浅析常数变易法PPT课件
dy 2 y x
dx
2
dx x 2
除此之外，上述方法还具有更强的简易性与广泛性。当方程右端为多个
式子组成的更复杂的函数时，我们仍然可以使用此方法得到通解。
• •
例题2： dy(x1)2(4y1)28xy1
暨南
dx
第开
四大 届学 大第 学八
dy ( x 1)2 dx
y
1(x 3
1)3
c1
生届 “大 数学 学生 之文
n阶常系 数非齐次 线性方程
解法： d dtnn xa1d dtn n1 x 1… an 1d dx tanx0
d d t n n x a 1d d t n n 1 x 1 ... a n 1d d x t a n xf1t
d d t n n x a 1d d t n n 1 x 1 … a n 1d d x t a n xf2 (t)
育 节
d d t n n x a 1 d d t n n 1 x 1 … a n 1 d d x t a n x f1 ( t) f2 ( t) … fm ( t)
d d n n xta 1d d n n 1 1 x t a n 1d d x ta nxf1(t) d d n n xt a 1d d n n 1 1 x t a n 1d d x ta nxf2(t)
x (t)
+
x 1 t 通解
+
x2 t
这种形式的方程与我们所研究的一阶线性非齐次常微分方程
dy pxyqx
dx
有某种程度的相似性
我们是否可以按上 述方法将其分解为 两个方程分别求解 ，最终得到通解呢
？
• •
暨南 第开 四大 届学 大第 学八 生届 “大 数学 学生 之文 美化 ”素 论质 坛教
形式不同的结果之间只相差一个常数。
• 着力去挖掘隐藏在结论背后的理论与方法
间 本质的联系 • 数学的魅力在于探求结果过程中 逻辑思
维 的运用，联想能力 的拓展与 锲而不舍 的钻研精神 三者的融会贯通
• 学会的不仅是一种方法，而是一种 思想
• 数学之中体现 哲学真理
• 不断 尝试，不断 求索，就会加深理解，
步骤一： 设 y ux
之文 美化 ”素 论质
步骤二：
dy u x du
dx
dx
此时，u已被视为x的函数
坛教 育 节
dy
将 d x 代回原式，就得到关于u与x的方程，从而求解
u
y
x
c
ye pxdx
y ce pxdx
• •
暨南 第开
d yd cxep xd x cxpxep xd x
d x d x
暨南 第开 四大 届学 大第 学八 生届 “大 数学 学生 之文 美化 ”素 论质 坛教
育 节
浅析常数变易法
南开大学 经济学院 06级金融学系
张婷
• •
暨南
第开
四大 届学
常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法，即将常数
大第 学八
变易为待定函数，通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解
育 节
经过推导，验证了我们的猜想。具体过程如下：
dy p x y
dx
dy q x
dx
y1 x cepxdx + y2xqxdx
ycepxdx qxdx
yepxd x(cqxe pxd xd x) 变形： y c e p x d x e p x d x qxe p x d x d x
暨南
第开 四大 届学 大第
例题1： dy 2 y x dx x 2
学八 生届 “大 数学
dy 2 y dx x
y ec1 x 2 (c1为任意常数）
学生
+
之文 美化 ”素 论质
dy x dx 2
y
1 4
x2
c2
(c2为任意常数)
坛教 育
将上述结果进行求导：
节
dy 2ec1 x x
e c1 y x2
拓宽思维的深度与广度
• •
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dy u x du
dx
dx
四大
届学
大第
学八 生届
此时，二者的本质相同，只是常数变易法中的变量代换更为复杂，不易辨别。
“大
常数变易法的目的是将原方程变换为只含c x 与 x 的方程。从而求出 c x
数学
学生
之文 美化 ”素
y cxepxdx
yep xd x(cqxe p xd xd x)
yc ep xd x1
px
qxe p xd xd ep xd x
ycepxdxp1x qxd lnepxdx
