华师大九年级圆的对称性[上学期]垂径定理应用PPT课件
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧
CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一
点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
老师提示: 注意闪烁 ●
E 设弯路的 R半 m ,则 O 径F 为 (R90)m.
A
60D0
B
O
O ø650
A
┌E
B
D
600
C
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
相信自己能独 立完成解答.
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
驶向胜利 的彼岸
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B●O你可以写出相源自的结论吗?D挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
试一试P93 12
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
A
┗●
B 我们发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理的逆定理
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
提示:
垂径定理是
圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理: 平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条 弧.
F
OECD, D C F1C D 1603 00 (m )0.
的三角形 的特点.
O
22 根据勾股定理 ,得 O2 CC2 FO2F ,即
R 230 20 R92 0 .
解这个,方 得R程 54.5 这段弯路的半径5约45为 m.
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
2
2
O DO CD CR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2, 即 R 23.62(R2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6.
D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .∴此货船能顺利通过这座拱桥.
圆的对称性
●O
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 我们发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
AD据由1垂题A径设B定得理1A ,D7是 .B 2A7 .B2 的3,C .6中, 点 D ,2 C.是4 ,H AB 的 中N 1 2 点M ,CD 就1 N .是5 .拱高.
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
37.4
11
C
AD AB 37.418.7, 7.2
22 O DO CD CR7.2.
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2, 即 R 2 1.7 8 2(R 7 .2 )2.
解得 R≈27.9（m）.
R
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
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垂径定理公开课ppt课件
D
A OM B
C 1题图
2题图
C 3题M图
精品课件
9
针对训练（二）
4. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为
有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的
高度为2cm，则该输水管的半径为 5cm
.
解：作OC ⊥AB并延长交弧AB与点M，连接OB，
则CM=2， BC=
1 2
1
AB= 2
×8=4,
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O
设半径为R, OC=R-2，在Rt△OCB中， C
O2C BC 2O2B ,即 (R2)242R2
M
解得：R=5 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理
列方程求解.
精品课件
10
【知识点】
三、课堂小结
1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都
是它的对称轴，圆的对称轴有无数条 2.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
精品课件
11
【解题方法】 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理
解决圆中弦、弦心距、半径问题
【数学思想】
方程思想
精品课件
12
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8
针对训练（二）
1.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点M, AB=20， OM=6，则CD= 16 . 2. 绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 8m . 3.如图，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其直径为2m， 油面的宽度AB=1.2m，则点O到油面的距离是 0.8m ，油 面的最大深度为 0.2m .
A OM B
C 1题图
2题图
C 3题M图
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9
针对训练（二）
4. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为
有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的
高度为2cm，则该输水管的半径为 5cm
.
解：作OC ⊥AB并延长交弧AB与点M，连接OB，
则CM=2， BC=
1 2
1
AB= 2
×8=4,
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O
设半径为R, OC=R-2，在Rt△OCB中， C
O2C BC 2O2B ,即 (R2)242R2
M
解得：R=5 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理
列方程求解.
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10
【知识点】
三、课堂小结
1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都
是它的对称轴，圆的对称轴有无数条 2.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
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11
【解题方法】 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理
解决圆中弦、弦心距、半径问题
【数学思想】
方程思想
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8
针对训练（二）
1.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点M, AB=20， OM=6，则CD= 16 . 2. 绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 8m . 3.如图，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其直径为2m， 油面的宽度AB=1.2m，则点O到油面的距离是 0.8m ，油 面的最大深度为 0.2m .
九年级数学上册《垂径定理》PPT
即对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对
称点A'
∴⊙O关于直线CD对称
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直
线都是它的对称轴.
