2020-2021福州市初三数学上期中一模试卷(及答案)
2．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解： y x2 2mx 4=(x m)2 m2 4 ，∴点 M（m，﹣m2﹣4），∴点 M′（﹣m，
m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得 m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）． 故选 C． 【点睛】 本题考查二次函数的性质．
所以黄区域所占的面积比例为 90 = 1 ， 360 4
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 1 ， 4
故选 B． 【点睛】 本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免 了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体 现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】
解：A、∵任何数的绝对值都是非负数，∴ a 0 是必然事件，不符合题意；
B、∵ a 0 ，∴ a 1 的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题
意；
C、∵ a 0 ，∴a-1＜-1＜0 是必然事件，故 C 不符合题意； D、∵ a2 1 >0,∴ a2 1 0 是不可能事件，故 D 不符合题意；
A． 4 9
B． 1 3
C． 2 9
D． 1 9
9．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60 ， 90 ，
210 ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是 ( )
A． 1 6
B． 1 4
C． 1 3
10．用配方法解方程 x2 8x 9 0 ，变形后的结果正确的是( )
17．如图，四边形 ABCD 是 O 内接四边形，若 BAC＝30，CBD＝80 ，则 BCD
的度数为______．
18．如图，把正方形铁片 OABC 置于平面直角坐标系中，顶点 A 的坐标为（3，0），点 P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 90°， 第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转 2017 次后，点 P 的坐标为____________________．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然 后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】 画树状图如下：
由树状图可知，共有 9 种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有 4 种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为 4 ， 9
A． x 42 9 B． x 42 7 C． x 42 25
D． 7 12
D． x 42 7
11．如果反比例函数 y a 2 （a 是常数）的图象在第一、三象限，那么 a 的取值范围是 x
（）
A．a<0
B．a>0
C．a<2
D．a>2
12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB＝10， AC CD DB ，点 E 是点 D 关于
23．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长 为 52 米，宽为 28 米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺 花砖的面积为 640 平方米. （1）求通道的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位 64 个，据调查分析，当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租 出；当每个车位的月租金每上涨 10 元，就会少租出 1 个车位.当每个车位的月租金上涨多 少元时，停车场的月租金收入为 14400 元？
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】 解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意； C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意； D、不是中心对称的图形，不合题意． 故选 C． 【点睛】 本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转 180 度后所得的图形与原图形完全重合．
这条抛物线上，则点 M 的坐标为（ ）
A．（1，-5）
B．（3，-13）
C．（2，-8）
D．（4，-20）
3．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知实数 a 0 ，则下列事件是随机事件的是（ ）
A． a 0
B． a 1 0
C． a 1 0
5．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
D． a2 1 0
A．55°
B．110°
C．120°
D．125°
6．若 2a2 4a 5 x ，则不论 取何值，一定有（ ）
A． x 5
B． x 5
C． x 3
D． x 3
7．将函数 y=kx2 与 y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出 一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概 率是（ ）
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据题意，利用分类讨论的方法，讨论 k＞0 和 k＜0，函数 y=kx2 与 y=kx+k 的图象，从而 可以解答本题． 【详解】 当 k＞0 时， 函数 y=kx2 的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第一、二、三象 限，是一条直线，故选项 A、B 均错误， 当 k＜0 时， 函数 y=kx2 的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第二、三、四象 限，是一条直线，故选项 C 正确，选项 D 错误， 故选 C． 【点睛】 本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合 的思想解答．
2020-2021 福州市初三数学上期中一模试卷(及答案)
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA、 CB 分别相交于点 P、Q，则线段 PQ 长度的最小值是（ ）
A．4.75 B．4.8 C．5 D．4
2．已知抛物线 y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M′，若点 M′在
故选 A． 【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上 完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】 ∵黄扇形区域的圆心角为 90°，
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】 设 QP 的中点为 F，圆 F 与 AB 的切点为 D，连接 FD，连接 CF，CD，则有 FD⊥AB；由 勾股定理的逆定理知，△ABC 是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知， FC+FD＞CD；只有当点 F 在 CD 上时，FC+FD=PQ 有最小值，最小值为 CD 的长，即当点 F 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 的高 CD 上时，PQ=CD 有最小值，由直角三角形的面积公 式知，此时 CD=BC•AC÷AB=4.8． 【详解】 如图，设 QP 的中点为 F，圆 F 与 AB 的切点为 D，连接 FD、CF、CD，则 FD⊥AB． ∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ， ∴FC+FD＞CD， ∵当点 F 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 的高 CD 上时，PQ=CD 有最小值， ∴CD=BC•AC÷AB=4.8．
19．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB=90°，点 C 为 OA 的中点，CE⊥OA 交 AB 于点 E，以点
O 为圆心，OC 的长为半径作 CD 交 OB 于点 D，若 OA=2，则阴影部分的面积为
.
20．一元二次方程 x2=3x 的解是：________．
三、解答题
21．列方程解应用题： 某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售 出，据市场调查：每个玩具按 480 元销售时，每天可销售 160 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 2 个，已知每个玩具的固定成本为 360 元，问这种玩具的销售单价为多 少元时，厂家每天可获利润 20000 元？ 22．商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元. 为了尽快减少库存，商场 决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元. 据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利 ▲ 元（用含 x 的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？
积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为
864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多
______步．
16．一副三角板如图放置，将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转 (0 90 ) ，使得三角
板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则 的度数为______.
AB 的对称点，M 是 AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ 1 ∠DOB； 2
③DM⊥CE；④CM＋DM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是( )
2020-2021学年福建省福州某校九年级上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省某校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题1．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝02．（3分）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 5．（3分）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（）A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能6．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2 7．（3分）已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA 绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）8．（3分）如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（）A．B．0＜x＜1 C．D．﹣1＜x＜2 9．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（3分）如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k 为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍二.填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．（4分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是．13．（4分）如图，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝75t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是秒．15．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．16．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O 是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是．三、解答（本题共9小题，86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x＝1．18．（8分）如图，△ABC的项点坐标分别为A（0，1），B （3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）写出A2，B2，C2的坐标．19．（8分）福州国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195公里）”，“半程马拉松（21.0975公里）”，“迷你马拉松（5公里）”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为．（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．20．（8分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．22．（10分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．23．（10分）（1）已如：如图，正方形ABCD中，∠EDF＝45°，DE、DF分别交边AB、BC平点E、F，求证：EF＝AE+CF．（2）在平面直角坐标系中、正方形OABC的两顶点A、C 分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，将正方形OABC 绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上停止，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论．24．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB 分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．25．（13分）已知抛物线的对称轴是直线m，顶点为点M，若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x﹣10123y1030（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线m′，A为直线m′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线m′于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2），①用含t与x的代数式示y2．②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．参考答案一、选择题（共10小，每题3分，满分30分）1．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．解：移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，则x1＝2，x2＝﹣2，故选：A．2．（3分）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合；轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；据此判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的是哪个即可．解：∵选项A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，∴选项A不正确；∵选项B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形，∴选项B正确；∵选项C中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，∴选项C不正确；∵选项D中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形，∴选项D不正确．故选：B．3．（3分）一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（）A．B．C．D．【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．解：因为一共有6个球，白球有4个，所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：．故选：D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 【分析】由△ABC∽△DEF与它们的面积比为4：1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC 与△DEF的相似比．解：∵△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，∴△ABC与△DEF的相似比为2：1．故选：A．5．（3分）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（）A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．解：∵点到圆心的距离5，大于圆的半径3，∴点在圆外．故选C．6．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，故选：A．7．（3分）已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据题意画出图形利用旋转的性质即可解答．解：如图，根据旋转的性质可知，OB1＝OB＝1，A1B1＝AB＝2，可知点A1的坐标是（﹣2，1），故选：A．8．（3分）如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（）A．B．0＜x＜1 C．D．﹣1＜x＜2 【分析】先根据抛物线与x轴的交点求出其对称轴方程，再根据抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称性即可进行解答．解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（2，0），∴其对称轴方程为：x＝＝，∵抛物线与y轴的交点为（0，2），∴此点关于对称轴的对称点横坐标为：2×＝1，∵0＜x＜1时函数的图象的纵坐标大于2，∴当y＞2时，自变量x的取值范围是0＜x＜1．故选：B．9．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF ＝AB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF 可得答案．解：∵AF⊥BF，∴∠AFB＝90°，∵AB＝10，D为AB中点，∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，∴∠ABF＝∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即，解得：DE＝8，∴EF＝DE﹣DF＝3，故选：B．10．（3分）如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k 为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍【分析】先证出点B、C、D在以A为圆心的圆上再根据圆周角定理解答即可．解：∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，∵∠DAC＝k∠CAB，∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，故选：A．二.填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣．【分析】由方程根的情况可得方程根的判别式△＞0，得到关于k的不等式，解不等式即可求得k的范围．解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣3）2+4k＞0，解得k＞﹣，故答案为：﹣．12．（4分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是．【分析】根据一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的，再根据概率公式即可得出答案．解：∵一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的，∴飞镖落在白色区域的概率是；故答案为：．13．（4分）如图，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝80°．【分析】由∠P＝50°，根据三角形内角和定理，可求得∠B+∠C的度数，又由OA＝OB＝OC＝OD，即可求得∠OAB+∠ODC的度数，继而求得∠AOB+∠COD，则可求得答案．解：∵∠P＝50°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠P＝130°，∵OA＝OB，OC＝OD，∴∠OAB＝∠B，∠ODC＝∠C，∴∠OAB+∠ODC＝∠B+∠C＝130°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣（∠B+∠OAB+∠C+∠ODC）＝100°，∴∠AOD＝180°﹣（∠AOB+∠COD）＝80°．