ycepxdxp1xqxdpxdx
ycepxdx qxdx
可见，通过此方法求得的结果与常数变易法结果实质上是一致
• •
的。我们也可以通过实际例题来加以验证，结论亦成立。
论质
坛教
育
节
常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的 齐次的或可化为齐次的方程中所代换的是一个变量
而一阶线性非齐次常微分方程中，由于方程的复杂性， 因此被代换的是一个表达式
• •
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育 节
常数变易法与迭加原理
d d tn n x a 1d d tn n 1 x 1 … a n 1d d x t a n xf1 (t) f2 (t)
dy (4 y 1)2 dx
11
y
16(xc2) 4
美化 ”素 论质
dy 8xy dx
y e4x2 c3
坛教 育 节
dy 1 dxΒιβλιοθήκη y x c4四式代数和即为原方程通解！此方法大 大简化了运算过程，从而降低了运算量 ！
……
……
• •
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x1 t
x2 t
d d nn xta 1d d n n 1 1 x t a n 1d d x ta nxfm (t)
xn t
各方程特解与齐次方程通解的代数和即为原n阶非齐次方程的通解
• •
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育 节
由此，对于最初所研究的一阶线性常微分方程，又增 加了一种十分重要的解法。虽然结果形式上不同，但本质 相同。
生届
“大
数学 学生 之文
例如：
dy pxyqx
美化
dx
”素
论质 坛教
育 节
解法： dy p x y
dx
y ce pxdx
y cxepxdx
cx
yepxdx(cqxepxdxdx)
• •
暨南 第开
常数变易法的本质
四大
届学 大第 学八 生届
解法：
齐次方程：
dy dx
g
y x
“大
数学 学生
合集下载
常数变易法
常数变易法
常数变易法是求解复杂问题中经常采用的一种方法，它既可以帮助我们求解复杂问题，又可以帮助我们节省时间，提高效率。
但是，要想有效地使用常数变易法，我们需要对它有全面的认识和理解，并能够熟练掌握运用它的相关技巧。
首先，我们来了解它的定义，常数变易法就是从现有的函数中求解函数变形的方法，它的关键就是利用函数的变易性，将原始的函数变形为一个简单的函数，让求解问题更加容易。
例如，如果我们要求解一个立方函数，我们可以利用常数变易法，将其变形为一个平方函数，这样就可以用更简单的方式来求解。
其次，在掌握常数变易法的时候，我们需要学习它的基本原理，主要是利用二次函数的“常数变易”原理，即一次函数可以表示为一次函数与常数相乘的形式。
换句话说，利用“常数变易”原理，我们可以将复杂的函数变形为更为简单的函数，从而求解复杂的函数。
此外，为了有效地运用常数变易法，我们还需要掌握一些算法，才能够更加高效地求解复杂函数。
比如，我们可以用分治算法来求解复杂的函数，而且分治算法可以从另一个角度来分析函数，从而使函数的求解更加容易。
总的来说，常数变易法是一种解决复杂问题的高效方法，它可以帮助我们通过变易函数的方式节省时间，提高效率。
但是，如果要有效地使用常数变易法，我们还需要学习它的基本原理、熟练掌握它的算法，这样才能够有效地求解复杂的函数。
第4节 常数变易法
令 y∗( x) = Φ( x) c( x),
待定
(4.1)
待定 的解， 若 y∗( x)是(3.1)s的解，则 y∗′ ( x) ≡ A( x) y∗( x) + f ( x)
令 y∗( x) = Φ( x) c( x),
(4.1)
∵ y∗'( x) = Φ′( x) c( x) + Φ( x) c′( x)
由线性微分方程(组 的通解结构定理 的通解结构定理10′ 由线性微分方程 组)的通解结构定理 ′ (或定理 )，知求 或定理10 ，知求(3.1)s 的通解的关键： 的通解的关键 关键： 或定理 ① 确定与其相对应的齐线性方程(3.2)s 确定与其相对应的齐线性方程 的一个基本解组; 的一个基本解组 的一个特解: ② 求(3.1) 的一个特解 y *(x) .
