数值分析2-1-0
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数值分析实验报告2
实验报告实验项目名称函数逼近与快速傅里叶变换实验室数学实验室所属课程名称数值逼近实验类型算法设计实验日期班级学号姓名成绩512*x^10 - 1280*x^8 + 1120*x^6 - 400*x^4 + 50*x^2 - 1并得到Figure，图像如下：实验二：编写程序实现[-1,1]上n阶勒让德多项式，并作画（n=0,1，…，10 在一个figure中）。
要求：输入Legendre(-1,1,n)，输出如a n x n+a n-1x n-1+…多项式。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现勒让德多项式的程序代码如下：function Pn=Legendre(n,x)syms x;if n==0Pn=1;else if n==1Pn=x;else Pn=expand((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n);endx=[-1:0.1:1];A=sym2poly(Pn);yn=polyval(A,x);plot (x,yn,'-o');hold onend在command Windows中输入命令：Legendre（10），得出的结果为：Legendre(10)ans =(46189*x^10)/256 - (109395*x^8)/256 + (45045*x^6)/128 - (15015*x^4)/128 + (3465*x^2)/256 - 63/256并得到Figure，图像如下：实验三：利用切比雪夫零点做拉格朗日插值，并与以前拉格朗日插值结果比较。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现拉格朗日插值多项式的程序代码如下：function [C,D]=lagr1(X,Y)n=length(X);D=zeros(n,n);D(:,1)=Y';for j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endendC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));m=length(C);C(m)= C(m)+D(k,k);end在command Windows 中输入如下命令：clear,clf,hold on;k=0:10;X=cos(((21-2*k)*pi)./22); %这是切比雪夫的零点Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=lagr1(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.01:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到Figure ，图像如下所示：比较后发现，使用切比雪夫零点做拉格朗日插值不会发生龙格现象。
数值分析课件1
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题 的自变量、原始数据）与有限个输出数据 （待求解数据）之间函数关系的一个明确 无歧义的描述。这正是数值分析所研究的 对象。
数值问题举例
dy = x +y2 dx y ( 0) = y 0 x ∈ [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的 数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是 数值问题 。但当我们要求出有限个点处函 数值的近似值时，便成为一数值问题。
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问 题近似解的方法—算法。
算法：指把对数学问题的解法归结为只有 加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序 的完整而准确的描述。
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收 敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是
数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其 优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考 虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间 复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护 ）。这是数值分析研究的第三个任务。
e − e = (e − en ) + (en − e)
* *
二、误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 各种度量之间的关系
1. 绝对误差
绝对误差定义：近似值减准确值
* ∆
x − x= e( x * ) * * e ( x ) 在不引起混淆时， 简记 为 e 。
• 绝对误差限：
位有效数字。如 A = sin 29 20′ = 0.4900 设其近似值a=0.484，其相对误差为：
0.4900 − 0.484 1 = 0.012397 < 0.0125 = × 101− 2 0.484 2× 4
《数值分析》所有参考答案
解：
等价三角方程组
， ，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
， ， ，
16.已知 ，求 ， ， 。
解：
, ,
17.设 。证明
，(II)
，
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
， ， ，
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当 时， ，
1 2
当 时
，
，
， ，
1)
迭代格式 ，
,
当 时， ，
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当 时存在 使得
，
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 ， ， 及 ， 。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
， 使得
对一切 均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
等价三角方程组
， ，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
， ， ，
16.已知 ，求 ， ， 。
解：
, ,
17.设 。证明
，(II)
，
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
， ， ，
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当 时， ，
1 2
当 时
，
，
， ，
1)
迭代格式 ，
,
当 时， ，
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当 时存在 使得
，
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 ， ， 及 ， 。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
， 使得
对一切 均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
数值分析_第2章
证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn
数值分析 第1章 绪论 张铁版
3.绝对值太小的数不宜作除数 例7 仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组
1.00105 x 1.00y 1.00 1.00x 1.00y 2.00
105 x 1105
1.00001 0.9999899
(2) (1) 10
1.00105 x 1.00 y 1.00 解： x得， 消 5 5 5 (1.00 1.0010 ) y (2.00 1.0010 )
算法1:直接计算 n(n 1) 乘法次数：1+2+ +n= 2 加法次数：n
算法2：秦九韶算法(Hernor算法)：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n - 1, ,0) P ( x) S . 0 n
乘法次数：n，加法次数：n
( ) n1 Rn ( x) x (n 1)! f
( n1)
截断误差：
舍入误差 R 3.14159 0.0000026. 数制转换、机器数.
