函数项级数一致收敛性的判别法
一致收敛的判别方法
一致收敛的判别方法在数学中，一致收敛是一种函数序列的收敛方式，它比点态收敛更强。
一致收敛的判别方法是判断函数序列是否一致收敛的方法。
我们需要了解一致收敛的定义。
如果对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x∈D，都有|fn(x)-f(x)|<ε成立，那么函数序列{fn(x)}在D上一致收敛于f(x)。
接下来，我们介绍一致收敛的判别方法。
1. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是一种常用的判别方法。
它的基本思想是将函数序列中的每个函数表示为一个收敛的无穷级数，然后通过比较级数的收敛性来判断函数序列的一致收敛性。
具体来说，如果对于所有的x∈D，都有|fn(x)-an(x)|<bn(x)成立，其中{an(x)}是收敛于f(x)的函数序列，{bn(x)}是一个非负的收敛于0的函数序列，那么函数序列{fn(x)}在D上一致收敛于f(x)。
2. Cauchy判别法Cauchy判别法是另一种常用的判别方法。
它的基本思想是通过比较函数序列中的两个函数之间的差值来判断函数序列的一致收敛性。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当m,n>N时，对于所有的x∈D，都有|fn(x)-fm(x)|<ε成立，那么函数序列{fn(x)}在D上一致收敛。
3. Dini定理Dini定理是一种特殊的判别方法，它适用于函数序列在紧致集上的情况。
具体来说，如果函数序列{fn(x)}在紧致集K上逐点收敛于f(x)，且f(x)在K上连续，那么函数序列{fn(x)}在K上一致收敛于f(x)。
一致收敛的判别方法有很多种，我们需要根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，我们可以结合多种方法来判断函数序列的一致收敛性，以保证结果的准确性。
函数项级数一致收敛判别(Word)
1.函数项级数定义定义 设(){}nu x 是定义在数集E 上的一个函数列表达式:()()()12......n u x u x u x ++++ x E ∈ (1)称为定义在E 上的函数项级数,简称为函数级数.记作为1()nn ux ∞=∑或()n u x ∑.1()()nn k k S x u x ==∑称为函数项级数(1)的部分和函数列.若0x E ∈函数项级数: ()()()10200......n u x u x u x ++++ (2) 收敛,即部分和001()()nn k k S x u x ==∑,当n →∞时,极限存在,则称级数(1)在点0x 收敛,0x 称为收敛点.级数(1)在D 上的每一点x 与其所对应的数项级数(2)的和()S x 构成一个定义在D 上的函数称为级数（1）的和函数，即lim ()()n n S x S x →∞=.2.函数项级数一致收敛的几种判别法判别法1 (函数项级数一致收敛的定义)设函数级数()1n n u x ∞=∑在区间D 收敛于和函数()S x ，若0,,,N N n N x D ε+∀>∃∈∀>∀∈有:()()()n n S x S x R x ε-=< 则称函数级数()1n n u x ∞=∑在区间D 上一致收敛或一致收于和函数()Sx .例1 证明函数项级数nn x∞=∑在区间 []1,1δδ-+-(其中01δ<<)一致收敛.证明 ∀()0,1x ∈有01()1knnn k x S x x x =-==-∑.1()lim ()1n n S x S x x→∞==-. 11()()()1111nn nn n x x x S x S x R x x x x x-∴-==-==----. 对∀[]1,1x δδ∈-+-,对∀ε>要使不等式(1)()()()1nnn n xS x S x R x xδεδ--==≤<-成立.从而要不等式(1)nδεδ-<解得ln ln(1)n εδδ>-.取ln ln(1)N εδδ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.于是∀0ε>,存在ln ln(1)N N εδδ+⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦,∀n N >∀[]1,1x δδ∈-+-有:()()()n n S x S x R x ε-=<成立.所以函数项级数nn x∞=∑在区间[]1,1δδ-+-(其中01δ<<)一致收敛.非一致收敛的定义设函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间I 非一致收敛于和函数()S x ，若∀0oε>，∀N N +∈,0,o n N x I ∃>∃∈有：000()()n S x S x ε-≥成立.则称函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间I 上非一致收敛或非一致收敛于()S x .例2 证明函数项级数nn x∞=∑在区间 ()1,1-非一致收敛.证明 01ε∃=，∀N N +∈，()00111,1x n ∃=-∈-有： 000000001(1)1()()()(1)11n n n n n S x S x R x n n n --===-≥ 00000111lim(1)(1)1n n n n N n n e n +→∞⎛⎫-=∃∈-≥ ⎪⎝⎭所以，使.即函数项级数0nn x∞=∑在()1,1-非一致收敛.函数项级数一致收敛的几何意义函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛于()S x 的几何意义是,不论给定的以曲线()()S x S x εε+-与为边界的带形区域怎样窄,总存在正整数N (通用的N ),n N ∀>,任意一个部分和()n S x 的图像都位于这个带形区间内(如图1).若函数项级数在某个区间不存在通用的N ,就是非一致收敛.判别法2 (确界判别法)函数项级数()1n n u x ∞=∑在数集D 上一致收敛于()S x 的充要条件：limsup ()limsup ()()0n n n n x Dx DR x S x S x →∞→∞∈∈=-=.证明 (⇒) 已知函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间D 一致收敛于()S x .即0,,,N N n N x D ε+∀>∃∈∀>∀∈有: ()()n S x S x ε-<.从而()()sup n x DS x S x ε∈-≤,即limsup ()()0n n x DS x S x →∞∈-=. (⇐)已知limsup ()()0n n x DS x S x →∞∈-=,即0,,,N N n N x Dε+∀>∃∈∀>∀∈有()()sup n x DS x S x ε∈-<.从而x D ∀∈有()()n S x S x ε-<.即函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间D 上一致收敛于()S x .例3 证明 函数项级数()()111n x n x n ∞=+++∑在()0,+∞内一致收敛.证明 ()()()111nn k S x x k x k ==+++∑1111n k x kx k =⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭∑11111111...122311x x x x x n x n x n x n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111x x n =-+++; ()0,x ∈+∞. ()()111lim lim111n n n S x S x x x n x →∞→∞==-=++++. 1lim sup ()()lim sup01n n n x Dx DS x S x x n →∞→∞∈∈∴-==++.所以函数级数()()111n x n x n ∞=+++∑在()0,+∞内一致收敛. 判别法3 (柯西一致收敛准则)函数级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛0,,,,N N n N p N x I ε++⇔∀>∃∈∀>∀∈∀∈有：()()()12...n n n p u x u x u x ε++++++<.