北师大版高中数学选修4-2逆变换与逆矩阵教案
《金版新学案》高三一轮(北师大版)理科数学(+课时作业)：选修4-2第2课时逆矩阵、特征值与特征向省
故 M＝46
2 4.
(2)由(1)知，矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ
＋16，故其另一个特征值为 λ＝2.
设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2＝xy， 则 Me2＝46xx＋＋42yy＝2xy，
工具
选修4-2 矩阵与变换
所以64xx＋ ＋24yy＝ ＝22xy， ， 所以矩阵 M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是 2x＋y＝0.
解析： 已知方程组可以写为2 －5x＝4， 3 1y 6
令 M＝23
－5，其行列式为2
1
3
－51＝2×1－3×(5)＝17≠0，
所以 M－1＝－111377
115277，所以xy＝M－164＝20，
பைடு நூலகம்
x＝2， 即方程组的解为y＝0.
工具
选修4-2 矩阵与变换
关于特征值问题的一般解法如下：
给定矩阵 A＝ac
(2)求矩阵 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间
的关系．
解析：
(1)设 M＝ac
b， d
则a c
db11＝811＝88，
故ac＋＋db＝＝88.，
a c
db－12＝－24，
工具
选修4-2 矩阵与变换
故－－ac＋＋22db＝＝4－. 2，
联立以上两方程组解得 a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，
阵乘法的消去律成立．
工具
选修4-2 矩阵与变换
求矩阵 A＝12
3的逆矩阵． 2
解析： 方法一：设矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝ac db，
则由2
3a
b＝1
0，
1 2c d 0 1
人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计
人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计一、课程设计说明1.1 课程设计背景逆变换和逆矩阵是高中数学中的重要概念之一，是线性代数的基础知识。
逆变换和逆矩阵在工程、物理、经济等领域中有广泛的应用。
在高中数学选修课程中，逆变换和逆矩阵是必须掌握的知识点之一。
1.2 设计目标本课程设计旨在通过理论讲解、模型建立和题型讲解等多种方式，使学生掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点，培养学生运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。
1.3 设计内容本课程设计分为以下三个部分：1.逆变换的基本概念和性质2.矩阵的逆3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题二、课程设计实施计划2.1 教学目标在完成本课程设计后，学生应达到以下目标：1.掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点。
2.熟练掌握求解矩阵的逆的方法。
3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。
2.2 教学计划本课程设计分为以下三个部分：2.2.1 逆变换的基本概念和性质•介绍逆变换的定义和性质。
•介绍逆变换的求解方法。
•练习选择题和填空题。
2.2.2 矩阵的逆•介绍矩阵的逆的定义和性质。
•介绍求解矩阵的逆的方法。
•练习选择题和填空题。
2.2.3 运用逆变换和逆矩阵解决实际问题•给出具体的实际问题。
•引导学生将实际问题转化为数学问题。
•通过逆变换和逆矩阵求解实际问题。
•练习计算题。
三、教学方法3.1 教学理念本课程设计采用启发式教学法，注重知识的系统性、普遍性和实际性。
以应用为导向，以培养学生的数学思维能力和创新能力和发展学生综合实践能力为目标。
3.2 实施方式•讲授：采用板书、幻灯片等方式进行理论讲解。
•练习：采用大量的习题和例题进行练习巩固。
•互动：采用问答、讨论等方式提高学生的参与度。
四、考核方式4.1 考核方式以期中期末为主要考核方式，包含选择题、填空题、计算题等多个类型的考试题目。
比例约为30%的总课时。
4.2 考核标准根据学生的学习成果和教学要求，采用标准答案和量化评价相结合的方式，确保考核公正、透明、科学。
北师大版高中数学选修4-2矩阵与变换矩阵变换的性质
列行变变换换：： AAcriicrjjBB
EAiEjAij BB
AAcriikkBB AAcriikkcrjjBB
EAiE(ki ()kA) BB
AEEijj(ik()kA)B B
如：
1 0 0 a11 a12 a13 E23(k)A 0 1 k a21 a22` a23
这表明，只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵。
用初等变换求逆矩阵
1.用初等变换求逆矩阵
设A是n阶可逆矩阵则A-1 也可逆。 从而存在初等阵P1，P2，…,Ps
使 A1 P1P2 Ps
由 A-1A=E; A-1E= A-1;
得 : P1P2…PsA=E
P1P2…PsE=A-1
结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵
1 2 1 0 1 0
A
E
1
2
1
0 1 0 r1r2 2
1
0 1 0 0
0 1 2 0 0 1
0 1 2 0 0 1
1 2 1 0 1 0
1 2 1 0 1 0
r2 2r10 3 2 1 2 0 r2 r30 1 2 0 0 1
，使
A=P1P2…Pk.
