正弦与余弦定理练习题及答案
高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料
高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。
正弦定理和余弦定理及答案
Байду номын сангаас
, 即
2 ) 3
············· 12 分
12 3 sin sin( ) 3
2 6 3 cos(2 ) 3 3 (0 ) （下同） 3 3
15． （1）因为 (2a c)cos B b cos C ，所以 (2sin A sin C ) cos B sin B cos C ， 即 2sin A cos B sin C cos B sin B cos C sin(C B) sin A 而 （2）因为
17． （1）在 ABC中 ,由b 2 c 2 a 2 3bc, 得b 2 c 2 a 2 3bc ， 所以 cos A
b2 c2 a2 3 . 2bc 2
在ABC 中,因为0 A , 所以 A
又因为 sin A sin B cos 即 sin B 1 cos C.
16. ABC 的三边 a, b, c 满足关系： c 4 2 a 2 b 2 c 2 a 4 a 2b 2 b 4 0 ,角 C 为锐角. ⑴ 求 C 的度数； ⑵ 求函数式 sin A sin B及 sin A cos B 的取值范围.
17． 在△ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 b 2 c 2 a 2 （1）求角 A，B，C 的大小； （2）若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ，求△ABC 的面积．
0 A 2 5 1 , A , sin A 1, 3 6 6 6 2 6
3 sin A sin B 3 . 2
正弦定理余弦定理(答案)
正、余弦定理及应用例1．在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A ； 解：（1）∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+- =8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=2 1.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A ta n 的值和∆ABC 的面积。
解：先解三角方程，求出角A 的值。
.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==tan tan(4560)2A ∴=+==- .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==AS AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
例3．△ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（ ）A．)33B π++ B．)36B π++C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36B π++ 解析：在ABC ∆中，由正弦定理得：,233sin =B AC 化简得AC=,sin 32B 233)3(sin[=+-ππB AB ，化简得AB=)32sin(32B -π， 所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+B sin 32+)32sin(32B -π=3+.3)6sin(6cos 3sin 33++=+πB B B 。
故选D 。
例4．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ，∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B例5．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？解：连接BC,由余弦定理得BC 2=2022×20×10COS120°=700.于是,BC=107。
2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形7正弦定理余弦定理练习含解析
正弦定理、余弦定理考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B2＝cosC2；cosA ＋B2＝sin C2. (5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 C解析 因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7， 所以由余弦定理得cos∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝2π3.2．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝. 答案 45°解析 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22.又a >b ，则A >B ，所以B 为锐角，故B ＝45°.3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则c ＝，△ABC 的面积＝. 答案7 332解析 易知c ＝4＋9－2×2×3×12＝7，△ABC 的面积等于12×2×3×32＝332.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD ·sin∠ABC ＝a sin C . (1)证明：BD ＝b ;[切入点：角转化为边](2)若AD ＝2DC ，求cos∠ABC .[关键点：∠BDA 和∠BDC 互补]高考改编在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C . (1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c ＝2，AD ＝13，求a . 解 (1)根据正弦定理，由b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ， 可得bc ＋a 2＝b 2＋c 2， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)因为D 是线段BC 的中点，c ＝2，AD ＝13， 所以∠ADB ＋∠ADC ＝π， 则cos∠ADB ＋cos∠ADC ＝0，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＋AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝0，即13＋a 24－22213·a 2＋13＋a 24－b2213·a2＝0，整理得a 2＝2b 2－44，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4－2b ， 所以b 2＋4－2b ＝2b 2－44， 解得b ＝6或b ＝－8(舍)， 因此a 2＝2b 2－44＝28， 所以a ＝27.思维升华 解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．跟踪训练1 (2021·北京)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3.(1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334.解 (1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ， ∴sin2B ＝sin2π3＝32，∵C ＝2π3， ∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3， ∴2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得 c b ＝sin C sin B ＝3212＝3， 与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在； 若选择②：由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sinπ6＝R ， c ＝2R sin2π3＝3R ， 则周长为a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23， 解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23， 由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为232＋12－2×23×1×cosπ6＝7； 若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334，解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos 2π3＝3＋34＋3×32＝212. 题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 三角形形状判断 例2 在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2 B 2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 A解析 由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B2，所以c －a 2c ＝1－cos B2， 即cos B ＝ac.方法一 由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等． 方法二 由正弦定理得cos B ＝sin Asin C ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为三角形的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．延伸探究将“c －a 2c ＝sin 2 B 2”改为“sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解 因为sin A sin B ＝ac ，所以a b ＝a c，所以b ＝c . 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3， 所以△ABC 是等边三角形．思维升华 判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． 命题点2 三角形的面积例3 (2022·沧州模拟)在①sin A ，sin C ，sin B 成等差数列；②a ∶b ∶c ＝4∶3∶2；③b cos A ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (sin A －sin B )＋b sinB ＝c sinC ，c ＝1，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解 因为a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理得a (a －b )＋b 2＝c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)， 所以C ＝π3.选择①：因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以sin A ＋sin B ＝2sin C ，即a ＋b ＝2c ＝2， 由a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－1＝ab ， 得(a ＋b )2－3ab ＝1，所以ab ＝1， 故存在满足题意的△ABC ，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×sin π3＝34. 