数学分析复习资料及公式大全.docx

导数公式:

= scc 2 x

/ 2 (cfgx)'= -cscr

(secx)r

= secx ?tgx (esc x\ = - esc x ?

etgx (a x \ = a x \na

(arccosx)'=——/

yjl-x

2

— 2

I n = Jsin" xdx = jcos M

xdx 0

(log. x\ =

1

x\na

(arcctgx)f

=

1 l + x 2

基本积分表：

ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + C

Jese xdx = ln|csc x - etgx +

C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dx

cos 2 x

dx

sin 2

x

|sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + C

dx ~2 2

a +x dx 2 7 x -er

dx a 2

-x 2

dx

\la 2 -x 2

x-a

2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C

2a a-x

= = arcsin —+ C

a

jsec x ? tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + C

ia x

dx = ———C

J

Inez

jshxdx = chx + C ^chxdx = shx + C

J 岛 T 777

"

^x 2

+a 2

dx = — y/x 2

+ a 2

+ — ln(x + y/x 2

+a 2

) + C 2

_________ ____________________ 2

JVx 2

-a 2d x =

~ J 兀2

_ — In 兀 + — cz 厶

+ C

JJ/

x = *罷 三角函数的有理式积分：

2 一 + — arcsin — + C

2

a sinx =

2u l +

u 2

cosx = 1 -M 2

1 + w 2

U=tg

2

dx =

2du

l + w 2

(arctgx)f = 1

l + x 2

/r 2

(arcsin x)f

sin(cr ± /?) = sin a cos /? ± cos <7

sin 0

cos(a ± 0) = cos a cos 0 年sin a sin

tga土tg0

?和差化积公式：

sirm + sin 0 = 2 sin cos ~~~~ sin 6Z-sin 0 = 2 cos °十

X _ -X

双曲正弦:shx=' r

2

双曲余弦:chx = C A

2

c/7r e x

双曲正切:thx = - = ^-^ chx e +e arshx = ln(x + Vx2 +1) archx = ± ln(x + y]x2 -1)

sinx

lim ----- =1

lim(l + -)' = ^ = 2.718281828459045... —8 %

arthx = —

In

2

三角函数公式:

?诱导公式：

数

角彳、

sin cos tg Ctg

-a-sina cosa-tga-ctga

90°-a cosa sina ctga tga

90°+a cosa-sina-ctga-tga

180°-a sina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina? cosa tga ctga

270°-a-cosa-sina ctga tga

270°+a-cosa sina-ctga-tga

360°-a-sina cosa-tga-ctga

360°+a sina cosa tga ctga ?和差角公式:

tg(a±/3) =

/ , °、ctga?ctg0 +

\

crg(d±0)= & "

"sin ―—

2 2

r 6Z + 0 oc — (3 cos a + cos 0 = 2 n

cos —-^― cos —-^― cos a - cos 0

= 2 sin " + " sin —―—

2 2

?倍角公式:

?半角公式:

(济)(“)=￡算严幼严

Jl=0

冲叫+和+

汕知” +…+⑷-1)??°"+叽心)严+??? + "/)

2! k\

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理:f(b)-f(a) = f^)(b-a) 柯西中值定理严)- W 以O

F(b)-F(a) F?

当F(Q 二x 时，柯西中值定理就是拉格朗口中值定理。 曲率：

sin 2a = 2 sin a cos a

cos2cr = 2cos 2 a-\-1 -2sin 2 a - cos 2 ?-sin 2

a c c tg

2

a 一 1 ctg2a = ---------

2ctga

sin 3cr = 3 sin a -4sin 3

a cos3cr = 4COS '&-3COSQ

tg3a =

3tga tg'a \-3tg 2

a

? a

sin —=

2

a , /l-cos<7 1-COS6Z sin a tg — = ±A ------- = --------- = -------- 2 V 1 + coscr sin a 1 + COSQ

a , |l + cosQ

cos — = ±J ---------

2 V 2

a , Jl + cosa 1 + COSQ sin a ctg — = 土 J ----------------- = ----------- = ----------- 2 v 1-COS6Z sincr 1 -coscr