因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所
以A可逆。
必要性：设A是可逆阵，所以R(A)=n
A经初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等
变换可以将E变成A，
存在有限个初等阵P1，P2，…,Pl，Pl+1，…,Pk，使 A= P1P2…PlEPl+1…Pk，
即
A= P1P2…Pk，
E时，则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩
高中数学选修4-2教案
2．1．1矩阵的概念1．坐标平面上的点（向量）——矩阵设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量 (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为OP → OP →[23]2．日常生活——矩阵（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 33．图——矩阵矩阵：记号：A ，B ，C ，…或（a ij ）(其中i,j 分别元素a ij 所在的行和列)要素：行——列——元素2323[80 9086 88]AB CDAB C D1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0A B C A 0 3 1B 3 0 0C 1 0 2矩阵相等⇔行列数目相等并且对应元素相等。
特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵（2）零矩阵（3）行矩阵：[a 11,a 12]列矩阵：，一般用α，β等表示。
[a 11a 21]（4）行向量与列向量例1用矩阵表示三角形ABC ，A （－1，0），B （0，2），C （2，0）例2用矩阵表示下列关系图2.1.2矩阵的乘法1．生活实例（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定，其中初赛占40%，决赛占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩阵的形式表示：= = [80 9086 88][0.40.6][80 ⨯ 0.4 + 90 ⨯ 0.686 ⨯ 0.4 + 88 ⨯ 0.6][8687.2]（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示A B C D E28英寸 1 3 0 1 230英寸 5 8 6 1 232英寸 2 3 5 6 034英寸 0 1 1 0 3假设不同牌子的每条牛仔裤的平均利润分别为：A 为30元，B 为35元，C 为40元，D 为25元，E 为40元，试问28英寸牛仔裤在该星期内获得的总利润是多少？28英寸牛仔裤的销售量：AB CD EA[80 9086 88][1 3 0 1 2]不同牌子的平均利润3035402540M= 1 ⨯ 30 + 3 ⨯ 35 + 0 ⨯ 40 +1 ⨯ 25 + 2 ⨯ 40 = 240（元）如果要求各种规格大小的牛仔裤的总利润，就自然地得出下列的矩阵乘法1 3 0 12 30 240 28英寸牛仔裤的利润5 86 1 2 35 775 30英寸牛仔裤的利润2 3 5 6 0 40 ＝515 32英寸牛仔裤的利润0 1 1 0 3 25 195 34英寸牛仔裤的利润一般地：（1）行矩阵与列矩阵的乘法规则（2）二阶矩阵与列向量的乘法规则2．二阶矩阵乘列向量——几何意义[1 00 2][x y][x2y]（1）=[1 00 2][x y][x2y]矩阵平面上每个向量（点）变成了向量（点），因此它是平面到平面的一个变换．这个变换实际上是把平面上的图形在y轴方向拉伸了两倍．一般地：（1）平面变换的定义（2）平面变换的记号（3）平面变换的规则2.2平面变换——恒等变换1．恒等变换将图中所示的四边形ABCD保持位置不变，能否用矩阵M来表示？-2-1123-4-3-2-112系列22．伸压变换——能否用矩阵来表示下列图形的变换？-4-20246-1.5-1-0.500.51 1.5系列1系列2例1已知曲线y ＝sinx 经过变换T 作用后变为新的曲线y ＝sin2x ，画出相关的图象，并求出变换T 对应的矩阵M 。
高二数学选修系列4-2矩阵与变换教学建议课件
关于技术的使用
两种不同层次的课件：一种用于揭示数学
的本质，一种用于分步演示。 前者要求——即时、透明、互动； 后者要求——清楚、流畅、简洁。
支架式教学（ Scaffolding Instruction ）
矩阵与变换
具体与抽象——通过学生熟悉的情境提出问
题，引入内容（包括数学理论、思想方 法），并在分析和解决问题过程中，加深 对数学的理解。力图通过学生熟悉的语言、 实例、图形等多种方式介绍有关数学内容， 尽量避免过度形式化。
操作与理解——系列4既不是科普读物，也
不是理论专著。应在充分的活动、操作的 基础上，使学生理解专题中的核心概念和 基本数学思想。
选修 4 - 8 —— 统筹法与图论初步
选修 4 - 9 —— 风险与决策
选修 4 - 10——开关电路与布尔代数
延伸、拓展某些中学课程内容——几何证明选 讲、不等式证明选讲、坐标系与数方程。 体现数学的应用价值——优选法与试验设计初 步、统筹法与图论初步、风险与决策。 反映重要的数学思想——矩阵与变换、数列与 差分。 体现数学的科学价值——初等数论初步、开关 电路与布尔代数。