故答案为：80°．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝75t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是25 秒．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．解：由题意得，s＝75t﹣1.5t2＝﹣1.5（t2﹣50t+625﹣625）＝﹣1.5（t﹣25）2+937.5，即当t＝25秒时，飞机才能停下来．故答案是：25．15．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或者（1，0）时，使得△BOC∽△AOB．【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．解：∵点A为（4，0），∴AO＝4；∵点B为（0，2），∴OB＝2．若△BOC∽△AOB．则：＝．即：＝，∴OC＝1．故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．16．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O 是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是 5 ．【分析】分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，证明△AED≌△AOB可得DE＝OB，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，再根据勾股定理即可求得结论．解：如图，分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，∵△ABD和△AOE都是等边三角形，∴AE＝AO，AD＝AB，∠OAE＝∠BAD＝60°，∴∠DAE＝∠BAO，在△AED和△AOB中，，∴△AED≌△AOB（SAS），∴DE＝OB，∴OA+OB+OC＝OE+DE+OC，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，∵∠BAC＝30°，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝90°，又AB＝4，AC＝3，在Rt△ADC中，CD＝＝＝5．故答案为：5．三、解答（本题共9小题，86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x＝1．【分析】方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝1+1，∴（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝±，∴x＝1±∴x 1＝1+，x2＝1﹣．18．（8分）如图，△ABC的项点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）写出A2，B2，C2的坐标．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；（3）利用（2）中所画图形写出点A2、B2、C2的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）A2（1，0），B2（3，﹣3），C2（3，﹣1）．19．（8分）福州国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195公里）”，“半程马拉松（21.0975公里）”，“迷你马拉松（5公里）”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为．（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．解：（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为，故答案为：；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小智和小慧被分配到同一个项目组的结果数为3，所以小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为＝．20．（8分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．【分析】（1）△PBA与△ABC相似，利用勾股定理计算出AB的长，利用由两边的比值和一个夹角相等的两个三角形相似可证明结论成立；（2）由（1）可知：∠BAC＝∠BPA，因为∠BPA易求，问题得解．解：（1）△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝＝，BC＝5，BP＝1，∴，∵∠PBA＝∠ABC，∴△PBA∽△ABC；（2）∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA，∵∠BPA＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．【分析】连接BO并延长交圆O与点D，连接AD，根据BD 是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D＝∠C＝30°．则BD＝2AB＝8．解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝30°，∴∠BOA＝60°．又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形．∴OB＝AB＝4，∴BD＝8．∴⊙O的直径为8．22．（10分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解；（2）利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：（50﹣x）（40+2x）＝2400，解得：x1＝10，x2＝20，因为尽量减少库存，x1＝10舍去．答：每件衬衫应降价20元．（2）设每天盈利为W元，则W＝（50﹣x）（40+2x）＝﹣2（x﹣15）2+2450，当x＝15时，W最大为2450．答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．23．（10分）（1）已如：如图，正方形ABCD中，∠EDF＝45°，DE、DF分别交边AB、BC平点E、F，求证：EF＝AE+CF．（2）在平面直角坐标系中、正方形OABC的两顶点A、C 分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，将正方形OABC 绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上停止，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论．【分析】（1）把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG，如图1，根据旋转的性质得∠EDG＝90°，DE＝DG，AE＝CG，∠DCG＝∠A＝90°，再证明△DFE≌△DFG得到EF＝FG，则EF＝FC+CG＝FC+AE；（2）如图2，利用直线y＝x为第一、三象限的角平分线得到∠MON＝45°，根据（1）的结论得MN＝AM+CN，然后利用等线段代换得到P＝2AB，从而可判断P的值为定值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠ACB＝90°，把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG，如图1，∴∠EDG＝90°，DE＝DG，AE＝CG，∠DCG＝∠A＝90°，∵∠DCB+∠DCG＝180°，∴B、C、G三点共线，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDG﹣45°＝45°，∴∠EDF＝∠GDF，在△DFE和△DFG中，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝FC+CG＝FC+AE；（2）解：在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．理由如下：∵直线y＝x为第一、三象限的角平分线，∴∠MON＝45°，由（1）的结论得MN＝AM+CN，∴P＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝BA+BC＝2AB，而AB为正方形的边长，∴P的值为定值．24．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB 分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，再由角平分线的意义和圆周角定理可求出∠AOE＝90°，得出OE⊥AB，最后由MN∥AB，得出OE⊥MN，进而得出结论；（2）根据等腰直角三角形的边角关系可求出AE＝BE＝5，再由相似三角形求出BN，CE，进而求出CD．【解答】证明：（1）补全图形如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，又∵MN∥AB，∴OE⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）过点C作CQ⊥MN，垂足为Q，交AB于点P，则CQ⊥AB，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10∴OE＝PQ＝OA＝OB＝5，由三角形的面积公式得，AC•BC＝AB•CP，∴6×8＝10CP，∴CP＝4.8，∴CQ＝4.8+5＝9.8，∵AB∥MN，∴△CAB∽△CMN，∴＝，即＝，∴MN＝，连接BE，则BE＝AE，在Rt△ABE中，AE＝BE＝×AB＝5，∵EN是⊙O的切线，∴∠BEN＝∠BCE＝∠ACE，∵ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠EBN＝∠CAB，∴△AEC∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝，∵∠ACE＝∠ECN，∠CAE＝∠CEN，∴△CAE∽△CEN，∴＝，即＝，解得，CE＝7，又∵∠ACD＝∠ECB，∠CAD＝∠CEB，∴△ACD∽△ECB，∴＝，即＝，解得，CD＝，∴MN＝，CD＝．25．（13分）已知抛物线的对称轴是直线m，顶点为点M，若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x﹣10123y1030（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线m′，A为直线m′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线m′于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2），①用含t与x的代数式示y2．②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先根据（1）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M 的坐标．①记直线m与直线m′交于点C（1，t），当点A′与点C 不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥m，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM＝PA＝|y2﹣t|，过点P作PQ⊥m于点Q，则点Q（1，y2），故QM＝|y2﹣3|，PQ＝AC ＝|x﹣1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x 之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，求出y1﹣y2的值，进而求解．解：（1）∵抛物线经过点（0，），∴c＝．∴y1＝ax2+bx+，∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1＝ax2+bx+上，∴，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝﹣x2+x+；（2）∵y1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，∴直线m为x＝1，顶点M（1，3）．①由题意得，t≠3，如图，记直线m与直线m′交于点C（1，t），当点A与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ABMP为菱形，∴PA∥m，又∵点P（x，y2），∴点A（x，t）（x≠1），∴PM＝PA＝|y2﹣t|，过点P作PQ⊥m于点Q，则点Q（1，y2），∴QM＝|y2﹣3|，PQ＝AC＝|x﹣1|，在Rt△PQM中，∵PM2＝QM2+PQ2，即（y2﹣t）2＝（y2﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y2＝（x﹣2）2+，即y2＝x2﹣x+；∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P（1，），∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2＝x2﹣x+（t ≠3）；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），∵3＞，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，y1﹣y2＝﹣（x﹣1）2+3﹣[（x﹣1）2+]＝（x ﹣1）2+，若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y＝（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞，符合题意；若3t﹣11＝0，y1﹣y2＝﹣＜0，即t＝也符合题意．综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥．。
2020-2021福州市三牧中学初三数学上期中一模试题带答案
2020-2021福州市三牧中学初三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°2．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A．32×20﹣2x2＝570B．32×20﹣3x2＝570C．（32﹣x）（20﹣2x）＝570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝5703．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（）A．大于60°B．小于60°C．大于30°D．小于30°4．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55°B．110°C．120°D．125°5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣5m+4=0有一个根为0，则m的值等于（）A．1B．1或4C．4D．07．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A．2B．4C．6D．88．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是()A．16B．14C．13D．7129．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）10．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．411．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm212．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，»»»AC CD DB==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝12∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若1211+x x＝﹣1，则k的值为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．15．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1，2)，与x轴的一个交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<o o，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.17．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是3cm ，则圆锥侧面积是_________.18．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b ____c （用“＞”或“＜”号填空）19．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．20．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．三、解答题21．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AB 上，以AD 为直径的⊙O 与BC 相 交于点E ，且AE 平分∠BAC ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若∠EAB ＝30°，OD ＝3，求图中阴影部分的面积．22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．()1求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；()2求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？()3如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每件的成本⨯每天的销售量)23．解方程（1）2250x x --= （2） x （3－2x ）= 4 x －624．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=o ，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?25．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】连接OC ，∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC ，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.2．D解析：D【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，故选D．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．3．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为»AB，∴∠ACB=12∠AOB=30°，又∠ACB为△SCB的外角，∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．故选D4．D解析：D【解析】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．详解：根据圆周角定理，得∠ACB=12（360°-∠AOB）=12×250°=125°．故选D．点睛：此题考查了圆周角定理．注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．5．D解析：D【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．C解析：C【解析】【分析】先把x＝0代入方程求出m的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．【详解】解：把x＝0代入方程得m²−5m＋4＝0，解得m₁＝4，m₂＝1，而a−1≠0，所以m＝4．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．7．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，∵图形的面积是12cm2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901= 3604，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，故选B．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．9．B解析：B【解析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).故选B..10．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。