?正弦定理：-^— = -^— = ^— = 2R sin

A sin

B sinC

?余弦定理：c 2 = a 2 +b 2

-2abcosC

?反三角函数性质：arcsinx = ----- arccosx

2

71

arctgx = --- arcctgx

高阶导

莱布尼兹(Leibniz)公式:

弧微分公式：ds = {1 +）严曲其i|y = /ga .△&:从M 点到NT 点，切线斜率的倾角变化量；As ： MM 弧反。

直线:K = O;

半径为a 的圆：K=-. a 定积分的近似计算：

b t

矩形法:丄上（儿+）>+???+儿-）

i n b

>

j

梯形法：j/（x ）? —^-［-（y 0 + 儿）+ x + …+ 儿_】］

a

bf

h — Z7

抛物线法:］7（x ） u 玄-［（儿+儿）+ 2（儿+儿+…+儿—2） + 4（X +儿+…+儿-1）］

a

定积分应用相关公式: 功：W = F-s 水压力：F = p-A 引力：F = k^,k 为引力系数

r

空间解析几何和向量代数:

平均曲率灭=

M 点的曲率：K = \im

山TO A S

da

ds Vo+/2）3

函数的平均值?二

均方根:

b

a

空间2点的距离：〃 =|冏叽| = J (￡ 一州)2 + (儿一 X )2 + G - Z |)2 向量在轴上的投影:Pr 血乔=|乔卜cos 00是乔与”轴的夹角。 Pr j u (5

i +5

2)

= Pr

皿 + Pr ja 2

a-b = \a\ - h cos0 = a x b x +a y h y +a.h ：9是一个数量，

a_ ,|c|= a -|&|sin^.例：线速度:v = vvxr.

b

x 伏,

向量的混合积：[ahc] = (dxb)-c = h x

-

dy 冬 _

b y b z = axh ?

c COSQ ,Q 为锐角时,

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x-x o ) + B(y-y o ) + C(z-z o ) = O,其中n = {A,B,C},M Q (x Q ,y Q ,z Q )

厶一般方程：Ax +By+ Cz + Q = 0

3、截距世方程:兰+工+三=1

a b c

平面外任意一点到该平面的距离：〃」办。+〃儿+5+刖

V A 2 + S 2 + C 2

X = X G + mt 空间直线的方程:乂也= =二英中2仙‘,“}；参数方程:尸儿+m

m

n p

二次曲面：

2 2 2

1、 椭球而:与+件+* = 1

a b “ c

2 2

2、 抛物ffi:—4-—= Z,(p ，9同号)

2p 2q

3、 双曲面：

2 2 2 单叶双曲面:亠+―-二

=1 cr b 「 c

2 2 2

双叶双曲面:二-—+二=1(马鞍面)

cr b 「 c_

多元函数微分法及应用

两向量之间的夹角:COS& =

?航 +b ：

+b ：

c = axb = a x a y

全微分：dz = —dx + — dy du = —dx +—dy +—dz dx dy dx dy ' dz 全微分的近似计算："=dz = f x (x, y)Ax + f y (x, y)Ay 多元复合函数的求导法：

dz dz du dz dv dt du dt dv dt

当u =u(x,y\ v = v(x, y)时,

隐函数的求导公式:

迦—__L °(F ，G) dx J

6(x, v) 里—丄 Q(F,G) Sy J 5(y,v)

微分法在几何上的应用：

兀=0⑴

空间曲线y = 0⑴在点Mgjg)处的切线方程:导=宁汁壬 小 (P (A )) 0仏)血亿))

Z = co(t) 在点M 处的法平面方程:0仏)(兀-兀0 ) + 0‘仏)(y 一儿)+少(厲)(z - Zo ) = 0

若空间曲线方程为则切向量〒={

Fy

耳

巴F v

[G(“Z ) = O

5 S

GM GJ 负 G y

曲面F(x, y, z) = 0上一点M (x 0, y Q , z 0),贝山

1、 过此点的法向量：h = {F x (x 0,y (),^()),F y (x 0,y (),^()),F z (x 0,y 0,z ())}

2、 过此点的切平面方程：的(兀0，儿，5)(兀-兀0)+耳(兀0』0,5)0-儿)+ 3(兀0』0忆0)(2-5)= 0

方向导数与梯度:

z = /［心必咻刃］

dz _ dz du + dz dv dx du dx dv dx

』 du . du . au =——dx-\ -- dy

dx dy

dv = ^dx^dy dx dy 隐函数F(x, y) = 0,

乞)+2( -

F 、\ oy

■2 F y dx

隐函数 F(x,y,z) = O,

翌=_匕

dx F_

隐函数方程组：严』以)=0

G(x,y,u,v) = 0

dF

dF

j 0(F,G)

du

F F

U y 5(w,v) 8G

dG

G u G

v

du

6v

过此点的法线方程:一』一

EOW O M O ) y -儿 Fy (兀 o 』▲ OWoMo)

& =_￡v

F a

G)X)G1 刃

, r\ F M 5(5 一一 =

av

一

函数z = 在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数^J ：—= —cos^? +—sin^

dl dx dy

其中。为兀轴到方向/的转角。

函数z = /(“)在一点/心y)的梯度：gradA (x,y) = %i +嬰了

ox dy

它与方向导数的关系是:% = grad f(x,y)-e,其中e =cos(p-I + sin^-j,为/方向上的 ol

单位向量。

设人(筍，儿)=人(兀o 』o) = O ，令：几CWo) = 4,几(兀o 』o) = B, /vv (x 0,y 0) = C AC-庆＞0

时，卩儿)为极大值

[A ＞0,(3。)为极小值

则彳4C-矿＜0时，

无极值

AC — B2=0时，

不确定 重积分及其应用:

y)dxdy = jj/(r cos^, z*sin 0)rdrclO

D

D f

Vz 、

平面薄片的重心："竺5

--------- ,

M JJp(x,y)db

D

平面薄片的转动惯量：对于兀轴人=JJy?(兀,),，)dcr,

对于y 轴/、. = ^x 2

p(x,y)d

D

D

平面薄片(位于my 平面)对z 轴上质点M(0,0Q,(d>0)的引力：F 二{"￡,/},其中: 化=仙 畑)如

3,

口 Q(S)MJ

F = _fa p(X ,y)xda^

D

(x 2

+ y 2 +a 2

y

D

(x 2 + y 2 +6Z 2)

2

D

(x 2

+ j 2

+a 2)2

柱面坐标和球面坐标:

2

dxdy

_ Mx [["(")〃 y = -

----- = --------- "M JJp(_x,y)db

D

多元函数的极值及其求法：

x = rcosO

y =厂 sin0, j JJ/ (x

? z)dxdydz = ^F(r,O.z)rdrclOdz, Z = Z

其中：F(r,<9,z) = /(rcos<9,r sin 0.z)

x = rsin^cos^

y =厂sin0sin&, dv = rd(p ?厂sin0?d&?d,"=厂 s\x\(pdrd(pdO z = rcos(p

2/r n r{(p.O)

y,z)dxdydz =

sm(pdrd(pdO =

|F(r,^?,^)r 2sin^r

Q

Q

重心：

嗨呼伉

卩曲

=扌护皿

转动惯量:I x = JJJ(y 2

+z 2

)pdv 9 ly = jjj(x 2

+z 2

)/^/v, Q

Q

曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):

X =(p(t)

…

二,(6r

p ____

^f(x,y)ds= J/[^(r),妙(/)]J02 ⑴ + 屮门(t)dt (a < 0) 特殊情况:<

A a

柱面坐标:

球面坐标H

其中 M =x = jjj/x/v

Q

:Jjj (宀

Q

设f(x,y)在厶上连续，L 的参数方程为:

x = t

y =(p(f)

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设厶的参数方程为\x=（p（t\贝h

y =肖⑴

卩

Jp（x, y）dx + 0（兀,y）dy = J{P[0（/）,0（/）]0（/） +

L a

两类曲线积分么间的关^Pdx + Qdy= J（PcosQ + Qcos"）ds,其屮a和0分另U为

L L

厶上枳分起止点处切向量的方向角。

格林公式:（挈 - 7）dxdy = pdx + Qd）格林公式寸J（響 - ）dxdy = \Pclx 4- Qdy D % 6 I D°y L

当P = -y,Q = x,即：oQ _&P =2时，得到￡> 的面积：A = ^dxdy = ^xdy - ydx

°x dy p 2 /

?平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P（x, y）, Q（x, y）在G内具有一阶连续偏导数，冃竽=?。注意奇点，如（0,0）,应

dx cy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

?二元函数的全微分求积：

在字=7时，Pdx + Qdy才是二元函数/心,y）的全微分，具中: dx dy

g)

p(兀,y)dx + Q(兀,y)狞,

通常设X。= y0 = 0o

(心几)