证明 必要性()⇒已知函数级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛.设其和函数是()S x ，即0,,,,N N n N p N x I ε++∀>∃∈∀>∀∈∀∈有()()n S x S x ε-<也有()()n p S x S x ε+-<.于是()()()()12()n n n p n p n u x u x u x S x S x +++++++=-()()()()n p n S x S x S x S x +=-+-()()()()2n p n S x S x S x S x εεε+≤-+-<+=.充分性()⇐：已知0,,,,N N n N p N x I ε++∀>∃∈∀>∀∈∀∈，有:()()()()12()n n n p n p n u x u x u x S x S x ε+++++++=-<所以当P →+∞时上述不等式有:()()()n n S x S x R x ε-=≤即函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛.例4 讨论函数项级数111n n n x x n n +∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑在区间[]1,1-的一致收敛性. 解 应用柯西一致收敛准则[]1,1x ∀∈-即1,0x ε≤∀>，要使不等式()()12231223n n n n n p n x x x x S x S x n n n n +++++⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭11n p n p x x n p n p ++-⎛⎫++- ⎪++-⎝⎭11111212n n p n n p x x x x n n n n ++++++=-≤+++++ 112111n n p n ε≤+<<++++ 成立，从不等式21n ε<+解得21n ε>-取21N ε⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦于是0,ε∀>21,N ε⎡⎤∃=-⎢⎥⎣⎦[],,1,1n N p N x +∀>∀∈∀∈-，有()()n p n S x S x ε+-<，即函数级数111n n n x x nn +∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑在区间[]1,1-一致收敛.在这个例子中我们用确界判别法来也可以判断它的收敛性方法2 122311()()()()...()12231k k n n nn k x x x x x x x S x x kk n n ++=⎛⎫=-=-+-++- ⎪++⎝⎭∑ 11n x x n +=-+.lim ()()n n S x S x x →∞==故[][]11,11,11lim sup ()()lim suplim 011n n n n n x x x S x S x n n +→∞→∞→∞∈-∈--===++. 所以函数级数111n n n x x nn +∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑在区间[]1,1-一致收敛. 判别法4 (M 判别法)有函数项级数()1n n u x ∞=∑，I 是区间，若存在收敛的正项级数1,,nn an N ∞+=∀∈∑x I ∀∈，有()n n u x a ≤，则函数级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛.证明 正项级数1nn a∞=∑收敛根据柯西一致收敛准则，即0,,,N N n N ε+∀>∃∈∀>p N +∀∈，有 12n n n p a a a ε+++++<由已知条件，x I ∀∈，有()()()12n n n p u x u x u x ++++++ ()()()12n n n p u x u x u x +++≤+++12n n n p a a a ε+++≤+++<即函数级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛.例5 判断函数项级数1(1)!nn x n ∞=-∑在[],x r r ∈-上是否一致收敛.解∀[],x r r ∈-,有(1)!(1)!n nx r n n ≤--. 令(1)!n n r a n =-,则11(1)!lim lim lim 0!n n n n n n na r n ra n r n ++→∞→∞→∞-===. 所以(1)!n r n -∑是收敛.由M 判别法函数项级数1(1)!nn x n ∞=-∑在[],x r r ∈-上一致收敛.例6 证明4211n xn x ∞++∑在R 一致收敛. 证：x R ∀∈，有()224221210n x n x n x-+=-≥所以24221n x n x ≤+，即242211n x n x ≤+.故242422212111122n x n x n x n n =⋅≤++已知优级级数2112n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，根据M 判别法.函数级数4211n xn x ∞++∑在R 中一致收敛. 注 M 判别法是判别函数项级数一致收敛的很简使得判别法.但是这个方法有很大的局限性,凡能用M 判别法函数项级数必是一致收敛,此函数项级数必然是绝对收敛;如果函数项级数是一致收敛,而非绝对收敛,即条件收敛,那么就不能使用M 判别法.判别法5 (狄利克雷判别法)若级数()()1nnn a x b x ∞=∑满足如下条件：(1)函数列(){}n a x 对每个x I ∈是单调的且在区间I 一致收敛于0. (2)函数级数()1n n b x ∞=∑的部分和函数列(){}n B x 在区间I 一致有界，则函数级数()()1nnn a x b x ∞=∑在I 一致收敛.证明 已知函数列(){}n a x 一致收敛于0即0,N N ε+∀>∃∈，n N ∀>，x I ∀∈有1n a ε+<.又已知函数级数()1n n b x ∞=∑的部分和函数列(){}n B x 在区间I 一致有界。
一致收敛性及其判别法(22页)
单调递减且当 y ? ?? 时，对参量 x ,g (x, y) 一致
???
地收敛于 0 ， 则 f(x,y)g(x,y)dy c
在 [a,b ] 上一致收敛.
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阿贝尔判别法 设
? ⑴
??
f(x,y)dy 在 [ a,b ] 上一致收敛.
c
⑵ 对每一个固定的 x ∈[a, b]，函数 g (x, y) 为 y
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定理19.12 设 f(x,y)在
[a,?? )? [c,?? )上连续.若
??? f(x,y)dx 关于 y在任何闭区间
[c,d ]上一致收敛，
a
??? f(x,y)dy 关于 x在任何闭区间 [a ,b]上一致收敛， c
? ? ? ? ??
??
积分 dx | f(x,y)|dy
a
c
与
?? dy ?? | f(x,y)|d x
c
a
中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且
? ? ? ? ??
??
??
??
dx f(x,y)dy ? dy f(x,y)dx
a
c
c
a
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例5 计算
? I ?
?? 0
e? px
sinbx ? sinax x
dx
(p ? 0,b ? a)
例6 计算
? I ?
?? sinax dx 0x
例7 计算
? ? (r)? ?? e? x2 cosrxdx 0
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
? ? ? 0,?N (?,x)? c, 使得 ? M ? N ,
?| M c
f(x,y)dy ? I(x)|? ?
