2020年新高考数学全国卷2(海南)及答案
数学试卷第1页（共20页）数学试卷第2页（共20页）绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =，则A B = （）A .{}1,3,5,7B .{}2,3C .{}2,3,5D .{}1,2,3,5,7,82.()()12i 2i ++=（）A .45i+B .5iC .5i-D .23i+3.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A .2CD CA+ B .2CD CA - C .2CD CA- D .2CD CA+ 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面。
在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A .20︒B .40︒C .50︒D .90︒5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A .62%B .56%C .46%D .42%6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A .2种B .3种C .6种D .8种7.已知函数()()2lg 45f x x x =--在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A .()2,+∞B .[)2,+∞C .()5,+∞D .[)5,+∞8.若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()10xf x -≥的x 的取值范围是（）A .[][)1,13,-+∞ B .[][]3,10,1-- C .[][)1,01,-+∞ D .[][]1,01,3- 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加B .这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C .第3天至第11天复工复产指数均超过80%毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无------------------效----------------数学试卷第3页（共20页）数学试卷第4页（共20页）D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量10.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A .若0m n ＞＞，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B .若0m n =＞，则CC .若0mn ＜，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D .若0m =，0n ＞，则C 是两条直线11.下图是函数()y sin x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（）A .πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭B .πsin 23x ⎛⎫-⎪⎝⎭C .πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .5πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知0a ＞，0b ＞，且1a b +=，则（）A .2212a b +≥B .122a b -＞C .22log log 2a b +-≥D 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点，则三棱锥A NMD -的体积为.14.斜率为的直线过抛物线2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =.15.将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为.16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，35tan ODC =∠，BH DG ∥，12 cm EF =， 2 cm DE =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为2cm .四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在①ac =②sin 3c A =，③c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为啊a ，b ，c ，且sin A B =，π6C =，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-.数学试卷第5页（共20页）数学试卷第6页（共20页）19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：2SO PM 2.5[]0,50(]50,150(]150,475[]0,3532184(]35,756812(]75,1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：2SO PM 2.5[]0,150(]150,475[]0,75(]75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12.（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求AMN △的面积的最大值.22.已知函数()1e ln ln x f x a x a -=-+.（1）当e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________数学试卷第7页（共20页）数学试卷第8页（共20页）2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学答案解析一、选择题1.【答案】C【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果．因为{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =，所以{}2,3,5A B = ．故选：C【考点】集合交集的运算2.【答案】B【解析】直接计算出答案即可．()()212i 2i 2i 4i 2i 5i++=+++=故选：B【考点】复数的计算3.【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可．()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 故选：C【考点】向量的加减法4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m CD ∥、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC =︒∠，m CD ∥，所以40OAG AOC ==︒∠∠，由于90OAG GAE BAE GAE +=+=︒∠∠∠∠，所以40BAE OAG ==︒∠∠，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE =︒∠．故选：B【提示】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点、A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角．【考点】中国古代数学文化，球体有关计算5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，然后根据积事件的概率公式()()()()P A B P A P B P A B =+-+ 可得结果．记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，则()P A 0.6=，()P B 0.82=，()P A B 0.96+=，所以()()()()P A B P A P B P A B 0.60.820.960.46=+-+=+-= ，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．故选：C【考点】积事件的概率公式数学试卷第9页（共20页）数学试卷第10页（共20页）6.【答案】C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可．第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法，第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法，所以，不同的安排方法共有326⨯=种．故选：C 7.【答案】D【解析】首先求出()f x 的定义域，然后求出()()2lg 45f x x x =--的单调递增区间即可．由2450x x --＞得5x ＞或1x -＜，所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞ ，因为245y x x =--在()5,+∞上单调递增，所以()()2lg 45f x x x =--在()5,+∞上单调递增，所以5a ≥．故选：D 8.【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，所以()f x 在()0,+∞上也是单调递减，且()20f -=，()00f =，所以当()(),20,2x ∈-∞- 时，()0f x ＞，当()()2,02,x ∈-+∞ 时，()0f x ＜，所以由()10xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足()10xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3- ．故选：D【提示】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．【考点】利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式二、选择题9.【答案】CD【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确．由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确．由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确；【考点】折线图表示的函数的认知与理解10.【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n ＞＞时表示椭圆，0m n =＞时表示圆，0mn ＜时表示双曲线，0m =，0n ＞时表示两条直线．对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n ＞＞，所以11m n，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确．数学试卷第11页（共20页）数学试卷第12页（共20页）故选：ACD【考点】曲线方程的特征11.【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．由函数图像可知：2πππ2362T =-=，则2π2π2πT ω===，所以不选A,当2ππ5π36212x +==时，1y =-()5π3π22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ∴，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2ππππsin 2π2πsin 2cos 2sin 236263y x k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π5πcos 2cos 266x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选：BC 12.【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解．对于A ，()22222211112221222a b a a a a a +=+-=-+⎛⎫- ⎪⎝=+⎭≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+===- ⎪⎝⎭≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D，因为2112a b +=+++=，+12a b ==时，等号成立，故D 正确．故选：ABD【考点】不等式的性质三、填空题13.【答案】13【解析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可．因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：1314.【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果．∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为()1,0F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：)1y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得113x =，23x =，所以12116333AB x =-=-=解法二：10036640=-=△＞设()11,A x y ，()22,B x y 则12103x x +=，过A ，B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为C ，D 如图所示．12121611+2=3AB AF BF AC BD x x x x =+=+=+++=+数学试卷第13页（共20页）数学试卷第14页（共20页）故答案为：163．【考点】抛物线焦点弦长15.【答案】232n n-【解析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为()2116322n n n n n -+=- ，故答案为：232n n -．【考点】有关数列的问题16.【答案】54π2+【解析】利用3tan 5ODC =∠求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为BH DG ∥，所以45AHO ︒=∠，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ==∠，所以3252212522r -=-，解得22r =；等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213π223π24S =⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215ππ422S S +-=+.