吉林省长春市2020年九年级上学期数学期末考试试卷A卷
吉林省长春市2020年九年级上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共8题；共16分)
1. （2分）已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示是（）
A . 0.21×10-4
B . 2.1×10-4
C . 2.1×10-5
D . 21×10-6
2. （2分） (2017八下·德惠期末) 下列各式中正确的是（）
A . 2﹣3=8
B . ﹣2﹣3=
C . ﹣2﹣3=﹣
D . （2017﹣π）0=0
3. （2分） (2019七下·越城期末) 下列统计中，适合用“全面调查”的是（）
A . 某厂生产的电灯使用寿命
B . 全国初中生的视力情况
C . 某校七年级学生的身高情况
D . “娃哈哈”产品的合格率
4. （2分）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）
A . (2x－2)(3x－4)=0 ,∴2x－2=0或3x－4=0
B . (x+3)(x－1)=1 ,∴x+3=0或x－1=1
C . (x－2)(x－3)=2×3 ,∴x－2=2或x－3=3
D . x(x+2)=0 ,∴x+2=0
5. （2分）根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（）
x…﹣1012…
y…﹣12…
A . y=x
B . y=﹣
C . y= （x﹣1）2+2
D . y=﹣（x﹣1）2+2
6. （2分）四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO=BO=CO=DO，则这个四边形（）
A . 仅是轴对称图形
B . 仅是中心对称图形
C . 既是轴对称图形又是中心对称图形
D . 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
7. （2分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；
④a﹣2b+4c＞0；⑤a= b．其中正确的有（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
8. （2分）在一张正方形桌子的桌面上放上一块台布，台布各边垂下的长度均为5cm，台布的面积比桌面面积的2倍少50cm2 ，若设正方形桌面的边长为xcm，则可列方程为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共6分)
9. （1分）若一个式子与之积不含二次根式,则这个式子可以是________ ．（填写出一个即可）
10. （1分）(2018·黄冈模拟) 分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2=________．
11. （1分） (2019七下·香洲期末) 如图，正方形的各边分别平行于轴或轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点出发，同时沿正方形的边作环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度秒的速度作匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度/秒的速度作匀速运动，则两只蚂蚁出发后的第3次相遇点的坐标是________.
12. （1分）(2018·天河模拟) 如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm.
13. （1分） (2018九上·上虞月考) 把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为________.
14. （1分）如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是________ ．
三、解答题 (共9题；共89分)
15. （5分）(2017·蜀山模拟) 计算：（tan60°）﹣1× ﹣|﹣|+23×0.125．
16. （5分） (2015九上·新泰竞赛) 如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，AC与EF交于点O,分别连结和．在线段上是否存在一点，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
17. （6分）已知一个正多边形共有35条对角线，求：
（1）
这个正多边形的边数
（2）
这个正多边形每个内角和每个外角的度数
18. （7分）(2018·沙湾模拟) 如图，直线交轴于点，交轴于点 .在内依次作等边三角形使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形第一个是，第二个是 ,第三个是…
（1）的边长等于________；
（2）的边长等于________
19. （16分）(2019·平谷模拟) 为积极创建全国文明城市，我市对某路口的行人交通违章情况进行了20天的调查，将所得的数据绘制成如下统计图（图2不完整）：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）第13天，这一路口的行人交通违章次数是________；这20天中，行人交通违章7次的有________天．（2）这20天中，行人交通违章6次的有________天；请把图2中的频数直方图补充完整．
（3）请你根据图2绘制一个扇形统计图，并求行人违章9次的天数在扇形统计图中所对的圆心角度数．
20. （10分） (2018九上·天台月考) 对实数a,b定义运算
（1）求函数的解析式;
（2）若点 ,(＜ )在函数的图像上，且A,B两点关于坐标原点成
中心对称，求点A的坐标；
（3）关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是________.
21. （10分）(2019·湖州模拟) 如图，在中，，，DF是的中位线，点C关于DF的对称点为E，以DE，EF为邻边构造矩形DEFG，DG交BC于点H，连结CG．
（1）求证：≌
（2）若．
求CG的长．
在的边上取一点P，在矩形DEFG的边上取一点Q，若以P，Q，C，G为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的平行四边形的面积．
（3）在内取一点O，使四边形AOHD是平行四边形，连结OA，OB，OC，直接写出，，的面积之比．
22. （15分） (2017九上·衡阳期末) 某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．（1）要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价；
（2）问售价定在多少时能使每天获得的利润最多？并求出最大利润．
23. （15分）(2017·十堰模拟) 已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，4），与y轴交于点E．
（1）
求抛物线的解析式
（2）
点F在第三象限的抛物线上，且S△BEF=15，求点F的坐标
（3）
点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AE交抛物线于点Q，若以A，P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点Q的坐标；如果没有，请通过计算说明理由．
参考答案一、单选题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共9题；共89分)
15-1、
16-1、
17-1、17-2、18-1、18-2、
19-1、19-2、
19-3、20-1、
20-2、20-3、
21-1、
21-3、22-1、
22-2、23-1、
23-2、
23-3、。
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 若√3=a ，√5=b ，则√45可以表示为( )A. √a 2bB. a √bC. a 2bD. ab2. 下列各组根式是同类二次根式的是( )A. √12与√48B. 2√3与3√2C. √14和√21D. √23和√233. 关于x 的一元二次方程x 2−3x +2−m 2=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实数根D. 不能确定4. 将抛物线y =2(x −4)2−1先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线的顶点坐标为( )A. (0,−3)B. (4,1)C. (8,1)D. (8,−3)5. 如图，下列说法错误的是( )A. 买一张彩票中500万元的概率在图中的大致位置是点MB. 从一副洗匀且背面朝上的扑克牌(大、小王除外)中任意抽取一张，抽到的牌是黑桃的概率在图中的大致位置是点NC. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上面的点数是偶数的概率在图中的大致位置是点PD. 从分别标有数字1，2，3，4，5的五张纸条(除所标数字不同外其余均相同)中任意抽取一张，抽到的纸条标有数字6的概率在图中的大致位置是点Q6. 如图，直线l 1//l 2//l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.若AB BC =23，DE =4，则EF 的长是( ) A. 83B. 203C. 6D. 107.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，，则拉线AC的长为()A. 6sin 50∘B. 6cos 50∘C. 6cos 50∘D. 6tan 50∘8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，下列说法中①abc<0；②2a+b=0；③当−1<x<3时，y>0；④2c−3b<0.正确的结论有()A. ①②B. ②③④C. ①③D. ①②④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.九(5)班有男生27人，女生23人，班主任发放准考证时，任意抽取一张准考证，恰好是女生的准考证的概率是______．10.解方程：一元二次方程x−1=x2−1的根是．11.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF//AB交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为____m．12.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，若CE=8，则DF的长是_______．13.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1:√3.若点A的坐标为(0,1)，则点E的坐标是________．14.抛物线y=x2−12x−13的顶点为A，与x轴交于B、C两点，则△ABC的面积为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：6tan30°+(−1)2019+√2×(−√6)16.有4张卡片，正面分别写上1，2，3，4，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，先从中任意摸出一张，卡片不放回，再任意摸出一张．(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．(2)求摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率．17.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中．阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的25(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．18.如图，为了测量建筑物AD的高度，小亮从建筑物正前方10米处的点B出发，沿坡度i=1：√3的斜坡BC前进6米到达点C，在点C处放置测角仪，测得建筑物顶部D的仰角为40°，测角仪CE的高为1.3米，A、B、C、D、E在同一平面内，且建筑物和测角仪都与地面垂直求建筑物AD的高度．(结果精确到0.1米参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，√3≈1.73)19.如图是由25个边长为1的小正方形组成的5×5网格，请在图中画出以DE为斜边的2个面积不同的直角三角形．(要求：所画三角形顶点都在格点上)20.一条单车道的抛物线形隧道如图所示，隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．21.已知：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于点F，交CD于点E.求证：BF2=EF·FG．22.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求AB的值．BC23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以√2cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．24.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=−2x−1与y轴交于点A，与直线y=−x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．(Ⅰ)求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx−1解析式；(Ⅱ)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t(−1<t<1)，当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是二次根式的乘除和二次根式的化简有关知识．由题意将√45进行变形，再求解即可．【解答】解：∵√3=a，√5=b，∴√45=√9×5=(√3)2×√5=a2b.故选C．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义．先将各二次根式化简为最简二次根式，然后再找出被开方数相同的二次根式即可．【解答】解：A、√12=2√3，√48=4√3，故√12与√48是同类二次根式，故A正确；B、2√3与3√2，被开方数不同，不是同类二次根式，故B错误；C、√14和√21被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误；D、√23=√63，√23与√23不是同类二次根式，故D错误．故选：A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，属于基础题．依题意，计算Δ的值，然后判断其与0的大小关系即可求解．【解答】解：∵a=1，b=−3，c=2−m2，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(2−m2)=4m2+1，∵4m2≥0，∴Δ>0.所以方程有两个不相等的实数根．故选A．4.【答案】A【解析】解：抛物线y=2(x−4)2−1的顶点坐标是(4,−1)，将该顶点先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得的顶点坐标是(0,−3)．故选：A．先求出顶点坐标，再根据平移要求得到平移后的顶点坐标．本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据平移要求求出平移后的坐标是解题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．图中点M表示的是必然事件，点Q表示不可能事件；QP之间的位置表示随机事件；找到错误的选项即可．【解答】解：A项，买一张彩票中500万元是随机事件，其发生的概率在图中的大致位置不可能是点M，故A错误;B项，抽到的牌是黑桃的概率是1，故B正确;4C项，朝上面的点数是偶数的概率是1，故C正确;2D项，抽到的纸条标有数字6的概率是0，故D正确．故选A．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键.根据l1//l2//l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．【解答】解：∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，又∵ABBC =23，DE=4，∴EF=6.故选C．7.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键，直接利用锐角三角函数关系得出cos50°=BCAC，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=50°，BC=6m，∴cos50°=BCAC =6AC，∴AC=6cos50∘．故选B．8.【答案】D【解析】解：抛物线开口向下，则a<0.对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b>0.抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，所以abc<0，故①正确；抛物线的对称轴是直线x=1，则−b2a=1，b=−2a，所以2a+b=0，故②正确；由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0和−1之间，在两个交点之间时，y>0，在x=−1时，y<0，故③错误；当x=−1时，有y=a−b+c<0，由2a+b=0，得a=−b2，代入得−3b2+c<0，两边乘以2得2c−3b<0，故④正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b 及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数图象的性质是解题的关键9.【答案】2350【解析】【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.依据女生人数除以全班人数，即可得到所求的概率．【解答】解：因为这个班上共有27+23=50名学生，而女生23人，则：任意抽取一张准考证，恰好是女生的准考证的概率是2350，故答案为2350．10.【答案】x=0或x=1【解析】【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，方程右边先移项，再将方程左边因式分解把方程转化为两个一元一次方程，解方程即可求解．【解答】解：x−1=x2−1，(x−1)−(x2−1)=0，(x−1)[1−(x+1)]=0，解得x=0或x=1．故答案为x=0或x=1．11.【答案】24【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，属于基础题．先由EF//AB，得出△CEF∽△CAB，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．【解答】解：∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB =ECAC，∵AE=3EC，∴EFAB =ECAC=14，∵EF=6m，∴AB=4EF=24m，故答案为24．12.【答案】8【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，E是AB的中点，∴AB=2CE=16，∵D、F分别是AC、BC的中点，∴DF=12AB=8，故答案为8．13.