函数项级数一致收敛的判别
专业名称：数学与应用数学年级班别： 2009级1班姓名：张庆明指导教师：左红亮2013年04月函数项级数一致收敛的判别摘要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。
本文则在数项级数的基础上, 分析函数项级数的收敛性定义及其判定, 函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。
而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准则, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。
本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致敛的定义, 重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。
关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。
Discrimination of uniform convergence of function seriesAbstract:The uniform convergence of function series is the concept of series of functions are the most basic and most important problem. In this paper, on the basis of a number of series,the definitions of convergence of function series and its decision, uniform convergence analysis of properties and functions related to the function of series. Therefore, this paper proposes a definition of uniform convergence of function series, Cauchy uniform convergence criteria the Weierstrass discrimination method (M identification method), Dirichlet discrimination law, Abel discriminant law, the remainder discriminant method, integration criterion method and article on the function series convergence discriminant method to promote mainly summarized Diagnostic Method derivative test, continuity discrimination law, forcing several discriminant method of convergence discrimination law and M inference of discrimination law, and apply function series consistent definition of convergence, it is important discrimination method and the necessary and sufficient conditions are given some proof of the conclusion of the paper.Keywords: Function Series; uniform convergence; discrimination law.前言一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。
函数项级数一致收敛性判别法归纳
函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一定义引言设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作()()x f x f n→→()∞→n ，Dx ∈设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式()()(),21 ++++x u x u x u n Ex ∈)1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞=1或()x u n ∑；称()()x u x S nk k n ∑==1,E x ∈, ,2,1=n )2(为函数项级数)1(的部分和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞==1)()(n n x u x S ，即D x x S x S n n ∈=∞→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．定义1]1[设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义．定义2]1[设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是定义在同一数集D 上，若对于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．定义3设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞==1)()(n n x u x S ，部分和函数列∑==nk n n x u x S 1)()(，若0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，则函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．例1试证∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 上一致收敛，但在)1,1(-内不一致收敛．证明显然∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1．对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有ε<-=--+=∑xxx xx n nk k 1111成立,只要当N n >时,恒有ε<-+rr n 11成立,只要当N n >时,恒有()rr n lg 1lg 1ε->+成立,只要当N n >时，恒有()rr n lg 1lg ε->成立，只要取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依定义，∑∞=1n nx 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1．存在e o 2=ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,121-∈++=N N x o ，使ε2111111111>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k oN N x x x x xo o成立，依定义，∑∞=1n n x 在)1,1(-内不一致收敛．二函数项级数一致收敛性的判定方法定理1Cauchy 一致收敛准则]1[函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21或()ε<∑++=pn n k kx u 1特别地，当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D上一致收敛于0．定理2]2[函数项级数()x u n n ∑∞=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∑=∞→D x x S x u n k n n ．定理3放大法]3[(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,和函数)(x S ,都是定义在同一数集D 上,对于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得对于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且0lim =∞→n n a ,则称函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S .证明因0lim =∞→n n a ,故对任给的0>ε,+∈∃N N (与x 无关),使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()ε<≤-=n n n a x S x S x R .由定义2得函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于)(x S .注:用放大法判定函数项级数()∑x u n 一致收敛性时,需要知道)(x S .定理4确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是()()()0sup lim sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n 证明充分性设(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,)(x S 为和函数,则有()()()x S x s x R n n -=，并令()x R a n Dx n ∈=sup ，而()0sup lim =∈∞→x R n Dx n ，即0lim 0=→n n a ,由定理3(放大法)得知函数项级数()∑x u n 一致收敛于函数)(x S .必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．定理5若()∑x u n 在区间D 上收敛,则()∑x u n 在D 上一致收敛的充要条件是{}D x n ⊂∀,有()0lim =∞→x R n n .证明充分性假设()∑x u n 在D 上不一致收敛,则0>∃o ε,{}D x n ⊂∃,使得()()o n x S x S ε≥-,如此得到{}D x n ⊂,但()0lim ≠∞→n n n x R ,这与已知条件矛盾.必要性因已知()∑x u n 在D 上一致收敛,所以N ∃>∀,0ε,使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()ε<-x S x S n ,对于{}D x n ⊂∀,则有()()ε<-n n n x S x S ,即()ε<n n x R ,得()0lim =∞→n n n x R .例2设()0≥x u n ， 2,1=n ，在[]b a ,上连续，又()x u n ∑在[]b a ,收敛于连续函数()x f ，则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛于()x f ．证明已知()()()x S x f x R n n -=（其中()()∑==nk k n x u x S 1）是单调递减且趋于0，所以[]b a x N n ,,∈∀∈∀有()0≥x R n ，且[]ε∀∈∀,,0b a x >0,()εε,),(00,0x x N n N ≥>∃时,有()ε<≤00x R n .将n 固定,令()ε,00x N N n ==,因为()()()x S x f x R n n -=在[]b a ,上连续,既然()ε<x R n ,所以00>∃δ,当()0000,δδ+-∈x x x 时,()ε<0x R n .从而0N n >时更有()ε<x R n 即()ε<x R n ,仅当()0000,δδ+-∈x x x .