故答案为：5π42+．【考点】三角函数在实际中应用四、解答题17.【答案】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ，b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tan A 的值，得到角A ，B ，C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.解法一：数学试卷第15页（共20页）数学试卷第16页（共20页）由sin A B =可得：ab，不妨设a =，()0b m m =>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =．选择条件①的解析：据此可得：2ac m ⨯=，1m ∴=，此时1c m ==.选择条件②的解析：据此可得：222222231cos222b ca m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==．选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件c =矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sin A B =,π6C =，()πB A C =-+∴()πsin6A A C A ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，()1sin 2A AC A A =+=+ ，∴sinA =,∴tanA =∴23Aπ=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ,2=,∴1c =；若选②，sin 3c A =,3=,c =;若选③，与条件c =矛盾．18.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q ＞，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，整理可得：22520q q -+=，1q ＞，2,q =，12a =数列的通项公式为：1222n nn a -== ．（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-()1357921222212n n -+=-+-+⋯+- ()()()322322128215512nn n+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.19.【答案】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；（2）由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO PM 2.5[]0,150(]150,475合计[]0,75641680(]75,115101020合计7426100（3）根据22⨯列联表中的数据可得()()()()()()2221006410161036007.4844 6.63580207426481n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯＞，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关．【考点】古典概型的概率公式20.【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，AD BC ∥，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊄平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，数学试卷第17页（共20页）数学试卷第18页（共20页）因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以AD DC ⊥，l DC ∴⊥，且PD ⊥平面ABCD ，所以AD PD ⊥，l PD ∴⊥因为CD PD D = 所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0B 设(),0,1Q m ，则有()0,1,0,DC = ，(),0,1DQ m = ，()1,1,1PB =-，因为QB =1m ==设平面QCD 的法向量为(),,n x y z =，则00DC n DQ n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为()1,0,1n =-，则cos ,3n PB n PB n PB ⋅<>====.根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于cos ,3n PB <>=ruu r .所以直线PB 与平面QCD .【考点】立体几何21.【答案】（1）由题意可知直线AM 的方程为：()1322y x -=-，即24x y -=-．当0y =时，解得4x =-，所以4a =，椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，可得249116b +=，解得212b =.所以C 的方程：2211612x y +=.（2）设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时AMN △的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m =-⨯-=△，即264m =，解得8m =±，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24x y -=-，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：5d =，由两点之间距离公式可得AM ==所以AMN△的面积的最大值：11825⨯=.22.【答案】【解析】（1）()e ln 1xf x x =-+Q ，()1e xf x x'∴=-，()1e 1k f '∴==-.数学试卷第19页（共20页）数学试卷第20页（共20页）()1e 1f =+Q ，∴切点坐标为()1,1e +，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()e 1e 11y x --=--,即()e 12y x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为()0,22,0e 1-⎛⎫⎪-⎝⎭，∴所求三角形面积为1222=2e 1e 1-⨯⨯--;（2）解法一：()1e ln ln xf x a x a -=-+Q ,()11e xf x a x-'∴=-，且0a ＞.设()()g x f x =',则()121e 0x g x a x -'=+＞，∴()g x 在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()min 11f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a ＞时，11a ，11e 1a -∴＜，()()1111e 110a f f a a a -⎛⎫⎛⎫''∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜,∴存在唯一00x ＞，使得()01001e 0x f x a x -'=-=，且当()00,x x ∈时()0f x '＜，当()0,x x ∈+∞时()0f x '＞，0101e x a x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此()()0100min e ln ln x f x f x a x a-==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+-+=+≥＞，∴()1f x ＞，∴()1f x ≥恒成立；当01a ＜＜时，()1ln 1f a a a =+＜＜，∴()11f ＜，()1f x ≥不是恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞．解法二：()1ln 1e ln ln e ln ln 1x a x f x a x a x a -+-=-+=-+≥等价于ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-+=+≥,令()e x g x x =+,上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥，令()ln 1h x x x =-+,则()111xh x x x-=-='在()0,1上()0h x '＞，()h x 单调递增；在()1,+∞上()0h x '＜，()h x 单调递减，∴()()max 10h x h ==，ln 0a ≥，即1a ≥，∴a 的取值范围是[)1,+∞.【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题。
2020年高考数学试题解析(全国2卷)
D． 11001
【思路分析】分别为 4 个选项中 k 1 ，2，3，4 进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周
期都是 5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如 C 答案中的排列为
10001 10001 10001
【解析】：对于 A 选项：序列 11010 11010
1 2
a 2b
ab
8，
c2 a2 b2 2ab 16 ，当且仅当 a b 2 2 时取等号，
C 的焦距的最小值为 2 4 8 ，
故选： B ．
【总结与归纳】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．
9．设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f (x)( )
【总结与归纳】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．
11．若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln( y x 1) 0 B． ln( y x 1) 0 C． ln | x y | 0
D． ln | x y | 0
【思路分析】由 2x 2y 3x 3y ，可得 2x 3x 2y 3y ，令 f (x) 2x 3x ，则 f (x) 在 R 上单调递增，
故要求的圆的方程为 (x 5)2 ( y 5)2 25 或 (x 1)2 ( y 1)2 1 ．
故所求圆的圆心为 (5,5) 或 (1,1) ；
故圆心到直线 2x y 3 0 的距离 d | 2 5 5 3 | 2 5 或 d | 2 1 1 3 | 2 5 ；
22 12
积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者 ( )
2020年海南省高考数学试卷(新高考全国Ⅱ卷)(原卷版)
心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂
足为 C，tan∠ODC= 3 ， BH∥DG ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半 5
径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成
一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点
A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40°，则
数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）
A. 1.2 天
B. 1.8 天
C. 2.5 天
D. 3.5 天
7.已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范用是（ ）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.斜率为 3 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB =________．
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________． 15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆
i 1
i 1
A. 若 n=1，则 H(X)=0
B. 若 n=2，则 H(X)随着 p1 的增大而增大
2020年全国新高考II卷数学试卷试题及答案
2020年全国新高考II卷数学试卷试题及答案世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。
在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型 $I(t)=e^rt$ 描述累计感染病例数 $I(t)$ 随时间 $t$（单位：天）的变化规律，指数增长率$r$ 与 $R$、$T$ 近似满足 $R=1+rT$。
有学者基于已有数据估计出 $R=3.28$，$T=6$。
据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 $\ln2\approx0.69$ 天。
已知 $P$ 是边长为2的正六边形 $ABCDEF$ 内的一点，则 $AP\cdot AB$ 的取值范围是 $\mathrm{(B)}$ $(-6,2)$。
若定义在 $\mathbb{R}$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 单调递减，且 $f(2)=0$，则满足 $xf(x-1)\geq0$ 的 $x$ 的取值范围是 $\mathrm{(D)}$ $[-1,0]\cup[1,3]$。
已知曲线 $C:mx+ny=1$。
mathrm{(A)}$ 若 $m>n>0$，则 $C$ 是椭圆，其焦点在$y$ 轴上；mathrm{(B)}$ 若$m=n>0$，则$C$ 是圆，其半径为$n$；mathrm{(C)}$ 若 $mn<0$，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y=\pm\frac{mx}{n}$；mathrm{(D)}$ 若 $m=0$，$n>0$，则 $C$ 是两条直线。
下图是函数 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的部分图像，则$\sin(\omega x+\varphi)=\mathrm{(C)}$ $\cos(2x+\frac{\pi}{2})$。
已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=1$，则$\mathrm{(B)}$ $2a-b>\frac{1}{2}$。
2020年海南省新高考数学试卷(新高考)含详细解析
