 A.
23
学海导航
(2)|x＋1|＋|x－2|＋a≥0 恒成立， 即|x＋1|＋|x－2|≥－a 恒成立， 设 g(x)＝|x＋1|＋|x－2|，
2x－1 x>2 则 g(x)＝3 －1≤x≤2 ，
1－2x x<－1
理数
24
学海导航
理数
由 g(x)的图象知 g(x)min＝3，所以－a≤3，a≥－3.
15
学海导航
理数
解析：(1)当 a＝4 时，log2a＝2， ①x<－12时，－x－2≤2，得－4≤x<－12； ②－12≤x≤1 时，3x≤2，得－12≤x≤23； ③x>1 时，此时 x 不存在． 所以不等式的解集为{x|－4≤x≤23}．
16
学海导航
(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|
理数
－x－2 x<－12
＝3x
－12≤x≤1
.
x＋2 x>1
故f(x)∈[－23，＋∞)，即f(x)的最小值为－32，
所以f(x)≤log2a有解，即log2a≥－32，解得a≥ 42，
所以a的取值范围是[ 42，＋∞)．
17
学海导航
理数
二 含绝对值不等式的证明
【例 2】设 m 是|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|>m 时， 求证：|xa＋xb2|<2.
28
学海导航
理数
29
学海导航
理数
1.(2013·江西卷)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1 的
解集为
.
30
学海导航
理数
解析：依题意得－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，解 得 0≤x≤4.
31
学海导航
理数
2.(2013·重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x－5|＋|x＋3|<a
1 3
，|2x－
y|<61，求证：|y|<158.
20
学海导航
证明：因为 3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)| ≤2|x＋y|＋|2x－y|， 由题设|x＋y|<13，|2x－y|<16， 所以 3|y|<23＋16＝56，所以|y|<158.
理数
21
学海导航
理数
三 含绝对值)原命题⇔f(x)≤|x－4|在[1,2]上恒成立 ⇔|x＋a|＋2－x≤4－x 在[1,2]上恒成立 ⇔－2－x≤a≤2－x 在[1,2]上恒成立⇔－3≤a≤0.
14
学海导航
理数
【拓展演练1】已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－ 1|≤log2a(其中a>0)．
(1)当a＝4时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求实数a的取值范围．