选择②：因为a ∶b ∶c ＝4∶3∶2， 所以A >B >C ＝π3，这与A ＋B ＋C ＝π矛盾，所以△ABC 不存在． 选择③： 因为b cos A ＝1，所以b ·b 2＋1－a 22b＝1，得b 2＝1＋a 2＝c 2＋a 2， 所以B ＝π2，此时△ABC 存在．又C ＝π3，所以A ＝π6，所以a ＝1×tanπ6＝33， 所以S △ABC ＝12ac ＝36.思维升华 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 命题点3 与平面几何有关的问题例4 如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△BEC 中，由正弦定理， 知BE sin∠BCE ＝CEsin B.∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114. (2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714. ∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴ED ＝AE cos∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49. ∴CD ＝7. 教师备选1．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)， ∴C ＝π3，由2cos A sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝c 2＋b 2－a22bc ，∴b 2＝a 2，即b ＝a ，又C ＝π3，故三角形为等边三角形．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －c cos(B ＋C )＝－b3cos A ＋B .(1)求tan C ；(2)若c ＝3，sin A sin B ＝1627，求△ABC 的面积．解 (1)∵a cos C －c cos(B ＋C ) ＝－b3cos A ＋B ，∴a cos C ＋c cos A ＝b3cos C.由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B3cos C ，∴sin(A ＋C )＝sin B3cos C ，即sin B ＝sin B3cos C ，又∵sin B ≠0， ∴cos C ＝13，∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， tan C ＝sin Ccos C ＝2 2.(2)若c ＝3，由正弦定理asin A ＝bsin B ＝csin C，得asin A ＝b sin B ＝3223＝924， 则a ＝924sin A ，b ＝924sin B ，则ab ＝924sin A ·924sin B ＝16216sin A sin B＝16216×1627＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×223＝2 2.思维升华 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练 2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝ (2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 D解析 因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形．(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝9，cos B ＝23，点D 在BC 边上，AD ＝7，∠ADB 为锐角．①求BD ；②若∠BAD ＝∠DAC ，求sin C 的值及CD 的长．解 ①在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝AD 2，整理得BD 2－12BD ＋32＝0，所以BD ＝8或BD ＝4.当BD ＝4时，cos∠ADB ＝16＋49－812×4×7＝－27，则∠ADB >π2，不符合题意，舍去； 当BD ＝8时，cos∠ADB ＝64＋49－812×8×7＝27，则∠ADB <π2，符合题意，所以BD ＝8.②在△ABD 中，cos∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝92＋72－822×9×7＝1121，所以sin∠BAD ＝8521，又sin∠ADB ＝357，所以sin C ＝sin(∠ADB －∠CAD )＝sin(∠ADB －∠BAD )＝sin∠ADB cos∠BAD －cos∠ADB sin∠BAD＝357×1121－27×8521＝175147，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin∠CAD ＝ADsin C ，即CD ＝ADsin C ·sin∠CAD ＝7175147×8521＝39217.课时精练1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于() A.π2 B.π3C.π4D.π6答案 C 解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24， 所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C ， 所以在△ABC 中，C ＝π4. 2．(2022·北京西城区模拟)在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于( ) A.35 B.31 C ．6D ．5答案 B解析 因为sin A ＝6sin B ，由正弦定理可得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×1×6×12， 解得c ＝31.3．(2022·济南质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，cos2A ＝ －725，则△ABC 外接圆半径为( ) A ．5B ．3C.52D.32答案 C解析 因为cos2A ＝－725， 所以1－2sin 2A ＝－725， 解得sin A ＝±45， 因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝45，又a ＝4，所以2R ＝a sin A ＝445＝5， 所以R ＝52. 4．(2022·河南九师联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ，则角C 等于( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 B解析 ∵sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ， 由正弦定理可得a 2－3b 2＝12ac ， ∵c ＝2b ，∴a 2－3b 2＝12a ·2b ＝ab ， 由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3b 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 5．(多选)(2022·山东多校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,2b sin A ＝5a cos B ，AB ＝2，AC ＝26，D 为BC 的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的平分线，下列结论正确的是( )A ．cos∠BAC ＝－66 B ．S △ABC ＝3 5 C ．BE ＝2D ．AD ＝ 5答案 AD解析 由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B .又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6.A 项，cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66；B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2×6×53＝25；C 项，由角平分线性质可知AEEC ＝AB BC ＝13，∴AE ＝62.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A ＝4＋32－2×2×62×⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝152，∴BE ＝302；D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝4＋9－2×2×3×23＝5，∴AD ＝ 5.6．(多选)(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是( )A ．在△ABC 中，A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形答案 ABD解析 对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∵A ＋B >π2， ∴π2>A >π2－B >0， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， ∴不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴是假命题，错误；对于D ，由于B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故正确．7．(2022·潍坊质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3.则△ABC 的面积为． 答案 1534解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3， ∴(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 解得c ＝5，则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534. 8．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝.答案 2 2解析 由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)．9．(2022·南平模拟)在①2c cos B ＝2a －b ，②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2且4sin A sin B ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)若选条件①2c cos B ＝2a －b ，则2c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a －b ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 若选条件②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)， 则34(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， 即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 若选条件③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，则(1－sin 2A )－(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为c ＝2， 所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43， 所以sin A ＝34a ，sin B ＝34b ， 又因为4sin A sin B ＝3，所以ab ＝4，△ABC 的面积为12ab sin C ＝ 3. 