3.1不等式与不等关系第一课时

上面三个不等关系，是同时成立的关系，要 同时满足的话，可以用下面的不等式组来表 示：
500x 600y 4000 3x y x 0 y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
例3 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料， 生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有 库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上 进行生产。请用不等式组把此实例中的不等 关系表示出来。 分析:设分别生产 甲．乙两种肥料为 x车皮,y车皮
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
bm b b 、m 都是正数,且 a b ,求证: 例 4 已知 a 、 am a
b m b (b m)a (a m)b 证明: ∵ am a (a m)a ab ma ab bm (a m)a m(a b) (a m)a
∵a、 b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0 bm b bm b 0∴ ∴ am a am a
∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．
第三章
3.1
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(1)比较 x2＋y2＋1 与 2(x＋y－1)的大小； 1 (2)设 a∈R 且 a≠0，比较 a 与a的大小．
1 a－1a＋1 (2)由 a－a＝ a 1 当 a＝± 1 时，a＝a； 1 当－1＜a＜0 或 a＞1 时，a＞a； 1 当 a＜－1 或 0＜a＜1 时，a＜a.
(1) a b 0 a b; (2) a b 0 a b; (3) a b 0 a b.
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
9、分析：（1）利用最低和最高列出不 等关系；（2）利用“大于”列出不等关 系；（3）非负整数即大于或等于零。 解：（1）设明天的温度为x℃，则
x 7 ，即 x 13
7 x 13
（2）设△ABC的三边长分别为
a, b, c
，则a+b>c，且a+c>b，且b+c>a
（3)
任意一点，则|AB| ≥ d。
40
(4)、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售 出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量 就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少： x 2.5 0.2万 本 因此，销售总收入为： 0.1
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例3．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
练习 1.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
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(1)比较 x2＋y2＋1 与 2(x＋y－1)的大小； 1 (2)设 a∈R 且 a≠0，比较 a 与a的大小．
[解析]
(1)x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2
＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
x 2.5 (8 0.2)x万 元 用不等式表示为： 0.1 x 2.5 (8 0.2)x 20 0.1
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用不等式表示不等关系 某 钢 铁 厂 要 把 长 度 为 4 000mm 的 钢 管 截 成 500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不 能超过 500mm钢管的 3倍．试写出满足上述所有不等关系的不 等式．
解：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
x y 9 10 6 x 6 8 y 360 0 x 4, x N 0 y 7, y N
x y 9 5 x 4 y 30 ，即 0 x 4, x N 0 y 7, y N
4x y 10 18x 15y 66 x 0 y 0
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比较数或式子的大小 已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋ y)的大小． [解析] ∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
超 过
不 足

旅客免费携带品的体积和重量是：每 件物品的外部尺寸长、宽、高之和不 超过 160 厘米，杆状物品不超过 200 厘 米，重量不超过20千克„„”
不超 过
合作讨论, 生成概念
反映不等关系的词语:
超过
不足
不超过
小于 不大于 至少 不小于 不等于
还 有： 大于 大于等于
小于等于 至多
问题2.在数学中，我们用等式来表示相等关系，那 么不等关系用什么来表示呢？ 在数学中，我们用不等式来表示不等关系
a0
2、某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡 车和7辆载重 为6t的乙型卡车，有9名驾驶员。此车队每天至少要 运360t矿石至冶炼厂。已知甲型卡车每辆每天可往 返 6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写 出满足上 述所有不等关系的不等式。 分析：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆。根据题 意，应有如下的不等关系： （1）甲型卡车和乙型卡车总和不能超过驾驶员人数； （2）车队每天至少要运360t矿石； （3）甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆。 用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可。
问题3.什么叫不等式？ 用不等号将两个解析式连结起来所构成的式 子就叫不等式。 问题4.不等号有哪些？ 不等号有：“≠”（不等号）、“> ”（大于 号）、“<”（小于号）、“≥”（大于或等于） 及“≤”（小于或等于）。 你能将上述表示不等关系的词语用不等号表示出 来吗？
4.文字语言与数学符号之间的转换 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 小于 至多 至少
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[方法规律总结] 比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符 号； (4)作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程： 作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
若b>a,结论 又会怎样呢?
课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
< 6 2 6; ⑴ ( 3 2) 2 _____
⑵ ( 3 2) 2 ____( < 6 1) 2 ; 1 1 < ⑶ ______ ; 52 6 5
> log 1 b. ⑷若0 a b ， log 1 a ____
2 2
2. 比较
x 3 与 x 2 x 1 的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1 =x2(x－1)+(x－1) =(x－1)(x2+1), ∵ x2+1>0， ∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种： （1）点A和点B重合；
（2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧. 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由 此可得到结论： 对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立.
[分析]
应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①
两种钢管的总长度不能超过4 000mm；②截得600mm钢管的数 量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；③两种钢管的数量都不能 为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
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[解析] 设截得 500mm 的钢管 x 根， 截得 600mm 的钢管 y 根，依题意，可得不等式组： 500x＋600y≤4 000 3x≥y x≥0 y≥0 5x＋6y≤40 3x≥y ，即 x≥0 y≥0
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第三章
3.1
第1课时
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截 成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负。