2020-2021学年福建省福州一中九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：23．（4分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 4．（4分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF6．（4分）《我和我的家乡》一上映就获得追捧，目前票房已突破27亿．第一天票房约2.66亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达6.66亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．2.66（1+x）＝6.66B．2.66（1+x）2＝6.66C．2.66+2.66（1+x）2＝6.66D．2.66+2.66（1+x）+2.66 （1+x）2＝6.667．（4分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对8．（4分）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR 9．（4分）我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（）A．12尺B．56尺5寸C．57尺5寸D．62尺5寸10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜﹣．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则k＝．12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）绕原点逆时针旋转90°，得到的点A′的坐标是．13．（4分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，DE＝4，则EF的长是．14．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是．15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB'，则旋转角的度数为．16．（4分）点A、B、C都在半径为6的⊙O上，且∠AOC＝120°，点M是弦AB的中点，则CM的长度的最大值为．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）解方程：2x2＝x．（2）将二次函数的一般式y＝x2﹣4x+5化为顶点式y＝（x﹣h）2+k，并写出它的对称轴及顶点坐标．18．（8分）如图，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径．19．（8分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．20．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A1B1C1；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB2C2．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．22．（10分）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件降价多少元时，每星期的销售利润w最大，最大利润是多少？（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？23．（10分）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．24．（12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2＝AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，若＝＝1，求和的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B，C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F，若＝＝n，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）．25．（14分）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），点P是抛物线上任意一点．（1）我们称F（0，）为抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点，直线l：y＝﹣为抛物线的准线，连接线段PF，作PH⊥l于点H．求证：PF＝PH；（2）已知抛物线y＝ax2过点M（﹣4，4）．①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；②将M（﹣4，4）绕焦点F顺时针旋转90°，得到点N，求△PNF周长的最小值；③直线l：y＝kx+m与抛物线交于A、B两点，点O是坐标原点，OA⊥OB．求证：直线AB过定点．2020-2021学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是4：2，∴两个相似三角形的周长比是1：5，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3．（4分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+4的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移8个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．（4分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，推算出金字塔的高度，就是我们所学的图形的相似，故选：D．【点评】考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成正比，难度不大．5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，故A选项错误，BC＝EC，故B选项错误，∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，∠A＝∠D，又∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠D+∠B＝90°，∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故选：D．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．6．（4分）《我和我的家乡》一上映就获得追捧，目前票房已突破27亿．第一天票房约2.66亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达6.66亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．2.66（1+x）＝6.66B．2.66（1+x）2＝6.66C．2.66+2.66（1+x）2＝6.66D．2.66+2.66（1+x）+2.66 （1+x）2＝6.66【解答】解：设增长率为x，由题意得：2.66+2.66（5+x）+2.66 （1+x）7＝6.66，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．7．（4分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为5，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有6个，∴丙的说法不正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．8．（4分）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR【解答】解：∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC＝＝，OM＝，OD＝＝，OA＝＝＝，OQ＝2＝2＝3＝2，∵＝＝2，∴点D对应点Q，点B对应点P，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．【点评】本题考查了位似变换、勾股定理等知识；熟练掌握位似中心，找出点C对应点M是解题的关键．9．（4分）我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（）A．12尺B．56尺5寸C．57尺5寸D．62尺5寸【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：DE，即5：AD＝0.2：5，解得AD＝62.5，BD＝AD﹣AB＝62.2﹣5＝57.5尺．故选：C．【点评】考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC∽△ADE．10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜﹣．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，而点（2，0）关于直线x＝，0），∵c＞1，∵抛物线开口向下，∴a＜6，∵抛物线对称轴为直线x＝，∴ab＜8，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，∴顶点在x轴的上方，∵a＜0，∴抛物线与直线y＝a有两个交点，∴关于x的方程ax4+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，6），∴4a+2b+c＝3，∵b＝﹣a，∴4a﹣2a+c＝3，即2a+c＝0，∴﹣3a＝c，∵c＞1，∴﹣2a＞3，∴a＜﹣，故③正确，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则k＝﹣1．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣kx﹣5＝0得1﹣k﹣7＝0，解得k＝﹣1．故答案为﹣5．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）绕原点逆时针旋转90°，得到的点A′的坐标是（﹣1，﹣3）．【解答】解：如图，A′（﹣1．故答案为（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．13．（4分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，DE＝4，则EF的长是6．【解答】解：∵l1∥l2∥l2，∴，∴，∴EF＝3，故答案为：6．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．14．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣2，x2＝1．【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，7），1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝1．所以方程ax2＝bx+c的解是x8＝﹣2，x2＝4故答案为x1＝﹣2，x2＝1．【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB'，则旋转角的度数为84°．【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴6∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠CAB'＝∠C＝24°，∴旋转角的度数＝∠BAB'＝∠BAC﹣∠CAB'＝84°，故答案为84°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．16．（4分）点A、B、C都在半径为6的⊙O上，且∠AOC＝120°，点M是弦AB的中点，则CM的长度的最大值为3+3．【解答】解：如图，取AO的中点J，JC，交CO的延长线于H．∵∠AOC＝120°，∴∠JOH＝60°，∵JH⊥OH，∴∠JHO＝90°，∵AJ＝JO＝OA＝8，∴OH＝OJ•cos60°＝，JH＝OJ•sin60°＝，∴CH＝OH+OC＝+6＝，∴CJ＝＝＝3，∵AM＝MB，AJ＝JO，∴MJ＝OB＝3，∵CM≤MJ+JC，∴CM≤3+8，∴CM的最大值为3+6．【点评】本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）解方程：2x2＝x．（2）将二次函数的一般式y＝x2﹣4x+5化为顶点式y＝（x﹣h）2+k，并写出它的对称轴及顶点坐标．【解答】解：（1）∵2x2＝x，∴5x2﹣x＝0，∴x（6x﹣1）＝0，∴x＝2或2x﹣1＝5，解得x1＝0，x6＝0.5；（2）y＝x3﹣4x+5＝（x﹣7）2+1，则该函数的对称轴是直线x＝8，顶点坐标为（2．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．（8分）如图，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】解：连接OA，如图所示：∵半径OC⊥AB，AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，由勾股定理得：72+（r﹣2）7＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为2．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．19．（8分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA＝BD．∴∠A＝∠ADB．∵∠A＝∠BDE，∴∠ADB＝∠BDE．∴DB平分∠ADE．【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．20．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A1B1C1；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB2C2．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C6即为所求．（2）如图所示，△AB2C2即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此作出变换后的对应点．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DF A；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝3，∴AE＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DF A，∴，∴．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．22．（10分）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件降价多少元时，每星期的销售利润w最大，最大利润是多少？（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）根据题意得，y＝100+10x．（2）设每星期利润为W元，W＝（30﹣x）（100+10x）＝﹣10（x﹣10）2+4000．∴x＝10时，W最大值＝4000．∴每件降价为10元时，每星期的销售利润最大．（3）由题意：﹣10（x﹣10）2+4000≥3910，解得：7≤x≤13，∵y＝100+10x．∵170≤y≤230，∴每星期至少要销售该款童装170件．【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题．23．（10分）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．【解答】解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y3＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜5时，y1随x的增大而减小，且y1＞7；对于函数y2＝x2﹣x+7，当﹣2≤x＜0时，y3随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，对于函数y，y随x的增大而减小．故答案为：减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+7）（x≥﹣2）的图象有两个交点，观察图象可知，x＝﹣2时，最大值m＝，故答案为【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2＝AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，若＝＝1，求和的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B，C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F，若＝＝n，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）．【解答】（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴AB2＝AD•AC．（2）解：方法一：如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF．∴＝1，∴AB＝BC＝3BD＝2DC，BD＝DC，又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴ED＝GD＝EG．由（1）可得：AB2＝AD•AE，BD2＝DE•AD，∴＝4，∴AE＝2DE，∴＝5．∵CG∥BF，∴＝2．方法二：如图③，过点D作DG∥BF，∴＝1，∴BD＝DC＝BC．∵DG∥BF，∴＝，FC＝2FG．由（1）可得：AB2＝AC•AD，BD4＝DE•AD，∴＝7，∵DG∥BF，∴＝4，∴＝5．（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合）（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：过点D作DG∥BF，交AC边于点G．∵＝n，∴BD＝nDC，BC＝（n+1）DC．∵DG∥BF，∴＝n，∴FG＝nGC，FG＝．由（1）可得：AB6＝AE•AD，BD2＝DE•AD，∴＝（n+1）2；∵DG∥BF，∴＝（n+8）2，即＝（n+7）2，化简得：＝n2+n；（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．同理可求得：＝n7﹣n；（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．同理可求得：＝n﹣n2．即满足条件的的所有可能的值为n2+n或n4﹣n或n﹣n2．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，画出图形是解本题的关键．25．（14分）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），点P是抛物线上任意一点．（1）我们称F（0，）为抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点，直线l：y＝﹣为抛物线的准线，连接线段PF，作PH⊥l于点H．求证：PF＝PH；（2）已知抛物线y＝ax2过点M（﹣4，4）．①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；②将M（﹣4，4）绕焦点F顺时针旋转90°，得到点N，求△PNF周长的最小值；③直线l：y＝kx+m与抛物线交于A、B两点，点O是坐标原点，OA⊥OB．求证：直线AB过定点．【解答】解：（1）如图1，设点P（m2），则PF5＝m2+（am2﹣）2＝（am4+）5，则PH＝am2+，而PH＝am2+＝PH，（2）①将点M的坐标代入抛物线表达式得：4＝a（﹣4）4，解得a＝，故抛物线的表达式为y＝x2，则点F（5，1）；②如图2，将图形MFN向下平移7个单位，3），4），再将该图形向上平移2个单位，则此时点N的坐标为（3，即为题干要求点N的位置，5），由（1）知，PF＝PH，故当N、P，PF+NP＝NH为最小，此时△PNF周长最小值＝FN+PF+NP＝NH+FN＝（4+1）+＝10；③如图3，联立y＝kx+m与y＝x2并整理得：x2﹣2kx﹣4m＝0，则x A x B＝﹣6m，过点A、B分别作x轴的垂线、N，∵∠AOM+∠BON＝90°，∠BON+∠OBN＝90°，∴∠AOM＝∠OBN，∴tan∠AOM＝tan∠OBN，即，则，即，整理得：x A x B＝﹣16＝﹣4m，解得m＝4，故直线l的表达式为y＝kx+8，当x＝0时，y＝kx+4＝7，故直线l过定点（0，4）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、图形的平移和旋转、新定义等，有一定的综合性，难度较大．。
2020-2021福州市初三数学上期中模拟试卷带答案