【答案】(√3,√3)【解析】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：√3，∴OA：OD=1：√3，∵点A的坐标为(0,1)，即OA=1，∴OD=√3，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=√3．∴E点的坐标为：(√3,√3)，故答案为：(√3,√3).由题意可得OA：OD=1：√3，又由点A的坐标为(0,1)，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．本题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．14.【答案】343【解析】解：∵抛物线顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)，∴抛物线顶点坐标为(6,−49)，∵当y=0时，x2−12x−13=0，解得：x=13或−1，∴抛物线与x轴交点为(−1,0)和(13,0)，∴BC=14，∴△ABC的面积S=12×14×49=343，故答案为：343．根据抛物线顶点坐标公式即可求得抛物线顶点坐标，易求得抛物线与x轴交点，即可求得BC的值，即可解题．本题考查了抛物线与x轴交点坐标的求解，考查了抛物线顶点坐标的求解，本题中求得抛物线顶点坐标是解题的关键．15.【答案】解：原式=6×√33−1−2√3=2√3−1−2√3=−1．【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16.【答案】【解答】解：(1)根据题意画图如下：共有12种等情况数；(2)根据(1)可得：共有12种等情况数，摸出的两张卡片上的数之和大于5的有4种，则摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率是412=13．【解析】【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．(1)首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数；(2)根据(1)得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和大于5的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．17.【答案】解：(1)设条纹的宽度为x米．依题意得(5−2x)(4−2x)=(1−25)×5×4，解得：x1=4(不符合，舍去)，x2=12．答：配色条纹宽度为12米；(2)条纹造价：25×5×4×200=1600(元)其余部分造价：(1−25)×4×5×100=1200(元)∴总造价为：1600+1200=2800(元)答：地毯的总造价是2800元．【解析】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．(1)设条纹的宽度为x米，根据等量关系：空白部分面积=整个地毯面积的3，列出方程5求解即可；(2)根据总价=单价×面积，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．18.【答案】解：延长EC交AB于F，作EM⊥AD于M，则四边形MAFE为矩形，∴MA=EF，ME=AF，∵斜坡BC的坡度i=1：√3，BC=6，∴CF=3，BF=3√3，∴ME=AF=10+3√3，EF=4.3，，在Rt△DEM中，tan∠DEM=DMME∴DM=ME⋅tan∠DEM≈(10+3√3)×0.84≈12.76，∴AD=DM+AM=4.3+12.76=17.06≈17.1，答：建筑物AD的高度约为17.1米．【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长EC交AB于F，作EM⊥AD于M，根据坡度的定义求出BF、CF，根据正切的定义求出DM，再计算即可．19.【答案】解：如图1和图2，所示△DEF即为所求．【解析】本题考查了作图−应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．DE=√42+22=2√5，根据勾股定理逆定理，在图1中画等腰直角三角形，直角边长为√32+12=√10；在图2中画有一条直角边为2，另一条直角边为4的直角三角形即可．20.【答案】解：(本题答案不唯一)如图所示：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，∴A(−4,0)，B(4,0)，C(0,6)，设这条抛物线的表达式为y=a(x−4)(x+4)，∵抛物线经过点C，∴−16a=6，∴a=−3，8x2+6，(−4≤x≤4)．∴抛物线的表达式为y=−38(2)当x=1时，y=45，8∵4.4+0.5=4.9<45，8∴这辆货车能安全通过这条隧道．【解析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，利用待定系数法即可解决问题．(2)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴△ABF∽△CEF，△AGF∽△CBF，∴BF︰EF=AF︰CF，AF︰CF=FG︰BF，∴BF︰EF=FG︰BF，∴BF2=EF·FG．【解析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得AB//CD，AD//BC，再根据相似三角形的判定和性质即可解答．22.【答案】解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFB=∠CBF=30°，∴∠CBE=12∠FBC=15°；(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE =ABDF，∴AF⋅DF=AB⋅DE，∵AF⋅DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC−DE=5−2=3，∴EF=3，∴DF=√EF2−DE2=√32−22=√5，∴AF=10√5=2√5，∴BC=AD=AF+DF=2√5+√5=3√5．(3)过点N作NG⊥BF于点G，∵NF=AN+FD，∴NF=12AD=12BC，∵BC=BF，∴NF=12BF，∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，∴△NFG∽△BFA，∴NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN=NG=x，设FG=y，则AF=2y，∵AB2+AF2=BF2，∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=43x.∴BF=BG+GF=2x+4x=10x.∴ABBC =ABBF=2x103x=35．【解析】(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；(2)证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE =ABDF，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=√5，则可求出AF，即可求出BC的长；(3)过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)如图1中，连接BP．在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4√2∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP=BQ，∵AQ=√2t，CP=t，∴BQ=4√2−√2t，PB2=42+t2，∴(4√2−√2t)2=16+t2，解得t=12−8√2或12+8√2(舍弃)，∴t=12−8√2s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．(2)①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．则有PA=√2AQ，∴4−t=√2⋅√2t，．解得t=43②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．则有：AQ=√2AP，∴√2t=√2(4−t)，解得t=2，s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．综上所述：t=43(3)如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F.则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．∵S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE =12t(QE +QF)=2t(0<t <4)．【解析】(1)连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出BP =BQ ，由此构建方程即可解决问题；(2)分两种情形分别构建方程求解即可；(3)如图4中，连接QC ，作QE ⊥AC 于E ，作QF ⊥BC 于F.则QE =AE ，QF =EC ，可得QE +QF =AE +EC =AC =4.S 根据=S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE ，计算即可；本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 24.【答案】解：(Ⅰ)联立两直线解析式可得{y =−xy =−2x −1，解得{x =−1y =1， ∴B 点坐标为(−1,1)，又C 点为B 点关于原点的对称点，∴C 点坐标为(1,−1)，把B 、C 三点坐标代入可得{a −b −1=1a +b −1=−1, 解得{a =1b =−1, ∴抛物线解析式为y =x 2−x −1；(Ⅱ)①当四边形PBQC 为菱形时，则PQ ⊥BC ，∵直线BC 解析式为y =−x ，∴直线PQ 解析式为y =x ，联立抛物线解析式可得{y =x y =x 2−x −1， 解得{x =1−√2y =1−√2或{x =1+√2y =1+√2， ∴P 点坐标为(1−√2,1−√2)或(1+√2,1+√2)；②当t =0时，四边形PBQC 的面积最大．理由如下：如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，则S四边形PBQC =2S△PBC=2×12BC⋅PD=BC⋅PD，∵线段BC长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大，又∠PED=∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大，∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t,t2−t−1)，E点坐标为(t,−t)，∴PE=−t−(t2−t−1)=−t2+1，∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．【解析】本题考查二次函数的综合应用、待定系数法、菱形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建方程组确定两个函数交点坐标．学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．(Ⅰ)首先求出B、C两点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；(Ⅱ)①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．。
吉林省长春市汽开区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)
吉林省长春市汽开区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为−2，则m的值为()A. 6B. 3C. −3D. −62.对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是()A. 对称轴是直线x=1，最小值是2B. 对称轴是直线x=1，最大值是2C. 对称轴是直线x=−1，最小值是2D. 对称轴是直线x=−1，最大值是23.在九张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是奇数的概率是()A. 29B. 13C. 49D. 594.已知A(−1,y1),B(1,y2),C(2,y3)，三点在抛物线y=x2−2x+m上，则y1,y2,y3的大小关系为()A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y2<y1<y3D. y2<y3<y15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BOD的度数为()A. 70°B. 90°C. 110°D. 140°6.我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为()步A. 360B. 270．C. 180D. 907.已知二次函数y=x2−5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为()A. (−1,0)B. (4,0)C. (5,0)D. (−6,0)8.如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(各线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个在圆内，则r的取值范围为()A. 2√2<r<√17B. √17<r<3√2C. 3√2<r≤5D. 5<r<√29二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值等于______．10.将二次函数y=x2−8x+3化为y=a(x−m)2+k的形式是__________11.如图，点A(t,2)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα=4，则5t=_____。
2020-2021学年吉林省长春市宽城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年吉林省长春市宽城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．﹣7的相反数是（）A．﹣7B．7C．D．﹣2．如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝4425．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连结CD．若BC＝4，CD＝3，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（）A．5B．4C．3D．27．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2B．C．D．4π﹣88．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（）A．1B．3C．5D．7二、填空题（共6小题）.9．计算：•＝．10．分解因式：4a2﹣b2＝．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是．12．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3：5．若三角板的一边长为9cm．则投影三角板的对应边长为cm．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是度．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，连结OB．点C是线段OB上一动点，以OA、AC为邻边作▱OACD，则▱OACD周长的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．16．（6分）某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节，第一环节：写字注音、成语故事、国学常识（分别用A1、A2、A3表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B3表示）．参赛选手需在每个环节中各随机抽取一道题目来作答，请用画树状图或列表的方法，求参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的概率．17．（6分）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）如图①，＝．（2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝2．（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．18．（7分）某校为了解九年级学生休息日时每天学习的时长情况，随机抽取了n名九年级学生进行调查，据调查每名学生休息日时每天学习时长都少于5小时．该校将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是．（填写“全面调查”或“抽样调查”）（2）求n的值．（3）若该校九年级共有450名学生，请估计该校休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数．19．（7分）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】20．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC为对角线，点E在BC的延长线上，且∠E＝∠BAC．（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若∠CDE＝25°，⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）21．（8分）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离．（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．22．（9分）【问题原型】如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上一点，且AP ＝BQ，连结AQ、CP，求证：△ABQ≌△CAP．【问题延伸】如图①，在等边△ABC中，点P从点A出发沿边AB向终点B匀速运动，点Q与点P同时同速从点B出发沿边BC向终点C匀速运动，AQ、CP相交于点M．试问在P、Q两点运动的过程中，tan∠CMQ的值是否变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．【问题应用】如图②，在△ABC中，AC＝BC＝2AB．点P、Q分别是边AB、BC上一点，且AP＝2BQ，AQ、CP相交于点M．过点C作CH⊥AQ于H，则＝．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发沿线段BA以每秒3个单位的速度向终点A运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点A与MN在PQ的同侧．设点P的运动时间为t秒．（1）PQ的长为．（用含t的代数式表示）（2）当点M落在边AC上时，求t的值．（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）当时，求函数值y的取值范围．（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是．