圆内接四边形拔高练习题
中考数学总复习 圆内接四边形专项练习题
中考数学总复习圆内接四边形专项练习题例题1：如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°.求∠OCB及弧DC的度数.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥DC，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD=86°，则∠PCE= °，⌒ADC的度数为例题2，如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，弧AB=弧AD，∠BCD=120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=37 ,求DE的长.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=BD,BM⊥AC于点M，已知AC=11,CD=7,求CM的长.例3.如图，在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD，CD，CD与AP交于点E. 求证：∠1=∠2.练：如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°，则∠ACB= °.例题2，如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F.求证：EF=DE.练：如图，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于点G，EF⊥BD于点F.求证：FG∥BC6.如图，已知△ABC，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转x度（α为锐角），得到△ADE，连接BE，CD，延长CD交BE于点F.（1）用含有x的代数式表示∠ACD的度数为；（2）求证：点B，C，A，F四点共圆.（3）求证：点F为BE的中点.7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2.求AD的长度，课后习题：1.如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠A+∠BOD=150°，则∠DCE= °2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A与∠C的度数之比为2：3，且弧AD的度数为100°，则弧AB的度数°3,如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且DB=DC.AC是直径，若∠ACB=52°，则∠DAE= °4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠A=120°，CF⊥AB于F，连接DF交CB延长线于E，连接AE，则△AEF的面积为5.如图，已知P为长方形内一点，S△P AB=5, S△PBC=12, 则S△PBD=6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）7.已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.8.如图，已知△ABC中，AH是高线，AT是角平分线，且TD⊥AB于点D，TE⊥AC于点E.求证：∠AHD=∠AHE.。
初中数学：圆内接四边形练习(含答案)
初中数学：圆内接四边形练习（含答案）知识点 1 圆内接四边形的性质——圆内接四边形的对角互补1．2016·丽水如图3－6－1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．已知∠ BCD＝110°，则∠BAD＝_______ °.2．已知四边形ABCD内接于⊙ O，且∠ A∶∠C＝1∶2，则∠A＝_____ °.图3－6－23．如图3－6－2，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，那么∠ AOC＝4．如图3－6－3，AB是半圆O的直径，C，D 是AB上两点，∠ ADC＝120°，则∠ BAC＝图3－6－3图3－6－45．如图3－6－4，点A，B，C，D都在⊙ O上，∠ B＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙ O的直径是____ ．6．在圆内接四边形ABCD中，∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，求∠ D的度数．CD.7．如图3－6－5，四边形ABCD内接于⊙ O，AD∥BC，求证：AB＝图3－6－5知识点 2 圆内接四边形的性质的推论——圆内接四边形的外角等于其内对角8．2017·嵊州市模拟如图3－6－6，点A，B，C，D在圆O上，点 E 在AD的延长线上，若∠ ABC＝60°，则∠ CDE的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．70°9．如图3－6－7，四边形ABCD内接于⊙ O，点E在BC的延长线上，若∠ BOD＝120°，则∠DCE＝___ °.10．如图3－6－8 所示，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点 E. 若BC＝BE.求证：△ ADE是等腰三角形．图3－6－6图3－6－811．如图3－6－9，△ ABC 内接于⊙ O ，∠ OBC ＝40°，则∠ A 的度数为 ( ) A ．80° B ．100° C ．110° D ．130°12．如图 3－6－10，在平面直角坐标系中， ⊙C 过原点 O ，且与两坐标轴分别交于点 A ，B ， 点 A 的坐标为(0，3)，M 是O ︵B 上一点，且在第三象限内．若∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为 ()A ．6B ．5C ．3 2D ．313．如图 3－6－11，已知四边形 ABCD 内接于半径为 4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则 BD ＝图 3－ 6－ 11图 3－6－1014．如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．图3－6－1215．(1) 已知：如图3－6－13①，四边形ABCD内接于⊙ O，延长BC至点E，则∠A＋∠ BCD ＝180°，∠ DCE＝∠A.(2) 依已知条件和(1) 中的结论：如图②，若点 C 在⊙O外，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD 与180°的大小关系；如图③，若点 C 在⊙O内，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD与180°的大小关系．(3) 如图3－6－14，四边形ABCD内接于⊙ O，∠DAB＝130°，连结OC，P 是半径OC上任意一点，连结DP，BP，则∠ BPD的度数可能为_____ (写出一个即可)．图3－6－14详解详析1．702．60 ［解析］∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠C＝1∶2，∠A＝60°.3．130 ［解析］∵四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，∴∠ ADC＝180 －∠ ABC＝180°－115°＝65°，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×65°＝130°.4．305. 136．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝180°，∠ B＋∠D＝180°.∵∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，设∠ A＝2α，∠ B＝3α，∠ C＝6α，则2α＋6α＝180°，∴α ＝22.5 °，∴∠ B＝3α ＝67.5 °，∴∠ D＝180°－∠ B＝112.5 °.7．证明：∵ AD∥BC，∴∠ A＋∠ B＝180°.∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠ A＋∠ C＝180°，∴∠ B＝∠ C，∴ AC＝BD，∴AC－AD＝BD－AD，即AB＝CD，∴AB＝CD.8．C ［解析］∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∠ ABC＝60°，∴∠CDE＝∠ABC＝60°.故选 C.9．60 ［解析］∵∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°. 又∠ BAD＋∠ BCD＝180 ＝180°，∴∠ DCE＝∠ BAD＝60°.10．证明：∵ BC＝BE，∴∠ E＝∠ BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠ A＝∠ BCE，则∠ A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ ADE是等腰三角形．11．D ［解析］如图，连结OC.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40∴∠ BOC＝100∵∠ 1＋∠ BOC＝360°，，∠DCE＋∠ BCD∴∠ 1＝260°.1∵∠A＝2∠1，∴∠A＝130°.故选 D.12．D ［解析］∵四边形ABMO内接于⊙ C，∴∠BMO＋∠BAO＝180°. ∵∠ BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.又∵AO⊥BO，A（0，3），∴AB＝2AO＝6，∴⊙C的半径为 3.故选 D.13．4 3 ［解析］连结OD，OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF.∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°.∵∠C ＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴∠ BOF＝60°. ∵OB＝4，∴ BF＝2 3，∴ BD＝2BF＝4 3.14．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点 F.∵∠ADF＋∠ABC＝180°（圆内接四边形的对角互补），∠ ABE＋∠ ABC＝180∴∠ ADF＝∠ ABE.在△ AEB与△ AFD中，∠ABE＝∠ADF，∠AEB＝∠AFD，AB＝AD，∴△ AEB≌△ AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF. 又∵∠ E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC.∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠ CAF＝30°.∵AC＝1，∴ CF＝21，AF＝23，15．解：(2) 如图①，连结DE.∵∠ A＋∠ BED＝180°，∠ BED>∠ BCD，∴∠ A＋∠ BCD<180°.如图②，延长DC交⊙ O于点E，连结BE.∵∠ A＋∠ E＝180°，∠ BCD>∠E，∴∠ A＋∠ BCD>180 (3) 答案不唯一，如80∴四边形ABCD的面积＝2S△ ACF＝12×21CF×AF＝11。