2020年海南省新⾼考数学试卷⼀、选择题（本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求的）1．（5分）设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}2．（5分）（1+2i）（2+i）＝（）A．4+5i B．5i C．﹣5i D．2+3i3．（5分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+24．（5分）⽇晷是中国古代⽤来测定时间的仪器，利⽤与晷⾯垂直的晷针投射到晷⾯的影⼦来测定时间．把地球看成⼀个球（球⼼记为O），地球上⼀点A的纬度是指OA与地球⾚道所在平⾯所成⻆，点A处的⽔平⾯是指过点A且与OA垂直的平⾯．在点A处放置⼀个⽇晷，若晷⾯与⾚道所在平⾯平⾏，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的⽔平⾯所成⻆为（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（5分）某中学的学⽣积极参加体育锻炼，其中有96%的学⽣喜欢⾜球或游泳，60%的学⽣喜欢⾜球，82%的学⽣喜欢游泳，则该中学既喜欢⾜球⼜喜欢游泳的学⽣数占该校学⽣总数的⽐例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%6．（5分）要安排3名学⽣到2个乡村做志愿者，每名学⽣只能选择去⼀个村，每个村⾥⾄少有⼀名志愿者，则不同的安排⽅法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种7．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x ﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]⼆、选择题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．（5分）我国新冠肺炎疫情进⼊常态化，各地有序推进复⼯复产，下⾯是某地连续11天复⼯复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复⼯指数和复产指数均逐⽇增加B．这11天期间，复产指数增量⼤于复⼯指数的增量C．第3天⾄第11天复⼯复产指数均超过80%D．第9天⾄第11天复产指数增量⼤于复⼯指数的增量10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线⽅程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．（5分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x+）B．sin（﹣2x）C．cos（2x+）D．cos（﹣2x）12．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤三、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13．（5分）已知正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A﹣NMD1的体积为．14．（5分）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．15．（5分）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．16．（5分）某中学开展劳动实习，学⽣加⼯制作零件，零件的截⾯如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆⼼，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂⾜为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的⾯积为cm2．四、解答题（本题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯问题中，若问题中的三⻆形存在，求c的值；若问题中的三⻆形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内⻆A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C ＝，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第⼀个解答计分．18．（12分）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国卷Ⅱ)(海南卷)数学试题(解析版)
绝密★启用前 考试时间：2020年7月7日15:00-17:00 2020年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)(新高考全国卷Ⅱ)数学试题(解析版)试卷总分150分， 考试时间120分钟1.设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B ⋃=（ ）A.{|23}x x <≤B.{|23}x x ≤≤C.{|14}x x ≤<D.{|14}x x <<答案：C解析：由题可知{|14}A B x x ⋃=≤<，∴选C. 2.212i i-=+（ ） A.1B.1-C.iD.i -答案：D解析：2(2)(12)512(12)(12)5i i i i i i i i ----===-++-. 3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A.120种B.90种C.60种D.30种答案：C解析：126560C C ⋅=.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A.20︒B.40︒C.50︒D.90︒答案：B解析：如图所示,由题意可知直线l 与AC 夹角α，即为所求角，∴40DAO α=∠=︒，故选B.。
2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)含答案
2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则A B =（）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. {2，3，5}D. {1，2，3，5，7，8}2.(1+ 2i)(2 +i) =（）A. 4 + 5iB. 5iC. -5iD. 2 + 3i3.在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A.2CD +CAB.C.2CD -CAD.CD - 2CA CD + 2CA4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20°B. 40°C. 50°D. 90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B. 56%C 46% D. 42%6.要安排3 名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A. 2 种B. 3 种C. 6 种D. 8 种7. 已知函数f (x) = lg(x2- 4x - 5) 在(a, +∞) 上单调递增，则a 的取值范围是（）A. (2, +∞)B. [2, +∞)C. (5, +∞)D. [5, +∞)8. 若定义在R 的奇函数f(x)在(-∞, 0) 单调递减，且f(2)=0，则满足xf (x -1) ≥ 0 的x 的取值范围是（）A.C. [-1,1] [3, +∞)[-1, 0] ⋃[1, +∞)B.D.[-3, -1] [0,1][-1, 0] ⋃[1, 3]二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A.这11 天复工指数和复产指数均逐日增加;B.这11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C.第3 天至第11 天复工复产指数均超过80%;D.第9 天至第11 天复产指数增量大于复工指数的增量;10.已知曲线C : mx2+ny2= 1 .（）A.若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m=n>0，则C 圆，其半径为C.若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±-m x nD.若m=0，n>0，则C 是两条直线11.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）na bA. sin(x+ π）B. 3sin( π - 2x )3C. cos(2x + π）D. 6cos( 5π - 2x )612. 已知 a >0，b >0，且 a +b =1，则（ ）A. a 2 + b 2 ≥ 12B. 2a -b > 12C. log 2 a + log 2 b ≥ -2D.+ ≤三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB 1、AB 的中点，则三棱锥 A -NMD 1 的体积为14. 斜率为 的直线过抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，且与 C 交于 A ，B 两点，则 AB =．15. 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前 n 项和为．16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂 足为 C ，tan ∠ODC = 3， BH //DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm ，圆孔半径5为1 cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）233 2 17. 在① ac = ，② c sin A = 3 ，③ c = 3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在 ABC ，它的内角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且sin A = 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 已知公比大于1的等比数列{a n } 满足a 2 + a 4 = 20, a 3 = 8 ．（1） 求{a n } 的通项公式；π3 sin B ，C =， ?6（2） 求a a- a a +⋯+ (-1)n -1a a .1 22 3n n +119. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的PM 2.5 和SO 浓度（单位： μg/m 3 ），得下表：（1） 估计事件“该市一天空气中PM 2.5 浓度不超过75 ，且SO 2 浓度不超过150 ”的概率；（2） 根据所给数据，完成下面的2⨯ 2 列联表：（3） 根据（2）中 列联表，判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中PM 2.5 浓度与SO 2 浓度有关？附： K 2n (ad - bc )2 ，(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )20. 如图，四棱锥P -ABCD 底面为正方形，PD ⊥ 底面 ABCD ．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为l ．（1） 证明： l ⊥ 平面 PDC ；（2） 已知 PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB =，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值．21. 已知椭圆 C ： x a2 y 21+ = 1(a > b > 0) 过点M （2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ， b 2 2（1） 求 C 的方程；（2） 点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.22. 已知函数 f (x ) = a e x -1 - ln x + ln a ．（1） 当a = e 时，求曲线 y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2） 若 f （x ）≥1，求 a 的取值范围．2 =22020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则A B =（）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. {2，3，5}D. {1，2，3，5，7，8}【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，所以A B ={2, 3, 5}故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2.(1+ 2i)(2 +i) =（）B.5iC. -5iD. 2 + 3iA.4 + 5i【答案】B【解析】【分析】直接计算出答案即可.【详解】(1+ 2i)(2 +i) = 2 +i + 4i + 2i2= 5i故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3.在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）CD - 2CA CD + 2CAA.2CD +CAB.C.2CD -CAD.【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】CB =CA +AB =CA + 2AD =CA + 2(CD -CA)= 2CD -CA故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20°B. 40°C. 50°D. 90°【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ；AB 是晷针所在直线. m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD 、根据线面垂直的定义可得AB ⊥m ..