（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．﹣7的相反数是（）A．﹣7B．7C．D．﹣解：根据概念，（﹣7的相反数）+（﹣7）＝0，则﹣7的相反数是7．故选：B．2．如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．解：从上面看共有2列，第一列有2个正方形，第二列上层有一个正方形，故选：B．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．解：，解①得x＞﹣1，解②得x≤3，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3．故选：C．4．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连结CD．若BC＝4，CD＝3，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴AB＝2CD＝6，∠ACD＝∠A，∵sin∠ACD＝sin∠A＝＝＝，故选：A．6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（）A．5B．4C．3D．2解：作AM⊥BC于M，交DE于N，∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴AN＝AM，∴△ADE的面积＝△DEF的面积＝1，∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△ABC的面积＝4，∴四边形DECB的面积＝4﹣1＝3，故选：C．7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2B．C．D．4π﹣8解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×4×4＝4π﹣8，故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（）A．1B．3C．5D．7解：设平移后的解析式为y＝（x+1）2﹣m，将B点坐标代入，得4﹣m＝2，解得m＝2，将D点坐标代入，得9﹣m＝1，解得m＝8，y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：•＝5．解：原式＝＝5．故答案为：5．10．分解因式：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）．解：4a2─b2＝（2a）2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是9．解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4a＝0，解得a＝9．故答案为：9．12．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3：5．若三角板的一边长为9cm．则投影三角板的对应边长为15cm．解：设投影三角尺的对应边长为xcm，∵三角尺与投影三角尺相似，∴9：x＝3：5，解得x＝15．故答案是：15．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是130度．解：∵＝，∴∠ABC＝∠BDC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，连结OB．点C是线段OB上一动点，以OA、AC为邻边作▱OACD，则▱OACD周长的最小值为．解：作AM⊥OB于M，∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）交y轴于点A，∴A（0，3），∴OA＝3，∵y＝ax2﹣4ax+3（a＜0），∴对称轴为直线x＝﹣＝2，∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，∴BA⊥OA，B（4，3），∴AB＝4，∴OB＝＝＝5，∵OA•AB＝OB•AM，∴AM＝＝，∵OA＝CD＝3是定值，∴当AC值最小时，▱OACD周长值最小，∴当C与M重合时，周长有最小值，最小值为：2×（3+）＝，故答案为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．解：2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9+8＝17，∴x＝，x1＝，x2＝．16．（6分）某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节，第一环节：写字注音、成语故事、国学常识（分别用A1、A2、A3表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B3表示）．参赛选手需在每个环节中各随机抽取一道题目来作答，请用画树状图或列表的方法，求参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的概率．解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中参赛选手在两个环节中都抽到有关成语题目的情况有1种，∴两个环节都抽到有关成语题目的概率为．17．（6分）图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）如图①，＝．（2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝2．（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．解：（1）∵AB∥CD，∴△AEB∽△DEC，∴＝，∵AB＝1，CD＝2，∴＝，故答案为：；（2）如图②，点F即为所求；（3）如图③，点M即为所求.18．（7分）某校为了解九年级学生休息日时每天学习的时长情况，随机抽取了n名九年级学生进行调查，据调查每名学生休息日时每天学习时长都少于5小时．该校将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查．（填写“全面调查”或“抽样调查”）（2）求n的值．（3）若该校九年级共有450名学生，请估计该校休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数．解：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）n＝10÷20%＝50；（3）∵样本中每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数为50﹣（5+10+16+4）＝15（人），∴（人），∴该校九年级休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数约为135人．19．（7分）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】解：如图，过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝CF＝MN＝1.6，EF＝AC＝35，EN＝AM，NF＝MC，∠BEN＝∠DFN＝90°．∴DF＝CD﹣CF＝16.6﹣1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15．∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20．在Rt△BEN中，∵，∴BE＝EN⋅tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6．∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6＝30.2≈30（米）．答：居民楼AB的高度约为30 米．20．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC为对角线，点E在BC的延长线上，且∠E＝∠BAC．（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若∠CDE＝25°，⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）解：（1）DE所在直线与⊙O相切．如图，连结BD，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠CDE+∠E＝90°，∵∠E＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC，∴∠E＝∠BDC，∴∠CDE+∠BDC＝90°，即∠BDE＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴DE所在直线与⊙O相切；（2）如图，连结OC，∵∠CDE+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠CDE＝90°﹣25°＝65°，∴∠BOC＝2∠BDC＝2×65°＝130°，∴的长为．21．（8分）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离．（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，将点C（0，1）代入上式，36a+7＝1，解得，∴该抛物线所对应的函数表达式为．（2）把y＝5代入中，，解得，，，所以两排灯之间的水平距离为m；（3）把x＝2代入中，，，所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．22．（9分）【问题原型】如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上一点，且AP ＝BQ，连结AQ、CP，求证：△ABQ≌△CAP．【问题延伸】如图①，在等边△ABC中，点P从点A出发沿边AB向终点B匀速运动，点Q与点P同时同速从点B出发沿边BC向终点C匀速运动，AQ、CP相交于点M．试问在P、Q两点运动的过程中，tan∠CMQ的值是否变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．【问题应用】如图②，在△ABC中，AC＝BC＝2AB．点P、Q分别是边AB、BC上一点，且AP＝2BQ，AQ、CP相交于点M．过点C作CH⊥AQ于H，则＝．解：【问题原型】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠CAB＝60°．在△ABQ和△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；【问题延伸】tan∠CMQ的值不发生变化．∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP．∵∠BAQ+∠CAQ＝∠CAB＝60°，∴∠ACP+∠CAQ＝60°．∵∠CMQ＝∠ACP+∠CAQ，∴∠CMQ＝60°．∴tan∠CMQ＝tan60°＝．【问题应用】∵AC＝BC＝2AB，AP＝2BQ，∴AC：AB＝AP：BQ＝2，∠CAB＝∠B，∴△CAP∽△ABQ，∴∠ACP＝∠BAQ．∵∠BAQ+∠CAQ＝∠CAB，∴∠ACP+∠CAQ＝∠CAB，∵∠CMQ＝∠ACP+∠CAQ，∴∠CMQ＝∠CAB，∵cos∠CAB＝，cos∠CMQ＝．∴＝．故答案为．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发沿线段BA以每秒3个单位的速度向终点A运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点A与MN在PQ的同侧．设点P的运动时间为t秒．（1）PQ的长为4t．（用含t的代数式表示）（2）当点M落在边AC上时，求t的值．（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，直接写出t的值．解：（1）过A作AD⊥BC于D，如图1所示：则∠ADB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝BC＝3，∴AD＝＝＝4，∵PQ⊥AB，∴∠QPB＝90°＝∠ADB，又∵∠B＝∠B，∴△QBP∽△ABD，∴＝＝，即＝＝，解得：PQ＝4t，BQ＝5t，故答案为：4t；（2）当点M落在边AC上时，如图2所示：∵四边形PQMN是正方形，∴QM＝PQ＝4t，QM∥AB，∴△MQC∽△ABC，∴，即，解得：，即t的值为；（3）由（2）得：点M落在边AC上时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形，∴0＜t≤时，S＝正方形PQMN的面积＝（4t）2＝16t2，即S＝16t2（0＜t≤）；当N与A重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形，则AP＝PN＝4t，∵AP+BP＝AB，∴4t+3t＝5，∴t＝，设AC与MQ交于点H，如图3所示：∵QM∥AB，∴△HQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得：QH＝5﹣t，∴S＝（AP+QH）×PQ＝[（5﹣3t）+（5﹣t）]×4t＝﹣t2+20t，此时t≥，∵点Q与C重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是三角形，此时5t＝6，∴t＝，∴当时，S＝﹣t2+20t；（4）分三种情况：①当N是AB边的中点时，如图4所示：则BP+PN＝AB，即3t+4t＝，∴t＝；②当Q是BC边的中点时，如图5所示：则BQ＝BC，∴5t＝3，∴t＝；③当NQ经过AC边的中点时，如图6所示：设AC的中点为G，则AG＝CG，过A作AE∥BC交NQ于E，则△AEG∽△CQG，△AEN∽△BQN，∴＝＝1，＝，∴AE＝CQ＝6﹣5t，＝，解得：t＝；综上所述，当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，t的值为或或．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）当时，求函数值y的取值范围．（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是2＜k≤6．（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．解：（1）由题意，得，解得，∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵，对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，，当时，，当时，，∴当时，y的取值范围是；（3）把y＝7代入y＝x2﹣4x﹣5得，7＝x2﹣4x﹣5，解得x1＝6，x2＝﹣2，∴当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是2＜k≤6，故答案为2＜k≤6；（4）点A、B的坐标分别为（m，m2﹣4m﹣5）、（m+2，m2﹣9），当m≤0时，m2﹣4m﹣5﹣（m2﹣9）＝2，解得（不合题意，舍去）．当0＜m≤1时，m2﹣4m﹣5﹣（﹣9）＝2，解得，（不合题意，舍去）．当1＜m≤2时，m2﹣9﹣（﹣9）＝2，解得，（不合题意，舍去）．当m＞2时，m2﹣9﹣（m2﹣4m﹣5）＝2，解得（不合题意，舍去）．综上，m的值为或．。
2020-2021学年吉林省长春市新区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年吉林省长春市新区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0时，原方程可变形为（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝3D．（x﹣1）2＝3 3．△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．4．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（）A．1：3B．1：9C．2：1D．9：15．将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2﹣3，平移的方法可以是（）A．沿y轴向上平移3个单位B．沿y轴向下平移3个单位C．沿x轴向右平移3个单位D．沿x轴向左平移3个单位6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴交点的纵坐标为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）8．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条B．1200条C．2200条D．3000条二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．若关于x的方程（x﹣5）2＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．11．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”）．12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为．三、解答题（共10小题）.15．先分解因式，再代入求值：a2b+ab2，其中a＝3+，b＝3﹣．16．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，居委会采取随机抽查的方式对辖区内的甲、乙、丙、丁四个小区中的两个小区进行检查．请用列表或画树状图的方法求恰好甲、乙两个小区被抽到的概率．17．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值．18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1．（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为；（3）△A1B1C1的周长为．19．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】20．已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A，与x轴的交点为B、C（点B在点C左边）．（1）直接写出点A、B、C的坐标．（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这条抛物线．（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．21．某商场购进一批单价为16元的日用品，按每件20元销售时，每月能卖360件；经调查发现，售价每提高1元，月销量就减少30件．设每件售价为x（20≤x≤28）元时，每月的利润为W元．（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖件．（2）求W与x的函数关系式．（3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？22．（1）把两个含有45°角的直角三角板如图①放置，点E、C、A在同一直线上，点D 在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AD＝BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图②放置，点E、C、A在同一直线上，点D在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．若AD＝1，则BE的长为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，sin A＝．