2020-2021福州市初三数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =2．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．随时打开电视机，正在播新闻B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形4．函数y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（2，1） 5．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ） A ．（1，-5） B ．（3，-13） C ．（2，-8） D ．（4，-20）7．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，:BC 23=AB ， 5AC =，则AB =（ ）．A ．52B ．10C ．5D ．15 8．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．2020 9．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18D ．x 2+3x+16=0 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．4512．如果反比例函数2a y x -=（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（ ）A ．a<0B ．a>0C ．a<2D ．a>2 二、填空题13．关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a 的取值范围是___________14．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.15．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．16．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是____________17．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30,23A CD ︒∠==，则⊙O 的半径是_______．18．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．19．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B 的运动路径为¼BB'，则图中阴影部分的面积为_____．20．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．三、解答题21．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.22．某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w （元）与售价x （元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x （元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w （元）最大？最大利润是多少？23．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.24．已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=.（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式．25．如图，Rt △ABC 中，∠C=90o ，BE 是它的角平分线，D 在AB 边上，以DB 为直径的半圆O 经过点E ．（1）试说明：AC 是圆O 的切线；（2）若∠A=30o ，圆O 的半径为4，求图中阴影部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.2．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．3．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．故选D．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．4．B解析：B【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.5．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴y1＞y2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a =﹣1， 则2a ﹣b=0，③正确；∵抛物线的顶点在x 轴的上方，∴244ac b a-＞0，④错误； 故选B.6．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 7．B解析：B【解析】【分析】依题意可设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而可得答案.【详解】解：如图，设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理，得：222325+=x x ，解得5x =，∴10AB =.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的关键.8．B解析：B【解析】【分析】根据题意，把x a =代入方程，得22019a a +=，再由根与系数的关系，得到1a b +=-，即可得到答案．【详解】解：∵设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，∴把x a =代入方程，得：22019a a +=，由根与系数的关系，得：1a b +=-，∴222()201912018a a b a a a b ++=+++=-=；故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，正确求出代数式的值． 9．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b ＜0且b=-2a ．∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0．∴①abc ＞0错误；∵b=-2a ，∴3a+b=3a-2a=a ＞0，∴②3a+b ＞0正确；∵b=-2a ，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c ＞0，∴④4a+2b+c ＜0错误；∵直线y=kx+c 经过一、二、四象限，∴k ＜0．∵OA=OD ，∴点A 的坐标为（c ，0）．直线y=kx+c 当x=c 时，y ＞0，∴kc+c ＞0可得k ＞-1．∴③-1＜k ＜0正确；∵直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象有两个交点，∴ax 2+bx+c=kx+c ，得x 1=0，x 2=k b a- 由图象知x 2＞1， ∴k b a-＞1 ∴k ＞a+b ， ∴⑤a+b ＜k 正确，即正确命题的是②③⑤．故选B ．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a 3ab 8b 2a ++-=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2 =39．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a；熟练掌握韦达定理是解题关键． 12．D解析：D 【解析】【分析】反比例函数kyx=图象在一、三象限，可得>0k．【详解】解：Q反比例函数2ayx-=（a是常数）的图象在第一、三象限，20 a∴->，2a∴>．故选：D．【点睛】本题运用了反比例函数kyx=图象的性质，解题关键要知道k的决定性作用．二、填空题13．<a<-2【解析】【分析】【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0解得：a＞−设f （x）=ax2-3x-1如图∵实数根都在-1解析：94-<a<-2【解析】【分析】【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，解得：a＞−9 4设f（x）=ax2-3x-1，如图，∵实数根都在-1和0之间，∴-1＜−32a ＜0， ∴a ＜−32， 且有f （-1）＜0，f （0）＜0，即f （-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f （0）=-1＜0，解得：a ＜-2，∴−94＜a ＜-2， 故答案为−94＜a ＜-2． 14．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a=−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 15．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠Q OP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°16．x ＜-1或x ＞3【解析】【分析】根据二次函数的增减性求解即可【详解】由题意得二次函数的对称轴为故当时y 随x 的增大而增大当时y 随x 的增大而减小∵∴当函数值y ＞0时x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3故答案为解析：x ＜-1或x ＞3【解析】【分析】根据二次函数的增减性求解即可．【详解】由题意得，二次函数的对称轴为1x =故当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，∵()()1,0,3,0-∴当函数值y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3故答案为：x ＜-1或x ＞3．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的增减性是解题的关键．17．2【解析】【分析】连接BC 由圆周角定理和垂径定理得出由直角三角形的性质得出得出求出即可【详解】解：连接BC 如图所示：∵AB 是⊙O 的直径弦于H 在中即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理解析：2【解析】【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出190,32ACB CH DH CD ︒∠====，由直角三角形的性质得出223,323,2AC CH AC BC AB BC =====，得出2,4BC AB ==，求出2OA =即可．【详解】 解：连接BC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，19032ACB CH DH CD ∴∠︒＝，＝＝＝ 30A ∠︒Q ＝，223AC CH ∴＝＝，在Rt ABC ∆中，30A ∠︒＝，3232AC BC AB BC ∴＝＝，＝，24BC AB ∴＝，＝，2OA ∴＝，即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．18．2【解析】【分析】设ABBCAC 与⊙O 的切点分别为DFE ；易证得四边形OECF 是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB ）由此可求出r 的长【详解】解：如图；在Rt△ABC∠解析：2【解析】【分析】设AB 、BC 、AC 与⊙O 的切点分别为D 、F 、E ；易证得四边形OECF 是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB ），由此可求出r 的长．【详解】解：如图；在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；根据勾股定理AB=四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（5+12-13）=2．故答案为2．19．【解析】分析：连接DBDB′先利用勾股定理求出DB′=A′B′=再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C计算即可详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C此时点A′在斜边解析：3 2π【解析】分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=2212=5+，A′B′=2222=22+，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，连接DB、DB′，则2212=5+，2222=22+∴S阴=905253 1222222=36042（）ππ⨯-⨯÷-÷-.故答案为53 42π-．点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．15π【解析】【分析】【详解】解：由图可知圆锥的高是4cm母线长5cm根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm 所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的计算解析：15π．【解析】【分析】【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm ，母线长5cm ，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm ，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm ²．故答案为：15π．【点睛】本题考查圆锥的计算．三、解答题21．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.【解析】【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围．【详解】（1）由题意得：4030055150k b k b +=⎧⎨+=⎩ 10700k b =-⎧⇒⎨=⎩． 故y 与x 之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．22．（1）2w x x=-+-；（2）当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最555014000大利润为1120元．【解析】【分析】（1）根据所得利润=每件利润×销售量，可以列出w与x之间的函数关系式并化简为二次函数一般形式；（2）由市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个的销售任务可以确定x的取值范围，然后结合二次函数图像性质可以解答本题．【详解】解：（1）根据题意，得()()()()2=---=--=-+-40100550403505555014000w x x x x x x⎡⎤⎣⎦，因此，利润与售价之间的函数关系式为2=-+-w x x555014000（2）∵销售量不得少于80个，∴100-5（x-50）≥80，∴x≤54，∵x≥50，∴50≤x≤54，2w x x=-+-555014000()2=---x x511014000()222=--+--5110555514000x x2=--+5(55)1125x∵a=－5＜0，开口向下，对称轴为直线x=55，∴当50≤x≤54时，w随着x的增大而增大，∴当x=54时，w最大值=()2--+，554551125=1120因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．23．（1）1a =，2；（2）1a =-【解析】【分析】(1)根据关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根，得到()22[2(1)]420a a a ∆=----->，于是得到结论；(2)由根与系数的关系可得122(1)x x a +=-，2122x x a a =--，代入22121216x x x x +-=，解方程即可得到结论．【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根， ∴()22[2(1)]420a a a ∆=----->，解得：3a <，∵a 为正整数，∴1a =，2；(2)∵122(1)x x a +=-，2122x x a a =--，∵22121216x x x x +-=， ∴()2121216x x x x +-=，∴()22[2(1)]2163a a a -----=，解得：11a =-，26a =，∵3a <，∴1a =-．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a 的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．24．（1）证明见解析；（2）y=x 2+4x+3．【解析】【分析】（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；（2）令y=0，则 mx 2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx 2+（3m+1）x+3与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，求出m 的值.【详解】解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3．当m≠0时，原方程为一元二次方程．∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2≥0．∴此时方程有两个实数根．综上，不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根．（2）∵令y=0，则mx2+（3m+1）x+3=0解得x1=-3，x2=-1m．∵抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴m=1．∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．考点：二次函数综合题．25．（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为8833-π．【解析】【分析】（1）由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由BE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OE与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到OE⊥AC，即可得证；（2）由∠A的度数求出∠AOE度数，利用30°直角三角形的性质求出OA的长，利用勾股定理求出AE的长，阴影部分面积=直角三角形AOE面积-扇形OED面积，求出即可．【详解】解：（1）∵OB=OE，∴∠BEO=∠EBO，∵BE平分∠CBO，∴∠EBO=∠CBE，∴∠BEO=∠CBE，∴EO∥BC，∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90°，则AC是圆O的切线；（2）在Rt△AEO中，∠A=30°，OE=4，∴OA=2OE=8，∠AOE=60°，根据勾股定理得：2243,OA OE-=则S 阴影=S △AOE -S 扇形EOD =2160484.23603ππ⨯⨯⨯= 【点睛】此题考查了切线的判定，以及扇形面积的计算，涉及的知识有：等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．。
福建省福州鼓楼区2020-2021学年第一学期九年级上册期中考试数学试卷
2020－2021学年福州鼓楼区九年级第一学期期中考试数学试卷(范围：九上全册满分：150分完卷时间：120分钟)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2．已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在()A．⊙O内B．⊙O外C．⊙O上D．不确定3．一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的解是()A．x＝－1B．x＝2 C．x1＝－1，x2＝2 D．没有实数根4．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－3)2－4，则b的值为() A．0B．5 C．6D．－65．抛物线y＝2(x－2)2＋5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是()A ．x ＝2B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0 6．以x ＝3±9－4c2为根的一元二次方程可能是( )A ．x 2－3x －c ＝0B ．x 2＋3x －c ＝0C ．x 2－3x ＋c ＝0D ．x 2＋3x ＋c ＝07．如图，C 在⌒AB 上，点D 在半径OA 上，则下列结论正确的是( )A ．⊙DCB ＋12⊙O ＝180° B ．⊙ACB ＋12⊙O ＝180°C ．⊙ACB ＋⊙O ＝180°D ．⊙CAO ＋⊙CBO ＝180° 第7题8．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△AB 1C 1，连接BC 1，则BC 1的长为( )A ．3B ．2 3C ．2 2D ．49．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与直线y ＝x 交于(1，1)和(3，3)两点，以下结论：①b 2－4c ＞0；②3b ＋c ＋6＝0；③2b ＋c ＋4＞2；④当1＜x ＜3时，x 2＋(b －1)x ＋c ＜0，其中正确的序号是 ( )A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④ 10．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数,则把点M 叫做“整点”.例如：P (1,0)、Q (2,−2)都是“整点”.抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m －1(m ＞0)与x 轴交于A 、B 两点,若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域(包括边界)恰有6个整点,则m 的取值范围是( )A ．18≤m ≤14B ．19＜m ≤14C ．19≤m ＜12D ．19＜m ＜14(第8题图) (第9题图) (第14题图) (第16题图)二、填空题(每题4分，共24分)11.已知二次函数y＝x2－2的顶点坐标为_________；12.在－3，－2，1，2，3五个数字中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2＋4x－2中a的值，则该二次函数图像开口向上的概率是_________；13．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为__________________；14．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C, F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为__________；15．汽车刹车后行驶的距离s(米)与行驶的时间t(秒)函数关系式是s＝15t－6t2，汽车刹车后停下来前进了_________米；16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC上的一动点，(不与B，C重合)，连结AE,过点D作DF⊥AE,垂足为F，则线段BF长的最小值为__________.三、解答题(本大题共9小题，共86分)17.(8分)解方程：x2＋4x－4＝018.(8分)关于x的一元二次方程mx2＋(3m－2)x－6＝0，当m为何值时，方程总有两个不相等的实数根.19.(8分)下表给出了代数式－x2＋bx＋c与x的一些对应值：(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值；(2)设y＝－x2＋bx＋c，直接写出当0≤x≤2时，y的最大值.20．(8分)在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，仅用无刻度的直尺(不能使用圆规)分别按下列要求划圆(保留画图痕迹).(1)请在图中画出BA边上的高CD.(2)请在图中画出弦DE，使得DE∥BC.21．(8分)肖红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作，根据社区的安排,志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀).(1)肖红的爸爸被分到B组的概率是________(2)我校林老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求林老师和肖红爸爸被分到同一组的概率是多少？22．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCB＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，与BC交点于F平分BC，若AB＝10，∠B＝30°，求CD的长.23．(10分)我市高新区某企业接到批产产品的生产任务，按要求必须在14天内完成，已知每件产品的售价为60元，工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系:y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ，0≤x ≤4，5x ＋10，4＜x ≤14. (1)工人甲第几天生产的产品数量为60件?