由于∠AOC = 40︒, m//CD ，所以∠OAG =∠AOC = 40︒，由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE = 90︒，所以∠BAE =∠OAG = 40︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE = 40︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B. 56%C. 46%D. 42%【答案】C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A +B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ⋅B ，然后根据积事件的概率公式P( A ⋅B) =P( A) +P(B) -P( A +B) 可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球” 事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A +B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ⋅B ，则P( A) = 0.6 ，P(B) = 0.82 ，P (A +B)= 0.96 ，所以P( A ⋅B) =P( A) +P(B) -P( A +B) = 0.6 + 0.82 - 0.96 = 0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46% .故选：C【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.[3, +∞) 3 226. 要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 2 种B. 3 种C. 6 种D. 8 种【答案】C【解析】【分析】首先将 3 名学生分成两个组，然后将 2 组学生安排到 2 个村即可.【详解】第一步，将 3 名学生分成两个组，有C 1C 2 = 3 种分法第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有 A 2= 2 种安排方法 所以，不同的安排方法共有3⨯ 2 = 6 种 故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7. 已知函数 f (x ) = lg(x 2 - 4x - 5) 在(a , +∞) 上单调递增，则a 的取值范围是（）A. (2, +∞)B. [2, +∞)C. (5, +∞)D. [5, +∞)【答案】D【解析】【分析】首先求出 f (x ) 的定义域，然后求出 f (x ) = lg(x 2 - 4x - 5) 的单调递增区间即可. 【详解】由 x 2 - 4x - 5 > 0 得 x > 5 或 x < -1所以 f (x ) 的定义域为(-∞, -1) ⋃ (5, +∞) 因为 y = x 2 - 4x - 5 在(5, +∞) 上单调递增所以 f (x ) = lg(x 2 - 4x - 5) 在(5, +∞) 上单调递增所以a ≥ 5 故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8. 若定义在 R 的奇函数f (x )在(-∞, 0) 单调递减，且 f (2)=0，则满足 xf (x -1) ≥ 0 的 x 的取值范围是（ ）A. [-1,1]B. [-3, -1] [0,1]C. [-1, 0] ⋃[1, +∞)D. [-1, 0] ⋃[1, 3]【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f (x ) 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在 R 上的奇函数 f (x ) 在(-∞, 0) 上单调递减，且 f (2) = 0 ，所以 f (x ) 在(0, +∞) 上也是单调递减，且 f (-2) = 0 ， f (0) = 0 ，所以当 x ∈ (-∞, -2) ⋃ (0, 2) 时， f (x ) > 0 ，当 x ∈(-2, 0) (2, +∞) 时， f (x ) < 0 ，所以由 xf (x -1) ≥ 0 可得：⎧x < 0⎧x > 0 ⎨-2 ≤ x -1 ≤ 0 或⎨0 ≤ x -1 ≤ 2 或 x = 0 ⎩ ⎩解得-1≤ x ≤ 0 或1 ≤ x ≤ 3 ，所以满足 xf (x -1) ≥ 0 的 x 的取值范围是[-1, 0] ⋃[1, 3]，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A. 这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加;1B. 这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%;D. 第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第 1 天和第 11 天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定 CD 正确.【详解】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到第 11 复工指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第 11 天的复产指标与复工指标的差，所以这 11 天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误;由图可知，第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%，故 C 正确;由图可知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题. 10. 已知曲线C : mx 2 + ny 2 = 1 .（ ）A. 若 m >n >0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B. 若 m =n >0，则 C 是圆，其半径为C. 若 mn <0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y = ± - mxnD. 若 m =0，n >0，则 C 是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解， m > n > 0 时表示椭圆， m = n > 0 时表示圆， mn < 0 时表示双曲线，m = 0, n > 0 时表示两条直线【详解】对于A ，若m > n > 0 ，则mx 2 + ny 2 = 1可化为 x 2 + y 2 = 1 1， m nn111 因为m > n > 0 ，所以< ， m n即曲线C 表示焦点在 y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若m = n > 0 ，则mx 2 + ny 2 = 1可化为 x 2 + y 2 = 1，n此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n 的圆，故B 不正确；n对于C ，若mn < 0 ，则mx 2 + ny 2 = 1可化为此时曲线C 表示双曲线，x 2 + y 2 = 1 1， m n由 mx 2 + ny 2 = 0 可得 y = ± - mx ，故 C 正确；n对于D ，若m = 0, n > 0 ，则mx 2 + ny 2 = 1可化为 y 2 = 1，ny =± n，此时曲线C 表示平行于 x 轴的两条直线，故D 正确；n故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 下图是函数 y = sin(ωx +φ)的部分图像，则 sin(ωx +φ)= （）A. sin(x + π）B. 3sin( π - 2x )3C. cos(2x + π）D. 6cos( 5π - 2x )6【答案】BC【解析】a b 2 2 【分析】首先利用周期确定ω 的值，然后确定ϕ 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.T2π π 2π 2π【详解】由函数图像可知： =π - = ，则ω = = = 2 ，所以不选A,2π +π2 3 6 2 T π5π 3π当 x = 3 6 = 5π 时， y = -1∴ 2⨯ 12 + ϕ = + 2k π (k ∈ Z ) ， 2 2 12解得：ϕ = 2k π + 2π (k ∈ Z ) ，3即函数的解析式为：y = sin ⎛ 2x + 2 π + 2k π ⎫ = sin ⎛ 2xπ π ⎫ = cos ⎛ 2x + π ⎫ = sin ⎛ π - 2x ⎫. 3 ⎪ + 6 + 2 ⎪ 6 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭而cos ⎛2x +π ⎫ = -cos(5π - 2x ) 6 ⎪ 6 ⎝ ⎭故选：BC.【点睛】已知 f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法：2π (1) 由 ω＝T即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x 0，则令 ωx 0＋φ＝0(或 ωx 0＋φ＝π)，即可求出 φ.(2) 代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和 φ，若对 A ，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 12. 已知 a >0，b >0，且 a +b =1，则（）A. a 2 + b 2 ≥ 12B. 2a -b > 12C. log 2 a + log 2 b ≥ -2D.+ ≤【答案】ABD【解析】【分析】根据a + b = 1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.详解】对于 A ， a 2 + b 2 = a 2 + (1- a )2= 2a 2 - 2a +1 = 2⎛a -1 ⎫ + 1 ≥ 1， ⎪⎝ ⎭ 22 2b 21 当且仅当a = b = 1时，等号成立，故A 正确；2对于B ， a - b = 2a -1 > -1 ，所以2a -b > 2-1 = 1，故B 正确；2 ⎛ a + b ⎫21 对于C ， log2 a + log 2 b = log 2 ab ≤ log 2 2 ⎪ = log 2 4 = -2 ，⎝ ⎭当且仅当a = b = 1时，等号成立，故C 不正确；2对于D ，因为( + b )2= 1+ 2 ≤ 1+ a + b = 2 ，所以 + ≤ ，当且仅当a = b = 1时，等号成立，故D 正确； 2故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB 1、AB 的中点，则三棱锥 A -NMD 1 的体积为1 【答案】 3【解析】【分析】利用V A - N MD = V D - AMN 计算即可.11【详解】因为正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB 1、AB 的中点 所以V A - NMD = V D- AMN = 1 ⨯ 1 ⨯1⨯1⨯ 2 = 1 3 2 31 故答案为：3【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.a ab a 11+ k 2 14. 斜率为 16 的直线过抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，且与 C 交于 A ，B 两点，则 AB = ．【答案】 3【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为 y 2 = 4x ，∴抛物线的焦点F 坐标为 F (1, 0) ，又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为： y = 3(x -1)代入抛物线方程消去 y 并化简得3x 2 -10x + 3 = 0 ， 解法一：解得 x = 1, x = 313 2所以| AB |=| x - x |= 1+ 3⋅ | 3 - 1 |= 161 2 3 3解法二： ∆ = 100 - 36 = 64 > 0设 A (x , y ), B (x , y ) ，则x + x = 10 , 1 1 2 2 1 2 3过 A , B 分别作准线 x = -1 的垂线，设垂足分别为C , D 如图所示.| AB |=| AF | + | BF |=| AC | + | BD |= x +1+ x +1 = x + x +2= 161 2 1 2 316 故答案为：3【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15. 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前 n 项和为 ．3 3【答案】3n 2 - 2n【解析】【分析】首先判断出数列{2n -1} 与{3n - 2}项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{2n -1} 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 数列{3n - 2}是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a n } 是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，所以{a } 的前n 项和为n ⋅1+n (n -1)⋅ 6 = 3n 2 - 2n ， n2故答案为： 3n 2 - 2n .【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂 足为 C ，tan ∠ODC = 3， BH //DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm ，圆孔半径5为1 cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．【答案】4 + 5π2【解析】【分析】利用tan ∠ODC = 3求出圆弧 AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 AOB 的面积，求出直角5( )△OAH 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设OB = OA = r ，由题意 AM = AN = 7 ， EF = 12 ，所以 NF = 5 ，因为 AP = 5 ,所以∠AGP = 45︒ ，因为 BH // DG ，所以∠AHO = 45︒ ，因为 AG 与圆弧 AB 相切于 A 点，所以OA ⊥ AG ，即△OAH 为等腰直角三角形； 在直角△OQD 中， OQ = 5 -2 r ，DQ = 7 - 22 r ，2因为tan ∠ODC =OQ = 3，所以21- 3 2 r = 25 - 5 2 r ， DQ 5 2 2解得r = 2 2 ；等腰直角△OAH 的面积为 S = 1 ⨯ 2 2 ⨯ 2= 4 ；12扇形 AOB 的面积 S 2 = 1 ⨯ 3π⨯ 2 2 2 = 3π ，2 41 5π 所以阴影部分的面积为 S 1 + S2 -2π = 4 +2.5π 故答案为：4 + .2【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）23 3 17. 