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB运动，到点B停止；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CA运动，到点A停止．P、Q两点同时出发，到各自的终点时停止．当点P、Q不与点C重合时，过点C作直线l，使点A、B在直线l同侧，过点P、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为点E、F．设点Q运动时间为t（秒）．（1）求△ABC的边AC，BC的长．（2）当t＝2时，求的值．（3）当△PEC与△QFC的面积比为1：1时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标．（2）用含a的式子表示b．（3）当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．（4）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D．当抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与线段CD只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；B、，是最简二次根式；C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；故选：B．2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0时，原方程可变形为（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝3D．（x﹣1）2＝3解：∵x2+2x＝2，∴x2+2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，故选：C．3．△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，∴sin A＝＝．故选：C．4．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（）A．1：3B．1：9C．2：1D．9：1解：∵两相似三角形的周长之比为1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∴它们对应边上的高之比等于相似比＝1：3，故选：A．5．将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2﹣3，平移的方法可以是（）A．沿y轴向上平移3个单位B．沿y轴向下平移3个单位C．沿x轴向右平移3个单位D．沿x轴向左平移3个单位解：将二次函数y＝x2的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y＝x2﹣3，故选：B．6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴交点的纵坐标为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2解：当x＝0时，y＝（0﹣1）2﹣2＝﹣1，即与y轴交点的纵坐标为﹣1．故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）解：如图，连接BF交y轴于P，则点P为位似中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．8．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条B．1200条C．2200条D．3000条解：30÷2.5%＝1200条故选：B．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤5．解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤5，故答案为：x≤5．10．若关于x的方程（x﹣5）2＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞0．解：∵方程（x﹣5）2＝m，即x2﹣10x+25﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣10）2﹣4（25﹣m）＞0，解得：m＞0．故答案是：m＞0．11．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是随机（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”）．解：∵袋子里装有4个黑球，2个白球，∴从中任意模出1个球，可能是黑球，有可能是白球，∴事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是随机事件，故答案为：随机．12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA＝DE：AB∴20：60＝DE：10∴DE＝毫米∴小管口径DE的长是毫米．故答案为：13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．解：如图，作CH⊥AB于H，设小正方形的边长为1．则AC＝＝，在Rt△ACH中，cos A＝＝＝，故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为．解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，且A、B关于直线x＝2对称，过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，∵△ABE为等腰直角三角形，∴AD＝BD＝2，∴AB＝4，DE＝AB＝2，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6，∴A（0，﹣4），E（2，﹣6），把A、E的坐标代入y＝a（x﹣2）2+c得：，解得：a＝，故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先分解因式，再代入求值：a2b+ab2，其中a＝3+，b＝3﹣．解：a2b+ab2＝ab（a+b），当a＝3+，b＝3﹣时，原式＝（3+）×（3﹣）×[（3+）+（3﹣）]＝（9﹣2）×（3++3﹣）＝7×6＝42．16．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，居委会采取随机抽查的方式对辖区内的甲、乙、丙、丁四个小区中的两个小区进行检查．请用列表或画树状图的方法求恰好甲、乙两个小区被抽到的概率．解：根据题意画树状图如下：∵共有12种等可能的结果数，其中恰好甲、乙两个小区被抽到的结果数为2，∴恰好甲、乙两个小区被抽到的概率为＝．17．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值．解：设每个支干长出x个小分支，由题意可得，1+x+x2＝91．解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），则x＝9．18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1．（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为1：3；（3）△A1B1C1的周长为9+3+3．解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为：1：3；（3）△A1B1C1的周长为：9++＝9+3+3．故答案为：（2）1：3；（3）9+3+3．19．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°相关数据求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】解：在Rt△DGF中，∵FG＝DG×tan∠FDG，＝CE×tan∠FDG＝25×tan44°＝24.25，∴FE＝FG+GE＝FG+CD，＝24.25+10≈34（米）答：铁塔FE的高度约为34米．20．已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A，与x轴的交点为B、C（点B在点C左边）．（1）直接写出点A、B、C的坐标．（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这条抛物线．（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点A（2，4），在y＝﹣x2+4x中，令y＝0，则﹣x2+4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴B（0，0），C（4，0）；（2）描点、连线，画出函数图象如图：；（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．21．某商场购进一批单价为16元的日用品，按每件20元销售时，每月能卖360件；经调查发现，售价每提高1元，月销量就减少30件．设每件售价为x（20≤x≤28）元时，每月的利润为W元．（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖90件．（2）求W与x的函数关系式．（3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？解：（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖360﹣30×（25﹣20）＝210（件）；故答案为：210；（2）根据题意得：W＝[360﹣30（x﹣20）]（x﹣16）＝﹣30x2+1440x﹣15360，∴W与x的函数关系式为：W＝﹣30x2+1440x﹣15360；（3）∵W＝﹣30x2+1440﹣15360＝﹣30（x﹣24）2+1920，∵20≤x≤28，∴当x＝24时，W有最大值，W的最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．22．（1）把两个含有45°角的直角三角板如图①放置，点E、C、A在同一直线上，点D 在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AD＝BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图②放置，点E、C、A在同一直线上，点D在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．若AD＝1，则BE的长为．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝90°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE；（2）∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴，∴△DCA∽△ECB，∴，∵AD＝1，∴BE＝，故答案为：．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，sin A＝．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB运动，到点B停止；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CA运动，到点A停止．P、Q两点同时出发，到各自的终点时停止．当点P、Q不与点C重合时，过点C作直线l，使点A、B在直线l同侧，过点P、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为点E、F．设点Q运动时间为t（秒）．（1）求△ABC的边AC，BC的长．（2）当t＝2时，求的值．（3）当△PEC与△QFC的面积比为1：1时，求t的值．解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝15，∴sin A＝＝，∴BC＝9，∴AC＝＝＝12.（2）当t＝2时，AP＝6，BQ＝4，∵AC＝12，BC＝9，∴PC＝6，CQ＝5，∵PE⊥EF，QF⊥EF，∴∠PEC＝∠ACB＝∠QCF＝90°，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∠QCF+∠CQF＝90°，∴∠PCE＝∠CQF，∴△PCE∽△CQF，∴＝＝．（3）∵△PCE∽△CQF，面积比为1：1，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴12﹣3t＝9﹣2t或3t﹣12＝9﹣2t，解得t＝3或．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标．（2）用含a的式子表示b．（3）当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．（4）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D．当抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与线段CD只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．∴当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2）；（2）把点A（﹣2，2）代入y＝ax2+bx﹣2中，得4a﹣2b﹣2＝2．∴b＝2a﹣2；（3）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足﹣≤﹣2，解得﹣1≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足﹣≥0，解得0＜a≤1．∴a的取值范围是1≤a＜0或0＜a≤1；（4）设直线AB的表达式为：y＝kx+n，则，解得：，故直线AB表达式为y＝﹣2x﹣2，把C（m，5）代入得m＝﹣3.5．∴C（﹣3.5，5），由平移得D（，5）．①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣2）x﹣2，当x＝时，y＝a﹣3，则抛物线上的点（，a﹣3）在D点的下方，∴a﹣3＜5．解得a＜．∴0＜a＜；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴＝5．解得a＝或a＝．综上，a的取值范围是0＜a＜或a＝或a＝．。
吉林省长春市二道区2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列各式属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（）A．4 B．2 C．0 D．﹣43．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍4．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（）A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.95．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+4406．将二次函数y＝2x2+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为（）A．y＝2（x﹣1）2+3 B．y＝﹣2（x+3）2+1C．y＝2（x﹣3）2﹣1 D．y＝2（x+3）2+17．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（）A．a sin26.5°B．C．a cos26.5°D．8．根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值（其中m＞0＞n），下列结论正确的（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．4a﹣2b+c＜0 D．a+b+c＜0二．填空题（共6小题）9．计算：﹣tan60°＝．10．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为．12．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是．14．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m．三．解答题（共10小题）15．小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如图所示．解：x2﹣6x＝1 …①x2﹣6x+9＝1 …②（x﹣3）2＝1 …③x﹣3＝±1 …④x1＝4，x2＝2 …⑤（1）小明解方程的方法是．（A）直接开平方法（B）因式分解法（C）配方法（D）公式法他的求解过程从第步开始出现错误．（2）解这个方程．16．为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）小李同学抽到物理实验题目①这是一个事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．（2）小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树形图（或列表）的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．17．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出块这样的木条．18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，PC：PB＝．（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．19．若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）．（1）求该抛物线对应的函数表达式．（2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为．（3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为．20．如图，C地在B地的正东方向，因有大山阻隔，由B地到C地需绕行A地，已知A地位于B地北偏东53°方向，距离B地516千米，C地位于A地南偏东45°方向．现打算打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求建成高铁后从B地前往C地的路程．（结果精确到1千米）【参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝】21．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．22．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为每件10元，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于每件16元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）之间的函数关系图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求每天的销售利润W（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒．（1）线段MP的长为（用含t的代数式表示）．（2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围．（3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t 之间的函数关系式．