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数学分析总复习
(几何:斜率)
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利用导函数： f ( x0 ) f ( x ) |x x 根据定义
二、f ( x ) 的计算
根据函数构成： 根据定义
导数的四则运算 反函数求导法则 复合函数求导法则
三、f ( n ) ( x ) 的计算
利用求导法则 ……
数学分析（一）总复习
幂指函数 对数求导法 分段函数 隐函数 参变量函数
数学分析（一）总复习 8
二、闭区间上连续函数的性质
最值定理 若 f ∈C[a, b], 则 f 在[a, b]上有最大值, 最小值.
有界性定理 若 f ∈C[a, b], 则 f 在[a, b]上有界. 介值定理 若 f ∈C[a, b] 且 f(a)≠f(b), 若 μ为介于 f(a), f(b) 之间的任何实数, 则至少存在一点x0∈(a, b) 使得 f(x0) =μ.
定理 数列{an}收敛 {an}的任何非平凡子列都收敛.
单调有界定理 单调有界数列必有极限.
lim (1
n
1 n
) e.
n
柯西收敛准则 数列{an}收敛
0 , N N , n , m N , 有 | a n ห้องสมุดไป่ตู้ a m | .
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数学分析（一）总复习 4
四、函数性态研究（单调、凹凸、渐近线等）
数学分析（一）总复习
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第八章
一、不定积分概念:
二、求不定积分：
不定积分
f ( x )dx F ( x ) C
① “求不定积分”是指用初等函数的形式将不定积分表示出 来.并非任何初等函数的积分都能求出来. ② 基本积分公式(p.180)
(完整版)数学分析知识点总结
(完整版)数学分析知识点总结数学分析知识点总结导数与微分- 导数的定义：导数是一个函数在某一点的斜率，表示函数的增减速度。
- 常见函数的导数公式：- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$- 指数函数：$(a^x)' = a^x\ln(a)$- 对数函数：$(\log_a(x))' = \frac{1}{x\ln(a)}$- 微分的定义：微分是切线在某一点处的线性近似，表示函数在该点的局部变化情况。
积分与不定积分- 不定积分的定义：不定积分是对函数的原函数的求解，表示函数从某一点到变量的积分结果。
- 常见函数的基本积分公式：- 幂函数：$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$- 正弦函数：$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$- 余弦函数：$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$一元函数极限- 极限的定义：函数在某一点处的极限是函数在这一点附近的取值逐渐趋于某个固定值的情况。
- 常见函数的极限计算方法：- 算术运算法则：常数的极限是常数本身；极限的和等于极限的和；极限的乘积等于极限的乘积。
- 复合函数法则：对于复合函数，可以先求内层函数的极限，再求外层函数的极限。
泰勒级数- 泰勒级数的定义：泰勒级数是一个函数在某一点附近的展开式，由函数在该点的导数决定。
- 常见函数的泰勒级数展开：- 幂函数：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$以上是数学分析的一些基本知识点总结，希望对您有所帮助。
数学分析公式总结
数学分析公式总结数学分析是数学中的一门重要课程，它主要研究函数的性质和运算法则，以及极限、导数和积分等概念及其应用。
在学习数学分析时，我们经常会遇到各种各样的公式。
下面是对其中一些重要的数学分析公式进行总结。
一、极限公式1.常值函数的极限公式：\(\lim_{x\to a} c = c\)2.幂函数的极限公式：\(\lim_{x\to a} x^{m} = a^{m}\) （其中m为整数）3.正弦函数和余弦函数的极限公式：\(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)\(\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x} = 0\)4.自然对数函数的极限公式：\(\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x} = 1\)5.无穷小替换公式：当\(x\to a\)时，若\(\lim_{x\to a} f(x) = 0\)，\(\lim_{x\to a} g(x) = 0\)，且\(\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\)存在，则：\(\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)二、导数公式1.基本导数公式：\((c)'=0\)（其中c为常数）\((x^{n})' = nx^{n-1}\) （其中n为整数）\((\sin x)' = \cos x\)\((\cos x)' = -\sin x\)\((e^{x})'=e^{x}\)2.乘积法则：\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)3.