在① ac = ，② c sin A = 3 ，③ c = 3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在 ABC ，它的内角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且sin A = 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】【分析】π3 sin B ，C =， ?6解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角 A , B , C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一：由sin A =3 sin B 可得： a= 3 ， b不妨设a = 3m , b = m (m > 0) ，则： c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C = 3m 2 + m 2 - 2⨯ 3m ⨯ m ⨯3 = m 2 ，即c = m2选择条件①的解析：据此可得： ac = 3m ⨯ m = 3m 2 = ，∴ m = 1 ，此时c = m = 1 .选择条件②的解析： b 2 + c 2 - a 2m 2 + m 2 - 3m 21据此可得： cos A === - ，2bc3 2m 223 则： sin A = ，此时： c sin A = m ⨯ 2 2 = 3 ，则： c = m = 2 3 .选择条件③的解析： 可得 c =m= 1 ， c = b ，b m与条件c = 3b 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵ sinA = 3sinB , C = π, B = π - ( A + C ) , 61- - 2 ⎪ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ ⎭33 3 3 + n n +1n n n +1 ∴sinA = 3 sin ( A + C ) = ⎛ π ⎫3 sin A , 6 ⎪sinA = 3 sin ( A + C ) = ⎝ ⎭3sinA ? 3+1，∴ sinA =- 3cosA ? 2 23cosA ,∴ tanA =- ,∴ A = 2π ,∴ B = C = π,若选①， ac = ,∵ a = 3b =3c ,∴ 3 63c 2 = ,∴c=1;若选②， csinA = 3 ,则3c = 3 , c = 2 ;2若选③,与条件c = 3b 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 已知公比大于1的等比数列{a n } 满足a 2 + a 4 = 20, a 3 = 8 ．（1） 求{a n } 的通项公式；（2） 求a a- a a +⋯+ (-1)n -1a a .1 22 3a = 2nn n +18n22n +3 【答案】（1） n；（2） - (-1)55【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列{(-1)n -1a a }的通项公式，然后结合等比数列前 n 项和公式求解其前 n 项和即可.⎧a + a = a q + a q 3 = 20【详解】(1) 设等比数列{a } 的公比为 q (q >1)，则⎨ 2 4 1 1 ， n a = a q 2 = 8整理可得： 2q 2 - 5q + 2 = 0 ，q > 1, q = 2, a 1 = 2 ，数列的通项公式为： a = 2⋅ 2n -1 = 2n . ⎩ 3 1(2)由于： (-1)n -1a a = (-1)n -1⨯ 2n ⨯ 2n +1 = (-1)n -1 22n +1，故：2 1- (-2 ) 2 a a - a a +⋯+ (-1)n -1a a1 22 3n n +1= 23 - 25 + 27 - 29 +⋯+ (-1)n -1 ⋅ 22n +13⎡ 2 n ⎤ = ⎢⎣ ⎥⎦ = 8 - (-1)n 22n +3 .1- (-22 )5 5【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的PM 2.5 和SO 浓度（单位： μg/m 3 ），得下表：（1） 估计事件“该市一天空气中PM 2.5 浓度不超过75 ，且SO 2 浓度不超过150 ”的概率；（2） 根据所给数据，完成下面的2⨯ 2 列联表：（3） 根据（2）中的列联表，判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中PM 2.5 浓度与SO 2 浓度有关？附：K 2n(ad-bc)2，(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )【答案】（1）0.64 ；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得2⨯ 2 列联表；（3）计算出K 2 ，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100 天中，空气中的PM 2.5 浓度不超过75，且SO2浓度不超过150 的天数有32 + 6 +18 + 8 = 64 天，所以该市一天中，空气中的PM 2.5 浓度不超过75，且SO 浓度不超过150 的概率为64= 0.64 ；2（2）由所给数据，可得2⨯ 2 列联表为：100（3）根据2⨯ 2 列联表中的数据可得K 2= n(ad -bc)2=100⨯(64 ⨯10 -16 ⨯10)2=3600≈ 7.4844 > 6.635 ，(a +b)(c +d )(a +c)(b +d ) 80⨯ 20⨯ 74⨯ 26 481 =因为根据临界值表可知，有99% 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与SO 2 浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2⨯ 2 列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20. 如图，四棱锥 P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥ 底面 ABCD ．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为l ．（1） 证明： l ⊥ 平面 PDC ；（2） 已知 PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB =【答案】（1）证明见解析；（2）6 .3，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值．【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得 AD //l ，利用线面垂直的判定定理证得 AD ⊥ 平面 PDC ，从而得到l ⊥ 平面 PDC ；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q (m , 0,1) ，之后求得平面QCD的法向量以及向量 PB 的坐标，求得cos < n , PB > ，即可得到直线 PB 与平面QCD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在正方形 ABCD 中， AD //BC ，因为 AD ⊄ 平面 PBC ， BC ⊂ 平面 PBC ，所以 AD // 平面 PBC ，又因为 AD ⊂ 平面 PAD ，平面PAD 平面 PBC = l ，所以 AD //l ，因为在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，所以 AD ⊥ DC ,∴l ⊥ DC ,且 PD ⊥ 平面 ABCD ，所以 AD ⊥ PD ,∴l ⊥ PD , 因为CD所以l ⊥ 平面 PDC ；2 PD = D2 2 2 ⨯ 3（2）如图建立空间直角坐标系 D - xyz ，因为 PD = AD = 1，则有D (0, 0, 0), C (0,1, 0), A (1, 0, 0), P (0, 0,1), B (1,1, 0) ，设Q (m , 0,1) ，则有 DC = (0,1, 0), DQ = (m , 0,1), PB = (1,1, -1) ，因为 QB = ，所以有 = ⇒ m = 1设平面QCD 的法向量为n = (x , y , z ) ，⎧DC ⋅ n = 0 ⎧ y = 0 则⎨DQ ⋅ n = 0，即⎨x + z = 0 ，⎩⎩令 x = 1 ，则 z = -1，所以平面QCD 的一个法向量为n = (1, 0, -1) ，则cos <==6 . 3根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与r uur平面所成角的正弦值等于| cos < n , PB >|=3所以直线 PB 与平面QCD 所成角的正弦值为6 .3【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21. 已知椭圆 C ： x a 2 y 21+ = 1(a > b > 0) 过点 M （2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ， b2 2（1） 求 C 的方程；（2） 点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2 (m -1)2 + (0 -1)2 + (1- 0)2 n , PB >=n ⋅ PB =n PB1+ 0 +112 + 02 + (-1)2 ⋅ 12 +12 +126 2y y y 【答案】（1） x 2+ = 1；（2）18.16 12【解析】【分析】(1) 由题意分别求得 a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2) 首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点 N 到直线 AM 的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： y - 3 = 1(x - 2) ，即 x - 2 y = -4 .2当 y =0 时，解得 x = -4 ，所以 a =4，x 2 y 249椭圆C :+a2b 2= 1(a > b > 0) 过点 M (2，3)，可得 + 16 b= 1 ，解得 b 2=12.所以 C 的方程： x 2+ = 1.16 12(2)设与直线 AM 平行的直线方程为： x - 2 y = m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程 x - 2 y = m 与椭圆方程 x 2+ = 1，可得： 3(m + 2 y )2+ 4 y 2 = 48 ，16 12化简可得：16 y 2 +12my + 3m 2 - 48 = 0 ，2 22212 5 5 0 所以∆ = 144m 2 - 4⨯16 (3m 2 - 48)= 0 ，即 m 2=64，解得 m =±8 ，与 AM 距离比较远的直线方程： x - 2 y = 8 ， 直线 AM 方程为： x - 2 y = -4 ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，8 + 4利用平行线之间的距离公式可得： d ==，1+ 45由两点之间距离公式可得| AM |== 3 .所以△AMN 的面积的最大值： 1 ⨯ 3 5 ⨯12 5 = 18 .25【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22. 已知函数 f (x ) = a e x -1 - ln x + ln a ．（1） 当a = e 时，求曲线 y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2） 若 f （x ）≥1，求 a 的取值范围．【答案】（1） 2e -1（2）[1, +∞)【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数 f (x ) 得导函数 f ’( x ) 的单调递增，当 a=1 时由 f ’(1) = 0 得 f ( x ) = f (1) = 1 ,符合题意；当 a>1 时，可证 ' 1' < 0 ，从而 f '( x ) 存在零点 x > 0 ，使得minf ( ) f a(1) 0 f '(x ) = ae x -1- 1 = 0 ，得到 f (x ) ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式min 0可以证得(x ) ≥ 1 恒成立；当0 < a < 1时，研究f (1) .即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将 f (x ) ≥ 1转化为e lna +x -1+ lna + x -1 ≥ e lnx + lnx ,令 g (x ) = e x + x ,上述不等式等价于 g (lna + x -1) ≥ g (lnx ) ,注意到 g ( x ) 的单调性，进一步等价转化为 (2 + 4)2 + 32 0xmax mina0 0 1x lna ≥ lnx - x +1 ，令h (x ) = lnx - x +1,利用导数求得h ( x ) ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a的对数不等式，解得 a 的取值范围.【详解】（1） Q f (x ) = e x - ln x +1，∴ f '(x ) = e x - 1 ，∴ k = xf '(1) = e -1.Q f (1) = e +1 ，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数 f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为 y - e - 1 = (e - 1)( x - 1) ,即 y = (e -1) x + 2 ,∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0, 2),( -2e - 1, 0) ,1 -22 ∴所求三角形面积为 ⨯ 2⨯||= ; 2 e - 1 e -1（2）解法一： Q f (x ) = ae x -1 - ln x + ln a ,∴ f '(x ) = ae x -1 - 1，且a > 0 .x设 g (x ) = f '(x ) ,则 g '(x ) = ae x -1+ 1 x2> 0,∴g(x )在(0, +∞) 上单调递增，即 f '(x ) 在(0, +∞) 上单调递增，当 a = 1 时， f '(1) = 0 ,∴ f ( x ) = f (1) = 1 ,∴ f ( x ) ≥ 1 成立. 1111-1 当 a > 1 时， < 1 a ，∴e a -1 < 1 ，∴ f '( ) f '(1) = a (e a -1)(a -1) < 0 ,∴存在唯一 x > 0 ，使得 f '(x ) = aex -1- 1= 0 ，且当 x ∈(0, x ) 时 f '(x ) < 0 ，当 x ∈(x , +∞) 时f '(x ) > 0 ，∴aex 0 -1=1 ，∴ln a + xx 0-1 = - ln x ，因此 f ( x )min = f ( x ) = aex 0-1- ln x + ln a=+ ln a + x 0 0 - 1 + ln a ≥ 2 ln a -1 += 2 ln a + 1>1,∴ f (x ) > 1, ∴ f ( x ) ≥ 1 恒成立；当0 < a < 1时， f (1) = a + ln a < a < 1, ∴ f (1) < 1, f (x ) ≥ 1 不是恒成立.综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞).0 0xmax 解法二： f (x ) = ae x -1- lnx + lna = e lna +x -1 - lnx + lna ≥ 1等价于e lna +x -1 + lna + x -1 ≥ lnx + x = e lnx + lnx ,令 g (x ) = e x + x ,上述不等式等价于 g (lna + x -1) ≥ g (lnx ) , 显然 g (x ) 为单调增函数，∴又等价于lna + x -1 ≥ lnx ，即lna ≥ lnx - x +1 ，令 h ( x ) = lnx - x +1,则h '( x ) =1 -1 = 1- xx x在(0,1) 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)<0,h(x)单调递减，∴h ( x ) = h (1) = 0 , lna ≥ 0，即a ≥ 1 ，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.。