（4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣1，2）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若Q（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣3，3）、B（﹣3，﹣1）、C（2，﹣1）、D（2，3）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点时，直接写出n的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列各式属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、＝，不是最简二次根式；B、2不能再开方，是最简二次根式；C、＝，不是最简二次根式；D、＝2，不是最简二次根式．故选：B．2．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（）A．4 B．2 C．0 D．﹣4【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4，即可得出答案．【解答】解：x2+2x＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4，故选：A．3．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍【分析】根据正方形的面积公式：s＝a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．【解答】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4＝16倍．故选：A．4．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（）A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9【分析】根据用频率估计概率的意义即可确定正确的选项．【解答】解：用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，是在大量重复实验中得到的概率的近似值，故A、B、C错误，D正确，故选：D．5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440，故选：A．6．将二次函数y＝2x2+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为（）A．y＝2（x﹣1）2+3 B．y＝﹣2（x+3）2+1C．y＝2（x﹣3）2﹣1 D．y＝2（x+3）2+1【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为y＝2（x+3）2+2﹣1，即y＝2（x+3）2+1．故选：D．7．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（）A．a sin26.5°B．C．a cos26.5°D．【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，故选：B．8．根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值（其中m＞0＞n），下列结论正确的（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．4a﹣2b+c＜0 D．a+b+c＜0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由抛物线的对称性可知：（0，m）与（2，m）是对称点，故对称轴为x＝1，∴（﹣2，n）与（4，n）是对称点，∴4a﹣2b+c＝n＜0，故选：C．二．填空题（共6小题）9．计算：﹣tan60°＝2．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个知识点．在计算时，需要针对这个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：﹣tan60°＝3﹣＝2．故答案为：2．10．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为2020 ．【分析】把x＝m代入方程计算即可求出所求．【解答】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，则原式＝2019+1＝2020，故答案为：202011．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为 5 ．【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD＝AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF＝×10＝5cm．故答案为：5．12．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为8 ．【分析】根据概率公式列方程计算．【解答】解：根据题意得，解得n＝8，经检验：n＝48是分式方程的解，故答案为：8．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是（6，6）．【分析】根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，∴＝，＝，即＝，＝，解得，OD＝6，OF＝6，则点E的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）．14．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m．【分析】根据二次函数的图象和性质先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意列出函数解析式进而求解．【解答】解：如图：以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意，得A（5，0），C（0，5），设抛物线解析式为：y＝ax2+5，把A（5，0）代入，得a＝﹣，所以抛物线解析式为：y＝﹣x2+5，当x＝3时，y＝，所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m．故答案为．三．解答题（共10小题）15．小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如图所示．解：x2﹣6x＝1 …①x2﹣6x+9＝1 …②（x﹣3）2＝1 …③x﹣3＝±1 …④x1＝4，x2＝2 …⑤（1）小明解方程的方法是C．（A）直接开平方法（B）因式分解法（C）配方法（D）公式法他的求解过程从第②步开始出现错误．（2）解这个方程．【分析】（1）根据小明的解答过程可知小明解答此方程的方法以及他在第几步出现错误；（2）根据配方法可以解答此方程．【解答】解：（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，故选：C，他的求解过程从第②步开始出现错误，故答案为：②；（2）∵x2﹣6x＝1∴x2﹣6x+9＝1+9∴（x﹣3）2＝10，∴x﹣3＝∴x＝+3∴x1＝+3，x2＝﹣+3．16．为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）小李同学抽到物理实验题目①这是一个随机事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．（2）小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树形图（或列表）的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．【分析】（1）根据“必然”、“不可能”或“随机”三种事件的特点，可知小李同学抽到物理实验题目①这是一个什么事件；（2）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．【解答】解：（1）由题意可知，小李同学抽到物理实验题目①这是一个随机事件，故答案为：随机；（2）树状图如下图所示：则P（同时抽到两科都准备得较好）＝．17．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出2 块这样的木条．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，PC：PB＝1：3 ．（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．【解答】解：（1）图1中，∵AB∥CD，∴＝＝，故答案为1：3．（2）①如图2所示，点P即为所要找的点；②如图3所示，作点A的对称点A′，连接A′C，交BD于点P，点P即为所要找的点，∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD．19．若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）．（1）求该抛物线对应的函数表达式．（2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为﹣4≤y≤5 ．（3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为n≥﹣4 ．【分析】（1）先利用对称轴方程得b＝﹣2a，再把点（3，0）代入抛物线解析式得到9a+3b ﹣3＝0，然后求方程组求出a、b得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）利用配方法得到＝（x﹣1）2﹣4，利用二次函数的性质得到x＝1时，y有最小值﹣4，而当x＝﹣2时，y＝5，从而得到当﹣2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围；（3）利用直线y＝n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4有交点时，方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，从而得到n≥﹣4．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，∵抛物线经过点（3，0）．∴9a+3b﹣3＝0，把b＝﹣2a代入得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴x＝1时，y有最小值﹣4，当x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5，∴当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为﹣4≤y≤5；（3）当直线y＝n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4有交点时，方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，∴n≥﹣4．故答案为﹣4≤y≤5，n≥﹣4．20．如图，C地在B地的正东方向，因有大山阻隔，由B地到C地需绕行A地，已知A地位于B地北偏东53°方向，距离B地516千米，C地位于A地南偏东45°方向．现打算打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求建成高铁后从B地前往C地的路程．（结果精确到1千米）【参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝】【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦、余弦的定义分别求出BD、AD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算得到答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，在Rt△ADB中，cos∠DAB＝，sin∠DAB＝，∴AD＝AB•cos∠DAB＝516×＝309.6，BD＝AB•sin∠DAB＝516×＝412.8，在Rt△ADC中，∠DAC＝45°，∴CD＝AD＝309.6，∴BC＝BD+CD≈722，答：建成高铁后从B地前往C地的路程约为722千米．21．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE ＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）由相似三角形的性质可得，即可求解；（3）由轴对称图形的性质可得DE＝BE，由勾股定理可求AE，DE的长，即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．22．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为每件10元，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于每件16元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）之间的函数关系图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求每天的销售利润W（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据图象可知：y是x的一次函数，把（10，26）（16，20）代入y与x之间的函数关系式为y＝kx+b即可；（2）根据销售利润＝单件利润×销售量列二次函数解析式，再根据自变量的取值范围确定售价，进而可求得最大利润．【解答】解：（1）根据图象可知：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，把（10，26）（16，20）代入，得解得所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+36，10≤x≤16．答：y与x之间的函数关系式y＝﹣x+36，自变量x的取值范围10≤x≤16．（2）w＝（x﹣10）（﹣x+36）＝﹣x2+46x﹣360＝﹣（x﹣23）2+169．∵﹣1＜0，当x＜23时，w随x的增大而增大，∵10≤x≤16．∴当x＝16时，每天的销售利润最大，最大利润为120．答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是120元．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒．（1）线段MP的长为3t（用含t的代数式表示）．（2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围．（3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t 之间的函数关系式．（4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值．【分析】（1）根据路程，速度，时间的关系以及已知条件解决问题即可．（2）求出点M，N分别落在BC上时t的值即可判断．（3）分两种情形：如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQNM．如图3﹣2中，当＜t≤时，重叠部分是五边形PQNEF．分别求解即可．（4）分三种情形：如图4﹣1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E．如图4﹣2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F．如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件．分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）由题意AP＝2t，AQ＝PQ＝t，∵PM＝3PQ，∴PM＝3t．故答案为3t．（2）如图2﹣1中，当点M落在BC上时，∵PM∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝如图2﹣2中，当点N落在BC上时，∵NQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为≤t≤．（3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQNM，S＝3t2如图3﹣2中，当＜t≤时，重叠部分是五边形PQNEF．S＝S矩形PQNM﹣S△EFM＝3t2﹣•[3t﹣（4﹣2t）]•[3t﹣（4﹣2t）]＝﹣t2+18t﹣6，综上所述，S＝．（4）如图4﹣1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E．∵∠FAB＝∠FEB＝90°，∠FBA＝∠FBE，BF＝BF，∴△BFA≌△BFE（AAS），∴AF＝EF，AB＝BE＝4，设AF＝EF＝x，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△EFC中，则有x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∵PM∥AF，∴＝，∴＝，∴t＝如图4﹣2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F．同法可证：△ECA≌△ECF（AAS），∴AE＝EF，AC＝CF＝3，设AE＝EF＝y，∴BF＝5﹣3＝2，在Rt△EFB中，则有x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∵PM∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝．如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件．设MC的延长线交BA的延长线于E，作EF⊥BC交BC的延长线于分，同法可证：AC＝CF＝3，EF＝AE，设EF＝EA＝x，在Rt△EFB中，则有x2+82＝（x+4）2，解得x＝6，∵AC∥PM，∴＝，∴＝，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或或24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣1，2）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若Q（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣3，3）、B（﹣3，﹣1）、C（2，﹣1）、D（2，3）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点时，直接写出n的取值范围．【分析】（1）先求出图象G1和G2的解析式，分点P分别在图象G1和G2上两种情况讨论，可求n的值；（2）①先求出图象G1和G2的解析式，分点P分别在图象G1和G2上两种情况讨论，可求t的值；②结合图象1，可求k的取值范围；（3）结合图象，分类讨论可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，∴顶点坐标为（2，n﹣4），∵将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），∴图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，若点P（﹣1，2）在图象G1上，∴2＝9+n﹣4，∴n＝﹣3；若点P（﹣1，2）在图象G2上，∴2＝﹣1+4﹣n，∴n＝1；综上所述：点P（﹣1，2）在图象G上，n的值为﹣3或1；（2）①当n＝﹣1时，则图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣5，图象G2的解析式为：y ＝﹣（x+2）2+5，若点Q（t，1）在图象G1上，∴1＝（t﹣2）2﹣5，∴t＝2±，若点Q（t，1）在图象G2上，∴1＝﹣（t+2）2+5，∴t1＝﹣4，t2＝0②如图1，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣2时，y＝5，对于图象G1，在y轴右侧，当y＝5时，则5＝（x﹣2）2﹣5，∴x＝2+＞3，对于图象G2，在y轴左侧，当y＝﹣5时，则﹣5＝﹣（x+2）2+5，∴x＝﹣2﹣，∵当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，∴﹣2﹣≤k≤﹣2；（3）如图2，∵图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2+n﹣4，∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），与y轴交点为（0，﹣n），图象G1的顶点坐标为（2，n﹣4），与y轴交点为（0，n），当n≤﹣1时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD最多1交点，当﹣1＜n＜0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有3交点，当n＝0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，当0＜n≤1时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有1交点，当1＜n＜3时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，当3≤n＜7时，图象G1与矩形ABCD有2个交点，当3≤n＜5时，图象G2与矩形ABCD有2个交点，n＝5时，图象G2与矩形ABCD有1个交点，n＞5时，没有交点，∵矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点，∴n＝5，当n≥7时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD没有交点，综上所述：当n＝0，n＝5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．。