如上所述,对每个点[]b a x ,∈λ,可找到相应的领域()λλλλδδ+-x x ,及相应的λN ,使得λN n >时,对∈x ()λλλλδδ+-x x ,恒有()ε<x R n .如此{()λλλλδδ+-x x ,:[]b a x ,∈λ}构成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{()()r r r r x x x x δδδδ+-+-,,,1111 },于是[]b a x ,∈∀,总{}r i ,2,1∈使得i i i i x x x δδ+-∈,(),取{}r N N N N ,,max 21=,那么N n >时,恒有()ε<x R n ,由定理5得()x u n∑在[]b a ,一致收敛于()x f .定理6M 判别法或优先级判别法或Weierstrass 判别法]1[设函数项级数()x u n ∑定义在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,若对一切D x ∈,有2,1,)(=≤n M x u n x )3(则函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明由假设正项级数()x u n ∑收敛,根据函数项级数的Cauchy 准则,∀0>ε,∃某正整数N ,使得当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1根据函数项级数一致收敛的Cauchy 准则,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:若能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,则()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3函数项级数∑∑22cos ,sin nnxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin n n nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n是收敛的.推论2设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得对于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,则()n n a k ∑∞=+10ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛,故当n a =pn 1时,有推论2'设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,若存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,则函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例4证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明对于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim2=+++∞→n x n x n n 由的推论2与推论2'得,∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理7比较判别法[]4两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,若N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()x u n∑区间I 绝对一致收敛.证明已知()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准则知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理8[]4若有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,则函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数).又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c ∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc 从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,若级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n =+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数()∑∞=1n n x u 在区间I 绝对一致收敛.推论4[]4有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,则函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,由比较判法定理7知,函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例5若函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,则函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,则级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,由定理8知,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b nnnnnnn∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论5设函数项级数()∑x u n 定义在数集]2[上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，若对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.定理9逼近法[]5若对任意的自然数n 和D x ∈,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤成立,又()x v n ∑和()x w n ∑都在数集D 上一致收敛于)(x S ,则()x u n ∑也在D 上一致收敛于)(x S .证明设()()x v x V nk k n ∑==1，()()x u x U nk k n ∑==1，()()x w x W nk k n ∑==1因为D x N n ∈∀∈∀+,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤,所以D x N n ∈∀∈∀+,有()()()x W x U x V n n n ≤≤.又()x v n ∑,()x w n ∑在区间D 上一致收敛于)(x S ,即+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()εε+<<-x S x V x S n 及()()()εε+<<-x S x W x S n ；所以+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()()()εε+<≤≤<-x S x W x U x V x S n n n .由函数项级数一致收敛定义知,()x u n n∑∞=1在D 上也一致收敛于)(x S .定理10由有性质判别若()x u n ∑和()x v n ∑在点集D 上一致收敛，则[]∑±)()(x v x u n n 在D 上也一致收敛证明由()x u n ∑和()x v n ∑均在点集D 上一致收敛知，对N ∃>∀,0ε（自然数），使得当N n ≥时，对∀自然数p 和x 有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21()()ε<++++++x v x v x v p n n n 21)(所以()()()()()())()()(2211x v x u x v x u x v x u p n p n n n n n ++++++++++++ ()()()+++≤+++x u x u x u p n n n 21()()x v x v x v p n n n ++++++ 21)(εεε2=+<由函数项级数一致收敛的Cauchy 收敛准则知，[]∑±)()(x v x u n n 在D 上也一致收敛定理11Dini 定理设()()()() ,2,10,0=≤≥n x u x u n n 在[]b a D ,=上连续，又()x u n ∑在[]b a ,上收敛于连续函数，则函数项级数()x u n ∑在[]b a ,一致收敛．使用步骤：⑴判定()0≥x u n 且连续；⑵求和函数)(x S ；⑶判定求和函数)(x S 在[]b a ,上连续．Abel 引理定理12Abel 判别法[]1证明推论6设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，则()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.证明因为()x g 在D 上有界,所以,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n ∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u p n nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式表明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g pn nk k p n nk k .由Cauchy 准则知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理13Dirichlet 判别法[]1设(i )()x u n ∑的部分和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调;(ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,则级数和()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.证明充分性由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n ,时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,得到()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；所以()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++ 于是由一致收敛的Cauchy 准则级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,这里不再赘述.