而
Φ−1( x) =
Φ*( x) det Φ( x)
… Wn1 W W 11 21 1 W = ⋅ 12 W22 … Wn2 W( x) W n W2n … Wnn 1
…
y2( x) ⋯ yn( x) y1( x) 其中 W ( x)( x) ( x)的第 行，第(jx) ij y′ : Φ y′ ( x) i ⋯ y′ 列元素的 2 n Φ( x) = 1 ⋮ ⋯ ⋮ . 代数余子式⋮ (n−1) (n−1) (n−1) ( x) y1 ( x) y2 ( x) ⋯ yn
∫
x2 x x2 x e x + sinx e x sin x = e + sin x + e . = 2 ⋅ 2 + 0 1 1 1 0
x2 x y1 = e x + sin x + e 即 2 . y2 = 1 方法2. 方法 由(1)，知原方程组为 ， dy1 = y1 + (cos x − sin x) y2 + xe x dx dy2 = 0, dx y1(0) = y2(0) = 1
2.2线性微分方程与常数变易法
练习 解
(3)
dy y 3 dx x y
1 , Q( y ) y 2 y
方程可以改写为:
dx 1 x y2 dy y
故通解为:
p( y )
xe
即:
1 dy y
( y e
2
1 dy y
1 2 c) y ( y c) 2
1 3 x y cy 2
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
dc ( x) ( x 1) n nc ( x)( x 1) n 1 nc ( x)( x 1) n 1 e x ( x 1) n dx
x dc ( x ) x c ( x ) e c 积分得 e 即 dx n x y ( x 1) (e c), c 为任意常数 故通解为
2) 用公式求方程通解
2
xe
1 dx y
[ ye
2
1 dy y
dy c] e
ln y 2
( ye
ln y 2
dy c)
1 x y ( dy c) y 2 ln y cy2 y x y 2 ln y cy2
2
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
练习 (2)
解
dy 2 xy 4 x dx
用公式求解, p( x) 2 x, Q( x) 4 x
ye
e
2 xdx
x2
e
即:
x2
( 4 xe dx c)
线性微分方程的常数变易法
线性微分方程的常数变易法线性微分方程是微积分中重要的研究对象，常数变易法是解线性微分方程的一种常用方法。
本文将介绍线性微分方程以及常数变易法的基本概念和步骤。
1. 线性微分方程的定义和形式线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的微分方程，其中p(x)、q(x)和r(x)为已知函数，y为未知函数。
一阶线性微分方程可以表示为y' + p(x)y = q(x)。
2. 常数变易法的基本思想常数变易法是对齐次线性微分方程的解进行求解的一种方法。
首先求得齐次线性微分方程的通解，然后利用常数变易法找出非齐次线性微分方程的一个特解，将通解和特解相加得到非齐次线性微分方程的通解。
3. 常数变易法的步骤步骤一：求齐次线性微分方程的通解对于齐次线性微分方程y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，我们可以先求得其特征方程。
特征方程是通过将y替换为е^(rx)得到的方程，其中r为常数。
解特征方程可以得到一组线性无关的解，它们的线性组合就是齐次线性微分方程的通解。
步骤二：求非齐次线性微分方程的特解对于非齐次线性微分方程y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)，我们假设其特解为y = u(x)v(x)，其中u(x)为常数，v(x)为齐次线性微分方程的通解。
将特解y代入非齐次线性微分方程，可以得到一个关于u(x)的方程，若能解出u(x)的具体形式，则可以得到非齐次线性微分方程的一个特解。
步骤三：求非齐次线性微分方程的通解将齐次线性微分方程的通解和非齐次线性微分方程的特解相加，即可得到非齐次线性微分方程的通解。
4. 常数变易法的应用举例以一阶线性微分方程y' + p(x)y = q(x)为例，根据常数变易法的步骤，首先求得齐次线性微分方程y' + p(x)y = 0的通解，然后假设特解为y =u(x)v(x)，将特解代入非齐次线性微分方程，解出u(x)的具体形式，最后将通解和特解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程
其根
则①对应的齐次方程的通解为
第10页/共24页
设特解: y At 2 B t C 代入①确定系数, 得
① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为
第11页/共24页
例2. 解: 将方程化为 则方程化为
(欧拉方程)
即
②
特征根:
设特解: y At 2et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
于是欧拉方程 xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)
转化为常系数线性方程:
Dn y b1Dn1 y bn y f (et )
即
dn dt
y
n
b1
dn1 y d t n1
bn
y
f (原方程化为
亦即
①
特征方程
C1 cos(2ln
x)
C2
sin( 2 ln
x)
1 x
利用初始条件④得
C1 1,
C2
1 2
故所求特解为
y cos(2ln x) 1 sin(2ln x) 1
2
x
hw：p319 2,4.
第14页/共24页
一类特殊变系数非齐次线性微分方程
Euler Equation：
xn y(n) a1 xn1 y(n1) an1 xy an y f ( x)
1 x2
d2 y dt2
dy dt
计算繁!
x2
y
d2 dt
y
2
d d
y t
第8页/共24页
记D d , dt
Dk
dk dtk
(k 2, 3, ),则由上述计算可知:
x y D y
64常数变易法
这是组合数学与概率论史
此外, 他对
双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
内容小结
1. 一阶线性方程
方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.
方法2 用通解公式
化为线性方程求解.
2. 伯努利方程
思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
可分离 变量方程
齐次方程
线性方程
线性方程
伯努利方程
习题6.1 3; 习题6.2 1 (1); 2 (3); 3 (2); 4(2)
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程
分离变量
两边积分得
故通解为
称为齐次方程 ;
对应齐次方程通解
齐次方程通解
非齐次方程特解
2. 解非齐次方程
用常数变易法:
则
故原方程的通解
即
即
作变换
两端积分得
例1. 解方程
解: 先解
书中给出的伯努利数在很多地方有用,
伯努利(1654 – 1705)
瑞士数学家,
位数学家.
