数形结合课题结题报告

“数形结合”思想在小学数学教学中应用的研究

龙游县塔石镇中心小学课题组

负责人：黄秀清成员：徐根郑素莹柴巧云郑丽萍

一、课题的现实背景与意义

（一）课题研究的现实背景

众所周知数与形这两个基本概念，是数学的两块基石，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演度、发展而展开的，在数学发展进程中，数和形常常结合一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定的条件下互相转化。

数与形的内在联系，也使许多代数学和数学分析的课题具有鲜明的直观性，而且往往由于借用了几何术语或运用了与几何的类比从而开拓了新的发展方向，例如，线性代数正是借用了几何中的空间，线性等概念与类比方法，把自己充实起来，从而获得了迅猛的发展。

数学学习，不单纯是数的计算与形的研究，其中贯穿始终的是数学思想和数学方法。其中，“数形结合”无疑是比较重要的一种。“数”与“形”既是数学的两个基本概念，也是数学学习的两个重要基础，它们分别发展的同时又互相渗透、互相启发着，共同推动着数学科学的向前发展。

（二）研究本课题的现实意义

在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。从表面上看来，中学数学内容可分为数与形两大部分，中学代数是研究数和数量的学科，中学几何是研究形和空间形式的学科，中学解析几何是把数和形结合起来研究的学科，实际上，在小学数学教学中都渗透了数与形相结合的内容。

著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，作为数学老师，应能认识到数形结合的思想所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便。在小学阶段，虽然属于数学的起步阶段，但笔者认为渗透“数形结合”的意义有以下几点。

首先，懂得“数形结合”的方法就能更好地理解和掌握数学内容。

第二，懂得“数形结合”的方法有利于记忆。学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。

第三，懂得“数形结合”的方法有利于数学能力的提高。如果小学数学教师在教学中注重“数形结合”思想的渗透，那么，就能使学生学会正确思维的方法，从而促进学生数学能力的提高。

第四，“数形结合”的方法是联结小学数学和中学数学的一条红线。布鲁纳认为：“强调结构和原理的学习，能够缩小‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，小学数学和中学数学的界限还是比较清楚的，小学数学中有许多概念在中学数学中要赋予新的涵义。而在中学数学中全部保留下来的内容只有小学数学思想方法及与之有关的内容，而“数形结合”是其中重要的方法之一。因此，小学数学思想方法是贯穿小学数学和中学数学的一条纽带，“数形结合”更是连接小学数学与中学数学的一条红丝带。

二、国内外关于同类课题的研究综述

早在数学荫牙时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形结合起来了。早在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系表达成代数式之间的代数关系，17世纪上半时，法国数学家笛卡几通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学，后来，几何学中许多长期不得解决的问题，如尺规作图三大不能问题等，最终也是借助于代数方法得到完满的解决。

近来，在中学数学教学中研究得很多也比较透彻。虽然“数形结合”思想在小学数学教学中应用的研究还是很少，并且也不透彻。但其思想在中学数学教学中应用研究的经验与借鉴

为本项课题研究打下了良好的基础。

三、课题研究的理论依据

思维是人脑对客观现实间接、概括的反映，反映的是事物的本质和内在的规律性，是人类认识的高级阶段。思维实现着从现象到本质、从感性到理性的转化，使人达到对客观事物的理性认识。人们通过思维，可以更深刻地把握事物，预见事物的发展进程和结果。小学生的思维是其智力的核心部分，小学生思维的发展，是其智力发展的标志和缩影。发展小学生的智力，主要应培养和训练他们的思维能力。

小学生的思维特点是：由形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡，但这种抽象逻辑思维仍带有很强的具体形象性。尽管孩子的抽象思维在逐步发展，但是仍然具有很大成分的具体形象性.。因此，把比较抽象的几何定理与代数公式硬塞给小学生，一般说来，不易被接受。然而，从小学三、四年级以后，有意识地培养孩子的思维能力，更快地提高他们的思维水平却是可能的。

数学是一门逻辑性、系统性很强的学科,前面知识的学习,往往是后面有关知识的孕伏和基础,在新旧知识的联系上是非常紧密的。长期以来，由于人们忽视了形象思维在教学过程中的作用，使学科知识的理解过程脱离了学科思维方式的特点，使知识难以理解。为了培养更聪明和富有创造力的新一代，在教学中，不可忽视对学生的形象思维与逻辑思维的共同开发。