例6若数列{}n a 单调且收敛于0,则级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x x n kx nk 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,所以级数∑nx cos 的部分和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()nnnax v nx x u ==,cos ,则由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理14积分判别法[]4设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数,()x u n∑是定义在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,如果()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,若含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,则()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当N n >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn ndy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,所以()x u n ∑在数集D 上一致收敛.例7设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0连续.证明首先对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,我们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yx e y e y y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,并且无穷级数dy ey y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,所以含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的,由定理14知,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得,()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 连续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也连续,所以()x S 在0x 连续,由0x 在()+∞,0的任意性可知,()x S 在()+∞,0上连续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者连续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性定义及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如连续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,我们可利用积分的便利条件判断某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15函数列(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,则级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.则()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,则()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.定理16[]6设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且满足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,则函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明对0>∀ε,因为b a ,为有限数,所以存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,我们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时,对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j jxx u ()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u ()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj jpn j jxx u u ()ε12+≤M 因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使得当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理17设()x u nn ∑为定义在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每个()x u n 在上一致可微,()x u nn∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn∑.定理18设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上连续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n∑∞=1在点0x处收敛;()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,则函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛,()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.根据拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k kkx u x u 11≤()∑+=+=p n k n k ku 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.引理2若函数项级数()x u n ∑在[]b a ,上收敛，()()N n b x u n n bx ∈=-→lim 则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛的必要条件是()x b n n ∑∞=1收敛.证明由函数项级数的柯西收敛准则有，[]b a x N p N n N N ,,,,,0∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε，有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21.()4又()n n bx b x u N n =∈∀-→+lim ,,在(4)的两端取极限,令-→b x 得ε≤+++++p n n n b b b 21,于是由Cauchy 收敛准则知()x b n n ∑∞=1收敛.（①若()n n x b x u b =+∞=+∞→lim ,,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的必要条件是()x b n ∑收敛.②若(){}x u n 在[)b a ,连续,则()x u n ∑在[)b a ,一致收敛()b u n ∑⇒收敛.)定理19利用内闭一致收敛判别[]7若函数项级数()x u n ∑在[)b a ,内闭一致收敛,则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛⇔{}[)b x b a x n n n =⊂∀+∞→lim ,,,级数()n n x u ∑收敛.证明必要性,充分性用反正法,这里不再赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能得到函数级数在区间一致收敛的.例8证明∑∞=1sin n n nx在()π2,0内闭一致收敛,且在端点收敛,但在()π2,0不一致收敛.证明∑<<∀nx sin ,0,πεε的部分和函数列(){}x S n 在[]επε-2,一致有界,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1在[]επε-2,一致收敛于0,于是由Dirichlet 判别法知,∑n nx sin 在[]επε-2,一致收敛,从而在()π2,0内闭一致收敛.当0=x 或π2时,级数显然收敛.取()+∈∈=N n n x n ,2,02ππ,则0lim =∞→n n x 但()∑∑∑∞=∞==⋅=1112sin n n n n n nn n x u π发散,故由定理19知,∑∞=1sin n n nx在()π2,0不一致收敛.推论7若()x u n ∑在[)+∞,a 内闭一致收敛,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的充要条件是{}[)+∞=+∞⊂∀∞→n n n x a x lim ,,,()x u n∑皆收敛.证明与定理19类似,略.定理20[]7设函数级数()x u n ∑在[)b a ,收敛,且满足引理2中必要条件,则()x u n ∑在[)b a ,一致收敛⇔[){}[)00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∀∈∀∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明必要性用反证法.假设[]{}[]00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∃∈∃∞→,而()n n n x u ∑∞=1发散.若a x =0或b x =0,则由定理20知不可;若()b a x ,0∈,则存在{}n x 的子列{}kn x 或00lim ,x x x x k k n k n =≥∞→或00lim ,x x x x k k n k n =≤∞→,于是由定理19知()x u n ∑在()b x ,0或()0,x a 在不一致收敛,从而在[)b a ,不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性用反证法.设()x u n n ∑∞=1在[)b a ,不一致收敛,则由定理18的证明可得,{}[)b a x n ,⊂且[]b a x x n n ,lim 0∈=∞→而()n n n x u ∑∞=1发散,矛盾.推论8设()x u n n ∑∞=1在[)+∞,a 收敛,且满足引理的必要条件,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛⇔[)+∞∈∀,0a x 或{}[)00lim ,,,x x a x x n n n =+∞⊂∀+∞=∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明与定理20的类似,略.推论12[]4设∑)(x u n 使定义在数集D 上的正项函数项级数，)(x u n ，),2,1( =n 在D上有界，若D x n ∈∞→,时，1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，设{})(inf x q q =，则当1>q 时，∑)(x un在D 上一致收敛．