2019-2020学年吉林省长春市汽开区九年级(上)期末数学试卷(含解析)印刷版
2019-2020学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是（）A．0B．1C．2D．﹣22．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2有（）A．最大值1B．最大值2C．最小值1D．最小值23．（3分）有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≤y25．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（）A．35°B．70°C．110°D．140°6．（3分）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步B．270步C．180步D．90步7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）8．（3分）如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A．3＜r＜B．＜r＜C．＜r＜D．＜r＜3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）若关于x的方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．10．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（，2），则cosα的值为．12．（3分）如图，点A、B、C、D、E、F均在⊙O上．若∠ADF＝20°，∠FEC＝35°，则∠ABC的大小为度．13．（3分）小明分别以正六边形ABCDEF的顶点B、D、F为圆心，以BA长为半径作圆弧，设计出如图所示的图案．若AB＝1，则该图案外围轮廓的周长为．14．（3分）一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面的宽为m．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（5分）解方程：x2﹣2x﹣6＝0．16．（6分）在不透明的袋子中有2个红球和1个黑球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球后放回并搅匀，小华再从中随机摸出一个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出相同颜色的球的概率．17．（6分）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．（1）在图①中，以格点为顶点，画出△ADC，使△ADC与△ABC全等，且点D与点B不重合．（2）在图②中，以格点为顶点，画出△AFC，使△AFC与△ABC相似，且相似比不是1．（画出一个即可）18．（8分）求图象为下列抛物线的二次函数的表达式；（1）抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6）、（2，2）．（2）抛物线的顶点坐标为（3，﹣5），且抛物线经过点（0，1）．19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．（1）求⊙O的直径．（2）求的长．20．（7分）如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP ＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP＝1，求BC的长．22．（9分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO ＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连结BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．请你写出求∠ADB、∠ABD的度数和求AB长的过程．应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，则AB的长为（），DC的长为（）23．（10分）如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0）的顶点为A，与直线x＝相交于点B，点A关于直线x＝的对称点为C．（1）若抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0）经过原点，求m的值．（2）点C的坐标为．用含m的代数式表示点B到直线AC的距离为．（3）将y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0，且x≥）的函数图象记为图象G，图象G关于直线x＝的对称图象记为图象H．图象G与图象H组合成的图象记为图象M．①当图象M与x轴恰好有三个交点时，求m的值．②当△ABC为等腰直角三角形时，直接写出图象M所对应的函数值小于0时，自变量x的取值范围．2019-2020学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是（）A．0B．1C．2D．﹣2【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣1＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣1＝0得：1+m﹣1＝0，解得：m＝0．故选：A．2．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2有（）A．最大值1B．最大值2C．最小值1D．最小值2【分析】根据二次函数的性质及给出的解析式直接写出答案即可．【解答】解：∵﹣1＜0，∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值是2．故选：B．3．（3分）有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为（）A．B．C．D．【分析】让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中数字是奇数的有1、3、5这3种结果，∴正面的数字是奇数的概率为，故选：C．4．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≤y2【分析】分别计算出自变量为﹣2和1对应的函数值即可得到y1与y2的大小关系．【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝x2+2x+2＝4﹣4+2＝2，当x＝1时，y2＝x2+2x+2＝1+2+2＝5，所以y1＜y2．故选：C．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（）A．35°B．70°C．110°D．140°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故选：D．6．（3分）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步B．270步C．180步D．90步【分析】设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，证明Rt△BEA∽Rt△EDC，利用相似比得到＝然后利用比例性质求出x即可．【解答】解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴＝，即＝，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）【分析】找出点A关于x＝1的对称点的坐标即可．【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），∴点A关于x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）．故选：D．8．（3分）如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A．3＜r＜B．＜r＜C．＜r＜D．＜r＜3【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：给各点标上字母，如图所示．∵AB＝＝，AC＝AD＝＝，AG＝3，AF＝，AE＝＝所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，这三个点只能为B、C、D点，∴，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）若关于x的方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝16．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣8）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：△＝（﹣8）2﹣4m＝0，解得m＝16．故答案为16．10．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝（x﹣2）2+3．【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．【解答】解：y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，故答案为：（x﹣2）2+3．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（，2），则cosα的值为．【分析】作MN⊥x轴于N，则ON＝，MN＝2，由勾股定理得出OM＝＝3，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：∵点M的坐标为（，2），∴ON＝，MN＝2，∴OM＝＝＝3，∴cosα＝＝；故答案为：．12．（3分）如图，点A、B、C、D、E、F均在⊙O上．若∠ADF＝20°，∠FEC＝35°，则∠ABC的大小为55度．【分析】连接连接OA，OC，OF．，利用圆周角定理可求出∠AOF、∠COF，则得到∠AOC的度数，再次利用圆周角定理可求出∠ABC．【解答】解：连接OA，OC，OF．∵∠ADF＝20°，∠FEC＝35°，∴∠AOF＝2∠ADF＝40°，∠COF＝2∠FEC＝70°，∴∠AOC＝∠AOF+∠COF＝110°，∴∠ABC＝∠AOC＝×110°＝55°．故答案为55．13．（3分）小明分别以正六边形ABCDEF的顶点B、D、F为圆心，以BA长为半径作圆弧，设计出如图所示的图案．若AB＝1，则该图案外围轮廓的周长为4π．【分析】根据正六边形的边长相等，每个内角为120度，可知图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和．【解答】解：由题意可知：∵正六边形ABCDEF六个边相等都等于1，六个内角相等都等于120°，∴图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和，即图案外围轮廓的周长为：3×＝4π．故答案为4π．14．（3分）一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面的宽为2m．【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题即可求解．【解答】解：如图：以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意设二次函数解析式为：y＝ax2+2把A（2，0）代入，得a＝﹣，所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2，当y＝﹣1时，﹣x2+2＝﹣1解得x＝±．所以水面的宽度为2．故答案为2．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（5分）解方程：x2﹣2x﹣6＝0．【分析】移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣6＝0，x1＝1+，x2＝1﹣．16．（6分）在不透明的袋子中有2个红球和1个黑球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球后放回并搅匀，小华再从中随机摸出一个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出相同颜色的球的概率．【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有5种情况，∴P（两人摸出相同颜色的球）＝．17．（6分）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．（1）在图①中，以格点为顶点，画出△ADC，使△ADC与△ABC全等，且点D与点B不重合．（2）在图②中，以格点为顶点，画出△AFC，使△AFC与△ABC相似，且相似比不是1．（画出一个即可）【分析】（1）根据全等三角形的性质作出图形即可；（2）根据相似三角形的性质作出图形即可．【解答】解：（1）如图①△ACD即为所求；（2）如图所示，△ACF即为所求．18．（8分）求图象为下列抛物线的二次函数的表达式；（1）抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6）、（2，2）．（2）抛物线的顶点坐标为（3，﹣5），且抛物线经过点（0，1）．【分析】（1）把两点的坐标代入得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到抛物线解析式；（2）根据题意可直接设y＝a（x﹣3）2﹣5，把点（0，1）代入求得a的值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6）、（2，2），∴，解得，∴此抛物线的二次函数的表达式y＝x2﹣x+2；（2）∵抛物线的顶点坐标为（3，﹣5），∴设这个抛物线的二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣5，又∵抛物线经过点（0，1），∴a（0﹣3）2﹣5＝1，∴a＝，∴这个抛物线的二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣5．19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．（1）求⊙O的直径．（2）求的长．【分析】（1）利用30度的角所对的边是斜边的一半进行计算；（2）连结OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°，然后利用面积公式计算．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD＝∠ACD＝30°．∵AD＝4，∴AB＝8．∴⊙O的直径为8cm．（2）连结OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°．∴的长为．20．（7分）如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】【分析】解直角三角形即可得到结论．【解答】解：在Rt△DGF中，∵FG＝DG×tan∠FDG，＝CE×tan∠FDG＝25×tan44°＝24.25，∴FE＝FG+GE＝FG+CD，＝24.25+10≈34（米）答：铁塔FE的高度约为34米．21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP ＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP＝1，求BC的长．【分析】（1）由垂直定义得∠A+∠APO＝90°，根据等腰三角形的性质由CP＝CB得∠CBP＝∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB＝∠APO，所以∠APO＝∠CBP，而∠A＝∠OBA，所以∠OBC＝∠CBP+∠OBA ＝∠APO+∠A＝90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（）2+x2＝（x+1）2，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵OP⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠A+∠APO＝90°，∵CP＝CB，∴∠CBP＝∠CPB，而∠CPB＝∠APO，∴∠APO＝∠CBP，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，OB＝，OC＝CP+OP＝x+1，∵OB2+BC2＝OC2，∴（）2+x2＝（x+1）2，解得x＝2，即BC的长为2．22．（9分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO ＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连结BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．请你写出求∠ADB、∠ABD的度数和求AB长的过程．