基础与拓展 —— 从已有的内容出发，引导学
生自主探究，做适当的拓展与延伸，在处 理问题的思想方法、在思维发展上获得突 破。
局部与整体 —— 突出学生解决问题的思想方
法，不求完美的科学体系。例如，矩阵与 变换。
总结与提高 —— 学会查阅资料，整理、思考
本专题所学的内容并与同学交流。
教学过程 问 题 情 境 提 出 问 题 学 生 活 动 体 验 数 学
选修 4 - 1 —— 几何证明选讲 ★
选 修 系 列 的 个 专 题
选修 4 - 2 —— 矩阵与变换 ★
北师大版高中数学选修4-2逆变换与逆矩阵教案.docx
逆变换与逆矩阵教学目标1.理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念2.能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论3.能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵4.理解二阶矩阵消去律的条件一．回顾复习，引入新课1.矩阵乘法的简单性质2.矩阵乘法的几何意义3.初等变换，初等变换矩阵，初等变换的复合问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先A T 后B T ）的结果与恒等变换的结果相同？（1）以y 轴为反射轴作反射变换；（2）绕原点逆时针旋转︒30作旋转变换；（3）纵坐标不变，沿x 轴方向将横坐标压缩为原来的21作伸压变换； （4）沿x 轴方向，将y 轴作投影变换；（5）横坐标x 不变，纵坐标依横坐标的比例增加，且)2,(),(y x x y x +→作切变变换.二．建构数学，新授内容1.逆变换2.逆矩阵3.相关结论（1）（2）（3）思考：M 的逆矩阵M 1-和函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=有什么异同？三．应用示例，例题分析例1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由. （1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001；（2）B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3001；（3）C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000；（4）D ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=12101例2.求矩阵A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1223的逆矩阵.例3.求下列矩阵AB 的逆矩阵. （1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，B ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10211； （2）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0211，B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021210.思考：1.已知A,B,C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？2.已知A,B,C为二阶矩阵，且BA=CA，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？四．小结。
人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计
人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计一、课程设计目的本次课程设计旨在通过教学过程的展示，帮助学生进一步理解矩阵及逆矩阵的概念，掌握求解矩阵逆的方法和应用逆矩阵解线性方程组的思想，培养学生的矩阵推导和计算能力，提高学生的数学综合素质。
二、教学内容和重点难点（一）、教学内容1.逆矩阵的定义与性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组（二）、重点难点1.矩阵的定义和性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组的思想三、教学方法采用讲授法、举例法、解题法、练习法相结合的教学方法，注重理论和实践相结合，通过多个例题和练习，达到深化学生的思维，同时提高对所学知识的理解和记忆。
四、教学流程1.介绍矩阵的定义和性质，分析矩阵的逆的定义和性质，引出矩阵逆的概念以及求解逆矩阵的方法。
2.推导如何求解逆矩阵的方法，通过伴随矩阵求逆矩阵，通过消元法计算逆矩阵。
3.通过多个示例和练习，检查学生对逆矩阵的理解。
4.探究如何判断矩阵是否可逆，通过行列式的值判断矩阵是否可逆，让学生掌握这种方法的应用。
5.学习如何应用逆矩阵解线性方程组，通过计算逆矩阵并乘以系数矩阵，求解未知数的值。
6.现场进行练习，检查学生的应用能力和理解能力。