证明由1>q ，D x n ∈∞→,时,1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，取10-<<∀q ε，11,N n N ≥∃时，对一切D x ∈，有ε<--+)(1)()(1x q x u x u nn n ，所以1)(1)()(1>->->-+εεq x q x u x u n n n ，取22,,1N n N q s ≥∃-<<ε，有sn n q 111+≥-+ε，取{}21,max N N N o =，当O N n >时，对一切D x ∈,有sssn n nn n n q x u x u )1(111)()(1+=+>-+>+ε，因此)()1()(1x u n x u n n sn s ++≥，所以sS O N S On sn M N x u N x u n O ≤≤)()(，由1>s 时，∑s S O n MN 收敛，由优级数判别法可知∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论13函数列{})(x u n 定义于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，若+∈∃N N 对一切的D x N n ∈∀>,，有1)()(1<≤+q x u x u n n ，则函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．证明不妨设对于+∈∀N n ,有q x u x u n n ≤+)()(1，即q x u x u n n )()(1≤+，则1=n ，q x u x u )()(12≤，假设当1-=k n ，111)()()(--≤≤k k k q x u q x u x u 成立，则当k n =，k k k q x u q x u x u )()()(11≤≤+也成立，故由数学归纳法得11)()(-≤n n q x u x u ，且)(1x u 在D 有界，即0>∃M ，对D x ∈，有M x u ≤)(1所以1)(-≤n n Mq x u ，又已知几何级数∑∞=1n n q 收敛，故级数∑∞=-11n n Mq收敛，由优级数判别法知∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．推论14函数列{})(x u n 定义于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，若D x ∈∀，有1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ，则函数项级数在D 上一致收敛．证明因为1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ．即1-=∃q o ε)1(<<q l ,+∈∃N N ,对一切D x N n ∈∀>,，有1)()(1-≤-+q l x u x u n n ，即q x u x u n n ≤+)()(1，由推论10得函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛．例11判断函数项级数∑∞=1!n nn x n n 在[)+∞,1上一致收敛性．证明因为11)(1≤=xx u ，且11111lim !)1()!1(lim )()(lim 111<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=∞→++∞→+∞→e xe x n n n x n x n n x u x u nn n n n n n nn n ，由推论13可知函数项级数∑∞=1!n nn xn n 在[)+∞,1上一致收敛．定理23[]8（根式判别法）设∑)(x u n 为定义在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，若存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑n q 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论15[]8（根式判别法的极限形式）设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列，若n n x u )(一致收敛于)(x q ，且1)(<≤q x q {}1)(sup (<∈x q Dx ，即1)()(lim <≤=∞→q x q x u n n n ，对D x ∈∀成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由n n x u )(一致收敛于)(x q )(∞→n ，取q -<<10ε，O N ∃,当o N n >时，对一切D x ∈有ε<-)()(x q x u n n ，所以εε+<+<q x q x u n n )()(，所以n n q x u )()(ε+<，又因为1<+εq ，由优级数判别法知∑)(x u n 在D x ∈上一致收敛．推论51'设()∑x u n 为定义在数集D 上的正项函数项级数，记()n n n x u q =，若()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明由假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，则存在正整数N ,使得当N n >时，有()1<≤q x q n ，则对任意的N n >，D x ∈∀有()n n q x u ≤，而几何级数∑n q 收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知()∑x u n 在D 上一致收敛，即得证．例12函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛，（其中r 是实常数且1>r ），因为()x nx u q nnn n ==，设()()+∞⋃-∞-=,,r r D ，()11lim sup lim <==∞→∈∞→r r n x q nn n Dx n ，由推论51'得函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛．推论16[]8有函数项级数()∑x u n ，若对D x ∈∀，有()1lim <=∞→l x u n n n ，则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明因()1lim <=∞→l x u n n n ，则1-=∃q o ε，1<<q l ，+∈∃N N ，D x ∈∀，有()l q l x u nn -<-，即()1<<q x u n n ，从而()n n q x u <依定理8得函数项级数()∑x u n 在D上一致收敛．例13判别函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上的一致收敛性．证明因()1012lim lim 12<=+=∞→+∞→n xn nnn x n ，依推论15函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+12在R 上一致收敛．定理24[]8（对数判别法）设()x u n 为定义在D 上的正的函数列，若()()x p nx u n n =-∞→ln ln lim 存在，那么①若D x ∈∀，()1>>p x p 对，则函数项级数()∑x u n 一致收敛；②若对D x ∈∀，()1<<p x p ，则函数项级数()∑x u n 不一致收敛．证明由定理条件知，对任意0>ε，N ∃，使得对一切N n >，有()()()εε+<-<-x p nx u x p n ln ln ，即()()()εε-+<<x p n x p n x u n 11，则当()1>>p x p 对D x ∈∀成立时，有()pn n x u 1<，而p 级数∑p n 1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数()∑x u n 在D 上一致收；而当()1<<p x p ，对D x ∈∀成立时，有()p n n x u 1>，而p 级数∑p n1当1<p 时发散，从而函数项级数()∑x u n 不一致收敛．定理25设函数项级数()∑x u n ，()∑x v n 都是定义在数集D 上的正项函数项级数，当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，设(){}1inf q x q D x =∈，(){}2sup q x q Dx =∈；①当+∞<=21,0q q 时，若()∑x v n 在D 上一致收敛，则()∑x u n 在D 上也一致收敛．②当+∞=>21,0q q 时，若()∑x u n 在D 上一致收敛，则()∑x v n 在D 上也一致收敛．③当+∞<>21,0q q 时，()∑x u n 与()∑x v n 在数集D 上同时一致收敛，或同时不一致收敛．证明由当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，则任取0>ε，总+∈∃N N ，当N n >时，对一切D x ∈有()()()ε<-x q x v x u n n ，得到()()()()εεεε+<+<<+-≤+-21q x q x v x u x q q n n 即()()()()()x v q x u x v q n n n εε+<<-21．①当+∞<=21,0q q 时，由上式的右半部分可知若()∑x v n 在D 上一致收敛，则()∑x u n在D 上也一致收敛；②当+∞=>21,0q q 时，由上式左半部分可知若()∑x u n 在D 一致收敛，则()∑x v n 在D 上也一致收敛；③当+∞<>21,0q q 时，取1q <ε易知()∑x u n 与()∑x v n 同时一致收敛或同时不一致收敛．Lipschitz （莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别[]5定义4设有函数项级数()()∑+-x u n n 11，其中()x u n ,(),,2,1 =n 是区间[]b a ,上的连续函数()0≥x u n ,且函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少收敛于0，则称这类级数为Lipschitz 型函数项级数．定理26若()()∑+-x u n n 11，[]b a x ,∈为L 型函数项级数，则①此级数在[]b a ,上一致收敛；②()()()()()()()()()x u x u x u x u x u n p n p n n n n n pn n k k k 211111231211≤-++-+-=-+++++++++=+∑ ．证明①因为()x u n 是[]b a ,上的连续函数，函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少且收于连续函数()0=x u ．所以()()x u x u k k 1+-在[]b a ,连续非负，而()()()[]()x u x u x u x u n k k k n 1111--=-∑-=+，由Dini 定理知函数项级数()()[]()x u x u x u n k k 111--∑∞=+在区间[]b a ,一致收敛于0，从而函数列(){}x u n 在[]b a ,一致收敛于0．又()⎩⎨⎧=+==+-+-=-∑==k n k n nk k 2,012,111111111，所以()1111≤-∑=+nk k ,故()∑=+-n k k 111一致有界，由Dirichlet 判别法知交错函数项级数()()∑+-x u n n 11在区间[]b a ,上一致收敛．②由①得()()∑+-x u n n 11一致收敛，设()()()x s x u n n =-∑+11，于是()()()()()()()()x s x s x s x s x s x s x u n p n n p n pn n k k k -+-==-++++=+∑111()()()()()()()()()()().211x u x u x u x u x u x r x r x s x s x s x s n n n p n n p n n n p n =+≤+≤+=-+-≤+++++例14试证()∑+--211x n n 在区间[]b a ,一致收敛．证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21x n 是任意闭区间[]b a ,上的连续函数列且[]b a x ,∈∀，()()x u x u n n ≤≤+10，()0lim =∞→x u n n 由定理26知函数项级数()∑+--211x n n 在[]b a ,上一致收敛．推论17设函数列(){}x S n 在[]b a ,上收敛于)(x S ，若()x S n 可写成L 型函数项级数的部分和，则函数列(){}x S n 在上一致收敛于)(x S ．