§1.3 绝对误差、相对误差与有效数字
定义1 绝对误差，简称误差：
e x * x, 其中x为准确值x *的近似值.
误差限： | e | 的一个上界,即 x * x .
5
y
2 105 1105
1.00 10 x 1.00 y 1.00 x* 0.00, y* 1.00 y 1.00
错.为什么,怎么办？
４.简化计算程序，减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例8 计算多项式的值 Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
1 1 e1 * I 9 0.0684, ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10 ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n
数值分析(清华大学出版社)第1,2章
20
2.
x 的相对误差是
x x d x er ( x ) d ln x x x
它是对数函数的微分。
设 u = xy , 则 lnu=lnx+lny , 因而 dlnu = dlnx + dlny
e r ( u ) e r ( x ) e r ( y ) r ( u ) r ( x ) r ( y )
即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x = 3.14 作为 近似值 时, 就有3 位有效数字。
16
四、 相对误差限与有效数字的关系
定理1
设近似值
x 0.a1a2 an 10m
有n 位有效数字， a1 0 。则其相对误差限为 1 n 1 r (x ) 10 2a1 x 0.a1a2 an 10m 故 证明
a1 10
m 1
| x | (a1 1) 10
m 1
r (x )
x x x
0 .5 10m n 1 10 n1 a1 10m 1 2a1
17
定理2 设近似值 x 0.a1a2 an 10 的相对误差限
m
1 10 n1 ,则它至少有n 位有效数字。 不大于 2( a 1) 1
25
对多元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ), 自变量的近似值为 x1 , x2 ,, xn , y 的近似值为 y f ( x1 , x2 , , xn ),
y 的运算误差为 函数值
e ( y ) e[ f ( x1 , x2 , , xn )] df ( x1 , x2 , , xn )
2.
x 的相对误差是
x x d x er ( x ) d ln x x x
它是对数函数的微分。
设 u = xy , 则 lnu=lnx+lny , 因而 dlnu = dlnx + dlny
e r ( u ) e r ( x ) e r ( y ) r ( u ) r ( x ) r ( y )
即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x = 3.14 作为 近似值 时, 就有3 位有效数字。
16
四、 相对误差限与有效数字的关系
定理1
设近似值
x 0.a1a2 an 10m
有n 位有效数字， a1 0 。则其相对误差限为 1 n 1 r (x ) 10 2a1 x 0.a1a2 an 10m 故 证明
a1 10
m 1
| x | (a1 1) 10
m 1
r (x )
x x x
0 .5 10m n 1 10 n1 a1 10m 1 2a1
17
定理2 设近似值 x 0.a1a2 an 10 的相对误差限
m
1 10 n1 ,则它至少有n 位有效数字。 不大于 2( a 1) 1
25
对多元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ), 自变量的近似值为 x1 , x2 ,, xn , y 的近似值为 y f ( x1 , x2 , , xn ),
y 的运算误差为 函数值
e ( y ) e[ f ( x1 , x2 , , xn )] df ( x1 , x2 , , xn )
数值分析课后习题答案
x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位 有效数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效 数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)
根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；
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设 (t ) f (t ) 1 (t ) K (t x0 )(t x1 ) (1) ( x0 ) ( x1 ) 0, R( x) 取 K (2) ( x) 0 ( x x0 )( x x1 ) (1 ) ( 2 ) 0, ( ) 0, R( x) d2 (1), (2) (t ) f (t ) 1(t ) (t x0 )(t x1 ) 2 ( x x0 )( x x1 ) dt 2! R( x) (t ) f (t ) (3) ( x x0 )( x x1 ) 2! R( x) f ( ) ( ) 0, a b 12 ( x x0 )( x x1 )
（3）Newton插值公式
2 ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 )
f ( x0 , x1 , x2 )( x x0 )( x x1 )
18
三、二次插值的三种插值形式
3. 逐次线性插值
f ( x0 ) 1 1 ( x ) x 0 x1 f ( x1 )
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )( x1 x2 )
(2) 二次Lagrange插值公式
2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
17
三、二次插值的三种插值形式
1 ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 )
称 li(x) (i 0,1 ) 为线性Lagrange插值基函数 (3)Lagrange插值公式 1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
8
三、线性插值的三种插值形式
2. Newton插值（点斜式）
(1) Newton插值公式
f ( x1 ) f ( x0 ) 1 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) x1 x0
3、行列式形式：
f ( x0 ) 1 1 ( x) x0 x1 f ( x1 )
x x0 x x1
四、线性插值的误差
设f(x) c1[a,b],f 在区间[a,b]上存在，则对于x [a,b]有 (x)
f ( ) 1、 ( x) f ( x) 1 ( x) R ( x x0 )( x x1 ) , a b 2!