(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数关系图象如图，工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求第几天的利润最大，最大利润是多少?24.(12分)如图，在边长为8的等边△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是平面上一点，且线段DE ＝2,将线段EB .绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，连接AF .(1)如图1，当BE ＝2时，求线段AF 的长(2)如图2，求证:AF ＝CE25.(14分)在平面直角坐标系中点A(1，0)，已知抛物线y＝x2＋mx－2m(m是常数)，顶点为P.(1)当抛物线经过点A时，①求项点P的坐标.②设直线l：y＝3x+1与抛物线交于B，C两点，抛物线上的点M的横坐标为n(－1≤n≤3)，过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q，若MQ＝d，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围.(2)无论用取何值，该能物线都经过定点H，当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式.2020－2021学年鼓山格致第一学期期中考试九年级数学试卷参考答案1.D2.B3.C4.D5.B6.A7.B8.A9.C10.B11. (0,－2) 12.3513.x(x－12)＝864 14. 6 15.75816. 213－418.19.20.21. (1)13(2)设林老师用甲表示，肖红爸爸用乙表示，体温监测记录组用A 表示，便民代购组用B 表示，环境消毒组C 用表示，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中林老师和肖红爸爸被分到同一组的有种3结果，即所以林老师和肖红爸爸被分到同一组的概率为.22.(1)略(2)53223.24．解：(1)作AG⊥BC于G点，延长FE交AG于H点∵AB＝AC，∴∠BAG＝30º，……………………1分∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴∠BEF＝60º，∴∠BEF ＝∠B ，∴EF ∥BC ， …………………………2分∵AG ⊥BC ，∴AG ⊥FH ， …………………………3分在Rt △AEH 中,∵AE ＝6,∠EAH ＝30º，∴132EH AE ==,AH ==在Rt △AFH 中，AF ===.……………………4分方法二：(1)连接FB ,作FP ⊥AB 于P 点，∵EB 绕点E 顺时针旋转60º得到线段EF ，∴△EBF 是等边三角形，…………………………1分又∵FP ⊥AB ，∴∠EFP ＝30º，∴112EP EF == ，……………………………2分 ∴AP ＝7，在Rt △EFP 中, PF =………3分在Rt △APF 中, AF === …………………4分(2)①连接FB，∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴△EBF是等边三角形，∴FB＝EB, ∴∠FBE＝∠ABC＝60º…………………………………………………………6分∴∠FBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA即∠FBA＝∠EBC，…………………………………………………………………………7分又∵AB＝BC，∴△FBA≌△EBC，………………………………………………………………………8分∴AF＝CE，…………………………………………………………………………………9分25.。
2020-2021福州市九年级数学上期中第一次模拟试卷(附答案)
2020-2021福州市九年级数学上期中第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．4 2．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°3．﹣3的绝对值是（ ） A ．﹣3B ．3C ．-13D ．134．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( ) A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x +=5．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m 2，道路的宽为xm ，则可列方程为（ ）A ．32×20﹣2x 2＝570 B ．32×20﹣3x 2＝570 C ．（32﹣x ）（20﹣2x ）＝570 D ．（32﹣2x ）（20﹣x ）＝5706．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ） A ．2020B ．2019C ．2018D ．20177．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 8．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，则一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）＝1必有一根为（ ） A ．12019B ．2020C ．2019D ．20189．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A ．1hB ．0.75hC ．1.2h 或0.75hD ．1h 或0.75h10．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°11．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（ ）． A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球 B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球 C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球12．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若1211+x x ＝﹣1，则k 的值为_____． 14．圆锥的底面半径为14cm ，母线长为21cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____ 度．15．如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是_____．16．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________17．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是________cm．18．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则∠CBF的度数为_____．三、解答题21．某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有名，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．22．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况：下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据：抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610针尖不着地的频率mn0.630.600.630.600.620.610.61（1）填写表中的空格；（2）画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图；（3）根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖着地”的概率为．23．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．24．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若半径OB=2，求AD 的长．25．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30°．（1）求证：DP 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 【详解】解：根据题意可得： △=2(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．2．D解析：D 【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理3．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．D解析：D【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，故选D．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．6．B解析：B【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得． 【详解】解：∵α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根， ∴α+β＝1、α2﹣α＝2018， 则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3 ＝2018﹣2+3 ＝2019， 故选：B ． 【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．7．B解析：B 【解析】 【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决. 【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.8．B解析：B 【解析】 【分析】对于一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0，设t=x-1得到at 2+bt-1=0，利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）=1必有一根为x=2020． 【详解】对于一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0，所以at 2+bt-1=0，而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019， 所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2019， 则x-1=2019， 解得x=2020，所以一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）=1必有一根为x=2020． 故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．D解析：D 【解析】 【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案. 【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.10．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】作半径OC ⊥AB 于点D ，连结OA ，OB ， ∵将O 沿弦AB 折叠，圆弧较好经过圆心O ，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.11．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．【点睛】本题考查随机事件．12．B解析：B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0．故选项正确；C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选B ．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二、填空题13．【解析】【分析】利用根与系数的关系结合＝﹣1可得出关于k 的方程解之可得出k 的值由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式解之即可得出k 的取值范围进而可确定k 的值此题得解【详解】∵关于x 的一解析：【解析】 【分析】利用根与系数的关系结合1211+x x ＝﹣1可得出关于k 的方程，解之可得出k 的值，由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k 的值，此题得解． 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0的两根为x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝﹣（2k +3），x 1x 2＝k 2， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣223k k +＝﹣1，解得：k 1＝﹣1，k 2＝3．∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（2k +3）2﹣4k 2＞0，解得：k ＞﹣34， ∴k 1＝﹣1舍去． ∴k =3.故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.14．240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm 圆心角=弧长180母线长π计算【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm 扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×解析：240 【解析】 【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm，圆心角=弧长⨯180÷母线长÷π计算.【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm，扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．故答案为：240．【点睛】此题主要考查弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系，熟练掌握公式及关系是解题关键．15．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE ＝2CH ＝2×CDsin60°＝2×2×33， ∴点C 的坐标为（4038，3）， 故答案为：（4038，3 【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C 所在的位置是解题的关键．16．【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a0c=3即可设出解析式【详解】解：根据题意可知a0c=3故二次函数解析式可以是【点睛】本题考查了二次函数的性质属于简单题熟悉概念是解题关键 解析：223,y x =-+【解析】 【分析】根据二次函数图像和性质得a <0,c=3,即可设出解析式. 【详解】解：根据题意可知a <0,c=3,故二次函数解析式可以是2y 2x 3,=-+ 【点睛】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.17．【解析】【分析】先画图根据题意求出∠OAB=60°再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果【详解】解：∵∠CAD=60°∴∠CAB=120°∵AB 和AC 与⊙O 相切∴∠OAB=∠OAC=∠CAB= 3【解析】 【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵∠CAD=60°， ∴∠CAB=120°， ∵AB 和AC 与⊙O 相切，∴∠OAB=∠OAC=∠12CAB=60°，∴∠AOB=30°，∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴2233cmOB OA AB=-=所以直径为2OB=63cm故答案为：63．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．18．45【解析】【分析】【详解】试题分析：根据概率的意义用符合条件的数量除以总数即可即10-210=45考点：概率解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即.考点：概率19．2【解析】【分析】设ABBCAC与⊙O的切点分别为DFE；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB）由此可求出r的长【详解】解：如图；在Rt△ABC∠解析：2【解析】【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．【详解】解：如图；在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；根据勾股定理AB=四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（5+12-13）=2．故答案为2．20．18°【解析】【分析】设圆心为O连接OCODBD根据已知条件得到∠COD==72°根据圆周角定理即可得到结论【详解】设圆心为O连接OCODBD∵五边形ABCDE为正五边形∴∠COD==72°∴∠CB解析：18°【解析】【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，根据已知条件得到∠COD=3605︒=72°，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】设圆心为O，连接OC，OD，BD．∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠COD=3605︒=72°，∴∠CBD=12∠COD=36°．∵F是CD弧的中点，∴∠CBF=∠DBF=12∠CBD=18°．故答案为：18°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键．三、解答题21．（1）40；画图见解析；（2）108°，15%；（3）23． 【解析】 【分析】（1）用A 组人数除以A 组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B 组所占百分比得到B 组人数，从而补全频数分布直方图；（2）用360度乘以C 组所占百分比得到C 组对应的圆心角度数，用E 组人数除以总人数得到E 组人数占参赛选手的百分比；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），B 组有：40×25%=10（人）． 频数分布直方图补充如下：故答案为40；（2）C 组对应的圆心角度数是：360°×1240=108°，E 组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%； （3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为812=23．22．（1）见表格解析；（2）见解析；（3）0.39．【解析】【分析】（1）先由频率＝频数÷试验次数算出频率；（2）根据表格作出折线统计图即可；（3）根据表格观察抛掷的次数增多时，频率稳定到哪个数值，这就是概率．【详解】解：（1）抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610针尖不着地的频率0.630.600.620.630.620.600.620.610.610.61（3）通过大量试验，发现频率围绕0.39上下波动，于是可以估计概率是1﹣0.61＝0.39．【点睛】考核知识点：用频率表示概率.求出频率是关键.23．（1）证明见解析；（2）AC=4.【解析】【分析】（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE ∽△ABC，由相似比即可得；（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；【详解】（1）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC 中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴，即AC·AD=AB·AE（2）连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.24．（1）见解析；（2）23【解析】【分析】（1）由于BO=BD=BC，根据等边三角形的判定和性质，三角形外角性质可得∠ODC=90°，从而根据切线的判定方法即可得到结论．（2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2， AB=2BO=4，根据勾股定理可求出AD．【详解】解：（1）证明：如图，连接OD，∵BO=BD=DO，∴△OBD是等边三角形．∴∠OBD=∠ODB=60°．∵BD=BC，∴∠BDC=12∠OBD=30°．∴∠ODC=90°．∴OD⊥CD．∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°．∵BO=BD=2，∴AB=2BO=4．∴2223AD AB BD =-=．25．（1）证明见解析；（2）2933()22cm p -. 【解析】 【分析】（1）连接OD ，求出∠AOD ，求出∠DOB ，求出∠ODP ，根据切线判定推出即可． （2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：连接OD ，∵∠ACD=60°，∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°． ∴∠DOP=180°﹣120°=60°． ∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°． ∴OD ⊥DP ． ∵OD 为半径， ∴DP 是⊙O 切线．（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ， ∴OP=6cm ，由勾股定理得：3． ∴图中阴影部分的面积221603933333()236022ODP DOB S S S cm p p 创=-=创=V 扇形。