10．(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝8，AD ＝7，点D 在BC 上，且cos∠ADC ＝17.(1)求BD ；(2)若cos∠CAD ＝32，求△ABC 的面积． 解 (1)∵cos∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos∠ADC ＝－17. 在△ABD 中，由余弦定理得82＝BD 2＋72－2·BD ·7·cos∠ADB ，解得BD ＝3或BD ＝－5(舍)．(2)由已知sin∠ADC ＝437，sin∠CAD ＝12， ∴sin C ＝sin(∠ADC ＋∠CAD )＝437×32＋17×12＝1314. 由正弦定理得CD ＝AD sin∠CAD sin C ＝7×121314＝4913， ∴BC ＝3＋4913＝8813，∴S △ABC ＝12×8×8813×32＝176313.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S ＝(a＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 等于 ( ) A ．1B ．－22C.22D.32 答案 C解析 因为S ＝12ab sin C ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ＝22(sin C ＋cos C )＝22. 12．(2022·焦作模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，且(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，则cos B 等于( )A.1314B.1114C.12D ．－12答案 B解析 因为(sin A ＋sin B )2＋cos 2C＝1＋sin A sin B ，所以sin 2A ＋sin 2B ＋2sin A ·sin B ＋1－sin 2C＝1＋sin A ·sin B ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，又a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，即a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝15， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－c 2＝－ab ，a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝5，c ＝7.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32＋72－522×3×7＝1114. 13．(2022·开封模拟)在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B ＝3π4，AB ＝32，AD ＝210，若AC ＝35，则CD 为．答案 1或5解析 因为在△ABC 中，∠B ＝3π4，AB ＝32， AC ＝35，由正弦定理可得AC sin B ＝AB sin∠ACB， 所以sin∠ACB ＝AB ·sin B AC ＝32×2235＝55， 又BC ⊥CD ，所以∠ACB 与∠ACD 互余，因此cos∠ACD ＝sin∠ACB ＝55， 在△ACD 中，AD ＝210，AC ＝35，由余弦定理可得cos∠ACD ＝55＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝5＋CD 265CD， 所以CD 2－6CD ＋5＝0，解得CD ＝1或CD ＝5.14．(2022·大连模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC ，BD 是其两条对角线，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，AC ＝6，则四边形ABCD 的面积为．答案 9 3 解析 在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积 S ＝12BC ·AC sin30°＋12CD ·AC sin30°＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝9 3.15．(多选)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222(S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．现有△ABC 满足sin A ∶si n B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝63，则下列结论正确的是( )A ．△ABC 的周长为10＋27B ．△ABC 的三个内角满足A ＋B ＝2CC ．△ABC 的外接圆半径为4213D ．△ABC 的中线CD 的长为3 2答案 AB解析 A 项，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，因为S △ABC ＝63，所以63＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t 2×4t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7t 2＋4t 2－9t 222，解得t ＝2，则a ＝4，b ＝6，c ＝27，故△ABC 的周长为10＋27，A 正确；B 项，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋36－282×4×6＝12， 所以C ＝π3，A ＋B ＝π－π3＝2π3＝2C ， 故B 正确；C 项，因为C ＝π3，所以sin C ＝32， 由正弦定理得2R ＝c sin C ＝2732＝4213， R ＝2213， C 错误；D 项，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋28－362×4×27＝714， 在△BCD 中，BC ＝4，BD ＝7，由余弦定理得cos B ＝16＋7－CD 22×4×7＝714， 解得CD ＝19，D 错误．16．(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)因为2sin C ＝3sin A ，则2c ＝2(a ＋2)＝3a ，则a ＝4，故b ＝5，c ＝6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝18，所以C 为锐角， 则sin C ＝1－cos 2C ＝378，因此， S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×378＝1574. (2)显然c >b >a ，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋a ＋12－a ＋222a a ＋1＝a 2－2a －32a a ＋1<0，则0<a <3，由三角形三边关系可得a ＋a ＋1>a ＋2， 可得a >1，因为a ∈N *，故a ＝2.。
正弦定理和余弦定理专题试题及答案
正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 D ．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC ＝的面积为________．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且b 2＝ɑc ＝ɑ2－c 2＋bc. (1)求bsin Bc的值； (2)试判断△ABC 的形状，并说明理由．正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：∵ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bcsin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：根据题意结合正弦定理， 得sin Bsin A ＝3sin Acos B. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ， 即sin B cos B ＝tan B ＝3，所以B ＝π3. 答案：C5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72。
2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理
2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)
§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1． 正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.5． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ， 根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 题型三 解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3． 合理利用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7． 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8． 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________． 答案 50 2 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0， 所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5． 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。