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
C
·O
E
A
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两D个半圆⌒重
归纳小结
1、圆是 轴__对__称_图形,_任__何__一__条__直_径___ 所在的 直线都是它的对称轴. 2、垂径定理:_垂__直__于_弦__的__直__径___平分弦，并 且平分弦_所__对__的_两__弧__ . 推论：平分弦（不是 _直__径__）的直径 __垂_直__于__弦，并且__平_分____弦所对的两条弧. 3、学习反思：_______________________
37m
C
A
D
7.23m
B
O
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 A表B 示主桥拱，设AB 所A在圆的圆心为O，半
径为R．经过圆心O 作弦AB 的B垂线OC，D为垂足，
OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中
点，C是 A的B 中点，CD就是拱高．
C
在图中 AB=37，CD=7.23，
AD
1 2
学习目标
1 理解圆的轴对称性；
掌握垂径定理及其推论，并能应 2 用它们解决一些计算题和证明题.
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直
《圆的垂径定理》课件
第四步
综合第二步和第三步的结论， 得出垂径定理。
定理的应用
01
02
03
计算弦长
已知圆的半径和弦所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弦的长度。
计算弧长
已知圆的半径和弧所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弧的长度。
计算圆心角
已知圆的半径和弦长，利 用垂径定理可以计算出圆 心角的度数。
03
垂径定理的应用
02
垂径定理在解析几何中可以用于 解决一些实际应用问题，例如计 算桥梁的承重能力、设计圆形工 件等。
垂径定理在实际问题中的应用
在实际生活中，垂径定理的应用非常 广泛，例如在建筑设计、机械制造、 航空航天等领域中，垂径定理都发挥 着重要的作用。
垂径定理在物理学中也有应用，例如 在研究光的反射和折射、地球的重力 场等。
垂径定理在几何问题中的应用
垂径定理在证明圆的性质时发挥了重要作用，例如证明圆周角定 理、圆内接四边形的性质等。
垂径定理是解决几何问题中关于圆的问题的基础，例如求圆的面 积、周长、圆心角等。
垂径定理在解析几何中的应用
01
在解析几何中，垂径定理可以与 其他数学知识结合使用，例如与 三角函数、坐标系等结合，解决 更复杂的几何问题。
详细描述
弦切角定理指出，在圆中，连接弦与切线的交点的线段与弦所夹的角等于该弦 所对应的圆心角。这个定理在解决与弦、切线和圆心角相关的问题时非常有用 。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重 要定理。
详细描述
切线长定理指出，过圆外一点向圆作 两条切线，则该点到两切点的线段长 度相等。这个定理在解决与圆的切线 和相关长度相关的问题时非常有用。
定理的应用
华师大圆的对称性垂径定理应用PPT教学课件
解释下列句中红色的字。
①朝服衣冠 （
）
② 吾妻之美我者，私我也 （
）
③能面刺寡人之过者。 （
）
④ 闻寡人之耳者（
）
⑤宫妇左右莫不私王（
）
⑥邹忌讽齐王纳谏 （
）
⑦能谤讥于市朝（
）
⑧今齐地方千里 （
）
解释下列句中红色的字。(答案)
①朝服衣冠（在早晨 ）
② 吾妻之美我者，私我也 （以……为美
）
③能面刺寡人之过者.（当面 ）
A
60D0
B
O
O ø650
A
┌E
B
D
600
C
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
相信自己能独 立完成解答.
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
间（jià n）进 期（jī）年
重点词句解释：
美我：
认为我美
私：
动词，偏爱
诚知： 确实知道
皆以美于徐公：都认为比徐公美
地方： 土地方圆
左右： 身边
重点词句解释：
昳丽：
光艳美丽
服：
名词用作动词，穿戴
窥镜：
照镜子
旦日：
第二天
不若：
不如
孰视之：
仔细地看
暮寝而思之： 晚上躺着想这件事
蔽甚矣： 蒙蔽很深了
“ ——
《 古 文 观 止 》
语 破 之 ， 快 哉 ！ ”
关 头 ， 从 闺 房 小
臣 谄 君 蔽 ， 兴 亡
圆对称性垂径定理逆定理.ppt
DA源自600BO ø650
C
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC⊥AB, AB = 6cm ，CD = 1cm.
求⊙O 的半径OA.
⌒
C
A
D
B
O
做一做 9
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，D 为 AB 的中点，OC交A⌒B 于C ，AB = 6cm ，
⌒⌒ AD=BD.
能运用自如.
做一做P92 3
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系(位置关系)? 与同伴说说你的想法和理由.