2021年福州市九年级数学上期中一模试题及答案
一、选择题1．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点,E 以点B 为中心，取旋转角等于,ABC ∠把BAE △顺时针旋转，得到BA E ''，连接DA '．若60,50ADC ADA '∠=︒∠=︒，则DA E ''∠的大小为（ ）A ．130︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒ 2．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．84．如图，将正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转35°，得到正方形AEFG ，DB 的延长线交EF 于点H ，则∠DHE 的大小为 （ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°5．如图,已知△ABC 与△CDA 关于点O 成中心对称,过点O 任作直线EF 分别交AD,BC 于点E,F,则下则结论:①点E 和点F,点B 和点D 是关于中心O 的对称点;②直线BD 必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等;⑤△AOE 与△COF 成中心对称.其中正确的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 6．若点A （3－m ，n+2）关于原点的对称点B 的坐标是（－3，2），则m ，n 的值为（ ）A ．m=－6，n=－4B ．m=O ，n=－4C ．m=6，n=4D ．m=6，n=－4 7．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(,)A ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>11．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1-B ．1C ．17-D ．17 12．当分式2369x x x --+的值为0时，则x 等于（ ） A ．3 B ．0 C ．3± D ．-313．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．A ．6B ．3532C ．532D ．535 14．关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．m≤14 B ．m≥14-且m≠2 C ．m≤14-且m≠﹣2 D ．m≥14- 二、填空题15．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．16．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．17．已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝﹣（x +1）2+3的图象上，则y 1_____y 2（填“＜”或“＞”或“＝”）．18．写出有一个根为1的一元二次方程是______．19．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b +的值为______． 20．若()22214x y +-=，则22x y +=________． 三、解答题21．在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90°至CE ，连结DE ，过C 作CF DE ⊥交AB 于F ，连结BE ．（1）求证：AD BE =．（2）试探索线段AD ，BF ，DF 之间满足的等量关系，并证明你的结论．（3）若15ACD =︒∠，31CD =，求BF ．（注：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）22．如图，己知点()2,4A ，()1,1B ，()3,2C ．（1）将MBC 绕点O 逆时针旋转90°得111A B C △，画出111A B C △，并写出点C 的对应点1C 的坐标为_____；（2）画出ABC 关于原点成中心对称的图形222A B C △，并写出点A 的对称点2A 的坐标为______．23．已知抛物线 ()21y x m x m =-+-+经过点()23， （1）求m 的值及抛物线的顶点坐标；（2）当x 取什么值时，y 随着x 的增大而减小？24．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y （万个）与销售价格x （元/个）的变化满足1810y x =-+；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）求出该公司销售这种计算器的净得利润z （万元）与销售价格x （元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（2）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x （元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？25．已知关于x 的方程()220x mx m -+=-． （1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根．26．解方程：2410y y --=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先根据平行四边形的性质可得60,//AD BC ABC ∠=︒，再根据平行线的性质可得130DA B '∠=︒，然后根据直角三角形的性质、旋转的性质可得30BA E BAE ''∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，60,//AD BC ABC ∴∠=︒，50ADA '∠=︒，180130DA B ADA ''∴∠=︒-∠=︒，AE BC ⊥，9030BAE ABC ∴∠=︒-∠=︒，由旋转的性质得：30BA E BAE ''∠=∠=︒，13030160DA E DA B BA E '''''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形与旋转的性质是解题关键．2．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．C解析：C【分析】由于将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，当点D 恰好落在BC 上时，易得：△ODP 是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP ≌△CDO ，由此可以求出AP 的长．【详解】解：当点D 恰好落在BC 上时，OP=OD ，∠A=∠C=60°，如图．∵∠POD=60°∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，∴∠AOP=∠CDO，∴△AOP≌△CDO，∴AP=CO=6．故选：C．【点睛】此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解．属探索性问题，难度较大，近年来，探索性问题倍受中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学习意义深远．4．C解析：C【分析】直接根据四边形AEHB的四个内角和为360°即可求解．【详解】解：∵将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到正方形AEFG，∴∠BAE=35°，∠E=90°，∠ABD=45°，∴∠ABH=135°，∴∠DHE=360°-∠E-∠BAE-∠ABH=360°-90°-35°-135°=100°．故选C．【点睛】此题考查了正方形的性质、旋转角、多边形的内角和定理，正确找出旋转角是解题关键．5．D解析：D【分析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断．【详解】△ABC与△CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，因此点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F；B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD 必经过点O ，正确；（3）四边形ABCD 是中心对称图形，正确；（4）四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等，正确；（5）△AOE 与△COF 成中心对称，正确；其中正确的个数为5个，故选D ．【点睛】熟练掌握平行四边形的性质和中心对称图形的性质是解决此题的关键．6．B解析：B【解析】试题分析：关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数，则3－m=3，n+2=－2，解得：m=0，n=－4.考点：原点对称7．B解析：B【分析】根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题；【详解】∵ ()()22356y x x x x =--=-+， ∴ △=24b ac -=25-24=1＞0∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键； 8．D解析：D【分析】先根据运动速度和AB 、BC 的长可得t 的取值范围，再根据运动速度可得,2AP tcm BQ tcm ==，然后利用直角三角形的面积公式可得S 与t 之间的函数关系式，最后根据二次函数的图象特点即可得．【详解】设运动时间为ts ，点P 到达点B 所需时间为31AB s =，点Q 到达点C 所需时间为32BC s =， ∴点P 、Q 同时停止运动，且t 的取值范围为03t ≤≤， 由题意，,2AP tcm BQ tcm ==，3AB cm =，()3BP AB AP t cm ∴=-=-，()21132322S BP BQ t t t t ∴=⋅=-⋅=-+， 则S 与t 之间的函数图象是抛物线在03t ≤≤的部分，且开口向下，观察四个选项可知，只有选项D 符合，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确求出S 与t 之间的函数关系式是解题关键． 9．C解析：C【分析】根据图像判断二次函数的系数a 、b 、c 的正负性，即可求得．【详解】∵二次函数图像开口向下∴a ＜0又∵二次函数图形与y 轴交点在y 正半轴上∴c ＞0∵对称轴在y 轴左侧 ∴02b a-< ∴b ＜0 ∴ac ＜0，bc ＜0∴点(,)A ac bc 在第三象限故选C【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题关键． 10．C解析：C【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-，∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上，∴231y y y >>．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．B解析：B【分析】根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．【详解】由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441m n -+=-=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，34=-+，1=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．12．D解析：D【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的值即可．【详解】 依题意得：230690x x x ⎧-⎨-+≠⎩＝，解得x ＝−3．故选：D【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．13．D解析：D【分析】 仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为52，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．【详解】解：如图2，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为255045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭， ∴5252⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．14．B解析：B【分析】关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可．【详解】关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，m-2≠0,m≠2,△=9-4×(-1)×(m-2)≥0, m 1-4≥, 关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，m 的取值范围是m 1-4≥且m≠2． 故选：B ．【点睛】本题考查关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根的问题，关键掌握方程的定义，二次项系数不为0，含x 的最高次项的次数为2，而且是整式的方程，注意判别式使用条件，前提是一元二次方程，还要求一般形式．二、填空题15．【分析】以喷水池中心A 为原点竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a 值则x ＝0时得的y 值 解析：94【分析】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管AB所在直线为y轴，与水管垂直的AD所在直线为x轴建立直角坐标系，由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，所以设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0），得：0=a（3-1）2+3，解得：a＝34 -．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝34-（x﹣1）2+3（0≤x≤3），令x＝0，则y＝94．即水管AB的长为94 m，故答案为：94．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．16．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，所以②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12， ∴点（-2，0）关于直线x =12的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17．＞【分析】根据抛物线y ＝﹣（x+1）2+3得到开口向下对称轴为直线x ＝﹣1然后根据二次函数的性质判断函数值的大小【详解】解：∵抛物线y ＝﹣（x+1）2+3的开口向下对称轴为直线x ＝﹣1∴当x ＞﹣1时解析：＞【分析】根据抛物线y ＝﹣（x +1）2+3得到开口向下，对称轴为直线x ＝﹣1，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．【详解】解：∵抛物线y ＝﹣（x +1）2+3的开口向下，对称轴为直线x ＝﹣1，∴当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，∵1＜2，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质是解题的关键．18．（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个只要含有因式x1的一元二次方程都有一个根是1【详解】可以用因式分解法写出原始方程然后化为一般形式即可如化为一般形式为：故答案为：【点睛】本题考解析：20x x-=（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x-1的一元二次方程都有一个根是1．【详解】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如()10x x-=，化为一般形式为：20x x-=故答案为：20x x-=．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．19．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a，b是方程210x x--=的两根，∴a+b=1，ab=-1，∴11a b+=a b ab +=1 1-=-1，故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.20．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键解析：3【分析】根据题意将()22214x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值．【详解】解：两边开方得2212x y +-=±， 223x y ∴+=或221x y +=-，220x y +≥，223x y ∴+=．故答案为：3．【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）222AD BF DF +=，证明见解析；（3）BF =【分析】（1）将CD 绕C 点逆时针旋转90°至CE ，可得△DCE 是等腰直角三角形，再判定△ACD ≌△BCE （SAS ），即可得出AD ＝BE ；（2）连接FE ，根据CF 是DE 的垂直平分线，可得DF ＝EF ，再根据Rt △BEF 中，BE2＋BF2＝EF2，即可得出AD2＋BF2＝DF2；（3）根据∠BDE ＝15°＝∠DEF ，可得∠BFE ＝30°，设BE ＝x，则BF =，2EF x DF ==，利用在Rt BDE △中，()2222x x +=，即可解得1x =，故可求出BF ．【详解】（1）将CD 绕C 点逆时针旋转90°至CE ，可得DCE 是等腰直角三角形， 90DCE ACB ∴∠=∠=︒，DC EC =，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD BCE ∴△≌△，AD BE ∴=．（2）222AD BF DF +=．CF DE ⊥，DCE 是等腰直角三角形，连接FE ，如图所示，CF ∴是DE 的垂直平分线，DF EF ∴=，又ACD BCE ≌，45ABC ∠=︒，45CBF A ABC ∴∠=∠=︒=∠，90EBF ∴∠=︒，∴在Rt BEF △中，222BE BF EF +=，222AD BF DF ∴+=．（3）31CD =，DCE 是等腰直角三角形，62DE ∴= 15ACD ∠=︒，45A CDE ∠=∠=︒，15BDE DEF ∴∠=︒=∠，30BFE ∴∠=︒，设BE x =，则3BF x =，2EF x DF ==，∴在Rt BDE △中，()2222362x x x ++=，解得1x =， 3BF ∴=【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理进行计算求解．22．（1）如图见解析， 1C （-2，3）；（2）如图见解析， 2A （-2，-4）．【分析】（1）依据△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，即可得到111A B C △；（2）依据中心对称的性质，即可画出△ABC 关于原点成中心对称的图形222A B C △．【详解】（1）如图，111A B C △即为所求，点1C 的坐标为（-2，3）；（2）如图，222A B C △即为所求，点2A 的坐标为（-2，-4）．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换作图，解决本题的关键是掌握旋转的性质．旋转作图有自己独特的特点，旋转角度、旋转方向、旋转中心不同，位置就不同，但得到的图形全等． 23．（1）m=3，（1，4）；（2）当x ＞1时，y 随x 的增大而减小.【分析】（1）将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于m 的方程，解方程求出m 的值，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.（2）利用函数解析式可知a=-1＜0，结合对称轴可得到y 随x 的增大而减小时自变量x 的取值范围.【详解】（1）解：由题意得-4+2（m-1）+m=3解之：m=3，∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3∴y= -（x-1）2+4∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）解：∵a=-1＜0，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小.【点睛】本题考查了二次函数的性质以及求二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（1）211020010z x x =-+-，当销售价格50元/个时，最大利润为50万元；（2）4060x ≤≤，40．【分析】 （1）总净利润=单件利润×销售量-40，首先求出单件利润（x-20），然后乘以销售量y ，将解析式化为顶点式即可求解；（2）令（1）中解析式的值为40，然后作出函数图像示意图，根据示意图即可求解x 的取值范围，然后结合销售量和销售价的关系即可判断x 的值．【详解】（1）根据题意得：()2040z x y =--＝()12084010x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ ＝211020010x x -+- 将其化为顶点式：211020010x x -+- ＝()2110020010x x --- ＝()2150250020010x ⎡⎤----⎣⎦ ＝()21505010x --+ ∴销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元． （2）当公司要求净得利润为40万元时，即()21x 50504010--+= 解得：x 1＝40，x 2＝60如图，通过观察函数y ＝()21505010x --+的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60 而y 与x 的函数关系式为：1810y x =-+，y 随x 的增大而减少， 因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，在本类题型中，将二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．25．（1）见解析；（2）m 的值为2，另一个根为0【分析】（1）先计算判别式的值得到△=（m-2）2+4，然后根据判别式的意义得到结论；（2）设方程的另一个为t ，利用根与系数的关系得到2+t=m ，2t=m-2，然后解方程组即可．【详解】（1）证明：∵1a =，b m =-，2c m =-∴()()()222244124824-=--⨯⨯-=-+=-+b ac m m m m m ∵()220m -≥，∴()2240m -+>． ∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）根据题意：()22220-+-=m m ，∴2m = 则220x x -=，∴10x =，22x =． ∴m 的值为2，另一个根为0．【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a，也考查了判别式的意义．26．12y =，22y =【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案．【详解】解：2410y y --= 24=1y y -24+4=5y y -2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y =【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键．。