应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，则AB的长为（），DC的长为（）【分析】探究：根据平行线的性质可得出∠ADB＝∠OAC＝75°，结合∠BOD＝∠COA可得出△BOD ∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD＝75°＝∠ADB，由等角对等边可得出AB＝AD＝4，此题得解；（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE＝4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【解答】解：∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝．又∵AO＝3，∴OD＝AO＝，∴AD＝AO+OD＝4．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝4．应用：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝．∵BO：OD＝1：3，∴＝＝．∵AO＝3，∴EO＝，∴AE＝4．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝4，∴AB＝AC＝8，AD＝12．在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，解得：CD＝4．23．（10分）如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．【分析】（1）解直角三角形求出AD，DC，DF即可．（2）分两种情形：当0＜t＜时，当t＞时，分别求解即可解决问题．（3）分三种情形分别画出图形，构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，∴CD＝4t．∴AD＝＝＝5t，当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，∴CF＝CB．∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．（2）当0＜t＜时，S＝•（5﹣3t）•4t＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝•（3t﹣5）•4t＝6t2﹣10t．（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵F A＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵F A＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为或或．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0）的顶点为A，与直线x＝相交于点B，点A关于直线x＝的对称点为C．（1）若抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0）经过原点，求m的值．（2）点C的坐标为（0，4）．用含m的代数式表示点B到直线AC的距离为．（3）将y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0，且x≥）的函数图象记为图象G，图象G关于直线x＝的对称图象记为图象H．图象G与图象H组合成的图象记为图象M．①当图象M与x轴恰好有三个交点时，求m的值．②当△ABC为等腰直角三角形时，直接写出图象M所对应的函数值小于0时，自变量x的取值范围．【分析】（1）将原点坐标代入解析式可求m的值；（2）先求出点C坐标和点B坐标，由对称性可求点C坐标，求出直线AC解析式，即可求点B到直线AC的距离；（3）①由题意可得点B必在x轴上，建立方程求解即可得出结论；②先求出m的值，再求出图象G，H与x轴的交点坐标，借助图象即可得出结论．【解答】（1）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0）经过原点，∴0＝﹣（0﹣m）2+4，解得m1＝2，m2＝﹣2，∵m＞0，∴m＝2．（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4（m＞0），∴顶点A坐标为（m，4），∵点A关于直线x＝的对称点为C．∴点C的坐标为（0，4）；∴直线AC解析式为y＝4，当x＝时，y＝﹣+4，∴点B（，﹣+4），∴点B到直线AC的距离为，故答案为：（0，4），；（3）①如图，当图象M与x轴恰好有三个交点时，∴点B在x轴上，且点B（，﹣+4），∴0＝﹣+4∴m1＝4，m2＝﹣4（舍去）②∵△ABC为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝AE＝AC，∵B（，﹣+4），A（m，2），C（0，2），（m＞0）∴BE＝，AE＝||＝，∴＝∴m1＝2，m2＝0（不合题意舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+4，∴x1＝0＜＝1（不合题意舍去），x2＝4，∴图象G与x轴的交点为（4，0），且图象G关于直线x＝的对称图象记为图象H．∴图象H与x轴的交点为（﹣2，0），∴图象M与x轴的交点为（﹣2，0）与（4，0），∵图象M所对应的函数值小于0，∴x＜﹣2或x＞4．。
2020-2021学年吉林省长春市汽开区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷1.方程x2−2x=0的根是()A. x1=x2=0B. x1=x2=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−22.抛物线y=x2−4x+3与y轴交点坐标为()A. (3,0)B. (0,−1)C. (2,−1)D. (0,3)3.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是()A. 6个B. 14个C. 20个D. 40个4.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，DE为△ABC的中位线，则四边形BCED的面积为()A. 2√3B. 3√3C. 4√3D. 6√35.如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上.若∠1=55°，则∠2的大小为()A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°6.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3,m)，且OP与x轴正，则m的值为()半轴的夹角α的正切值是43A. 5B. 4C. 3D. 947.如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点.若FM=2√2，则⊙O的半径为()A. 2B. √6C. 2√2D. 2√6(x+3)2+k经过坐标原点O，与x轴的8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23另一个交点为A.过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为()A. 18B. 12C. 9D. 69.计算：tan245°+1=______ ．10.若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0无实数根，则k的取值范围是______ ．11.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A=60°，则∠C的大小为______．12.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，AE：AD=2：3，BE与AC交于点F.若AC=20，则AF的长为______ ．13.圆心角为90°的扇形如图所示，过AB⏜的中点C作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E.若半径OA=2，则图中阴影部分图形的面积和为______ ．14.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+5的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+5−t=0(t为实数)在−1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围为______ ．15.解方程：x2−4x−3=0．16.有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，3；乙袋中有2个球，分别标有数字1，4，这5个球除所标数字不同外其余均相同.从甲、乙两袋中各随机摸出1个球.用画树状图(或列表)的方法，求摸出的两个球上数字之和是4的概率．17.图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．(1)在图①中画出线段AB的中点C；(2)在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD=4：5．18.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米.求该建筑物的高度BC(精确到1米)．[参考数据：sin63°=0.89，cos63°=0.45，tan63°=1.96]19.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标．(3)点(x1,y1)、(x2,y2)均在此抛物线上，若x1>x2>4，则y1______ y2(填“>”、“=”或“<”)．20.如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若BC=4，∠A=30°，求DC⏜的长.(结果保留π)21.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：x(元)152030…y(袋)252010…(1)若日销售量y(袋)是每袋的销售价x(元)的一次函数，求y与x之间的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w(元)；①求w与x之间的函数关系式；②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？(x−1)2−2与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，第一象限22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12内的点C在该抛物线上．(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)若△ABC的面积为12，求点C坐标；(x−1)2−2>mx+n时，直接写出x的取值范围．(3)在(2)问的条件下，直线y=mx+n经过点A、C.当1223.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点M从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P到达点C时，整个运动停止.设点P的运动时间为t(t>0)秒．(1)求BC的长；(2)用含t的代数式表示线段QM的长；(3)设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式；(4)连接QN，当QN与△ABC的一边平行时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，将函数y=x2−2mx+4m(m为常数)的图象记为G，图象G的最低点为P(x0,y0).(1)当m=0时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象G．(2)当y0=−1时，求m的值．(3)求y0的最大值．(4)当m>0，且当图象G与x轴有两个交点时，左边交点的横坐标为x1，直接写出x1的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：x2−2x=0x(x−2)=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．2.【答案】D【解析】解：令x=0，则y=3，∴抛物线y=x2−4x+3与y轴交点坐标为(0,3)．故选：D．令x=0，求出y的值即可．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%，∴摸到白球的频率为1−15%−35%=50%，故口袋中白色球的个数可能是40×50%=20(个)．故选：C．先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∠B=60°，又∵DE为中位线，∴DE=12BC=2，BD=12AB=2，DE//BC，∴DF=BD⋅sin∠B=2×√32=√3，∴四边形BCED的面积为：12DF×(DE+BC)=12×√3×(2+4)=3√3．故选：B．过点D作DF⊥BC于点F.根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DF=√3，再利用梯形的面积公式求出四边形BCED的面积．此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据DE为中位线，得出DF=√3是解决问题的关键．5.【答案】C【解析】解：连接OE，如图，∵∠AOE=2∠1=2×55°=110°，∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−110°=70°，∵∠BOE=2∠2，∴∠2=12×70°=35°．故选：C．连接OE，如图，先利用圆周角定理得到∠AOE=2∠1=110°，则利用邻补角计算出∠BOE=70°，然后再利用圆周角定理计算∠2的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.【答案】B【解析】解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．在Rt△OPH中，tanα=PHOH =43，∵P(3,m)，∴OH=3，PH=m，∴m3=43，∴m=4，故选：B．如图，过点P作PH⊥x轴于H.根据正切函数的定义求解即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7.【答案】C【解析】解：如图，连接OM，∵正六边形OABCDE，∴∠FOG=120°，∵点M为劣弧FG的中点，∴∠FOM=60°，OM=OF，∴△OFM是等边三角形，∴OM=OF=FM=2√2．则⊙O的半径为2√2．故选：C．连接OM，根据正六边形OABCDE和点M为劣弧FG的中点，可得△OFM是等边三角形，进而可得⊙O的半径．本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．8.【答案】A【解析】解：把(0,0)代入y=−23(x+3)2+k，得−23(0+3)2+k=0，解得k=6，∴抛物线解析式为y=−23(x+3)2+6，∴B点坐标为(−3,6)，∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD=3×6=18．故选：A．先把原点坐标代入解析式，求出k的值，得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．9.【答案】2【解析】解：tan245°+1=12+1=1+1=2．故答案为2．把tan45°=1代入原式计算即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键，比较简单．10.【答案】k>1【解析】解：根据题意得△=b2−4ac=22−4k<0，解得k>1．故答案为：k>1．根据判别式的意义得到△=22−4k<0，然后解不等式即可．此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△= 0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．11.【答案】120°【解析】解：根据题意得∠A+∠C=180°，所以∠C=180°−60°=120°．故答案为：120°．根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，然后把∠A的度数代入计算即可．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．12.【答案】8【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC =AFFC，∵AE：AD=2：3，∴AFFC =23，∴AFAC =25，又∵AC=20，∴AF=8，故答案为：8．由平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，可证△AEF∽△CBF，可得AEBC =AFFC，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是本题的关键．13.【答案】π−2【解析】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是弧AB的中点，∴∠AOC=∠BOC，在△COD与△COE中，{∠CDO=∠CEO ∠DOC=∠EOC OC=OC，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC=OA=2，∴OE=√2，∴图中阴影部分的面积=90π×22360−√2×√2=π−2．故答案为：π−2．根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，得到矩形CDOE 是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．14.【答案】4≤t<13【解析】解：∵y=x2+bx+5的对称轴为直线x=1，∴b=−2，∴y=x2−2x+5，∴一元二次方程x2+bx+5−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+5与函数y=t的有交点，∵方程在−1<x<4的范围内有实数根，当x=−1时，y=8；当x=4时，y=13；函数y=x2−2x+5在x=1时有最小值4；∴4≤t<13．故答案为4≤t<13．根据给出的对称轴求出函数解析式为y=x2−2x+5，将一元二次方程x2+bx+5−t=0的实数根可以看做y= x2−2x+5与函数y=t的有交点，再由−1<x<4的范围确定y的取值范围即可求解．本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．15.【答案】解：移项得x2−4x=3，配方得x2−4x+4=3+4，即(x−2)2=√7，开方得x−2=±√7，∴x1=2+√7，x2=2−√7．【解析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．16.【答案】解：根据题意得：∵共有6种等可能的情况数，其中摸出的两个球上数字之和是4的有2种，∴摸出的两个球上数字之和是4的概率是26=13．故答案为：13．【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和摸出的两个球上数字之和是4的情况数，然后利用概率公式即可求解．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：(1)如图，点C即为所求作．(2)如图，点D即为所求作．【解析】(1)取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求作．(2)取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求作．