2020年新高考数学全国卷2(海南)-答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果． 因为{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =， 所以{}2,3,5A B = ． 故选：C【考点】集合交集的运算 2.【答案】B【解析】直接计算出答案即可．()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【考点】复数的计算 3.【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可．()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【考点】向量的加减法 4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m CD ∥、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC =︒∠，m CD ∥，所以40OAG AOC ==︒∠∠， 由于90OAG GAE BAE GAE +=+=︒∠∠∠∠，所以40BAE OAG ==︒∠∠，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE =︒∠． 故选：B【提示】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点、A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角． 【考点】中国古代数学文化，球体有关计算 5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，然后根据积事件的概率公式()()()()P A B P A P B P A B =+-+ 可得结果．记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，则()P A 0.6=，()P B 0.82=，()P A B 0.96+=， 所以()()()()P A B P A P B P A B 0.60.820.960.46=+-+=+-= ，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%． 故选：C【考点】积事件的概率公式 6.【答案】C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可．第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法， 第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法，所以，不同的安排方法共有326⨯=种． 故选：C7.【答案】D【解析】首先求出()f x 的定义域，然后求出()()2lg 45f x x x =--的单调递增区间即可．由2450x x --＞得5x ＞或1x -＜， 所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞ ， 因为245y x x =--在()5,+∞上单调递增，所以()()2lg 45f x x x =--在()5,+∞上单调递增，所以5a ≥． 故选：D 8.【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =， 所以()f x 在()0,+∞上也是单调递减，且()20f -=，()00f =，所以当()(),20,2x ∈-∞- 时，()0f x ＞，当()()2,02,x ∈-+∞ 时，()0f x ＜，所以由()10xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足()10xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3- ． 故选：D【提示】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果． 【考点】利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式 二、选择题 9.【答案】CD【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确．由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确． 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确； 【考点】折线图表示的函数的认知与理解 10.【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n ＞＞时表示椭圆，0m n =＞时表示圆，0mn ＜时表示双曲线，0m =，0n ＞时表示两条直线．对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n ＞＞，所以11m n＜，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确． 故选：ACD【考点】曲线方程的特征 11.【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．由函数图像可知：2πππ2362T =-=，则2π2π2πT ω===，所以不选A, 当2ππ5π36212x +==时，1y =-()5π3π22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ∴， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2ππππsin 2π2πsin 2cos 2sin 236263y x k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π5πcos 2cos 266x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：BC 12.【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解． 对于A ，()22222211112221222a b a a a a a +=+-=-+⎛⎫- ⎪⎝=+⎭≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+===- ⎪⎝⎭≤， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b +=+++=，12a b ==时，等号成立，故D 正确． 故选：ABD【考点】不等式的性质 三、填空题 13.【答案】13【解析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可．因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13 14.【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果． ∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为()1,0F ，又∵直线AB 过焦点F ，∴直线AB 的方程为：)1y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得113x =，23x =，所以1211633AB x =-=-= 解法二：10036640=-=△＞ 设()11,A x y ，()22,B x y 则12103x x +=， 过A ，B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为C ，D 如图所示．12121611+2=3AB AF BF AC BD x x x x =+=+=+++=+故答案为：163． 【考点】抛物线焦点弦长 15.【答案】232n n -【解析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为()2116322n n n n n -+=- ，故答案为：232n n -． 【考点】有关数列的问题16.【答案】54π2+ 【解析】利用3tan 5ODC =∠求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为BH DG ∥，所以45AHO ︒=∠， 因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ==∠，所以2125-=，解得r =；等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213π3π24S =⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为1215ππ422S S +-=+. 故答案为：5π42+．【考点】三角函数在实际中应用四、解答题17.【答案】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ，b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tan A 的值，得到角A ，B ，C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法一：由sin A B 可得：ab=不妨设a =，()0b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =． 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯=，1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sin A B =,π6C =，()πB A C =-+∴()πsin 6A A C A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()1sin 2A A C A A =+= ，∴sinA =,∴tanA =,∴23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ,2,∴1c =；若选②，sin 3c A =,3=,c =;若选③，与条件c 矛盾．18.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q ＞，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩， 整理可得：22520q q -+=，1q ＞，2,q =，12a =数列的通项公式为：1222n nn a -== ．（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-()1357921222212n n -+=-+-+⋯+-()()()322322128215512nn n+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.19.【答案】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （（3）根据22⨯列联表中的数据可得()()()()()()2221006410161036007.4844 6.63580207426481n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯＞， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关． 【考点】古典概型的概率公式 20.【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，AD BC ∥， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊄平面P AD ，平面PAD 平面PBC l =， 所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以AD DC ⊥，l DC ∴⊥， 且PD ⊥平面ABCD ，所以AD PD ⊥，l PD ∴⊥ 因CD PD D = 所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0B设(),0,1Q m ，则有()0,1,0,DC = ，(),0,1DQ m = ，()1,1,1PB =-，因为QB =1m ==设平面QCD 的法向量为(),,n x y z =，则00DC n DQ n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩， 令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为()1,0,1n =-，则cos ,n PB n PB n PB ⋅<>====. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于cos ,n PB <>= . 为所以直线PB 与平面QCD . 【考点】立体几何 21.【答案】（1）由题意可知直线AM 的方程为：()1322y x -=-，即24x y -=-． 当0y =时，解得4x =-，所以4a =， 椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，可得249116b +=， 解得212b =.