C
小明发现图中有:
A
┗●
B
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试 5
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（ )
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
C
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC⊥AB, AB = 6cm ，CD = 1cm.
求⊙O 的半径OA.
⌒
C
A
D
B
O
做一做 9
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，D 为 AB 的中点，OC交A⌒B 于C ，AB = 6cm ，
⌒⌒ AD=BD.
能运用自如.
做一做P92 3
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系(位置关系)? 与同伴说说你的想法和理由.
C
小明发现图中有:
A
┗●
B
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试 5
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（ )
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂径定理的应用课件
定理内容
若一条直线过圆心且垂直于给定 直径，则该直线被直径分为两段 ，其中一段长度是另一段长度的 两倍。
定理的证明
证明方法一
利用圆的性质和勾股定理进行证 明。
证明方法二
利用相似三角形的性质进行证明。
证明方法三
利用三角形的中线性质进行证明。
定理的重要性
01
在几何学中，垂径定理是基础且 重要的定理之一，广泛应用于解 决与圆和直线相关的问题。
在椭圆中的应用
总结词：推广应用
详细描述：在椭圆中，垂径定理也有其应用。我们可以利用垂径定理找到椭圆的中心和长轴、短轴。这对于解决与椭圆相关 的几何问题非常有帮助，如求面积、周长等。
在其他图形中的应用
总结词：拓展应用
详细描述：除了圆和椭圆，垂径定理还可以应用于其他一些图形中。例如，在抛物线、双曲线等中， 垂径定理可以帮助我们找到与图形中心相关的信息，从而解决一些复杂的几何问题。此外，在一些更 复杂的组合图形中，垂径定理也可以发挥重要作用。
案例三：机械制造中的垂径定理应用
总结词
机械零件的精确性与垂径定理
详细描述
在机械制造中，垂径定理被广泛应用于确定机械零件 的位置和尺寸，以确保机械零件的精确性和稳定性。 通过应用垂径定理，可以计算出零件的最佳位置和尺 寸，从而提高机械设备的效率和精度。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
在解决与圆相关的几何问题时，垂径定理与 三角函数经常一起使用。垂径定理可以确定 直径与弦的关系，而三角函数则可以用于计 算角度和弧长等几何量。通过结合这两个知 识点，可以方便地计算出圆上任意两点之间 的角度、弧长等几何量。
与解析几何的结合应用
总结词
解析几何提供了一种用代数方法研究几何的 方法，垂径定理与解析几何的结合，使得几 何问题可以通过代数方法求解。
若一条直线过圆心且垂直于给定 直径，则该直线被直径分为两段 ，其中一段长度是另一段长度的 两倍。
定理的证明
证明方法一
利用圆的性质和勾股定理进行证 明。
证明方法二
利用相似三角形的性质进行证明。
证明方法三
利用三角形的中线性质进行证明。
定理的重要性
01
在几何学中，垂径定理是基础且 重要的定理之一，广泛应用于解 决与圆和直线相关的问题。
在椭圆中的应用
总结词：推广应用
详细描述：在椭圆中，垂径定理也有其应用。我们可以利用垂径定理找到椭圆的中心和长轴、短轴。这对于解决与椭圆相关 的几何问题非常有帮助，如求面积、周长等。
在其他图形中的应用
总结词：拓展应用
详细描述：除了圆和椭圆，垂径定理还可以应用于其他一些图形中。例如，在抛物线、双曲线等中， 垂径定理可以帮助我们找到与图形中心相关的信息，从而解决一些复杂的几何问题。此外，在一些更 复杂的组合图形中，垂径定理也可以发挥重要作用。
案例三：机械制造中的垂径定理应用
总结词
机械零件的精确性与垂径定理
详细描述
在机械制造中，垂径定理被广泛应用于确定机械零件 的位置和尺寸，以确保机械零件的精确性和稳定性。 通过应用垂径定理，可以计算出零件的最佳位置和尺 寸，从而提高机械设备的效率和精度。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
在解决与圆相关的几何问题时，垂径定理与 三角函数经常一起使用。垂径定理可以确定 直径与弦的关系，而三角函数则可以用于计 算角度和弧长等几何量。通过结合这两个知 识点，可以方便地计算出圆上任意两点之间 的角度、弧长等几何量。
与解析几何的结合应用
总结词
解析几何提供了一种用代数方法研究几何的 方法，垂径定理与解析几何的结合，使得几 何问题可以通过代数方法求解。
九年级数学上册 第2章 对称图形—圆 2.2 圆的对称性 第2课时 圆的轴对称性与垂径定理导学课件
在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得 OA2＝AD2＋OD2，
即 R2＝18.52＋(R－7.23)2.解得 R≈27.3.