本题考查作图−应用与设计，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】解：在△ADB中，∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=80(米)，在△ACD中，∠ADC=90°，∴CD=AD⋅tan63°=80×1.96≈156.8(米)，∴BC=BD+CD=80+156.8=236.8≈237(米)，答：该建筑物的高度BC约为237米．【解析】根据题意可得BD=AD=80(米)，再根据锐角三角函数求解即可．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．19.【答案】(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)，∴{4a+2b=436a+6b=0解得{a=−12 b=3∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=−12x2+3x(2)因为y=−12x2+3x=−12(x−3)2+92，该抛物线开口向下．顶点坐标为(3,92).(3)<．【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)∵x1>x2>4，对称轴为x=3，a=−12<0∴y1<y2故答案为：<．【分析】(1)把A点和B点坐标代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．(3)根据二次函数的性质求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．20.【答案】(1)证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠ODB=∠A，∴OD//AC，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：∵BC =4，∴OB =2，∵∠B =∠A =30°，∴∠DOC =60°，∴DC ⏜的长为60π⋅2180=23π．【解析】(1)连接OD ，由平行线的判定定理可得OD//AC ，利用平行线的性质得∠ODE =∠DEA =90°，可得DE 为⊙O 的切线；(2)求出∠DOC =60°，由弧长公式可得出答案．本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 21.【答案】解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y =kx +b 得 {20k +b =2030k +b =10，解得{k =−1b =40， 故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y =−x +40；(2)①依题意，设利润为w 元，得w =(x −10)(−x +40)=−x 2+50x −400；②w =−x 2+50x −400=−(x −25)2+225；∵−1<0∴当x =25时，w 取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【解析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可；(2)利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22.【答案】解：(1)令y =0，则12(x −1)2−2=0，解得x 1=−1，x 2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)；(2)∵A(−1,0)，B(3,0)，∴AB =4，∵S △ABC =12AB ⋅y C =12，∴12×4×y C=12，解得y C=6，∴12(x−1)2−2=6，解得x1=5，x2=−3(不符题意，舍去)，∴C(5,6)；(3)由图象可知，当12(x−1)2−2>mx+n时，x的取值范围是x<−1或x>5，【解析】(1)令y=0，然后解方程即可求得；(2)根据三角形ABC的面积求得C的纵坐标，代入解析式即可求得C的坐标；(3)根据图象即可求得．本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=6，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8，(2)∵sinB=ACAB =PQBP，BP=5t，∴610=PQ5t，∴PQ=3t，在Rt△PQB中，BQ=√PB2−PQ2=4t，当点M与点Q相遇，10=4t+6t，∴t=1，当0<t≤1时，MQ=AB−AM−BQ，∴MQ=10−4t−6t=10−10t，当1<t≤85时，MQ=AM+BQ−AB，∴MQ=4t+6t−10=10t−10，综上所述：当QM的长度为10−10t或10t−10；(3)当0<t<1时，S=3t×(10−10t)=−30t2+30t；当1<t≤85时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN=QM=10t−10，PQ=3t，PN//AB，∴∠B=∠NPE，∴tanB=tan∠NPE，∴ACBC =NEPN，∴NE=68×(10t−10)=152t−152，∴S=3t×(10t−10)−12×(10t−10)×(152t−152)=−152t2+45t−752；(4)∵点Q在AB上，QN不可能平行于AB，∴QN平行于△ABC的一边时可分两种情况：①如图，若NQ//BC，∴∠B=∠MQN，∴tanB=tan∠MQN，∴ACBC =MNMQ，∴68=3t10−10t，∴t=57，②如图，若NQ//AC，∴∠A=∠BQN，∴tanA=tan∠BQN，∴BCAC =MNQM，∴86=3t10t−10，∴t=4031．综上所述：当t=57s或4031s时，QN与△ABC的一边平行．【解析】(1)由勾股定理可求出答案；(2)分两种情况讨论，当0<t≤1时，MQ=AB−AM−BQ，当1<t≤85时，MQ=AM+BQ−AB，则可得出答案；(3)分两种情况讨论，由面积公式可求出答案；(4)分两种情况讨论，由锐角三角函数可求出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)当m=0时，这个函数的表达式为y=x2，图象如下：(2)y=x2−2mx+4m=(x−m)2−m2+4m，∵y0=−1时，−m2+4m=−1∴m1=2+√5，m2=2−√5(3)∵y0=−m2+4m=−(m−2)2+4，∴当m=2时，y0的最大值是4.；(4)当抛物线顶点在x轴上时，−m2+4m=0，∴m=4或0(舍弃)，∵y0=−m2+4m=−(m−2)2+4，当m=2时，y的最大值是4，∴观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是2<x1<4，【解析】(1)当m=0时，解析式为y=x2，画出函数图象即可；(2)把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为−1，解关于m的方程即可求得．(3)把y0=−m2+4m化成顶点式，即可求得结果；(4)求得抛物线与x轴有一个交点时的m的取值，再根据当y0的最大值时m的值，即可解决问题．本题属于考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，最值问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．。
长春市2019-2020年度九年级上学期期末数学试题A卷
长春市2019-2020年度九年级上学期期末数学试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC ＝2PQ，则tan∠B的值为（）A．B．C．D．2 . 如图，点分别是反比例函数与正比例函数的交点，过点作轴的垂线，垂足为，线段与直线交于点，若的面积为，点为线段的三等分点，则的值为（）B．C．D．A．3 . 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．64 . 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5 . 将函数y=3x2的图象如何变换可以得到抛物线y=3(x+1)2－4的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度D．先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度6 . 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2019的坐标为（）A．B．C．（1，1）D．（﹣1，1）7 . 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作，交x轴于点D．下列结论：①；②当点D运动到OA的中点处时，；③在运动过程中，是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个 D. 4个8 . 一个圆锥，它的主视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（）A．60°B．90°C．120°D．180°9 . 下列说法正确的是（）A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上10 . 如果关于x的方程ax2+x﹣1=0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a C．a且a≠0D．a且a≠0二、填空题11 . 汽车刹车后行驶的距离（米）与行驶的时间（秒）函数关系式是，汽车刹车后停下来前进了________米．12 . 已知点（1，3）在函数的图象上，正方形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图象又经过、两点，则点的横坐标为__________．13 . 如图，正方形中，已知，点，分别在、上，且，，则的面积为________．14 . 关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为_____．15 . 如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为__．三、解答题16 . 如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．（1）求直线和反比例函数的表达式；（2）连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以OC为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标；（3）结合图象，请直接写出不等式≥ax+b的解集．17 . 如图，某小学门口有一直线马路，交警在门口设有一条宽度为4米的斑马线，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15°和∠FAD＝30°，司机距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？(E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上)(参考数据：tan15°＝2－，≈1.732，≈1.414)18 . 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点B的坐标为(8，0)．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19 . 如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，并且AB=3，OA=6，将△AOB绕点O逆时针旋转90度得到△COA．点P从点C出发（不含点C），沿射线DC方向运动，记过点D，P，B的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a<0）.（1）直接写出点D的坐标；（2）在直线CD的上方是否存在一点Q，使得点D，O，P，Q四点构成的四边形是菱形，若存在，求出P与Q 的坐标；（3）当点P运动到∠DOP=45度时，求抛物线的对称轴；（4）求代数式a+b+c的值的取值范围(直接写出答案即可).20 . 数学课堂上，为了学习构成任意三角形三边需要满足的条件.甲组准备3根本条，长度分别是3cm、8cm、13cm；乙组准备3根本条，长度分别是4cm、6cm、12cm.老师先从甲组再从乙组分别随机抽出一根本条，放在一起组成一组.（1）用画树状图法（或列表法）分析，并列出各组可能.（画树状图或列表及列出可能时不用写单位）（2）现在老师也有一根本条，长度为5cm，与（1）中各组本条组成三角形的概率是多少？21 . 如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）22 . 解方程（2x+1）2=3（2x+1）。
吉林省2019-2020学年九年级上学期数学期末考试试卷A卷
吉林省2019-2020学年九年级上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) (共8题；共23分)1. （3分）(2016·海南) 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（）A .B .C .D .2. （3分）(2017·泰安) 为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A，B，C，D四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（）A . 本次抽样测试的学生人数是40B . 在图1中，∠α的度数是126°C . 该校九年级有学生500名，估计D级的人数为80D . 从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为0.23. （3分） (2017八下·合浦期中) 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A .B .C .D . 不确定4. （3分）如图中的①、②、③、④是一天中四个不同时刻同一根木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序正确排列为（）A . ①②③④B . ④①③②C . ④②③①D . ④③①②5. （2分）(2011·玉林) 若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A .B .C .D .6. （3分） (2019九上·中原月考) 如图,矩形ABCD,点E. F分别在AD、BC上且AE=DE,BC=3BF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点A恰好落在BC边上的点G处,若AB= ，则CG为（）A . 3.B . 1.C . 2.D . .7. （3分） (2018九上·合肥期中) 一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A . 第4张B . 第5张C . 第6张D . 第7张8. （3分）已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=－x+b上，则y1,y2大小关系是（）A . y1>y2B . y1 =y2C . y1 <y2D . 不能比较二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) (共6题；共17分)9. （3分） (2018九上·宜兴月考) 关于x的一元二次方程(a＋3)x2＋x＋a2－9＝0的一个根是0，则a的值为________.10. （2分）(2017·盘锦) 对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定▱ABCD是矩形的概率是________．11. （3分） (2018九上·阆中期中) 若抛物线y=ax2+c与y=2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，－3），则该抛物线的函数解析式是________.12. （3分）(2016·南岗模拟) 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作16个盒身或制作43个盒底，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制做盒身，多少张白铁皮制做盒底，可以正好制成整套罐头盒？设用x张白铁皮制做盒身，可列方程为________．13. （3分）如图：正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M、交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN=1，PN=3，则DM的长为________ ．14. （3分）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为________ ．三、作图题(本大题满分4分) (共1题；共4分)15. （4分） (2018八上·泰兴月考) 尺规作图。
2019-2020学年吉林省长春市新区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2019-2020学年吉林省长春市新区九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列式子中，a 不可以取1和2的是（ ）A ．√5aB ．√a +3C ．√a 2+1D ．√−2a 2．（3分）已知2x ＝3y ，则下列各式错误的是（ ）A ．x 3=y 2B ．x y =32C ．x 2=y 3D ．6x ＝9y3．（3分）下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）A ．守株待兔B ．拔苗助长C ．瓮中捉鳖D ．水中捞月4．（3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a 2﹣1＝0的一个根为0，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．12 5．（3分）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）A ．各边的长度B ．各内角的度数C ．五边形的周长D ．五边形的面积 6．（3分）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝（ ）A ．7B ．7.5C ．8D ．8.57．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝3，AC ＝4，则sin B 的值为（ ）A ．45B ．35C ．34D ．43 8．（3分）二次函数y ＝（x +1）2﹣2的图象大致是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）√25×4=．10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+4＝m没有实数根，则m的取值范围是．11．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3）的对称轴方程为．12．（3分）如图，△ADE～△ABC，AD＝3，AE＝4，BE＝5，CA的长为．13．（3分）在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝．14．（3分）一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：√6×√3+√24÷√6−|﹣3√2|．16．（6分）四张大小、形状都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，把它们放入不透明的盒子中摇匀．。