齐次线性方程组
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齐次线性方程组
２．齐次线性方程组解的性质
的解， （1）若 x = ξ1 , x = ξ 2 为 Ax = 0 的解，则 的解. 也是 Ax= 0 的解.
x = ξ1 + ξ 2
证明 ∵ Aξ1 = 0 , Aξ 2 = 0
∴ A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
故 x = ξ1 + ξ 2 也是 Ax = 0的解 .
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am 1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = 0
2 7 3 7 5 7 , 4 7 , 即得基础解系 ξ 1 = ξ2 = 0 1 0 1
7 3 及 x1 2 7 3 7 x2 5 7 4 7 = c1 + c2 , (c1 , c 2 ∈ R ). x3 1 0 0 1 x4
S = {x = k 1ξ 1 + ⋯ + k n− r ξ n− r k 1 ,⋯, k n− r ∈ R}.
特别的，当R( A) = n时，方程组只有零解 因而没有基础解系 ， 。此时 解空间只有一个零向量，为零维子空间 。 推论。齐次线性方程组有非零解的充分必要 1 条件是系数矩阵的秩小于未知量个数。 推论2，对于m = n, 齐次线 性方程组有非零解充分必要条件系数矩阵的行 列式为 。 0
线性代数 3-1-齐次方程组
若非零向量
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
线性代数齐次线性方程组
x11 x2 2 xn n 0 有非零解
, , 线性相关 矩阵 A ( , ,, )的秩 R( A) n
1 2 n
2 1 n
于是我们得到下面的一个非常重要的判定定理 定理1 齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解的 充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个 数，即 R A n.
由于系数行列式为零，所以有非零解
方法二
对系数矩阵A作初等行变换
1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 4 14 8
1 1 5 1 r2 r1 1 1 2 3 r 3r 3 1 A 3 1 8 1 r4 r1 1 3 9 7 1 1 5 1 r3 r2 0 2 7 4 r4 2r2 0 0 0 0 0 0 0 0
由于与都是方程Ax 0的解, 而Ax 0又等价于
x1 b11 x r 1 b1,n r x n x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r
方程组
而方程组的前r个未知量的值由后面n－r个 未知量唯一确定
（1）
若记
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2
a1n a2 n , amn
x1 x2 x x n
则上述方程组（1）可写成矩阵方程
Ax 0.
x 1 2
齐次线性方程 组的解对于加 法运算封闭
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k 也是 Ax 0 的解． 齐次线性方程 证明
齐次线性方程组
返回
定理:齐次线性方程组 ① ,如果它的系数矩阵的秩 R(A)=n,那么它只有零解,没有基础解系,如果 R(A)<n,那么它有无穷多解,存在基础解系,且它的 基础解系所含的解向量的个数为n-r个(其中=R(A)). 定理: a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 有非零解 A 0 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 证明:
b12 2 b1,n r n r br 2 br ,n r 无关 0 , , 0 . 1 0 无关 0 1
1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 r3 r1 0 0 1 2
20
返回
1 r3 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 0 0
1 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 . 1 2 0 0 0 0
§2 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的性质 二、齐次线性方程组的非零解
1
返回
一、齐次线性方程组解的性质
齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 am1 x1 amn xn 0 AX = 0 ②
①
x1 c1 记 [註]: 1. 若 X ξ, 则 x n cn
x2 x2
x4 2 x4 x4
则
x2 1 令 , x4 0
定理:齐次线性方程组 ① ,如果它的系数矩阵的秩 R(A)=n,那么它只有零解,没有基础解系,如果 R(A)<n,那么它有无穷多解,存在基础解系,且它的 基础解系所含的解向量的个数为n-r个(其中=R(A)). 定理: a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 有非零解 A 0 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 证明:
b12 2 b1,n r n r br 2 br ,n r 无关 0 , , 0 . 1 0 无关 0 1
1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 r3 r1 0 0 1 2
20
返回
1 r3 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 0 0
1 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 . 1 2 0 0 0 0
§2 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的性质 二、齐次线性方程组的非零解