四、课题界定

“数形结合”是中学数学中比较重要的一种思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，在数的问题与形的问题之间互相转换，使数的问题图形化，形的问题代数化，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题，达到事半功倍的目的。而在小学，学生正处于形象思维与逻辑思维并肩发展的阶段，在小学数学中，特别是新教材也渗透了“数形结合”的思想，在小学阶段更是培养学生的“数形结合”的思想好时期。在小学数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系,帮助学生逐步树立起“数形相结合”的观点,并使这一观点扎根到学生的认知结构中去,成为运用自如的思想观念和思维工具。

五、课题研究的内容及目标

（一）课题研究的内容

1、小学生“数形结合”意识的现状与分析

针对学生“数形结合”思想的现状，分析影响其“数形结合”思想的因素，研究出提高学生“数形结合”思想的相关措施或策略。

2、“数形结合”思想在“数”、“形”教学中的应用

数学概念反映客观事物空间形式与数量关系本质属性，在某些数学概念中运用“数形结合”能帮助学生更好的掌握概念。

3“数形结合”思想在解题教学中的应用

在小学数学中，“数形结合”用得最多的是应用题的分析求解中，通常是将数量关系转化成线段图。然而，这并不是唯一的方式。实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形。

4、总结出“数形结合”思想在教学应用中的培养方式。

（二）课题研究的目标

1、充分发展学生的形象思维与逻辑思维，培养学生全面的数学素质。

2、培养学生具有敏感、主动的“数形结合”意识，能够根据需要去发现数学问题中的“数”与“形”，并且利用“数形结合”解决相关问题。

3、为中学及后来学习数学打下更扎实的基础，有利于推进素质教育。

六、课题研究的方法与步骤

（一）研究方法

1、文献研究法：查阅有关的理论书籍、文章，了解数形结合思想的内涵、发展情况和目前的研究成果等信息，使本课题的研究内涵和外延更加丰富，更加明确，更加科学。

2、调查分析法：调查分析本校及周边小学的数学教师和学生在数学的教与学中渗透“数形结合”思想的大致情况，通过对初中生数学学习的调查，了解小学数学与初中数学在“数形结合”方面的连结点及发展状况。以增加研究的针对性和实效性。在每学期末，采用情景调查与试卷调查的方法，检验科研成效。

3、行动研究法：将有关“数形结合”思想在数学课堂教学中的实践与研究的初步成果再应用于实践，是教师们在课题实施过程中遇到某个具体问题时，一起探寻解决问题的最好方法，也是本课题研究的主要方法。并在实践与研究中不断调整、补充、完善。

（二）研究步骤

1、准备阶段 (2007.4――2007.5)

第一阶段：实验前调查分析，学校组织讨论、分析有关数学教学中与学生“数形结合”思想培养有关的素材及因素，发掘已有的教学中学生“数形结合”思想培养的经验，收集、提炼第一手资料。并建立组织、查阅文献、寻找理论依据。

第二阶段：组织教师学习有关培养学生“数形结合”思想方面的文献资料，拟定自己的子课题方案，做好开题准备。

2、实施阶段 (2007.9――2009.7)

第一阶段：各子课题组实施研究，收集资料，完成阶段性总结报告，反思研究过程并作修正、完善。

第二阶段：继续实施研究，在研究中不断反思修正，对积累的材料进行分析，提炼、整合，定期进行学习、交流。

3、成果形成阶段 (2009.7――2009.9)

形成课题研究成果，撰写研究报告，编撰有关课题研究的论文和音像资料，做好结题鉴定工作。

七、课题研究的成果及其分析

（一）提高学生“数形结合”思想的策略

目前我们使用的北师大教材，不把数学课划分为“代数”、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数”与“形”的结合。只是，教材虽然从低年级起就提供了“数形结合”教学的素材供老师们挖掘，但是对“数形结合”的教学目标过于隐讳，还不太突现，教学上没有把学生“数形结合”的意识和能力培养作为数学教学的一个重要目标。

大多教师虽已意识到“数形结合”思想的重要性，却不知怎样渗透、如何培养。学生对“数形结合”的策略一般只是被动的模仿，学生的这方面认知结构不像数学知识那样系统化。因此数学教师在教学中要做好“数”与“形”关系的揭示与转化，运用“数形结合”的方法，帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高能力都有很大的帮助。课题组研究出以下几点提高学生“数形结合”思想的策略：

1、在教学过程中渗透同一思维原则，充分利用教材，挖掘教材素材。教材中的数学知识，是前人认识的成果。学生学习时，通过认识活动把前人的认识成果转化为自己的知识，所以学习是一种再认识过程，学习某项知识所用的思维方式，同前人获得该项知识所用的思维方式应该是一致的。同一思维的原则，就是前人用什么思维方式获得的知识，学习时，要用同一种思维方式去掌握这些知识。“数形结合”是抽象与直观，思维与感知的结合，学习时就要把两种思维结合起来去理解、掌握这些知识。因此，“数形结合”教学活动中正确地运用思维方式，有机地把两种思维结合起来，是理解掌握知识的关键。此外，在教学中常思考：如何在小学的不同年龄段安排不同的数形结合内容，以适应学生的思维发展和几何直观能力发展的需要？