证明设有L 型函数项级数()()∑+-x u n n 11一致收敛于()x u ，[]b a x ,∈而()()()x u x S k nk k n ∑=+-=111，则对[]b a x ,∈∀，都有()()()()()x S x S x u x u n n nk k k n ==-=∞→=+∞→∑lim 1lim 11，即()()x S x u =，故函数列(){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于)(x S ．例15证明()∑-x nn11在[)+∞,δ上一致收敛．证明因为[)+∞∈∀,δx ，()x xn n 1110≤+≤，01lim =∞→xn n ．由②[)+∞∈∀,δx ，+∈∀N p 有()()()δn x u x u n pn n k k K2211≤≤-∑++=，由δn 2与x 无关且02lim =∞→δn n 故()()εδ<≤-∑++=n x u pn k n k k 211，由Cauchy 准则证毕．定理27[]9利用结论：设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，则①当∑∞=1n nn R a (或()∑∞=-1n nn R a )收敛时，∑∞=1n n n x a 在[]R ,0或()0,R -一致收敛；②∑∞=1n nn x a 在(]R R ,-内一致收敛，当且仅当∑∞=1n n n x a 在[]R R ,-上一致收敛．注：1Cauchy 准则与M 判别法比较实用一般优先考虑；2Cauchy 准则、M 判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对一定的表达式进行有效是我放大．三非一致收敛性的判别1利用非一致收敛的定义定义3，略．例16讨论函数项级数()[]()∑++-111nx x n x在()+∞∈,0x 是否一致收敛．解()()[]()()111)11111(11111+-=+-+-=++-=∑∑==nx kx x k kx x k x x s nk nk n 当()+∞∈,0x 时，有()()1lim ==∞→x s x s n n ．取o ε使210≤<o ε，无论n 多大只要nx 1='，就有()()o n n n s n s x s x s ε≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛='-'2111，故()[]()∑++-111nx x n x 在()+∞,0上非一致收敛．2利用确界原理的逆否命题定理28若函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛的充要条件是()0sup lim ≠∈∞→x R n Dx n ．证明它是确界原理的逆否命题，故成立．例17函数项级数()∑x u n 的部分和函数为()xx x S nn --=11，讨论()∑x u n 在()1.1-上是否一致收敛．证明部分和函数()x x x S n n --=11，当1<x 时，()(),11lim xx S x S n n -==∞→又当∞→n时，()()()()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----∈11,11,11111supsup n nnx n x n n n n nn n x x x S x S ，故()∑x u n 在()1.1-内非一致收敛．注：极限函数知道时值得用3利用定理5的逆否命题定理29设()()x S x u n =∑，若存在{}D x n ⊂使得()0lim ≠∞→n n n x r ，则()∑x u n 在D 上不一致收敛．证明略．注：此定理比较实用．4利用Cauchy 准则逆否命题定理30函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件是存在0>o ε，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1证明它是Cauchy 准则的逆否命题，故成立．例18讨论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性．解取21sin 31=o ε，对+∈∀N N ,N n o >∃,1+=o n p ，及()[]π2,0121∈+=o o n x 使()()()()()1212sin 121122sin 21121sin 11++++++++++++=-+o o o o o o o o o o n p n n n n n n n n n n x s x s o o ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin o o o n n n 21sin 31>oε=故∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛．注：该类型关键是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，从而凑出o ε，该类型题也有一种简便方法，即取1=p 能适用于很多例题．此方法比较实用，优先考虑．推论18函数列(){}x u n 在上非一致收敛于0，则函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．证明它是推论1的逆否命题，故成立．例19设()()()()12sin 1212cos+⋅++=n n x n n n x u n ，()∞∞-∈,x ．讨论函数项级数()∑x u n的一致收敛性．解取()12+=n n x n ，则()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n ，此极限不存在，所以(){}x u n 在定义域内非一致收敛于0，则()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．推论19[]9若函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，且在区间D 中存在一点列{}n x ，使()0lim ≠∞→n n n x u ，则函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛．例20讨论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解因为()0.,,0a x ∃+∞∈∀使a x ≤，有ax nx e n a e nx n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛．5利用求极值的方法定理31()()∑∞+==1n k kn x u x R ，若()0sup lim ≠∈∞→x R nDx n ，则()∑x u n 在D 上不一致收敛．例21证()∑-n n x x 1在[]1,0上处处收敛，但不一致收敛．证明因为()∑∑∑-=-n n n n x x x x 21，对[)1,0∈x ，∑n x 与∑n x 2都收敛，所以()∑-nnx x 1收敛，1=x 时()01=-∑nnx x 收敛，故()∑-nnx x 1在[]1,0上处处收敛；而()∑---=++x x x x x R n n n 11221,所以[]()22211,01111111sup ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-≥++∈n n n n x R n n n x ，又+∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→22211111111lim n n n n n n n ，故()∑-n n x x 1在[]1,0非一致收敛．注：极限函数知道时，可考虑用．6利用一致收敛函数列的一个性质判别[]10引理2若连续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，则D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀，o n n x x =∞→lim ，有()()o n nn x f x f=∞→lim 证明由(){}x f n 在D 上一致收于()x f ，即有()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ,D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀：o n n x x =∞→lim ，有()()()()x f x f x f x f n Dx n n n -≤-∈sup ，得()()0lim =-∞→x f x f n n n ．根据连续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，则()x f 也必在D 上连续，从而()()o n n n x f x f =∞→lim ．定理32连续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ，且D x o ∈∃，{}Dx n ⊂∃o n n x x =∞→lim ，有()()o n n n x S x S ≠∞→lim 则函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于)(x S ．例22讨论∑+221x n x在()+∞∞-,上一致收敛性．解显然()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收，且每一项都在()+∞∞-,上连续，取() ,2,11==n n x n ，则0lim =∞→n n x ．再设()221x k x x u k +=，由定积分概念()()∑∑=∞→=∞→+=nk nk nn nk n k n x u 12111lim lim ()∑=∞→+=n k n k n n 12111lim dx x ⎰+=1021110arctgx =4π=()00=≠s 故知∑+221xn x在()+∞∞-,上非一致收敛．推论20设连续函数列(){}x S n 在区间D 上逐点收敛，且在D 中存在数列{}n a 和{}n b 满。
函数项级数一致收敛的判别法
比式判别法、跟式判别法
在实际问题中往往比较复杂，所以我们要解决实际问题仅有上面几种方法远 远 不够，因此我们需要再进 一 步研究函 数项级数一致收敛的其他的方法。接下来就是对 函 数 项 级 数 一 致 收 敛的基 本判别法的进一步讨论。
5.定理4：两个函数项级数 和 ，若 ，当 ， 有 （其中 为正常数）且函数级数 在区间 上绝对一致收敛。则函数项级数 在区间 上绝对一致收敛。
证明：已知级数 在区间 上绝对一致收敛，即对 ， ， 及 ， 有 。
又由条件知有 ，当 ， 有 ，取 ， ， ， ，有
由级数一致收敛柯西准则知，函数级数 在区间 上绝对一致收敛。
函数项级数一致收敛的判别法
摘 要
函数项级数的一致收敛性在高等数学中是非常重要的，对于求极限、导数等都是有重要的意义，也为以后的学习做了铺垫和基础。为了更好地理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳和总结。举出部分例子。首先在基础知识部分列举了大家熟知的几种基本判别法，然后对基本判别法作了进一步讨论。利用大家已经学过的数列级数的定义和判别法对函数项级数定义进行推广，对比数项级数和函数项级数及判别法,给出了类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法---比式判别法和根式判别法。本文还介绍分析了把Gauss 指标判别法如何应用于正项的函数项级数的一致收敛性的判别，得出了正项的函数项级数一致收敛的另一种判别法，也就是Gauss 型判别法。本文也拓展了部分知识。考虑函数项级数和含参变量广义积分的一致收敛性的判别问题。
2） 收敛于连续函数 ，
则 在 一致收敛于
证明:（反证法）假设 在 上非一致收敛，则存在 ，使得任意 ，存在 ，存在 ， ，取 ， ，存在，使 ；取 ，存在 ，存在 ，使 ，……,如此下去得一子列 ，使得