1
返回
一、齐次线性方程组解的性质
齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 am1 x1 amn xn 0 AX = 0 ②
①
x1 c1 记 [註]: 1. 若 X ξ, 则 x n cn
x2 x2
x4 2 x4 x4
则
x2 1 令 , x4 0
线性代数——齐次线性方程组
T
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
齐次线性方程组
齐次线性方程组(2)X b=A 它可写作矩阵形式：的方程组形如)(122112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn m n m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为线性方程组n m ij a A ⨯=)(是系数矩阵其中T m T n b b b x x x ),,(),,(2121 ==b X 称)(b A B =为增广矩阵,通常写成),()|(b A b A 或一、线性方程组的概念b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组当,k x ,,k x ,k x ,,k ,,k ,k x ,,x ,x nn 2211n21n 21=== 则我们称变成恒等式若能使得每一个等式都每一个方程后代入方程组中的分别用数是方程组的一个解方程组的解的全体组成一个集合，我们称这集合为方程组的解集合。
所谓解方程组实际上就是求出它的解集合。
)1(221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x 21X 若令,a a a a aa a a a A mn m m n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211则（1）可写成矩阵形式:(2)0X =A 一、齐次线性方程组则(1) 也可写成向量形式:nj a a a mj j j j ,,2,121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α若令系数矩阵的列向量组）的为齐次线性方程组（即向量组1,,21n ααα 那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解.T )0,0,0( =X 显然(3)0...n 2211=+++αααn x x x由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式AX =0有非零解⇔R （A ）< n齐次线性方程组AX =0只有零解⇔R （A ）= n齐次线性方程组n ααα ,,21线性无关,那么R(A)=n 。
齐次线性方程组
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
依次得x1 Fra bibliotekb11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
Ax 0只 有 零 解 A 0; Ax 0有 非 零 解 A 0.
证 （1）Ax 0只 有 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
Ax 0有 非 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
当m n时 ， 必 有r( A) minm, n m n,此 时Ax 0必 有
br 1
1 1 ,
0
解 系 ， 证 明 ：1 2 3 , 2 1 32 23 , 3 21
一
2
定
是Ax
0的
基
础
解
系.
证 根 据 已 知 条 件 可 以 写 出矩 阵 等 式 ：
1 1 2
（1， 2， 3）（1，2，3）1 3 1，
0 2 0 记 为B A.因 为 表 出 矩 阵 的 行 列 式
112 P 1 3 1 2 0，
是Ax
0
的基础解系。证毕。
２.齐次线性方程组的通解的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A通过初等变换可化为
1
0
b11
b1,n r
0 A~
2.4齐次线性方程组
19
3 0 5 0 1 1 2 r2 r1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 2 1 3 0 5
1 1 2 1 r3 r2 0 3 1 3 0 3 1 3
n r i 1
证明 系数矩阵 Amn 初等行变换 行阶梯形
(P61定理2.10)
初等行变换
行最简形
c1r 1 c1n 1 1 c2 r 1 c2 n 1 c c rr 1 rn 0 0 0 0 0 其中 xr 1 , xn 为自由未知量 （共有 n r 个） ，
1 1 1 r r 1 1 1 r32 r11 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
可得方程组（2.12）的解
其中 x 2 , x3 可取任意数。
x1 x 2 x3 x2 x2 x x 3 3
x1 x 3 x 2 x3 x x 3 3
其中 x3 可取任意数。
9
(3)当 2 时，方程组（2.12）的系数矩阵为
1 1 1 A 1 1 1 1 1 1
显然 R( A) 1 n(这里n=3)
此时方程组（*）也有无穷多个解。对A施行初等行变换
1 (5, 1,3,0)T , 2 (0,1,0,1)T ,因此, (2.15)的通解为:
x1 5 0 x 1 2 k k k k 1 , 其中k , k 可取任意数. 1 1 2 x3 1 1 2 2 3 2 0 0 1 x4
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本文深入探讨了线代齐次方程组的解求法。首先，介绍了基础解系的概念，即由n-r个无关解向量组成，这些解向量构成了齐次方程组解集的一个最大无关组。接着，详细阐述了基础解系的求法，包括利用矩阵的秩来确定解向量的数量，以及通过化行最简形矩阵来求解具体的基础解系。此外，还进一步讲解了齐次方程组解的结构，指出任意解均可由基础解系线性表示，向量空间的封闭性与生成性，以及向量内积与长度的概念。这些内容为理解齐次方程组的解求法提供了重要的理论基础。最后，通过实例演示了如何应用这些方法来求解具体的齐次方程组，使读者能够更直观地掌握解求法的实际应用。