A B( x x0 )
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 , x1 ) x0 x1
x x0 x x1
3、行列式形式：
线性插值的误差
f ( x0 ) 1 1 ( x ) x 0 x1 f ( x1 )
1、 ( x) f ( x) 1 ( x) f ( ) ( x x0 )( x x1 ) , a b R 2! ( x1 x0 ) 2 max f ( x) , a x b 2、R( x) 8 15
3
问题的引入：
并且用P(x)近似代替f(x)
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函数P(x)为函数f(x)的插值函数 如果P(x)为多项式函数, 则称之为插值多项式
点 xi , i 0,1,2, ,n,称为插值节点
区间[a,b]称为插值区间
例如：函数y sin x,若给定[0,π]上5个等分点 其插值函数的图象如图
x : x0 , x1, y : y0, y1 , yi f ( xi )
--------( )
构造y f(x)的插值函数(x)
使 (x)是不高与于1次的多项式
(xi ) yi f(xi ), i 0,1
二、方法：
令 且满足
1 ( x) ax b
--------(1) --------(2)
( x1 x0 ) max f ( x) , a x b 2、R( x) 8
2
10
四、线性插值的误差
f ( ) R ( x x0 )( x x1 ) , a b 分析：1、 ( x) f ( x) 1 ( x) 2! f ( ) R( x) f ( x) 1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) , a b 2! 2! R( x) f ( ) ( ) 0, a b ( x x0 )( x x1 ) 2! R( x) (t ), 使 ( ) 0, ( ) f ( ) ( x x0 )( x x1 )
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 , x1 ) x0 x1
（2）1阶均差商
（3）Newton插值公式又可表示为
1 ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 )
A B( x x0 )
9
三、线性插值的三种插值形式
x x0 x x1 1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
四、线性插值的误差
f ( ) R( x) f ( x) 1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) 2!