答：赵州石拱桥的主桥拱半径约为 27.3 m.
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
【归纳总结】利用垂径定理构造直角三角形是解决 此类问题的关键，有时还引入方程求解，可达到事半 功倍的效果．
图2－2－9
以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
[答案]不完整．补充如下： 如图，当垂足 E 在线段 OB 上时， 此时 BE＝OB－OE＝5－3＝2. ∴BE 的长为 8 或 2.
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第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
【归纳总结】应用垂径定理的关键点： 利用垂径定理进行计算，通常是在半径、圆心到弦的垂线段和 弦长的一半所构成的直角三角形中，利用勾股定理求出未知线段 的长．
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
目标三 能利用垂径定理解决实际问题
例 4 教材补充例题 我国隋朝建造的赵州石拱桥(示意图如图 2
图 2－2－6 [解析] 根据题意，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，根据垂径定理可以 求出 AE，CE 的长度，这样 AC 的长度也就不难求出了．
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
解：如图，过点
O
作
OE⊥AB
于点
E.根据垂径定理，可知
1 AE＝2AB＝5
cm，
1 CE＝2CD＝3
cm，
∴AC＝AE－CE＝2 cm.
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
目标突破
目标一 了解圆的轴对称性
例1 教材补充例题 圆是轴对称图形，它的对称轴有( D ) A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
即 R2＝18.52＋(R－7.23)2.解得 R≈27.3.
答：赵州石拱桥的主桥拱半径约为 27.3 m.
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
【归纳总结】利用垂径定理构造直角三角形是解决 此类问题的关键，有时还引入方程求解，可达到事半 功倍的效果．
图2－2－9
以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
[答案]不完整．补充如下： 如图，当垂足 E 在线段 OB 上时， 此时 BE＝OB－OE＝5－3＝2. ∴BE 的长为 8 或 2.
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第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
【归纳总结】应用垂径定理的关键点： 利用垂径定理进行计算，通常是在半径、圆心到弦的垂线段和 弦长的一半所构成的直角三角形中，利用勾股定理求出未知线段 的长．
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
目标三 能利用垂径定理解决实际问题
例 4 教材补充例题 我国隋朝建造的赵州石拱桥(示意图如图 2
图 2－2－6 [解析] 根据题意，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，根据垂径定理可以 求出 AE，CE 的长度，这样 AC 的长度也就不难求出了．
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
解：如图，过点
O
作
OE⊥AB
于点
E.根据垂径定理，可知
1 AE＝2AB＝5
cm，
1 CE＝2CD＝3
cm，
∴AC＝AE－CE＝2 cm.
第2课时 圆的轴对称性与垂径定理
目标突破
目标一 了解圆的轴对称性
例1 教材补充例题 圆是轴对称图形，它的对称轴有( D ) A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
《垂径定理》PPT教学课件
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
24.2圆的基本性质-第二课时垂径定理PPT课件
C、AM=OM D、CM=DM
A
C M└
D
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，
●O
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若 B
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种
辅助线的添法．构造半径、半弦、弦心距组成
则AE=BE 对
D
(1.)
•o BA E
D
(2)
BA
•O EB
(3) 5
垂径定理：
图形语言表达：
文字语言表达：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的两条弧。
A
几何语言表达： CD是直径
CD⊥AB
AE ＝ BE A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
C
O
E
B
D
.