商法则：\((\dfrac{f(x)}{g(x)})' = \dfrac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\)4.链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都可导，则\(y'(x)=f'(u)g'(x)\)三、积分公式1.基本积分公式：\(\int cdx = cx + C\) （其中c为常数，C为常数）\(\int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) （其中n不等于-1）\(\int \sin xdx = -\cos x + C\)\(\int \cos xdx = \sin x + C\)\(\int e^{x}dx = e^{x} + C\)2.基本换元公式：\(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\) （其中u = g(x)）四、泰勒展开公式泰勒展开公式是一种将一个函数在其中一点附近用多项式逼近的方法。
数学分析公式
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
(完整版)数值分析重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2)迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3)单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设()x ϕ满足:①[],x a b ∈时,[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛,且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三:设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠（Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法:1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理:设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②:[]'()0,,f x x a b ≠∈； ③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <； 则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：12P +=7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r,1'()()i i i i f x x x rf x +=-(平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=,α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数学分析理论整理
数学分析理论整理一、实数完备性：1. 关于实数完备性的基本定理◇确界原理（该教材的理论基础、最基本定理）（用实数的无限小数表示证明）◇单调有界定理（用确界原理证明）◇区间套定理（用单调有界定理证明）◇有限覆盖定理（用区间套定理证明）◇聚点定理（用区间套定理证明）推论：致密性定理◇柯西收敛准则（用区间套定理或致密性定理证明）2. 上极限和下极限◇有界点列至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点（类似聚点定理，用区间套定理证明）◇A为{a n}上极限<＝> (i)存在N＞0，使得当n＞N时有a n＜A+ε；(ii)存在子列{a nk}，a nk＞A-ε◇A为{a n}上极限<＝>任何α＞A，大于α的项有限个；任何β＜A，大于β的项无限多个◇上、下极限保不等式性◇A为{a n}上极限<＝>A=limsup{a k} (n→∞, k≥n)二、极限1. 收敛数列的性质：◇唯一性◇有界性◇保号性◇保不等式性◇迫敛性◇四则运算法则◇数列{a n}收敛<＝>{a n}的任何非平凡子列都收敛2. 数列极限存在的条件：◇单调有界定理（用确界原理证明）◇柯西收敛准则（用区间套定理或致密性定理证明）3. 函数极限的性质◇唯一性◇局部有界性◇局部保号性◇保不等式性◇迫敛性◇四则运算法则4. 函数极限存在的条件◇归结原则◇单调有界定理（适用于单侧极限）◇柯西准则（用归结原则和数列柯西收敛准则证明）5. 无穷小量与无穷大量◇若f与g为等价无穷小量，则lim(f*h)=lim(g*h)，lim(h/f)=lim(h/g)◇若f为x→x0时的无穷小量（且在空心邻域内不等于0），则1/f 为x→x0时的无穷大量◇若g为x→x0时的无穷大量，则1/g为x→x0时的无穷小量三、函数的连续性1. 连续函数的性质◇局部有界性◇局部保号性◇四则运算法则◇若f在x0连续，g在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续◇有界性定理（适用于闭区间）（用局部有界性与有限覆盖定理证明）◇最大最小值定理（适用于闭区间）（用有界性定理和确界原理证明）◇根的存在定理（适用于闭区间）（用局部保号性和区间套定理证明）◇介值性定理（适用于闭区间）（用根的存在定理证明）◇一致连续性定理（用有限覆盖定理证明）四、导数和微分1. 