( x1 x0 ) 2 证明 ：2、 R( x) max f ( x) , a x b 8 f ( )
R( x) 2! max f ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x x0 )( x1 x )
解：
R1 (0.3367) 0.92 105
14
线性插值的三种插值形式
（小结）
1.拉格朗尔插值（两点式） 1 x xi i 0,1 1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) li (x )
0 x xi
2. Newton插值（点斜式）
1 ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 )
1 x xi i 0,1 li (x ) 0 x xi x xi i 0,1,2 x xi
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
用线性插值计算 sin 0.3367的值，并估计误差。
x0 0.32, x1 0.34 x x0 x x1 sin x y0 y1 x0 x1 x1 x0 0.3367 0.34 0.3367 0.32 sin 0.3367 0.314567 0.333487 0.32 0.34 0.34 0.32 0.330356 1 R1 ( x) M 2 ( x x0 )( x x1 ) M 2 max sin x 0.3335 2
--------(1)
2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
2 ( xi ) yi
i 0,1,2
--------(2)
16
1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
三、二次插值的三种插值形式
1.拉格朗尔插值 （1）构造插值基
1 li (x ) 0
解决方法：
假如可以通过实验或测量, 可以获得f(x)在区间[a,b] 上的一组n 1个不同的点
a x0 x1 x2 xn b
上的函数值 yi f ( xi ),
i 0,1,2,, n
能否存在一个性能优良、便于计算的函数
比如多项式函数P(x),满足
P( xi ) yi i 0,1,2 ,, n ------(1)
x x0 x x1
f ( x0 ) 1 (1) 01 ( x) x0 x1 f ( x1 ) f ( x0 ) 1 (2) 02 ( x) x0 x2 f ( x2 )
x x0 x x1 x x0 x x2
01 ( x) 1 (3) 012 ( x) x1 x 2 02 ( x)
2 max f ( x) ( x x0 ) ( x1 x) 2 [ ] 2 2
ab ab 2
( x1 x0 ) 2 max f ( x) 8
13
五、例题：
已知 sin 0.32 0.314567, sin 0.34 0.333487, sin 0.36 0.35227
4
sinxµ å IJ Öµ
1
yy
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.5
1
1.5 1.5
x x x
对于被插函数f(x)和插值函数P(x)
在节点xi 处的函数值必然相等
但在节点外P(x)的值可能就会偏离f(x) 因此P(x)近似代替f(x)必然存在着误差
计算物理
插值法
湖北大学
物理学与电子技术学院
1
问题的引入：
1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需 要计算许多点处的函数值 2 仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知 道非采样点处的函数值 …… 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或 者未知函数的一个便于计算的近似表达式.
2
问题的引入：
5
本章要点
用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插 值。 本章主要介绍有关插值法的一些基本 概念，及多项式插值的基础理论和几个常 用的插值方法:Lagrange插值、分段线性插 值、Newton插值、Hermite插值和三次样条 插。
6
§1. 线性插值
一、问题： 已知
附：Rolle定理
设f(x)在[a, b] 上连续，f ( x)在(a, b)上存在，且f (a) f (b), 则在[a, b]内至少有一点c, 使f (c) 0
（3）Newton插值公式
2 ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 )
f ( x0 , x1 , x2 )( x x0 )( x x1 )
18
三、二次插值的三种插值形式
3. 逐次线性插值
f ( x0 ) 1 1 ( x ) x 0 x1 f ( x1 )
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )( x1 x2 )
(2) 二次Lagrange插值公式
2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
17
三、二次插值的三种插值形式
1 ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 )
称 li(x) (i 0,1 ) 为线性Lagrange插值基函数 (3)Lagrange插值公式 1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
8
三、线性插值的三种插值形式
2. Newton插值（点斜式）
(1) Newton插值公式
f ( x1 ) f ( x0 ) 1 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) x1 x0
3、行列式形式：
f ( x0 ) 1 1 ( x) x0 x1 f ( x1 )
x x0 x x1
四、线性插值的误差
设f(x) c1[a,b],f 在区间[a,b]上存在，则对于x [a,b]有 (x)
f ( ) 1、 ( x) f ( x) 1 ( x) R ( x x0 )( x x1 ) , a b 2!
A B( x x0 )
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 , x1 ) x0 x1
x x0 x x1
3、行列式形式：
线性插值的误差
f ( x0 ) 1 1 ( x ) x 0 x1 f ( x1 )
1、 ( x) f ( x) 1 ( x) f ( ) ( x x0 )( x x1 ) , a b R 2! ( x1 x0 ) 2 max f ( x) , a x b 2、R( x) 8 15
3
问题的引入：
并且用P(x)近似代替f(x)
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函数P(x)为函数f(x)的插值函数 如果P(x)为多项式函数, 则称之为插值多项式
点 xi , i 0,1,2, ,n,称为插值节点
区间[a,b]称为插值区间
例如：函数y sin x,若给定[0,π]上5个等分点 其插值函数的图象如图
x : x0 , x1, y : y0, y1 , yi f ( xi )
--------( )
构造y f(x)的插值函数(x)
使 (x)是不高与于1次的多项式
(xi ) yi f(xi ), i 0,1
二、方法：
令 且满足
1 ( x) ax b
--------(1) --------(2)
( x1 x0 ) max f ( x) , a x b 2、R( x) 8
2
10
四、线性插值的误差
f ( ) R ( x x0 )( x x1 ) , a b 分析：1、 ( x) f ( x) 1 ( x) 2! f ( ) R( x) f ( x) 1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) , a b 2! 2! R( x) f ( ) ( ) 0, a b ( x x0 )( x x1 ) 2! R( x) (t ), 使 ( ) 0, ( ) f ( ) ( x x0 )( x x1 )
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 , x1 ) x0 x1
（2）1阶均差商
（3）Newton插值公式又可表示为
1 ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 )
A B( x x0 )
9
三、线性插值的三种插值形式
x x0 x x1 1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
四、线性插值的误差
f ( ) R( x) f ( x) 1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) 2!