2020-2021福州市励志中学初三数学上期中一模试卷带答案
2020-2021福州市励志中学初三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．4.75B ．4.8C ．5D ．42．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）3．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．2017 5．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1106．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 7．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 8．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）A ．15cmB ．12cmC ．10cmD ．20cm 9．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >且k ≠1B ．12k >C ．12k ≥且k ≠1D ．12k <10．如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（2，0）11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 12．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A．5B．4C．3D．2二、填空题13．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．14．已知：如图，CD是O的直径，AE切O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠=________度．20∠=，则DBEA15．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.16．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是_________.17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．18．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为____________________．19．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）三、解答题21．某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有名，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．22．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，且AE平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠EAB＝30°，OD＝3，求图中阴影部分的面积．24．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩25．已知关于x的方程x2+4x+3-a=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【详解】如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ=CD 有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选B ．【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．2．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 3．C解析：C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A 、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B 、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C 、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D 、不是中心对称的图形，不合题意．故选C ．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．4．B解析：B【解析】【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3＝2018﹣2+3＝2019，故选：B．【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．5．A解析：A【解析】【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310．故选：A．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．6．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D7．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x-1=0，x 2-4x=1，x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．8．A解析：A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长，设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r ．【详解】过O 作OE AB ⊥于E ，90120OA OB cm AOB ︒∠＝＝，＝，30A B ︒∴∠∠＝＝，1452OE OA cm ∴＝＝，∴弧CD 的长1204530180ππ⨯==， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则230r ππ＝，解得15r ＝．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．A解析：A【解析】【分析】由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根， ∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->，解得：12k >， ∵10k -≠，则1k ≠， ∴k 的取值范围是12k >且k≠1； 故选：A ．【点睛】本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围．10．B解析：B【解析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．解：如图，连接AD 、BE ，作线段AD 、BE 的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O ′.其坐标是(0,1).故选B..11．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．C解析：C【解析】【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12b x a =-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++，∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12bx a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-, 根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.二、填空题13．【解析】【分析】随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间求出抬头看信号灯时是绿灯的概率为多少即可【详解】抬头看信号灯时是绿灯的概率解析：5 12【解析】【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【详解】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为255 3025512=++．故答案为：5 12．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．14．55【解析】【分析】连接BC由CD是⊙O的直径知道∠CBD=90°由AE是⊙O的切线知道∠DBE=∠1∠2=∠D又∠1+∠D=90°即∠1+∠2=90°；而∠A+∠2=∠1由此即可求出∠1即求出∠D解析：55【解析】【分析】连接BC，由CD是⊙O的直径知道∠CBD=90°，由AE是⊙O的切线知道∠DBE=∠1，∠2=∠D，又∠1+∠D=90°，即∠1+∠2=90°；而∠A+∠2=∠1，由此即可求出∠1，即求出∠DBE．【详解】如图，连接BC，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD=90°，∵AE是⊙O的切线，∴∠DBE=∠1，∠2=∠D；又∵∠1+∠D=90°，即∠1+∠2=90°①，∠A+∠2=∠1②，-②得∠1=55°即∠DBE=55°．故答案为：∠DBE=55°．【点睛】本题考查的是弦切角的性质及圆周角定理，三角形内角与外角的关系，是一道较简单的题目．15．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，解得x1=4,x2=8，即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·.16．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键解析：1 4【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，共4个球，∴任意摸出1个球，摸到白球的概率是1 4 .【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式的知识点. 17．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3解析：33【解析】连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=36062︒⨯=30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6×32=33，故答案为：33.18．（60532）【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律从而得解【详解】第一次P1（52）第二次P2（81）第三次P3（101）第四次P4（131）第五次P5（172）…发现点P的位置4次一个循环解析：（6053，2）．【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.【详解】第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，1），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，∴P2017（6053，2），故答案为（6053，2）．考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．19．45【解析】【分析】【详解】试题分析：根据概率的意义用符合条件的数量除以总数即可即10-210=45考点：概率 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即.考点：概率20．③④【解析】【分析】【详解】由抛物线的开口向下可得a ＜0；由与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上可得c ＞0；因对称轴为x==1得2a=-b 可得ab 异号即b ＞0即可得abc ＜0所以①错误；观察图象根据抛物线解析：③④ 【解析】 【分析】 【详解】由抛物线的开口向下，可得a ＜0；由与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，可得c ＞0；因对称轴为x=2ba-=1，得2a=-b ，可得a 、b 异号，即b ＞0，即可得abc ＜0，所以①错误； 观察图象，根据抛物线与x 轴的交点可得，当x=-1时，y ＜0，所以a-b+c ＜0，即b ＞a+c ，所以②错误；观察图象，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x=2ba-=1可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c ＞0，所以③正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2-4ac ＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④. 【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与系数的关系：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异） ③常数项c 决定抛物线与y 轴交点， 抛物线与y 轴交于（0，c ）．④抛物线与x 轴交点个数：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．三、解答题21．（1）40；画图见解析；（2）108°，15%；（3）23． 【解析】 【分析】（1）用A 组人数除以A 组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B 组所占百分比得到B 组人数，从而补全频数分布直方图；（2）用360度乘以C 组所占百分比得到C 组对应的圆心角度数，用E 组人数除以总人数得到E 组人数占参赛选手的百分比；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），B 组有：40×25%=10（人）． 频数分布直方图补充如下：故答案为40；（2）C 组对应的圆心角度数是：360°×1240=108°，E 组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%； （3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为812=23． 22．（1）证明见解析；（2）AC=4. 【解析】 【分析】（1）连接DE ，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A 是公共角，从而可得△ADE ∽△ABC ，由相似比即可得；（2）连接OB ，由BD 是切线，得OD ⊥BD ，有E 为OB 中点，则可得OE=BE=OD ，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；【详解】（1）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC 中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴，即AC·AD=AB·AE（2）连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.23．（1）证明见解析；（2）9332π-.【解析】试题分析：()1连接OE．证明OE AC，从而得出∠OEB＝∠C＝90°，从而得证. ()2阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积.试题解析：()1连接OE．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAD，∵OA＝OE，∴∠EAD＝∠OEA，∴∠OEA＝∠CAE，OE AC∴，∴∠OEB＝∠C＝90°，∴OE⊥BC，且点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠EAB＝30°，∴∠EOD＝60°，∵∠OEB ＝90°， ∴∠B ＝30°，∴OB ＝2OE ＝2OD ＝6，∴BE ==2OEBS= 扇形OED 的面积3π.2=阴影部分的面积为：3π.22- 24．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x ＜3 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集． 【详解】解：（1）∵（x+2）（x ﹣4）=0， ∴x+2=0或x ﹣4=0， 解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x ﹣3（x ﹣２）＜1，得：x ＞52， 解不等式12x -＜1，得：x ＜3， ∴不等式组的解集为52＜x ＜3． 【点睛】考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．25．（1）a ＞-1;(2) x 1=-3,x 2=-1. 【解析】试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，可得△>0，代入后解不等式即可得a 的取值范围；（2）把a 代入后解方程即可. 试题解析：（1）∵方程有两个不相等的实数根 ∴16-4（3-a ）＞0, ∴a ＞-1 .（2）由题意得：a =0 , 方程为x 2+4x +3=0 , 解得12-3,-1x x == .点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．。
2020-2021学年福建省九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列方程中，是一元二次方程的是()A. x2−2x+y=0B. x(x+2)=0C. x3−√2+3=0D. (x+5)x=x22.下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 圆3.抛物线y=x2−3x+2与y轴交点的坐标是()A. (0,2)B. (1,0)C. (0,−3)D. (0,0)4.把抛物线y=−2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为()A. y=−2(x+1)2+2B. y=−2(x+1)2C. y=−2(x−1)2+2D. y=−2(x−1)2−25.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′//AB，则旋转角的度数为()A. 35°B. 40°C. 50°D. 65°6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴为直线x=1，且(x1,y1)，(x2,y2)为其图象上的两点，()A. 若x1>x2>1，则(y1−y2)+2a(x1−x2)<0B. 若1>x1>x2，则(y1−y2)+2a(x1−x2)<0C. 若x1>x2>1，则(y1−y2)+a(x1−x2)>0D. 若1>x1>x2，则(y1−y2)+a(x1−x2)>07.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是()A. (−√3,3)B. (−3,√3)C. (−√3,2+√3)D. (−1,2+√3)8.方程x2−9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为()A. 12B. 15C. 12或15D. 不能确定9.如图，已知AB为⊙O的直径，∠ABD=20°，则∠BCD等于()A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②b+2a=0；③x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根；④a+c>b；⑤3a+c=0.其中正确的结论有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.方程x2=−x的解是．12.关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为−2，则另一个根是_________．13.如果抛物线y=x2+6x+c的顶点在x轴上，则c的值为________．14.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请______支球队参加比赛．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______ cm．(x−3)2−16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=141的顶点为A，直线l过点P(0,m)且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C.若AB=AC，∠BAC=90°，则m=______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.解方程：2x2−4x−5=0(用配方法)18.四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)△ABF可以由△ADE绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到；(3)若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．