导数的概念◇费马定理（可导函数极值的必要条件）（用连续函数局部保号性证明）◇导函数的介值定理（用最大最小值定理和费马定理证明）2. 求导法则◇四则运算法则◇反函数的导数◇复合函数的导数及其引理◇参变量函数的导数◇高阶导数3. 微分◇可微<＝>可导，且微分AΔx中的A等于导数（用有限增量公式证明）◇微分运算法则（由导数运算法则推出）◇高阶微分◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性4. 微分中值定理◇罗尔中值定理（用连续函数最大最小值定理与费马定理证明）◇拉格朗日中值定理（用罗尔中值定理证明）◇导数极限定理（用拉格朗日中值定理证明）◇函数（严格）单调递增（减）的充要条件（用拉格朗日中值定理证明）◇柯西中值定理（用罗尔中值定理证明）◇洛必达法则（用柯西中值定理证明）5. 泰勒公式◇佩亚诺余项（用洛必达法则证明）◇拉格朗日余项（泰勒定理）（用柯西中值定理证明）◇积分型余项（用推广的定积分分部积分法证明）◇柯西型余项（对积分型余项使用积分第一中值定理得）6. 函数的极值◇极值的第三充分条件：设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数，在x0处可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，则：(i) 当n为偶数时，f在x0取极值，且当f(n)(x0) ＜0时取极大值，当f(n)(x0) ＞0时取极小值；(ii) 当n为奇数时，f在x0处不取极值（在x0处用n阶泰勒公式（佩亚诺余项）证明，极值第二充分条件可作为其推论）7. 凸函数的性质◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)◇充要条件：f’为I上的增函数（用上两条（引理）证）◇充要条件：对I上的任意两点x1、x2，f(x2) ≥ f(x1)+f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理与上一条定理证）◇Jensen不等式（用数学归纳法证）五、积分1. 不定积分法◇换元积分法（用复合函数求导法验证）◇分部积分法（由乘积求导法推出）2. 可积性理论◇可积必有界◇上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界◇T’为T添加p个新分点后的分割，则S(T) ≥S(T’) ≥S(T)-(M-m)p||T||，s(T) ≤s(T’) ≤s(T)+(M-m)p||T||◇达布定理：limS(T)=S，lims(T)=s (||T||→0)（用上一条性质证明）◇可积第一充要条件：S=s（用达布定理证明）◇可积第二充要条件（可积准则）：S(T)-s(T) ＜ε，即∑ωΔx＜ε（用可积第一充要条件证明）◇可积第三充要条件：任可正数ε、η，T中ω≥ε的区间总长∑Δx ＜η（用可积第二充要条件证明）◇闭区间上连续函数可积（用可积准则证明）◇闭区间上有限间断点的函数可积（用可积准则证明）◇闭区间上单调函数可积（用可积准则证明）3. 定积分性质◇牛顿—莱布尼茨公式（用拉格朗日中值定理证明）◇线性性质◇f、g可积则fg可积（用可积准则证明）◇积分区间可加性（用可积准则证明）◇保号性推论：积分不等式性◇f可积则|f|也可积，且|∫fdx|＜∫|f|dx（用绝对值不等式与可积准则证明）◇积分第一中值定理（用连续函数最大最小值定理和介值性定理证明）◇推广的积分第一中值定理（用连续函数最大最小值定理和介值性定理证明）◇变限积分在[a,b]上连续（用积分区间可加性和可积必有界证明）◇原函数存在定理（微积分学基本定理）（用积分第一中值定理证明）◇积分第二中值定理（用变限积分连续、连续函数最大最小值定理、介值性定理、积分区间可加性、可积准则证明）推论：[a, b]上f可积，g单调，则存在ξ使∫f(x)g(x)dx=g(a) ∫aξf(x)dx+g(b) ∫ξb f(x)dx◇换元积分法、分部积分法（类似不定积分，由微分法逆得）4. 定积分的应用◇平面图形的面积A=∫|f(x)|dx=∫|y(t)x’(t)|dt◇由平行截面面积求体积V=∫A(x)dx◇平面曲线的弧长s=∫ (x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt（用拉格朗日中值定理证明）◇平面曲线的曲率K=|x’y’’-x’’y’|/(x’2+y’2)^(3/2)（由弧微分推得）◇旋转曲面的面积S=2π∫y(t)(x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt5. 反常积分◇无穷积分收敛的充要条件：任给正数ε，存在G，只要a, b＞G，|∫a b f(x)dx|＜ε（即柯西准则）◇无穷积分线性性质◇无穷积分区间可加性◇无穷积分收敛的充要条件：任给正数ε，存在G，只要u＞G，|∫u∞f(x)dx|＜ε（由区间可加结合收敛定义证明）◇|f|收敛则f也可积，且|∫a∞fdx|＜∫a∞|f|dx（用柯西收敛准则、定积分绝对值不等式、极限保不等式性证明）◇无穷积分比较法则（用单调有界定理证明）推论：(i) |f(x)| ≤1/xp且p＞1时，∫a∞|f(x)|dx 收敛；(ii) |f(x)| ≥1/xp且p≤1时，∫a∞|f(x)|dx 发散◇若f和g都在[a,u]上可积，g(x) ＞0，且lim|f(x)|/g(x)=c，则(i)0＜c＜+∞时，∫a∞g(x)dx与∫a∞|f(x)|dx 同敛态；(ii)c=0时，∫a∞g(x)dx 收敛时∫a∞|f(x)|dx必收敛；(iii) ∫a∞g(x)dx发散时∫a∞|f(x)|dx必发散（用比较法则证明）推论：limxp|f(x)|=c，(i)p＞1，0≤c＜+∞时，∫a∞|f(x)|dx 收敛；(ii)p≤1，0＜c≤+∞时，∫a∞|f(x)|dx发散◇狄里克雷判别法（用积分第二中值定理和柯西收敛准则证明）◇阿贝尔判别法（用积分第二中值定理或狄里克雷判别法证明）◇瑕积分收敛柯西准则（类似无穷积分）◇瑕积分线性性质（类似无穷积分）◇瑕积分区间可加性（类似无穷积分）◇瑕积分绝对值不等式（类似无穷积分）◇瑕积分比较法则及推论（类似无穷积分）◇瑕积分比较法则极限形式及推论（类似无穷积分）--------------------------------------------注：1. 