曲面积分：

对面积的曲面积分:儿z)ds =y, z(x, y)] Jl + Z； (x, y) + z； (x, y)dxdy

工D xy

对坐标的曲面积分:jjP(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x,y, z)dxdy,其中：

y,z^dxdy = ± y9z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

Jjp(%,y, z)dydz = ± JpIXy,z), y, z\dydz，取曲面的询侧吋取正号；

儿z)dz.dx = ± y(z,x), z]dzdx,取曲面的右侧时取止号。

工 4

两类曲面积分之间的关系:j j Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = f J( P cos a + Q cos 0 + /? cos y )ds

咼斯公式:

用烂+警+譽妙岬p 如 + Qdzdx + Rdxdy =如P cos a + Q cos 0 + R cos y)ds

比

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div7 = $ +学+嬰，即：单位体积内所产生的流体质量，若div v < 0,则为消失… dx dy dz 通量:jjA- hds =

= jj(P cos a + Q cos 0 + 7? cos y)ds,

因此，高斯公式又可写 成:JJJdiv 月血=羽 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

向量场人沿冇向闭曲线厂的环流量:jPdx-^Qdy + Rdz = ^A-tds rr 常数项级数: 等比数歹lhl + g + q2+??? + q 讥上尤

l-q

等并数歹I 」：1 + 2 + 3 n =

+ D"

2

调和级数』+丄+丄+ ??? +丄是发散的 2 3 n 级数审敛法:

dydz dzdx dxdy

coscr cos/? COS/

d d d

=w

a a

d dx dy & dx 6 dz P Q

R

P

Q

R

空间曲线积分与路径无关的条件譽詈

_ dR 6Q_dP^ dz dx dx dy

旋度：rotA =

1

d dx p d

Sy Q r

cP 上式左端又可写成出

[f （殁-—）dydz + （学-—Ylzdx + （—- —）dxdy = <\Pdx + Qdy + Rdz #

dy &

& dx dx dy

J

QV1时，级数收敛 设：p = lim 丽7，贝ij<

p>\时，级数发散 71-?00 V .

° = 1时，不确定

2、比值审敛法：

QV1时，级数收敛

TJ

设：° = lim 匕巴，贝IJ °〉1时，级数发散 "Too TJ

" 0 = 1时，不确定

3、定义法：

s n =Uj +u 2 ++

存在,则收敛；否则发散。

ns

交错级数Wj -U 2 +氏3 - “4 +…(或-"l +“2 一 “3 +…，叫>0)的审敛法 ----- 莱布尼兹定理： [11… > U lt+,

如果交错级数满足￡爲 J 。，那么级数收敛且其和曲”其余项乙的绝对值|rj<^+1o l”T0C fl 绝对收敛与条件收敛：

(1)%] +比2 -- U

n +

其川冷为任意实数;

⑵”]| +机| + |“31 +…+血+…

如杲⑵收敛，贝灿肯定收敛，且称为绝对收敛级数; 如杲(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

级数:工丄收敛;

P<1时发散

”〉1时收敛

壽级数:

调和级数:发散,

而工收敛;

n

兀<1时，收敛于

\ — X

兀n 1时,发散

对于级数（3）a 04-a }x 4-ci 2x 2

---- °“兀"+???,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全

l\x\ < R 时收敛

数轴上都收敛，则必存在/?,使i\x\>R 时发散，其屮/?称为收敛半径。

寸不泄

p 工0吋，R =— 求收敛半径的方法：设lim|纽| = °,其中附 论是⑶的系数，贝# ° = 0时，R = +oo n

\ p = +oo 时，R = 0

函数展开成幕级数:

函数展开成泰勒级数：/（%） = /（兀0）（兀-兀0）+匸

"°）（X 7（））2 +???+ —

（兀-看））

"+…

2!

m

余项：R n

y （C （x — M ，/S ）可以展开成泰勒级数的充要条件是山H1&, =0

（/1 + 1）!

nx

兀。=0时即为麦克劳林公式：/（兀）= /（o ）+广⑼単/+…+￡22*+... 2!

m

一些函数展开成霉级数：

Z1 w [

m(m-l) 7

加(加一1)…(加一M + 1) “

(1 + 兀)川=1+加兀+ ---- Q + ???+ --- △__ ------ 兀"+??

