数列高考常见题型分类汇总

数列通项与求和

一、数列的通项

方法总结：

对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则：

① 对于同时出现知，〃，s”的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式；

② 利用S”_i 关系消掉S”（或者““），得到关于知和□的等式，然后用传统的求通项方法求出通项；

③ 根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；

④ 对于出现"，或（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法：遇到时还会两边同除心?"”+].

1. 规律性形式求通项

?数列｛an ｝浦足3n+1=<

A 4

B -7 c

7 D -7 「2?分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦?B ?曼徳尔布罗特（Beno 让B ?Mandelbrot ）在20世纪70 年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（

「3?如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形"，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为丄522）,毎个数是它下一行左右相邻两数的和，如+冷O-# 第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

A. 55

B. 89 C ? 144 D ? 233

14^ ，…，则第10行第4个数(从左往右数)为(

1)11 WKS M BHBB ■■■■ HHaM 4 12 12 4

「4?正项数列仙｝的前项和仙｝满足:s ；一⑺上+料_ 1)片一⑺2 +叭=o

⑴求数列?｝的通项公式a.;

⑵令化=厂

"禅"数列｛bn ｝的前"项和为7； ?证明:对于任意的neN\都有7；r

< —. G + 2)S 64

25 i 2

1?5?设数列｛色｝的前n 项和为S n ?已知q=l ，二21 = 4屮一；一 "一￡川e N"?

(1) 求冬的值；

(2) 求数列｛?｝的通项公式.

A 1 B. 1 C. 1 D.

1260 840 504 360

丄丄丄 T 20 30

2?出现a n , n , S n 的式子

1 I 3 6 3

16已知首项都是1的两个数列仏｝, ｛仇｝(仇工°，W”)满足a n b n^-a n^b n+2b n^b n =0.

⑴令^=—>求数列｛-｝的通项公式；

(2)若?=3心,求数列仏｝的前〃项和S“.

牛刀小试：

1. 已知数列｛%｝的前n 项和为Sn, 5=1,且2n5n+1 -2(n + l)S n =n(w + l)(n e N*),数列｛化｝满足也一叽+S=°(nwNf %=5,其前9项和为63?

(1)求数列数列｛陽｝和｛化｝的通项公式:

2. 已知数列｛a n｝的前n项和为S”，且q =丄

(1)求｛匕｝的通项公式;

(2)设2=〃(2—SJ MV N；若集=｛n\b n>Ajie^｝恰有4个元素，求实数兄的取值

范風

3?需构造的(证明题)

1 -7.已知数列｛?｝的前”项和为S”，且满足心+ 2S” ?=0(n>2),?1 =|.

(1)求证: 是等差数列;

(2)求你表达式;

设数列｛亦｝的前n项和为Sm且首项aiH3, a n+i=S n+3n

(1)求证:｛Sn?3"｝是等比数列:

(2)若｛%｝为递增数列?求ai的取值范1期?

牛刀小试

1. C知数列｛心｝中，⑷==，%】=e N0 .

3 心+1

(2)求数列?上4的前n项和为(1)证明：数列

1 2

2?数列｛?｝中，⑷=仁?+i=l—一, b n =- ------------

% 2a n -1

（1）求证:数列｛化｝是等差数列；

二、数列求和与放缩

数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数（分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。放缩，怎么去放缩是重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。

数列｛% ｝满足4 = 2,6+1 = —寸一(n WN、

”訥2

(1) 求数列血｝的通项公式.

⑵设G 二爲九「数列匕｝的前n项和为九不等式扣一存＞S“对一切“AT成立,

求m的范I札

22设数列｛色｝满足? =0且一! ---------- =1.

1_心十1 1 一心

（1）求w的通项公式:

，记S”=￡Q,证明:S”vl.

设S

n 2-3一Jl?2十J2?3十…十小（力十1）.求证‘心小v（J1）

2 ' 2

2.4求证d + g扭+ ?（】+召

1. （2014-湖北七市楼拟）数列｛&｝是公比为g的等比数列，且1一?是6与l+a?的等比

中顶，前”顶和为SJ数列仮｝是等差数列，勿=8,其前n项和7；满足匚=也治?为常数，且沪1）.

⑴求数列仏｝的通项公式及2的值；

（2）岀畤+詐+,,+尹扛的大小.

牛刀小试:

1 ?已知等差数列｛4j的公差为2,前门项和为S” KSv S“ S4成等比数列.

（1）求数列｛&｝的通项公式：

⑵令bn=（-1）n,求数列｛b n｝的前门项和几?