该整理是由包晨风根据华东师大数学系编的《数学分析（上册）》完成的2. 斜体字为证明方法提示（并不唯一，只是个人觉得较方便的方法），无斜体字的均可由定义证出3. 该整理不包括任何定义，部分定理的叙述从简，并不严谨4. 该整理的编排顺序与教材不同，除了泰勒公式的积分型余项和柯西型余项，其余定理或性质的证明所需的前置定理均可在前文中找到5. 请大家多指教。
(完整版)数值分析重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
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导数公式:= scc 2 x/ 2 (cfgx)'= -cscr(secx)r= secx ・tgx (esc x\ = - esc x •etgx (a x \ = a x \na(arccosx)'=——/yjl-x2— 2I n = Jsin" xdx = jcos Mxdx 0(log. x\ =1x\na(arcctgx)f=1 l + x 2基本积分表：ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + CJese xdx = ln|csc x - etgx +C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dxcos 2 xdxsin 2x|sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + Cdx ~2 2a +x dx 2 7 x -erdx a 2-x 2dx\la 2 -x 2x-a2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C2a a-x= = arcsin —+ Cajsec x • tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + Cia xdx = ———CJInezjshxdx = chx + C ^chxdx = shx + CJ 岛 T 777"^x 2+a 2dx = — y/x 2+ a 2+ — ln(x + y/x 2+a 2) + C 2_________ ____________________ 2JVx 2-a 2d x =~ J 兀2_ — In 兀 + — cz 厶+ CJJ/x = *罷 三角函数的有理式积分：2 一 + — arcsin — + C2a sinx =2u l +u 2cosx = 1 -M 21 + w 2U=tg2dx =2dul + w 2(arctgx)f = 1l + x 2/r 2(arcsin x)fsin(cr ± /?) = sin a cos /? ± cos <7sin 0cos(a ± 0) = cos a cos 0 年sin a sintga土tg0•和差化积公式：sirm + sin 0 = 2 sin cos ~~~~ sin 6Z-sin 0 = 2 cos °十X _ -X双曲正弦:shx=' r2双曲余弦:chx = C A2c/7r e x双曲正切:thx = - = ^-^ chx e +e arshx = ln(x + Vx2 +1) archx = ± ln(x + y]x2 -1)sinxlim ----- =1lim(l + -)' = ^ = 2.718281828459045... —8 %arthx = —In2三角函数公式:•诱导公式：数角彳、sin cos tg Ctg-a-sina cosa-tga-ctga90°-a cosa sina ctga tga90°+a cosa-sina-ctga-tga180°-a sina-cosa-tga-ctga180°+a-sina・ cosa tga ctga270°-a-cosa-sina ctga tga270°+a-cosa sina-ctga-tga360°-a-sina cosa-tga-ctga360°+a sina cosa tga ctga •和差角公式:tg(a±/3) =/ , °、ctga・ctg0 +\crg(d±0)= & ""sin ―—2 2r 6Z + 0 oc — (3 cos a + cos 0 = 2 ncos —-^― cos —-^― cos a - cos 0= 2 sin " + " sin —―—2 2•倍角公式:•半角公式:(济)(“)=£算严幼严Jl=0冲叫+和+汕知” +…+⑷-1)・・°"+叽心)严+・・・ + "/)2! k\中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理:f(b)-f(a) = f^)(b-a) 柯西中值定理严)- W 以OF(b)-F(a) F©当F(Q 二x 时，柯西中值定理就是拉格朗口中值定理。