专题2.2 圆周角(专项拔高卷)学生版
2023-2024学年苏科版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.2 圆周角（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.52姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•成武县校级期末）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠D＝128°，则∠B的度数为（）A．128°B．126°C．118°D．116°2．（2分）（2023•遵义模拟）如图点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，则∠ACB的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．90°3．（2分）（2023•岷县校级三模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（）A．5 B．10 C．5D．104．（2分）（2022秋•邯山区校级期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．27°C．26°D．56°5．（2分）（2023•泸县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（）A．3 B．C．D．6．（2分）（2023•封开县一模）已知：如图OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB 的度数为（）A．45°B．40°C．35°D．50°7．（2分）（2022秋•高邑县期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．56°B．34°C．29°D．28°8．（2分）（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16°B．24°C．12°D．14°9．（2分）（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，有下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD ＝2OF；⑥△CEF≌△BED．其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③④⑤C．②③④⑥D．①③⑤⑥10．（2分）（2021•汉阳区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•浑江区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为．12．（2分）（2023春•兴宁区校级期中）如图，已知⊙O的直径AB＝2，点P是弦BC上一点，连接OP，∠OPB＝45°，PC＝1，则弦BC的长为．13．（2分）（2023•宁江区三模）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B ＝°．14．（2分）（2023•阜新一模）如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD ＝．15．（2分）（2023春•青山区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．16．（2分）（2023•二道区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE，若∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的大小为°．17．（2分）（2022秋•盘山县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝34°，则∠ABD的度数为．18．（2分）（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为．19．（2分）（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG＝120°．若CD＝4+2，则△DEG的面积的最小值是．20．（2分）（2021秋•斗门区期末）如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B 重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•新抚区期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）若∠ACO＝25°，求∠BCD的度数．（2）若EB＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的半径．22．（6分）（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径；（2）连接CD，交⊙O于点G，求证：G是CD的中点．23．（8分）（2023•安徽二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB＝10，AC＝6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．（1）求△ABC的面积；（2）求CE的长．24．（8分）（2022秋•烟台期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．25．（8分）（2022秋•蜀山区校级期末）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD，CD．（1）求证：DB＝DE；（2）若，，求BC的长．26．（8分）（2023•方城县模拟）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O的直径，∠BAC＝∠ADB．（1）试说明△ABC的形状；（2）若，．①求CD的长度；②将△ABD沿BD所在的直线折叠，点A的对应点是A′，连接BA′、CA′，直接写出∠BA′C的度数．27．（8分）（2023•遵义一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．（1）∠DAB的度数为度．（2）求证：DC＝DM；（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD＝，求ME的长．28．（8分）（2022•芙蓉区模拟）如图，AB＝4，点P是⊙O上一点（不与点A、B重合），PC平分∠APB交⊙O于点C，交AB于点D，∠BAC＝60°．（1）连接OA，OB，求∠AOB的度数；（2）求DC•PC的值；（3）若设AP+BP＝x，△PAB的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．。
(完整)圆内接四边形拔高练习题
圆内接四边形一．选择题1．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA、CB分别交半圆于点D，E 若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于（）A．30°B．40°C．45°D．60°二．填空题2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=_________度．3．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，则四边形的面积为_________．三．解答题4．已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．5．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．6．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP=AQ．7．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC 延长线上一点．（1）求证：∠DCF=∠DAB；（2）求证：；（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．8．如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．9．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于P点．求证：PE⊥PF．10．如图，P是等边△ABC外接圆上任意一点，求证：PA=PB+PC．。