( x1 x0 ) 2 证明 ：2、 R( x) max f ( x) , a x b 8 f ( )
R( x) 2! max f ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x x0 )( x1 x )
解：
R1 (0.3367) 0.92 105
14
线性插值的三种插值形式
（小结）
1.拉格朗尔插值（两点式） 1 x xi i 0,1 1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) li (x )
0 x xi
2. Newton插值（点斜式）
1 ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 )
1 x xi i 0,1 li (x ) 0 x xi x xi i 0,1,2 x xi
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
用线性插值计算 sin 0.3367的值，并估计误差。
x0 0.32, x1 0.34 x x0 x x1 sin x y0 y1 x0 x1 x1 x0 0.3367 0.34 0.3367 0.32 sin 0.3367 0.314567 0.333487 0.32 0.34 0.34 0.32 0.330356 1 R1 ( x) M 2 ( x x0 )( x x1 ) M 2 max sin x 0.3335 2
--------(1)
2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
2 ( xi ) yi
i 0,1,2
--------(2)
16
1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
三、二次插值的三种插值形式
1.拉格朗尔插值 （1）构造插值基
1 li (x ) 0
解决方法：
假如可以通过实验或测量, 可以获得f(x)在区间[a,b] 上的一组n 1个不同的点
a x0 x1 x2 xn b
上的函数值 yi f ( xi ),
i 0,1,2,, n
能否存在一个性能优良、便于计算的函数
比如多项式函数P(x),满足
P( xi ) yi i 0,1,2 ,, n ------(1)
x x0 x x1
f ( x0 ) 1 (1) 01 ( x) x0 x1 f ( x1 ) f ( x0 ) 1 (2) 02 ( x) x0 x2 f ( x2 )
x x0 x x1 x x0 x x2
01 ( x) 1 (3) 012 ( x) x1 x 2 02 ( x)
2 max f ( x) ( x x0 ) ( x1 x) 2 [ ] 2 2
ab ab 2
( x1 x0 ) 2 max f ( x) 8
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五、例题：
已知 sin 0.32 0.314567, sin 0.34 0.333487, sin 0.36 0.35227
4
sinxµ å IJ Öµ
1
yy
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.5
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1.5 1.5
x x x
对于被插函数f(x)和插值函数P(x)
在节点xi 处的函数值必然相等
但在节点外P(x)的值可能就会偏离f(x) 因此P(x)近似代替f(x)必然存在着误差
计算物理
插值法
湖北大学
物理学与电子技术学院
1
问题的引入：
1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需 要计算许多点处的函数值 2 仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知 道非采样点处的函数值 …… 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或 者未知函数的一个便于计算的近似表达式.
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问题的引入：
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本章要点
用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插 值。 本章主要介绍有关插值法的一些基本 概念，及多项式插值的基础理论和几个常 用的插值方法:Lagrange插值、分段线性插 值、Newton插值、Hermite插值和三次样条 插。
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§1. 线性插值
一、问题： 已知
附：Rolle定理
设f(x)在[a, b] 上连续，f ( x)在(a, b)上存在，且f (a) f (b), 则在[a, b]内至少有一点c, 使f (c) 0