所以C 的方程：2211612x y +=. （2）设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时AMN △的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=， 可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m =-⨯-=△，即264m =，解得8m =±， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24x y -=-，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==由两点之间距离公式可得AM =所以AMN △的面积的最大值：1182⨯=. 22.【答案】【解析】（1）()e ln 1x f x x =-+ ，()1e x f x x'∴=-，()1e 1k f '∴==-. ()1e 1f =+ ，∴切点坐标为()1,1e +，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()e 1e 11y x --=--,即()e 12y x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为()0,22,0e 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭， ∴所求三角形面积为1222=2e 1e 1-⨯⨯--; （2）解法一：()1e ln ln x f x a x a -=-+ ,()11e x f x a x-'∴=-，且0a ＞. 设()()g x f x =',则()121e 0x g x a x -'=+＞， ∴()g x 在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()min 11f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a ＞时，11a ，11e 1a -∴＜，()()1111e 110a f f a a a -⎛⎫⎛⎫''∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜, ∴存在唯一00x ＞，使得()01001e 0x f x a x -'=-=，且当()00,x x ∈时()0f x '＜，当()0,x x ∈+∞时()0f x '＞，0101e x a x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此()()0100min e ln ln x f x f x a x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+-+=+≥＞， ∴()1f x ＞，∴()1f x ≥恒成立；当01a ＜＜时，()1ln 1f a a a =+＜＜，∴()11f ＜，()1f x ≥不是恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞．解法二：()1ln 1e ln ln e ln ln 1x a x f x a x a x a -+-=-+=-+≥等价于ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-+=+≥,令()e x g x x =+,上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥， 令()ln 1h x x x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上()0h x '＞，()h x 单调递增；在()1,+∞上()0h x '＜，()h x 单调递减， ∴()()max 10h x h ==，ln 0a ≥，即1a ≥，∴a 的取值范围是[)1,+∞.【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题。
2020年高考理科数学(全国卷Ⅱ真题)——(含答案和解析)
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）
A. B. C. D.
8.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（）
A. 4B. 8C. 16D. 32
9.设函数 ，则f(x)（）
A.是偶函数，且在 单调递增B.是奇函数，且在 单调递减
C.是偶函数，且在 单调递增D.是奇函数，且在 单调递减
（一）必考题：共60分.
17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， .
10.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）
精品解析：2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)(解析版)
2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1. 设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A ∩B =（ ） A. {1，3，5，7} B. {2，3}C. {2，3，5}D. {1，2，3，5，7，8}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}， 所以A ∩B ={2,3,5} 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单. 2. (1+2i)(2+i) =（ ） A. 4+5i B. 5iC. -5iD. 2+3i【答案】B 【解析】 【分析】直接计算出答案即可.【详解】(1+2i)(2+i)=2+i +4i +2i 2=5i 故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3. 在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2CD⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】CB⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°【答案】B 【解析】 【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知m //CD 、根据线面垂直的定义可得AB ⊥m .. 由于∠AOC =40°,m //CD ，所以∠OAG =∠AOC =40°， 由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE =90°，所以∠BAE =∠OAG =40°，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE =40°.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%【答案】C 【解析】 【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A +B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ⋅B ，然后根据积事件的概率公式P(A ⋅B)=P(A)+P(B)−P(A +B)可得结果. 【详解】记“该中学学生喜欢足球”事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A +B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ⋅B ， 则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P (A +B )=0.96，所以P(A ⋅B)=P(A)+P(B)−P(A +B)=0.6+0.82−0.96=0.46 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 2种B. 3种C. 6种D. 8种.【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C31C22=3种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有A22=2种安排方法所以，不同的安排方法共有3×2=6种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7. 已知函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (5,+∞)D. [5,+∞)【答案】D【解析】【分析】首先求出f(x)的定义域，然后求出f(x)=lg(x2−4x−5)的单调递增区间即可.【详解】由x2−4x−5>0得x>5或x<−1所以f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(5,+∞)因为y=x2−4x−5在(5,+∞)上单调递增所以f(x)=lg(x2−4x−5)在(5,+∞)上单调递增所以a≥5故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8. 若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（）A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以由xf(x−1)≥0可得：{x<0−2≤x−1≤0或{x>00≤x−1≤2或x=0解得−1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分）9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.10. 已知曲线C:mx2+ny2=1.（）A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnxD. 若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，m>n>0时表示椭圆，m=n>0时表示圆，mn<0时表示双曲线，m=0,n> 0时表示两条直线【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x 21 m +y21n=1，因为m>n>0，所以1m <1n，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m=n>0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为√nn的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2+ny2=1可化为x 21 m +y21n=1，此时曲线C表示双曲线，由mx2+ny2=0可得y=±√−mnx，故C正确；对于D，若m=0,n>0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，y=±√nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD. .【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）A. sin(x+π3） B. sin(π3−2x) C. cos(2x+π6） D. cos(5π6−2x)【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：T2=23π−π6=π2，则ω=2πT=2ππ=2，所以不选A,当x=23π+π62=5π12时，y=−1∴2×5π12+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，解得：φ=2kπ+23π(k∈Z)，即函数的解析式为：y=sin(2x+23π+2kπ)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)=sin(π3−2x).而cos(2x+π6)=−cos(5π6−2x)故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12. 已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. a 2+b 2≥12B. 2a−b >12C. log 2a +log 2b ≥−2D. √a +√b ≤√2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.详解】对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【解析】 【分析】利用V A−NMD 1=V D 1−AMN 计算即可.【【详解】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点所以V A−NMD1=V D1−AMN=13×12×1×1×2=13故答案为：1 3【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.14. 斜率为√3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=________．【答案】163【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为y2=4x，∴抛物线的焦点F坐标为F(1,0)，又∵直线AB过焦点F且斜率为√3，∴直线AB的方程为：y=√3(x−1)代入抛物线方程消去y并化简得231030x x-+=，解法一：解得x1=13,x2=3所以|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+3⋅|3−13|=163解法二：Δ=100−36=64>0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=103,过A,B分别作准线x=−1的垂线，设垂足分别为C,D如图所示.|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+11216 +2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．【答案】3n2−2n【解析】【分析】首先判断出数列{2n−1}与{3n−2}项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{2n−1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n−2}是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a n}是以1为首项，以6为公差的等差数列，⋅6=3n2−2n，所以{a n}的前n项和为n⋅1+n(n−1)2故答案为：3n2−2n.