2! n\

/

V 5

严 I

sinx = x ----- + -------- + (— I)"" -------- + …

(-00 < x < +oo)

3! 5! (2/1-1)!

欧拉公式:

cosx = 或

sinx =

三角级数:

/(0 = 4)+ ￡ 观 sin (H 血 + 久)=牛 + n=l 厶

其中，= aA^, a n = A n sin (p n , b n = A n cas(p n , cut = x o

正交性：1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x ? ? ? sin nx, cos nx …任意两个不同项的乘积在［一兀,

龙］ 上的积分=0。

1 + x + %2

+ X’ + …+ x" + … (―1 < x < 1)

ix

? ?

e = cosx + zsinx

8

cos nx + b n sin

nx)

傅立叶级数:

/(x) = —+ (d“ cos nx + b n sin nx),周期=2/r

2 n=l

i 江

a n =—

(x) cos nxdx

-咒 1 兀

Z?n = — j/ (x)sinnxdx 兀一托

周期为2/的周期函数的傅立叶级数:

其中

0 = 123 …)

I 1 1 7T 2

\ L \ 1 1 71

1+—7 + —7 + ??? =— \ /1+ —+ — + — + ??? = — 32 52 8 \ 22 32 42

1 1 1 7T

2 \. I 1 1 71 歹+乔*歹Z = L 歹+尹一聃+…

2 ：

正弦级数：a n = 0, b n = —J/(x)sinnxJx

71

jj/wcos^/x + ??? 2 1(相加)

6 2 -(相减) 12

n = 123 … /（X ）=工乞sin nx&奇函数 余弦级数:b n =0, a n =■

“ 0

n = 0丄2… /⑴二鱼+》?COS 处是偶函数

2

/（x ） =牛+ ￡（碍 cos 罕? + b“sin 竽），周期=2/

2 n=l

I

I

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：)/ = /0,刃 或 P (X,y)dx + Q(x,y)dy = 0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy = f(x)dx 的形式，解法：

k (y)dy = J7 (x)dx 得：G (y) = F (兀)+ C 称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成— = f(x,y) = ^x,y)f 即写成丄的函数，解法： dx X 设弘二2,贝\\— = u + X — , u+— =(p(u)f

———分离变量,积分后将2代替

x dx dx dx

x (p{u)-u

x

即得齐次方程通解。 一阶线性微分方程:

1、 一阶线性微分方+ P(x)y = 2(x)

dx

/当0⑴=0时,为齐次方程，y = Ce~^{x)dx

\当Q(X )H 0时,为非齐次方程,y = ( jQ(x)eP""*dx + C)e-P""*

2、 贝努力方程:冬 + P(x)y = Q(x)y n

^n 工 0,1)

dx

全微分方程：

如杲Pg y)dx + 0(兀,y)dy = 0中左端是某函数的全微分方程，即:

du(x 9y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,其中』=P(x,y),^~ = Q(x,y) ox dy

.?.W (x,y) = C 应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y" + py' + gy = 0,其中为常数;

求解步骤：

1、 写出特征方程：(A)厂2 + ” + q = 0,其中厂2,厂的系数及常数项恰好是(*)式中y",y',y 的系数;

2、 求出(△)式的两个根人,厂2

（2 0,12…）

+ 2Wy = /（A

/(兀)三o 时为齐次

/(X )H 0时为非齐次

（归,2,3…）

dx 1

、根据人上的不同情况，按下表写出(*)式的通解:

二阶常系数非齐次线性微分方程

y n+py f qy = f (x), p9q为常数f(x) = e Ax P m(x)^9 2为常数；f(x) = e Ax[P l(x) cos cax+ P n (x) sin cox]型