19.已知关于x的方程x2−2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1、x2．(1)求k的取值范围；(2)若x1+x2=3x1x2−6，求k的值．20.已知点A(−1,1)在二次函数y=x2+mx+2n的图象上．(1)用含n的代数式表示m；(2)如果二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．21.已知，如图，AB是⊙O的直径，∠BCD=45°.求证：AD=BD．22.(阅读理解题)阅读材料，解答问题：为解方程(x2−1)2−5(x2−1)+4=0，我们可以将x2−1看作一个整体，然后设x2−1=y，那么原方程可化为y2−5y+4=0①，解得y1=1，y2=4.当y1=1时，x2−1=1.所以x2=2.所以x=±√2；当y=4时，x2−1=4.所以x2=5.所以x=±√5，故原方程的解为x1=√2，x2=−√2，x3=√5，x4=√5；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．=x2−2x−3，若设x2−2x=a，那么原方程可化为______(结(1)已知方程1x2−2x果化成一元二次方程一般式)(2)请利用以上方法解方程：(x2+2x)2−5(x2+2x)+6=0．23.某商场以每件40元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元)之间的函数关系为t=180−3x．(1)试写出每天销售这种服装的毛利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数表达式(毛利润=销售价−进货价)；(2)每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？24.如图，等腰△ABC中，AB=BC，将△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．(1)求证：△BCF≌△BA1D(2)当∠C=a度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．25.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=−1，且经过点(−4,5)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线y有无最小值，若有，求出最小值．若无，请说明理由；(3)当−2<x<3时，求y的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、该方程中含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误．B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．C、该方程未知数的指数是3，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误．D、由原方程得到：5x=0，该方程中含有未知数的项的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误．故选：B．本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．也考查了轴对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的定义对各选项进行判断．【解答】解：等边三角形为轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形为中心对称图形，不一定是轴对称图形；正五边形为轴对称图形，不是中心对称图形；圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：D．3.【答案】A【解析】求抛物线与y轴的交点坐标，可以令x=0，求y的值即可．主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点．【解答】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0，即x=0，∴此时x=0，y=2，∴抛物线y=x2−3x+2与y轴交点的坐标是(0,2)．故选：A．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减.根据图象右移减，上移加，可得答案．【解答】解：把抛物线y=−2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=−2(x−1)2+2．故选C．5.【答案】C【解析】解：∵CC′//AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°−2∠ACC′=180°−2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选：C．根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的6.【答案】C【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴为直线x=1，且(x1,y1)，(x2,y2)为其图象上的两点，∴若x1>x2>1，则y1>y2，故(y1−y2)+2a(x1−x2)>0，故选项A错误，选项C正确，若1>x1>x2，则y1<y2，故y1−y2<0，x1−x2>0，无法判断(y1−y2)+2a(x1−x2)是否大于0，也无法判断(y1−y2)+a(x1−x2)是否大于0，故选项B、D错误，故选：C．根据二次函数的性质和题目中的条件，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7.【答案】A【解析】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′=2，∠B′A′H=60°，∴A′H=A′B′cos60°=1，B′H=A′B′sin60°=√3，∴OH=2+1=3，∴B′(−√3,3)，故选：A．如图，过点B′作B′H⊥y轴于H.解直角三角形求出′H，B′H即可．本题考查坐标与图形变化−旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8.【答案】B【解析】解：方程变形得：(x−3)(x−6)=0，解得：当x=3或x=6，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3=15，故选B9.【答案】B【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABD=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−20°=70°，故选：B．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，继而求得∠ACD 的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定以及二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，与x轴的交点进行判断即可．【解答】解：抛物线开口向上，a>0，与y轴交于负半轴，c<0，对称轴在y轴右侧，b<0，∴abc>0，①正确；=1，∴b+2a=0，②正确；−b2a抛物线与x轴交于(3,0)，∴x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，③正确；x=−1时，y=0，∴a−b+c=0，即a+c=b，④错误；∵a−b+c=0，b=−2a，∴3a+c=0，⑤正确，11.【答案】x1=0，x2=−1【解析】【分析】此题考查解一元二次方程，因式分解法是解题关键．根据因式分解法，可得答案．【解答】解：方程整理，得x2+x=0，因式分解得x(x+1)=0，于是，得x=0或x+1=0，解得x1=0，x2=−1．故答案为x1=0，x2=−1．12.【答案】−3【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，根据若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得：−2+t=−5，然后解一次方程即可．【解答】解：设方程的另一根为t，根据题意得−2+t=−5，所以t=−3．故答案为−3．13.【答案】9【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点在x轴上其纵坐标为0是解题的关键．把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．【解答】解：∵y=x2+6x+c=(x+3)2+c−9，∴其顶点坐标为(−3,c−9)，∵顶点在x轴上，∴c−9=0，解得c=9，故答案为9．14.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．设邀请x支球队参加比赛，那么第一支球队和其他球队打(x−1)场球，第二支球队和其他球队打(x−2)场，以此类推可以知道共打(1+2+3+⋯+x−1)场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设邀请x支球队参加比赛，=15，依题意得x(x−1)2∴x2−x−30=0，∴x=6或x=−5(不合题意，舍去)．即应邀请6支球队参加比赛．故答案为6．15.【答案】4√2【解析】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=4cm，∴CE=DE=12∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=√2CE=4√2cm，故答案为：4√2连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE= DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．16.【答案】3【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数和方程的关系，等腰直角三角形的性质，根据根与系数的关系列出关于m的方程是解题的关键．作AD⊥BC(x−3)2−1=m，于D，易证得BC=2AD=2(m+1)，设B(x1,m)，C(x2,m)，解方程14根据根与系数的关系得出x1+x2=6，x1⋅x2=5−4m，即可得出(x1−x2)2+4x1x2= 36，即(2+2m)2+4(5−4m)=36，解关于m的方程求得即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴AD =CD =BD ，∴BC =2AD ，∵抛物线y =14(x −3)2−1的顶点为A ，∴A(3,−1)，∵点P(0,m)，∴AD =1+m ，∴BC =2+2m ，设B(x 1,m)，C(x 2,m)，x 1>x 2，∴x 1−x 2=2+2m ，14(x −3)2−1=m 整理得：x 2−6x +5−4m =0，∴x 1+x 2=6，x 1⋅x 2=5−4m ，∴(x 1−x 2)2+4x 1x 2=36，∴(2+2m)2+4(5−4m)=36，解得m =3和m =−1(舍去)，故答案为3．17.【答案】解：2x 2−4x =5，x 2−2x =52， x 2−2x +1=52+1，即(x −1)2=72， ∴x −1=±√142， x =1±√142， ∴x 1=2+√142，x 2=2−√142．【解析】根据配方法的步骤先移项，再两边都除以2，再配方，最后开方即可得出答案． 本题主要考查配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．． 18.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°在△ADE和△ABF中{AD=AB∠ADE=∠ABFDE=BF ∴△ADE≌△ABF(SAS)(2)A，90 ；(3)∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=8，又∵DE=3，∴在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=√73，∵△ADE≌△ABF，∴AE=AF=√73，∠EAF=90°，∴△AEF的面积=12AE2=732．【解析】【分析】本题考查了旋转的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．(1)根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABF=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；(2)由图形直接可得；(3)先利用勾股定理可计算出AE=√73，再根据△ADE≌△ABF得到AE=AF，∠EAF= 90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．【解答】解：(1)见答案；(2)△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转90度得到．故答案为：A，90；(3)见答案．19.【答案】解：(1)∵方程x2−2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴△≥0，即4(k+1)2−4×1×k2≥0，解得k≥−12，∴k的取值范围为k≥−12；(2)∵方程x2−2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2，∵x1+x2=3x1x2−6，∴2(k+1)=3k2−6，即3k2−2k−8=0，∴k1=2，k2=−4，3∵k≥−1，2∴k=2．【解析】(1)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac的意义得到△≥0，即4(k+1)2−4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范围；(2)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到x1+x2=2(k+ 1)，x1x2=k2，则2(k+1)=3k2−6，即3k2−2k−8=0，利用因式分解法解得k1=2，k2=−4，然后由(1)中的k的取值范围即可得到k的值．3本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系．20.【答案】解：(1)∵点A(−1,1)在二次函数y=x2+mx+2n的图象上，∴1−m+2n=1，∴m=2n；(2)∵该二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴△=m2−8n=0．∵由(1)知，m=2n，∴4n2−8n=0，即4n(n−2)=0，解得n=0或n=2，∴m=0或m=4，当n=0，m=0时，二次函数解析式为y=x2，顶点坐标为(0,0)；当n=2，m=4时，二次函数解析式为y=x2+4x+4=(x+2)2，顶点坐标为(−2,0)；综上所述，如果二次函数的图象与x轴只有一个交点，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(−2,0)．【解析】(1)把点A的坐标代入函数解析式，列出含有m、n的等式，通过变形得到含m 的代数式表示n．(2)抛物线与x轴只有一个交点，则△=0，由此求得m、n的值；得出二次函数的解析式，然后分别求出二次函数图象的顶点坐标即可．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数的解析式．求出n和m的值是解决问题(2)的关键．21.【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠BCD=45°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴AD⏜=BD⏜，∴AD=BD．【解析】本题考查的是圆周角定理，掌握半圆(或直径)所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理得到∠ACB=90°，得到∠ACD=∠BCD，从而得出AD⏜=BD⏜，即可证明结论．22.【答案】解：(1)a2−3a−1=0(2)设x2+2x=y，原方程化为y2−5y+6=0，整理，得(y−3)(y−2)=0，解得y=3或y=2，当y=3时，即x2+2x=3，解得x=1或x=−3；当y=2时，即x2+2x=2，解得x=−1±√3．综上所述，原方程的解为x1=1，x2=−3，x3=−1+√3，x4=−1−√3．【解析】解：(1)根据题意，得1=a−3，a∴1=a2−3a，即a2−3a−1=0；(2)见答案【分析】(1)将原方程中的x2−2x换为a，然后转化成关于a的一元二次方程的一般形式即可；(2)设x2+2x=y，然后解关于y的方程；再根据y值解关于x的方程．本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题．如(1)题就是把一元四次方程转化为一元二次方程．23.【答案】【解答】解：(1)由题意可得：y=(x−40)(180−3x)=−3x2+300x−7200；(2)y=−3x2+300x−7200=−3(x2−100x)−7200=−3(x−50)2+300，即每件销售价为50元，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是300元．【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．(1)根据销量×每件的利润=总利润，进而得出函数关系式；(2)利用配方法求出二次函数最值即可．24.【答案】解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BA1D与△BCF中，{∠A1=∠CA1B=BC∠A1BD=∠CBF，∴△BA1D≌△BCF(ASA)；(2)四边形A1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=a，∴∠DEC=180°−a，∵∠C=a，∴∠A1=a，∴∠A1BC=360°−∠A1−∠C−∠A1EC=180°−a，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠A1EC，∴四边形A1BCE是平行四边形，∴A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形．【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．(1)根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；(2)由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°−a，根据四边形的内角和得到∠A1BC=360°−∠A1−∠C−∠A1EC=180°−a，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．25.【答案】解：(1)∵由抛物线的对称轴为x=−1，∴x=−b=−1，得b=22×1∵抛物线y=x2+2x+c经过点(−4,5)∴5=(−4)2+2×(−4)+c解得c=−3∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；(2)∵a=1>0∴抛物线y=x2+2x−3有最小值，最小值为y=(−1)2+2×(−1)−3=−4；(3)∵y=x2+2x−3，当y=0时，x2+2x−3=0，(x−1)(x+3)=0，x1=1，x2=−3，∵对称轴为x=−1，最小值为y=−4，∴−2<x<3时，−4≤y<12．【解析】(1)由对称轴为x=−b，且函数过(−4,5)，则可推出b，c，进而得函数解析式．2a(2)利用二次函数的性质求出y最小值即可．(3)求出函数与x轴的交点和函数的最小值，即可求得y的取值范围．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
福建省福州一中2020-2021学年第一学期九年级上册期中考试数学试题
第1页（共9页）2020-2021年福州一中初三上期中考试卷一．选择题（共11小题）1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）A ．1：16B ．1：4C ．1：6D ．1：23．把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A ．y ＝x 2+2B ．y ＝（x ﹣1）2+1C ．y ＝（x ﹣2）2+2D ．y ＝（x ﹣1）2+34．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）A ．图形的平移B ．图形的旋转C ．图形的轴对称D ．图形的相似5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF6．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝107．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）第2页（共9页）第3页（共9页）A ．乙错，丙对B ．甲和乙都错C ．乙对，丙错D ．甲错，丙对8．在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR9．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD 的长为（ ）A ．12尺B ．56尺5寸C ．57尺5寸D ．62尺5寸10．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0，c ＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x=12．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜−12．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共4小题）11．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根是x＝1，则另一个根是．12．在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点称为一次变换．已知点A的坐标为（﹣1，0），把点A经过连续2013次这样的变换得到的点A2013的坐标是．13．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB ＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为第4页（共9页）15．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为．16.点A、B、C都在半径为6的圆O上，且∠AOC=120°，点M是弦AB的中点，则CM的长度的最大值为。