曲率：sin 2a = 2 sin a cos acos2cr = 2cos 2 a-\-1 -2sin 2 a - cos 2 «-sin 2a c c tg2a 一 1 ctg2a = ---------2ctgasin 3cr = 3 sin a -4sin 3a cos3cr = 4COS '&-3COSQtg3a =3tga tg'a \-3tg 2a• asin —=2a , /l-cos<7 1-COS6Z sin a tg — = ±A ------- = --------- = -------- 2 V 1 + coscr sin a 1 + COSQa , |l + cosQcos — = ±J ---------2 V 2a , Jl + cosa 1 + COSQ sin a ctg — = 土 J ----------------- = ----------- = ----------- 2 v 1-COS6Z sincr 1 -coscr・正弦定理：-^— = -^— = ^— = 2R sinA sinB sinC•余弦定理：c 2 = a 2 +b 2-2abcosC•反三角函数性质：arcsinx = ----- arccosx271arctgx = --- arcctgx高阶导莱布尼兹(Leibniz)公式:弧微分公式：ds = {1 +）严曲其i|y = /ga .△&:从M 点到NT 点，切线斜率的倾角变化量；As ： MM 弧反。
直线:K = O;半径为a 的圆：K=-. a 定积分的近似计算：b t矩形法:丄上（儿+）>+•••+儿-）i n b>j梯形法：j/（x ）« —^-［-（y 0 + 儿）+ x + …+ 儿_】］abfh — Z7抛物线法:］7（x ） u 玄-［（儿+儿）+ 2（儿+儿+…+儿—2） + 4（X +儿+…+儿-1）］a定积分应用相关公式: 功：W = F-s 水压力：F = p-A 引力：F = k^,k 为引力系数r空间解析几何和向量代数:平均曲率灭=M 点的曲率：K = \im山TO A Sdads Vo+/2）3函数的平均值»二均方根:ba空间2点的距离：〃 =|冏叽| = J (£ 一州)2 + (儿一 X )2 + G - Z |)2 向量在轴上的投影:Pr 血乔=|乔卜cos 00是乔与”轴的夹角。
Pr j u (5i +52)= Pr皿 + Pr ja 2a-b = \a\ - h cos0 = a x b x +a y h y +a.h ：9是一个数量，a_ ,|c|= a -|&|sin^.例：线速度:v = vvxr.bx 伏,向量的混合积：[ahc] = (dxb)-c = h x-dy 冬 _b y b z = axh •c COSQ ,Q 为锐角时,代表平行六面体的体积。
平面的方程：1、点法式：A(x-x o ) + B(y-y o ) + C(z-z o ) = O,其中n = {A,B,C},M Q (x Q ,y Q ,z Q )厶一般方程：Ax +By+ Cz + Q = 03、截距世方程:兰+工+三=1a b c平面外任意一点到该平面的距离：〃」办。
+〃儿+5+刖V A 2 + S 2 + C 2X = X G + mt 空间直线的方程:乂也= =二英中2仙‘,“}；参数方程:尸儿+mmn p二次曲面：2 2 21、 椭球而:与+件+* = 1a b “ c2 22、 抛物ffi:—4-—= Z,(p ，9同号)2p 2q3、 双曲面：2 2 2 单叶双曲面:亠+―-二=1 cr b 「 c2 2 2双叶双曲面:二-—+二=1(马鞍面)cr b 「 c_多元函数微分法及应用两向量之间的夹角:COS& =•航 +b ：+b ：c = axb = a x a y全微分：dz = —dx + — dy du = —dx +—dy +—dz dx dy dx dy ' dz 全微分的近似计算："=dz = f x (x, y)Ax + f y (x, y)Ay 多元复合函数的求导法：dz dz du dz dv dt du dt dv dt当u =u(x,y\ v = v(x, y)时,隐函数的求导公式:迦—__L °(F ，G) dx J6(x, v) 里—丄 Q(F,G) Sy J 5(y,v)微分法在几何上的应用：兀=0⑴空间曲线y = 0⑴在点Mgjg)处的切线方程:导=宁汁壬 小 (P (A )) 0仏)血亿))Z = co(t) 在点M 处的法平面方程:0仏)(兀-兀0 ) + 0‘仏)(y 一儿)+少(厲)(z - Zo ) = 0若空间曲线方程为则切向量〒={Fy耳巴F v[G(“Z ) = O5 SGM GJ 负 G y曲面F(x, y, z) = 0上一点M (x 0, y Q , z 0),贝山1、 过此点的法向量：h = {F x (x 0,y (),^()),F y (x 0,y (),^()),F z (x 0,y 0,z ())}2、 过此点的切平面方程：的(兀0，儿，5)(兀-兀0)+耳(兀0』0,5)0-儿)+ 3(兀0』0忆0)(2-5)= 0方向导数与梯度:z = /［心必咻刃］dz _ dz du + dz dv dx du dx dv dx』 du . du . au =——dx-\ -- dydx dydv = ^dx^dy dx dy 隐函数F(x, y) = 0,乞)+2( -F 、\ oy■2 F y dx隐函数 F(x,y,z) = O,翌=_匕dx F_<•隐函数方程组：严』以)=0G(x,y,u,v) = 0dFdFj 0(F,G)duF FU y 5(w,v) 8GdGG u Gvdu6v过此点的法线方程:一』一EOW O M O ) y -儿 Fy (兀 o 』▲ OWoMo)& =_£vF aG)X)G1 刃, r\ F M 5(5 一一 =av一函数z = 在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数^J ：—= —cos^? +—sin^dl dx dy其中。