标和极坐标下的曲率半径公式,
1695年
版了他的巨著《猜度术》,
上的一件大事,
而伯努利定理则是大数定律的最早形式.
年提出了著名的伯努利方程,
他家祖孙三代出过十多
1694年他首次给出了直角坐
1713年出
作业
备用题
1. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
提示:
令
则有
利用公式可求出
2. 设有微分方程
其中
此外, 他对
双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
内容小结
1. 一阶线性方程
方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.
方法2 用通解公式
化为线性方程求解.
2. 伯努利方程
思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
可分离 变量方程
齐次方程
线性方程
线性方程
伯努利方程
习题6.1 3; 习题6.2 1 (1); 2 (3); 3 (2); 4(2)
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程
分离变量
两边积分得
故通解为
称为齐次方程 ;
对应齐次方程通解
齐次方程通解
非齐次方程特解
2. 解非齐次方程
用常数变易法:
则
故原方程的通解
即
即
作变换
两端积分得
例1. 解方程
解: 先解
书中给出的伯努利数在很多地方有用,
伯努利(1654 – 1705)
瑞士数学家,
位数学家.
标和极坐标下的曲率半径公式,
1695年
版了他的巨著《猜度术》,
上的一件大事,
而伯努利定理则是大数定律的最早形式.
年提出了著名的伯努利方程,
他家祖孙三代出过十多
1694年他首次给出了直角坐
1713年出
作业
备用题
1. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
提示:
令
则有
利用公式可求出
2. 设有微分方程
其中
欧拉方程和常数变异法
则有
xy dy Dy, dt
x
2
y
d2y dt 2
dy dt
(
d2 dt 2
d dt
)
y
(
D2
D)
y
D(
D1)
y,
x
3
y
d3y dt 3
3 dd2t 2y
2 dy dt
(
D3
3D2
2D)
y
D( D1)(D
2)
y,
一般地，有 xk y(k ) D(D 1)(0D 2) (D k 1) y ，
令 xet , 化为 y 关于 t 的二阶常系数线性微分方程，
利用算子 D d ， xy Dy ， x2 y D(D1) y ， dt
把原方程写成：D(D1) ya1Dya2 y f (et ) ,
化简得 [D2 (a1 1)Da2 ]y f (et ) ，
即
d2y dt 2
(a1
1) dy dt
a2
d2y dx2
1 x
d dt
(
dy dt
) dt dx
1 x2
dy dt
1 x2
(
d2y dt 2
dy dt
)
，
d3 dx
y
3
2 x3
(
d2y dt 2
dy dt
)
1 x2
(
1 x
d3y dt 3
1 x
d2y dt 2
)
1 x3
(
d3y dt 3
d2y 3 dt2
2
dy dt
)
利用算子 D d ， dt
2
A 2 A A1
非齐次线性方程通解求法------常数变易法共37页PPT
非齐次线性方程通解求法------常数变 易法
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
常数变易法
dx x 1
y x 1
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
u
2
(x
3
1) 2
C
3
22
例2. 解方程
方法二(公式法解):
把物体降落的铅垂线取作s轴，其指向朝下（朝向地心）。 设物体在时刻t的位置为s＝s(t)。物体受重力 F=mg的作用而自由下落，物体下落运动的加速度
a
d 2s dt 2 .
由牛顿第二定律F=ma，得物体在下落过
程中满足的关系式为
m
d 2s dt 2
mg,
或
d 2s dt 2
g.
4
微分方程的基本概念
b M
,
M max f (x, y) . ( x, y)D
9
§5.2.2 解的存在与唯一性定理
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
10
可分离变量的微分方程
y0，
如果 f (x, y) 在矩形区域 D: x x0 a, y y0 b内连续，
而且对于 y适合利普希茨条件
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y1
则初值问题在区间I [x0 h, x0 h] 上存在唯一解， 其中常数
h
常微分方程-常数变异法.ppt
即
dc(x) ex dx
积分得
~
c(x) ex c
~
~
故通解为 y (x 1)n (ex c), c为任意常数
例2 求方程
dy y dx 2x y2 通解.
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x y dy y
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
的通解.
解: 这是Bernoulli 方程, n1 z x2 dx x
解以上线性方程得
z
e
1 x
dx
(
x
2e
1 x
dx
dx
c)
cx 1 x3 2
将z y2代入得所给方程的通解 为:
y2 cx 1 x3 2
二 线性微分方程的应用举例
例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电 路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数, 试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为L dI , RI,
dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
L dI RI E. dt
取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0.
dx x 1
从
dy n y 分离变量得 dx x 1
dy n dx y x 1
两边积分得 ln y nln x 1 c1
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n