五、教学评价和作业（一）、教学评价在教学过程中，要注重学生的思维深度和理解能力提高。
通过教师的引导，学生能够充分理解矩阵逆的定义和性质，并能运用所学知识解决实际问题。
同时，教师需要积极引导学生，让学生在掌握基础知识的同时，能够发扬自己的创造能力，开拓思路，实现知识的更深层次的应用。
（二）、作业1.完成教师提供的逆矩阵计算题。
2.解答教师出的线性方程组题目。
3.选择一道有关逆矩阵的应用题目，并提交解答思路和结果。
六、教学效果衡量对学生的成绩与表现进行评价，并对他们的各项能力进行考核。
学生能在考试中取得较好的成绩，并能对知识点进行深入的理解和思考。
北师大版高中数学选修4-2矩阵与变换二阶行列式与逆矩阵
D1 =
9 -3 -5 2
0ห้องสมุดไป่ตู้-6 -1 2
=81，
0 4-7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零， 则 方程组有唯一解xj=Dj/D(j=1， 2， ， n)。
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
2 -3
2
6 -6
2
-
245
=
1 3 2 1
3 -3
1
-52 -21
二、行列式的乘法定理
定理 设A、B为n阶矩阵，那么|AB|=|A||B|。
推论1 设A1，A2，……，Ar都是n阶矩阵，则 | A1A2……Ar |=|A1||A2|……| Ar |。
推论2 A可逆，则|A-1|=|A|-1。
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
- 6x4 2x4 6x4
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
例
2
求方阵 A = 132
2 2 4
133 的逆阵
解 由|A|=20 得知A-1存在。因为
所以
A*
=
2 -3
2
6 -6
2
-54 -2
A--11
=
|
1 A
|
A*
=
1 2
(3.5)
a11 a12 a1n 行列式 D = a21 a22 a2n 称为方程组(3.5)的系数行列式。
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逆变换与逆矩阵
教学目标
1.理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念
2.能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论
3.能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵
4.理解二阶矩阵消去律的条件 一．回顾复习，引入新课 1.矩阵乘法的简单性质 2.矩阵乘法的几何意义
3.初等变换，初等变换矩阵，初等变换的复合
问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先A T 后B T ）的结果与恒等变换的结果相同？ （1）以y 轴为反射轴作反射变换； （2）绕原点逆时针旋转 30作旋转变换；
（3）纵坐标不变，沿x 轴方向将横坐标压缩为原来的
2
1
作伸压变换；
（4）沿x 轴方向，将y 轴作投影变换；
（5）横坐标x 不变，纵坐标依横坐标的比例增加，且)2,(),(y x x y x +→作切变变换. 二．建构数学，新授内容 1.逆变换 2.逆矩阵 3.相关结论 （1） （2） （3）
思考：M 的逆矩阵M 1-和函数)(x f y =的反函数)(1
x f y -=有什么异同？
三．应用示例，例题分析
例 1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.
（1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001；（2）B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3001；（3）C ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=1000；（4）D ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=12101
例2.求矩阵A ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1223的逆矩阵.
例3.求下列矩阵AB 的逆矩阵.
（1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，B ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=10211
；（2）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0211，B ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡
-=02
1210.
思考：1.已知A,B,C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？
2.已知A,B,C为二阶矩阵，且BA=CA，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？四．小结。