2、创设有利于学生直观思维的教学情境。

进行思维活动要有一定的知识经验为基础，没有已有知识、经验（表象）的参与，就没有思维活动。“数形结合”的学习活动既有抽象思维，又有形象思维。进行抽象思维一般要靠知识的新旧联系（迁移），进行形象思维主要靠表象的积累。当学生没有或缺乏教学内容有关的表象积累，或表象模糊的时候，必须用直观形象材料强化，充实孩子的感知，使孩子获得有关表象。很多课利用媒体课件创设更优，同时还提高课堂密度与教学效率。

3、对“数形结合”的培养建立起积极评价机智。

“数形结合”教学中也蕴含着丰富的情感因素：首先，数学知识是和科学美感融合在一起的。其次，教师对教材的体验、感受和对数学的热爱，通过教学对孩子起了良好的熏陶、感染的作用。第三，学生在学习数学过程中产生对数学的兴趣和爱好，成功解题带来的喜悦和愉快的情绪。这种伴随认知学习产生的情感，能成为支持和推动学习的动力。另一方面，教师应对孩子的学习行为及时给予正确的评价，肯定成绩，激起孩子学习的热情和信心。

（二）“数形结合”思想在“数”、“形”教学中的应用

心理学研究表明，儿童接受具体性文字中的信息比学习抽象性文字中的信息容易得多，其原因是由于具体名词能产生心理映像（如“凑十法”与“短除法”同是演算规则名词，但前者比后者更容易理解与记忆），而儿童利用形象的图式学习比用纯文字推演更有兴趣、更容易学习。

1、“数”的教学借助“形”的直观、依赖“形”来操作。

在小学数学教学中，可能小学低段数学教学中会出现的更多，刚学习“数”的加减法或乘除运算时，教师如何利用“形”来帮助学生理解掌握，还有就是在小学中高段数学教学中如何运用“形”来探索复杂的“数”的关系。

由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。

数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。又如，“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。

2、“形”的教学借助“数”的描述、依赖“数”来巩固。

在小学数学教材中，“形”的学习从一年级到六年级都有安排，北师大版本称这一单元为“观察物体”。小学低段数学注重其“形”的直观感知即可，其实到了小学中高段数学就已经把“形”与“数”紧密联系起来了。

在教孩子认识各种图形时，“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。如“长方形”，学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”，只有用数学语言揭示其特征（有4个角，都是直角；有4条边，对边相等）。又如，长方形面积计算，对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。

几何图形的概念因为有了“数”的描述，进一步深化了儿童对“形”的直观知觉。几何图形的周长、面积、体积，因为有“数”的运算，用“数形结合”方法认识“形”、说明“形”的意义可以拓宽学生的视野，激发他们火热的数学思考，有利于学生进一步加深对“形”的

理解，认识到“形”丰富的内涵。

（二）“数形结合”在解题教学中的应用研究

“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容。“数”与“形”的相互转化、结合既是数学的重要思想，更是解决问题的重要方法。

作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对形的问题，用数的分析加以解决，另一方面对于数量间的关系问题，借助形的直观来解。因此，在教学实践中，我们运用“数形结合”思想进行教学，即把题中给出的数量关系转化成图形，由图直观地揭示数量关系，有利于活跃学生的思维，拓宽学生的解题思路，提高学生的解题能力，从而促进学生智力的发展。

1、“数形结合”化抽象为直观，激发了学生的数学兴趣。

小学低年级学生主要是凭借事物的具体形象来进行直观思维活动的，但小学应用题所明确的数量关系通常需要通过抽象思维来理解，这是在小学应用题教学中存在的突出矛盾，如把应用题中抽象的数量关系用恰当的、形象的图形表示出来，就可较好地解决这一矛盾。

案例1：“鸡兔同笼”的内容，在二年级有，五年级也有。如何让只有二年级的孩子们理解“鸡兔同笼”的问题呢？这里运用到的一个基本的学习方法就是让学生们动笔画一画，用一个简单的圆形来代替动物的头，用竖线来表示动物的脚，在画的过程中发现多了或少了可以马上就改。比如：鸡兔同笼，有6个头，20只脚，鸡兔各有多少只？