函数级数一致收敛的判别法
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函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用1. 引言1.1 研究背景函数项级数是数学分析中一个重要的研究对象，它是由无穷个函数组成的无穷级数求和。
在实际的应用中，往往需要研究级数的收敛性，其中一致收敛性是一个重要的性质。
一致收敛性指的是对于每一个给定的ε>0，存在一个N，使得当n>N时，级数的部分和与其极限的差的绝对值小于ε。
函数项级数一致收敛性的研究有着重要意义，它可以帮助我们更好地理解函数序列之间的关系，从而应用到不同的数学问题中。
函数项级数的一致收敛性判别方法有多种，比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法是常用的方法之一。
比较判别法通过比较级数与已知收敛的级数的大小关系来判断级数的收敛性，而魏尔斯特拉斯判别法则利用函数项级数中的Cauchy收敛原理来判断其收敛性。
在实际应用中，函数项级数的一致收敛性判别方法可以帮助我们解决各种数学问题，例如在微积分和数学分析中的应用。
通过深入研究函数项级数的一致收敛性，我们可以更好地理解其数学性质，为进一步的研究提供基础。
【研究背景】1.2 研究意义函数项级数是数学中重要的概念之一，它在分析学、数学物理等领域中有着广泛的应用。
研究函数项级数的一致收敛性对于深入理解这一概念的性质和特点具有重要意义。
一致收敛性是函数项级数收敛的一种较强的方式，它能够保证收敛的速度和稳定性，从而使得我们能够更好地掌握级数的性质和行为。
研究函数项级数的一致收敛性，不仅可以帮助我们更好地理解级数的收敛性质，还可以为我们解决实际问题提供有力的数学工具。
在实际应用中，我们经常会遇到需要考察函数项级数的收敛性的情况，比如在数值计算、信号处理、概率论等领域中都会涉及到函数项级数的处理。
研究函数项级数的一致收敛性具有重要的理论意义和实际应用价值。
1.3 研究目的研究目的是对函数项级数的一致收敛性进行深入探讨，通过研究不同的判别方法来确定函数项级数是否在整个定义域上一致收敛。
通过对比比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法的优缺点，可以更好地理解和判断函数项级数的收敛性。
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函数项级数一致收敛性的判别法摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易.关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1Function Seies Convergence CriterionAbstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance1 引言及预备知识如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法.定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞=∑, (1)称为函数项级数.a D ∀∈ 函数级数在a 对应一个数值级数1()Un a ∞=∑=12()()u a u a ++...+()n u a +. (2)它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点.定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间.定义 1.3[1]设数集E 为函数项级数()1n n u x ∞=∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)=()1nn u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1nn u x ∞=∑的和函数.定义1.4[1] 设()n u x ,(n=1,2…)都是在数集D 上有定义的函数,若存在一个在D 上有定义的函数S(x),对任意的ξ>0,存在自然数集N,使得当n ≥N 时.对一切的 x ∈D 均有|()()1nk x s x k u -∣=∑|<ε则称函数项级数()1n n u x ∞=∑在数集D 上一致收敛于()S x .引理1.1[3]函数项级数一致收敛的柯西准则:函数项级数()1n x n u ∞=∑在数集D 上一致收敛的充要条件是:对任意的ε>0,存在自然数集N,使n ≥N 时,对任意的自然数p 及一切x D ∈均有1()n pnk n u x ε+=+<∑.引理 1.2[1]阿贝尔引理 若i) 1ε2ε⋯n ε是单调,ii)对任意正整数k (1≤k ≤n)有|k δ|≤A(这里k δ=1v +2v +⋯k v ),则记}{max k kεξ=有|1nk k k v ε=∑|≤3εA.2 主要结论及初步应用 2.1 地尼判别法定理 1 设0)(≥x n u 在[,]a b 上连续, 1,2n =⋯有()1n n u x ∞=∑在[,]a b 收敛于连续函数)(x f ,则()1n n u x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛于)(x f .证 用反证法 若()1n n u x ∞=∑在[,]a b 不一致收敛于连续函数)(x f ,)(x S n 为级数的部分和,则1230,k n n n n ε∃><<<<<和[,]nk x a b ∈使得0()()nk nk nk f x S x ε-≥.对{}[,]nk x a b ⊂应用聚点定理, {}nk x ∃的子列收敛于0[,]x a b ∈,不妨设此子列即为{}nk x 固定m ,当k n m <时0()()()()nk m nk nk nk nk f x S x f x S x ε-≥-≥.令k →∞，由于)()(x S x f m -的连续性,因此000()()m f x S x ε-≥这与01()n n u x ∞=∑收敛于1()nn u x ∞=∑矛盾.例1 证明在区间[0,1]上函数序列),2,1(,1 =⎪⎭⎫⎝⎛+n n x n一致收敛于x e .证 nn x ⎪⎭⎫⎝⎛+1在区间[0,1]上递增趋于x e ,x e 在[0,1]上连续,应用地尼定理 所以nn x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1是一致收敛于xe . 例2 函数序列),2,1(11)( =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x e x f nnx n 是一致收敛.证 由于 ]1,0[,11)(lim ∈+=∞→x ex f xn n ， 又因 ()x n n xnnx xn e n x e n xe e xf x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--+=-11)1(1)()(, 11-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤n xnxe n x e ,01111→-+⎪⎭⎫⎝⎛+-≤n n e n e .故)(x f n 一致收敛于)(x f .这类例题它在区间上是连续的,并且它收敛于一个连续用地尼判别法显得比较有效.2..2 狄利克雷判别法定理2 设1) ()n u x ∑的部分和函数列1()(),(1,2,)n n n u x u x n ∞===∑在D 上一致有界,2)对于每一个x D ∈{}()n u x 是单调的,3)在D 上()n v x 一致收敛于)(0∞→n 则级数()()nnu x v x ∑在D 上一致收敛.证明 1)存在正整数M,对一切的x D ∈,有()n u x M <因此当p n ,为任何正整数时12()()()()()2n n n p n p n u x u x u x u x u x M ++++++≤-≤.对于每一个x D ∈,再由2)及阿贝尔引理得到())(2)()()()(21x v x u x u x u x u p n p n p n n n ++++++≤+++ ,())()(2x v x v M npn -≤+.再由3)对任给的ε>0,存在正整数N ,当N n >时, 对一切的x D ∈有()n v x ε<.所以11()()()()2(2)6n n n p n p u x v x u x v x M M εεε++++++≤+=,于是由一致收敛性的柯西准则级数()()n n u x v x ∑在D 上一致收敛.例3 )0(,1sin sin 1+∞≤≤+∑∞=x n nxx n .解 设()sin sin ,n u x x nx=()n v x =由于1cos ()212(1cos )2nn k x u x n x=≤≤++∑.于是()n u x ∑的部分和一致有界,而nx v 1)(≤故()n v x 一致收敛于0,由狄利克雷判别法,原级数一致收敛例4 若数列{}n a 单调且收敛于零,则级数nx a n cos ∑在)0](2,[πααπα<<-上一致收敛.证 在()απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 2)21sin(cos 1+≤+≤-+=∑=αx x x n kx nk . 所以级数nx cos ∑的部分和函数列在]2,[απα-上一致有界于是令nx x v nx x u n n cos )(,cos )(==.则由狄利克雷判别法可得级数在]2,[απα-上一致收敛.这个例子是由简单的几个函数构成的把它拆分成两部分)(x u n 在给定区间上是有界函数)(x v n 收敛于零,故用狄利克雷判别法较为有效.3 阿贝尔判别法定理3 设1)()n u x ∑在区间D 上一致收敛2)对于每一个x I ∈{}()n v x 是单调的3){}()n v x 在D 上一致有界,即对一切x I ∈和正整数n ,存在正数M 使得()v x M ≤则级数()()nnu x v x ∑在D 上一致收敛.证明 由1)任给ε0〉,存在某正数N 使得当 N n >任何正整数p ,对一切x D ∈有12()()()n n n p u x u x u x ε+++++<.又由2),3)及阿贝尔定理()11()()()()()2()3n n n p n p n p n p u x v x u x v x u x v x M εε++++++++≤+=.于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则得到()()n n u x v x ∑一致收敛.例5 ]1,0[,)(12∈+∑∞=+x n n x x n nn解 21(),()nn n x x u x v x n n +⎛⎫== ⎪⎝⎭由于 21()n u x n≤, 于是()n u x ∑一致收敛,又因对固定的[0,1]x ∈{()n v x }单调递增,且()n v x ε<. 故由阿贝尔判别法，原级数一致收敛.例6 证明:若级数n a ∑收敛则狄利克雷级数∑∞=1n xnna 当0≥x 时一致收敛. 证明 设x n n n n x v a x u 1)(,)(==因为∑∞=1n n a 当0≥x 时一致收敛,)(x v n 当x 固定时是单调的且11≤x n ,故由阿贝尔判别法可知∑∞=1n xn n a 当0≥x 时一致收敛.这种题型可以看作是两个调和级数的相加,因为)(x u n 在给定区间上它是收敛的并且)(x v n 是单调函数,应用阿贝尔判别法较为有效.参 考 文 献[1]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京,高等出版社,2001.[2]毛一波.函数项级数一致收敛的判定[J].重庆文理学院学报(自然科学出版社),2006(4)：2-4. [3]吴良森.毛羽辉等,数学分析习题精解[M].北京科学出版社,2002：17-30.[4]关冬月.关于一致收敛的几个问题[J].内蒙古农业大学学报,2003.24 (3)：5-6. [5]裴礼文.数学分析中的典型问题与解法[M].北京:高等教育出版社:34_56.。