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正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C.D ．262362．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4D.2363233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角B 为( )32A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，则c ＝( )2A ．1B.C ．2D.12146．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos Acos B ba A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面3积为( )A.B.C.或D.或323432334328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝2，B ＝120°，则a 等于( )6 A.B ．2C.D.6329．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则A ＝________.3π310．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则433sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则33＝________，c ＝________.a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 14．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则2133b ＝________.15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .3C 2C 214A216．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为315，求边b 的长．3余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．2 C ．3 66D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.C.D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A.B.C.或D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为AB → AC→ ，则·的值为( )3AB → AC → A ．2 B ．－2 C ．4D ．－47．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A.B ．2C.或2D ．233338．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．9．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为________．310．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.11．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则2133b ＝________.12．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2413．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝03的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．14．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；5(2)求sin(2A －)的值．π4正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin Ab sin B a sin B sin A 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4D.236323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝＝4.a sin Bsin A 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角32B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理＝得：sin B ＝＝，又∵a >b ，∴B <60°，a sin A b sin B b sin Aa 22∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，2则c ＝( )A ．1B.C ．2D.1214解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c ＝＝1.b sin Bc sin C 2×sin 30°sin45°6．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B ba A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin Bsin A sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π27．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3A. B.3234C.或D.或3233432解析：选D.＝，求出sin C ＝，∵AB ＞AC ，ABsin C ACsin B 32∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝AB ·AC sin A 可求面积．128．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a 等26于( )A. B ．26C. D.32解析：选D.由正弦定理得＝，6sin120°2sin C ∴sin C ＝.12又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝.29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则3π3A ＝________.解析：由正弦定理得：＝，a sin A csin C 所以sin A ＝＝.a ·sin C c12又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝，∴A ＝.π3π6答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.433解析：由正弦定理得＝a sin A bsin B ⇒sin B ＝＝＝.b sin Aa 4×1243332答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由＝得，a ＝＝4，a sin Ab sin B 12×sin30°sin120°3∴a ＋c ＝8.3答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则33＝________，c ＝________.a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S △ABC ＝bc sin A ，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C a sin A 63sin60°12×12×sin60°×c ＝18，123∴c ＝6.答案：12 614．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：依题意，sin C ＝，S △ABC ＝ab sin C ＝4，223123解得b ＝2.3答案：2315．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin3C 2C214B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .A 2解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A 2sinB sinC ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin A bsin B csin C b ＝c ＝a ＝2×＝2.sin Bsin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2.2π3π6＝×－×＝.2553101055101022又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝.π4(2)由(1)知，C ＝，∴sin C ＝.3π422由正弦定理：＝＝得a sin Ab sin Bc sin Ca ＝b ＝c ，即a ＝b ，c ＝b .510225∵a －b ＝－1，∴b －b ＝－1，∴b ＝1.222∴a ＝，c ＝.2516．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A bsin B 15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为2.15余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．26C ．3 D ．466解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝＝6.42＋62－2×4×6×132．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.32C. D ．25解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc2bc 32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A.B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac321tan B 32cos B sin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc2c 22c 6．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的AB → AC → 3AB → AC→ 值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A 312AB → AC→ ＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB → AC→127．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．233C.或2 D ．233解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3338．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝＝.1＋4－2×1×2×123答案：39．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，3则边c 的值为________．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216110．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cosB ∶cosC ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)11．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2312．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角a 2＋b 2－c 24C ＝________.解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22abab2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )3＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1014．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .5(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，ABsin C BCsin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin C sin A 5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC255于是sin A ＝＝.1－cos2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝. 所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.35π4π4π4210。