①先画6个头

②各画两只脚（假设都是鸡）

③都是鸡只有12只脚，不够8只，那再补充

这样，可以直观的看到有2只鸡，4只兔。大多学生对这类题目的第一个感觉是难，通过“数形结合”的思想化抽象为直观，感觉就是有趣了。

2、“数形结合”化繁杂为简单，理清了解题中的数量关系。

一些应用题，因其数量关系多，数值变化繁，学生掌握起来十分困难，一直是小学数学教学的重点、难点。如果充分运用数形结合思想，巧妙运用恰当的图形直观地表示其数量关系，常能产生意想不到的效果。

案例2：三年级上册“两步计算的实际问题”的教学，今年种了杨树168棵，今年种的松树的棵数是杨树的5倍。（1）今年种松树多少棵？（2）杨树和松树共有多少棵？第一个问题是简单的，第二个问题在第一个问题解决的基础上也不难。但教师在教学时，要考虑到，要是没有第一个问题，直接要我们求第二个问题呢。其实可以用两种方法来解决这个问题，

其中用倍比方法解答是学生比较难以理解的。这时，线段图就起到了一个很好的辅助作用。可以引导学生利用学过的知识画出下面的图：

松树：杨树：是杨树的5倍棵杨树与松树一共有几棵？

借助线段图的直观作用，学生一下子就理解了“1+5=6，168×6=1008（棵）”的意思，根本不需要老师再多加解释。就这样，借助一个简单的线段图，很好地引导学生理解了两种数量之间的关系，倍比方法也就在轻松之中迎刃而解了。

3、“数形结合”化单一为多元，发展了学生的多方面数学能力。

同样的内容，可以通过多种形式进行练习，好的形式不仅让学生更好地掌握相关的数学知识，而且还能培养学生的创新能力与发散思维。

案例3：结束“三角形面积”的教学后，其中设计了一题目，三角形的面积是12平方厘米，并且三角形的高比底短，你觉得这个三角形的高有几厘米，底有几厘米？（高与底都是整厘米数）。对于这种只给出一个数字条件，要求得两个问题的解，部分学生开始会觉得束手无策，其实基本方法就是画图想数字:

8×

3÷

2=12c㎡

6×4÷2=12c㎡ 8cm 6cm 这不仅对三角形面积公式要“除2”印象更深了，而且对图形也有了数感。

（三）

“数形结合”在教学应用中的培养方式

“数形结合”思想与其他数学思想方法一样，其形成都不是朝夕之间的，我们将数学学科特点与学生认知特点相结合，数形结合思想渗透在整个教学内容之中。

1、渗透——在教学过程中适时渗透数形结合思想

以具体知识为载体，

数形结合思想融入其中，使学生对数形结合有一些初步的感知和直觉，帮助学生对知识的理解与记忆，培养学生有意识记和理解识记。通过这些具体知识的学习和问题的解决，使学生了解数和形是两个不同的侧面，但在一定条件下又能达到统一。

2、揭示——通过典型例题的分析讲解突出数形结合思想的指导

以教材的相关内容为载体，向学生点破阐释，突出数形结合思想的应用。把形转化为数，用数量关系研究图形，把数转化成形，用形进一步掌握数，使学生获得解决问题的经验，形成技能，领悟数形结合的思想。

3、强化——把教材中渗透数形结合思想的内容系统化

美国心理学家斯金纳提出：行为之所以发生变化，是由于强化作用，学生要获得有效的数学学习就必须通过强化。桑代克说：一个已形成的可变连结，若加以应用，就会变强；一个

已形成的可变连结，若久不用，就会变弱。教学要注意连续性，要经常地予以强调，并通过大量的综合而达到灵活运用。通过强化训练，有利于学生掌握如何解决新问题的方法，再经积累、概括、总结，不断获得创造性数学活动的经验，从而形成一定的数学能力。

八、课题后的反思

1、课题研究过程中，我们都太专注于“数形结合”教学课的准备与研究，而忽视了学生其他相关数学能力的发挥。

2、我们的研讨教学大都借助了媒体课件，感觉并不是所有的课都有这个必要，因为花了大把的时间做课件，可有的还不如在黑板上画一画那么明了直观。教学还应从内容出发，而不是为了形式。

2、学生数形结合思想的培养绝不是孤立的，受其观察、联想、问题转化等能力的制约，后继可以研究数形结合思想，如何与其他数学思想相辅相成，同步培养以至形成意识。

主要参考文献：

1、蓝惠菊《让思想方法贯穿小学数学学习全过程》福建教育2007.10

2、蒋巧君《数形结合是促进学生意义建构的有效策略》小学数学教师2005

3、张林琴《数形结合”思想的解读与实践》教育实践与研究 2007.10