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂，BH//DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径足为C，tan∠ODC=35为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】4+52π【解析】【分析】利用tan∠ODC=35求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直角△OAH 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45°，因为BH//DG，所以∠AHO=45°，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；在直角△OQD中，OQ=5−√22r，DQ=7−√22r，因为tan∠ODC=OQDQ=35，所以21−3√22r=25−5√22r，解得r=2√2；等腰直角△OAH 的面积为S 1=12×2√2×2√2=4； 扇形AOB 的面积S 2=12×3π4×(2√2)2=3π，所以阴影部分的面积为S 1+S 2−12π=4+5π2.故答案为：4+5π2.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在①ac =√3，②c sin A =3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角A,B,C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一：由sin A =√3sin B 可得：ab =√3， 不妨设a =√3m,b =m (m >0)，则：c 2=a 2+b 2−2ab cos C =3m 2+m 2−2×√3m ×m ×√32=m 2，即c =m选择条件①的解析：据此可得：ac =√3m ×m =√3m 2=√3，∴m =1，此时c =m =1. 选择条件②的解析： 据此可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc =m 2+m 2−3m 22m 2=−12，则：sin A =√1−(−12)2=√32，此时：c sin A =m ×√32=3，则：c =m =2√3.选择条件③的解析：.可得c b =mm =1，c =b ，与条件c =√3b 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵sinA =√3sinB,C =π6,B =π−(A +C ), ∴sinA =√3sin (A +C )=√3sin (A +π6), sinA =√3sin (A +C )=√3sinA ·√32+√3cosA ·12 ，∴sinA =−√3cosA ,∴tanA =−√3,∴A =2π3,∴B =C =π6, 若选①，ac =√3,∵a =√3b =√3c ,∴√3c 2=√3,∴c=1; 若选②，csinA =3,则√3c 2=3,c =2√3;若选③,与条件c =√3b 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3=8． （1）求{a n }的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）a n =2n ；（2）85−(−1)n22n+35【解析】 【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列{(−1)n−1a n a n+1}的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可. 【详解】(1) 设等比数列{a n }的公比为q (q >1)，则{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8，整理可得：2q 2−5q +2=0， ∵q >1,q =2,a 1=2，数列的通项公式为：1222n nn a -=⋅=.(2)由于：(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1×2n ×2n+1=(−1)n−122n+1，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和SO 2浓度（单位：μg/m 3），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与SO 2浓度有关？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有. 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得2×2列联表； （3）计算出K 2，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32+6+18+8=64天，所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为64100=0.64； （2）由所给数据，可得2×2列联表为：（3）根据2×2列联表中的数据可得 K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(64×10−16×10)280×20×74×26=3600481≈7.4844>6.635，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2×2列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20. 如图，四棱锥P ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB =√2，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）√63.【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得AD //l ，利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，从而得到l ⊥平面PDC ；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(m,0,1)，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求得cos <n ⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >，即可得到直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，AD //BC ， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面PBC =l ， 所以AD //l ，因为在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，所以AD ⊥DC,∴l ⊥DC, 且PD ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥PD,∴l ⊥PD, 因为CD ∩PD =D 所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D −xyz ，因为PD =AD =1，则有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)， 设Q(m,0,1)，则有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,0,1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 因为QB =√2，所以有√(m −1)2+(0−1)2+(1−0)2=√2⇒m =1 设平面QCD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{y =0x +z =0，令x =1，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为n⃗ =(1,0,−1)，则 cos <n ⃗ ,PB⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=1+0+1√12+02+(−1)2⋅√12+12+12=2√2×√3=√6. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos <n ⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√63所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√63.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目. 21. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【答案】（1）x 216+y 212=1；（2）18. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线AM 的方程为：y −3=12(x −2)，即x −2y =−4. 当y =0时，解得x =−4，所以a =4， 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2，3)，可得249116b+=， 解得b 2=12. 所以C 的方程：x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x −2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x −2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1， 可得：3(m +2y )2+4y 2=48，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以Δ=144m 2−4×16(3m 2−48)=0，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：x −2y =−4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN 的面积的最大值：12×3√5×12√55=18.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22. 已知函数f(x)=ae x−1−ln x +ln a ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【答案】（1）2e−1（2）[1,+∞) 【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数f (x )得导函数f’(x )的单调递增，当a=1时由f’(1)=0得f (x )min =f (1)=1,符合题意；当a>1时，可证1()(1)0f f a''<，从而f′(x )存在零点x 0>0，使得f ′(x 0)=ae x 0−1−1x 0=0，得到f(x)min ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得(x )≥1恒成立；当0<a <1时，研究f (1).即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围. 解法二：利用指数对数的运算可将f (x )≥1转化为e lna+x−1+lna +x −1≥e lnx +lnx ,令g (x )=e x +x ,上述不等式等价于g (lna +x −1)≥g (lnx ),注意到g (x )的单调性，进一步等价转化为lna ≥lnx −x +1，令ℎ(x )=lnx −x +1,利用导数求得ℎ(x )max ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得a 的取值范围. 【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为y −e −1=(e −1)(x −1),即y =(e −1)x +2, ∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(−2e−1,0), ∴所求三角形面积为12×2×|−2e−1|=2e−1; （2）解法一：∵f(x)=ae x−1−ln x +ln a ,11()x f x ae x-'∴=-，且a >0. 设g(x)=f ′(x),则121()0,x g x ae x-'=+> ∴g(x )在(0,+∞)上单调递增，即()f x '在(0,+∞)上单调递增，当1a =时，f ′(1)=0,∴f (x )min =f (1)=1,∴f (x )≥1成立. 当a >1时，1a <1 ，111ae-<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--<,∴存在唯一x 0>0，使得f ′(x 0)=ae x 0−1−1x 0=0，且当x ∈(0,x 0)时f ′(x)<0，当x ∈(x 0,+∞)时f ′(x)>0，011x aex -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此f(x)0x 0−1ln x 0ln a min=1x 0+ln a +x 0−1+ln a ≥2ln a −1+2√1x 0⋅x 0=2ln a +1>1,∴f (x )>1,∴f (x )≥1恒成立；当0<a <1时， f(1)=a +ln a <a <1,∴f(1)<1,f(x)≥1不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).解法二：f (x )=ae x−1−lnx +lna =e lna+x−1−lnx +lna ≥1等价于 e lna+x−1+lna +x −1≥lnx +x =e lnx +lnx ,令g (x )=e x +x ,上述不等式等价于g (lna +x −1)≥g (lnx ),显然g (x )为单调增函数，∴又等价于lna +x −1≥lnx ，即lna ≥lnx −x +1， 令ℎ(x )=lnx −x +1,则ℎ′(x )=1x −1=1−x x在(0,1)上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减， ∴ℎ(x )max =ℎ(1)=0,lna ≥0，即a ≥1，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。
(精校版)2020年新高考全国卷Ⅱ数学高考真题文档版(海南)(答案)
【详解】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
9. CD10. ACD11. BC12. ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.
【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
22.
（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ;
（2）解法一： ,
，且 .
设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.