6
• 例1、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的 距离为3cm，求⊙O的半径
直角三角形，结合勾股定. 理解题。
8
1、本节课主要学习了：(1)圆的轴对称性；
(2)垂径定理。 2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形， 便将问题转化为解直角三角形的问题.
3、垂径定理的证明，是通过“操作——观察——猜想——证 明”
因此，AE=EB,A⌒D=⌒BD,A⌒C=B⌒C
.
4
总结：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
直径（或过圆心的直线）
垂直于弦 判断题： (1)过圆心的直线平分弦 错
A
C M└
D
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，
●O
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若 B
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种
辅助线的添法．构造半径、半弦、弦心距组成
则AE=BE 对
D
(1.)
•o BA E
D
(2)
BA
•O EB
(3) 5
垂径定理：
图形语言表达：
文字语言表达：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的两条弧。
A
几何语言表达： CD是直径
CD⊥AB
AE ＝ BE A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
C
O
E
B
D
.
6
• 例1、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的 距离为3cm，求⊙O的半径
直角三角形，结合勾股定. 理解题。
8
1、本节课主要学习了：(1)圆的轴对称性；
(2)垂径定理。 2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形， 便将问题转化为解直角三角形的问题.
3、垂径定理的证明，是通过“操作——观察——猜想——证 明”
因此，AE=EB,A⌒D=⌒BD,A⌒C=B⌒C
.
4
总结：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
直径（或过圆心的直线）
垂直于弦 判断题： (1)过圆心的直线平分弦 错
垂径定理ppt课件
5
下面我们来观察图形：
C
若AB是弦, CD是圆O的直径,且CD⊥AB于E
那么你能得到哪些结论？
①AE=BE ②AD=BD ③AC=BC
O
① AE=BE
E┐
CD是直径
A
B
CD⊥AB
② AD=BD
③ AC=BC
D
如何用语言叙述上面的命题？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
6
下面我们来看看如何来证明这个命题？
求：四边形OEPF的周长
C
F
O
A
P
E
B
D
11
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，
CD=8cm，⊙O的半径为5cm， 求：（1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB与CD间的距离。
A
B
A
B
C
D
O
O
C
D
（1）
（2）
12
小结：
1、我们要掌握圆的对称性：圆既是轴对称又是中心对称图形
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
已知：在⊙O中， AB是弦， CD是直径，CD⊥AB于E
O
求证：AE=BE，AC=BC ，AD=BD
E
A
B
D
垂径定理：
①直线过圆心 ②直线垂直于弦
③直线平分弦 ④直线平分弦所对的优弧 ⑤直线平分弦所对的劣弧
8
想一想：
如图：图中是一个下水道的横截面。为了测量下水道
2、垂径定理：
③直线平分弦
①直线过圆心 ②直线垂直于弦
④直线平分弦所对的优弧
⑤直线平分弦所对的劣弧
下面我们来观察图形：
C
若AB是弦, CD是圆O的直径,且CD⊥AB于E
那么你能得到哪些结论？
①AE=BE ②AD=BD ③AC=BC
O
① AE=BE
E┐
CD是直径
A
B
CD⊥AB
② AD=BD
③ AC=BC
D
如何用语言叙述上面的命题？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
6
下面我们来看看如何来证明这个命题？
求：四边形OEPF的周长
C
F
O
A
P
E
B
D
11
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，
CD=8cm，⊙O的半径为5cm， 求：（1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB与CD间的距离。
A
B
A
B
C
D
O
O
C
D
（1）
（2）
12
小结：
1、我们要掌握圆的对称性：圆既是轴对称又是中心对称图形
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
已知：在⊙O中， AB是弦， CD是直径，CD⊥AB于E
O
求证：AE=BE，AC=BC ，AD=BD
E
A
B
D
垂径定理：
①直线过圆心 ②直线垂直于弦
③直线平分弦 ④直线平分弦所对的优弧 ⑤直线平分弦所对的劣弧
8
想一想：
如图：图中是一个下水道的横截面。为了测量下水道
2、垂径定理：
③直线平分弦
①直线过圆心 ②直线垂直于弦
④直线平分弦所对的优弧
⑤直线平分弦所对的劣弧