非学科数学学培训 圆内第四大定理之圆内接四边形(资料附答案)
自学资料一、圆内接四边形【知识探索】1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．圆内接四边形的对角互补．【错题精练】例1．如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：①OA⊥DB；②CD+CB=2CE；③∠CBA−∠DAC=∠ACB；④若∠DAB= 90∘，则CD+CB=√3CA．其中正确的结论（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. ①③④；B. ①②④；C. ②③④；D. ①②③．【答案】D，例2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30∘，BD是⊙O的直径，如果CD=4√33则AD=．【答案】4．的值是例3．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EFGH （）A. ；B. ；C. ；D. 2．【答案】C例4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为第2页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（）．A. cmB. 9 cmC. cmD. cm【解答】C【答案】C例5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r,∠ODA=45∘，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．【解答】（1）解：∠A+∠C=180，∠C=2∠A，∴∠A=60∘，∴∠BOD=2∠A=120∘（2）证明：连接OB，OC，OD，可以得出△BOC是等边三角形，∴OB=OC=OD=CD，∴四边形OBCD是菱形；（3）解：过D做DH⊥AB与H，∵DH=√62r，BH=√62r，AH=√22r，∴S△ABD=3+√34r2．第3页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）∠BOD=2∠A=120∘；（2）略；（3）S△ABD=3+√3r2．4例6．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40∘，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．【解答】（1）解：∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF=50∘；（2）证明：令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180∘−2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90∘−α，∴∠CFD+∠FCD=α+(90∘−α)=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．【答案】（1）∠CBF=50∘；（2）CD⊥DF．例7．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．第4页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC⋅AF=DF⋅FE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠DCB+∠DAB=180∘，∵∠MCD+∠DCB=180∘，∴∠MCD=∠DAB，∵CD为∠BCA的外角的平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，∴∠DCA=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA，∴DB=DA，∴△ABD为等腰三角形．（2）证明：由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF①∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF，而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180∘，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，同理∠DCA=∠AFE∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，∴△CDA∽△FAE，∴即CD⋅EF=AC⋅AF，又由①有AC⋅AF=DF⋅EF．【答案】（1）略；（2）略．例8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．第5页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】例9．（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．第6页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】【答案】见解析例10．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，第7页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】第9页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第10页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】【举一反三】1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78∘，则∠EAC=度．【答案】27．2．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠D=78∘，则∠EAC=（）A. 37°；B. 32°；C. 21°；D. 18.5°．【答案】C．3．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（）A. ①B. ④C. ③D. ②【解答】【答案】D4．如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A. AB=AEB. AB=BEC. AE=BED. AB=AC【解答】【答案】C5．已知△ABC．（1）如图，AC⊥AB，点D为BC上一点，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，求证：AE∥BC．（2）如图，点P是BC上一点，且∠APC＜90°，以AP为一边作正方形APMN，若NC⊥BC，则∠ACB= °，并证明你的结论．【答案】6．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AF⊥BC于点H，AD与BC的延长线交于点E，连接BD．（1）若BC=8，FH=2，求⊙O得半径长；（2）若∠EDC=70∘，求∠ADB的度数．【解答】（1）解：由垂径定理得BH=4，OH=r−2，由勾股得：r=5；（2）解：连接AC，由垂径定理得：AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EDC=70∘，∴∠ABC=∠ACB=70∘，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=70∘．【答案】（1）5；（2）70°．7．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．【答案】8．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（-3，0），C（，0））（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】9．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．【解答】【答案】见解析10．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【解答】【答案】见解析11．我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．（I）如图（1），连接AO、OC，则有．∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分∠FDC，求证：AB=AC．【解答】【答案】见解析1．如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45∘，试求AB的长．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DCO=90∘．∵∠POM=45∘，∴∠CDO=45∘．∴CD=CO．∴BO=BC+CO=BC+CD．∴BO=2AB．连接AO，∵MN=10，∴AO=5．在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，AB2+(2AB)2=52，解得：AB=√5，则AB的长为√5．【答案】√5．2．如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90∘．在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC=√AB2−AC2=√62−22=4√2．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD．∴．∴AD=BD．∴在Rt△ABD中，AD=BD=3√2，AB=6．∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=12AC⋅BC+12AD⋅BD=12×2×4√2+12×3√2×3√2=9+4√2．故四边形ADBC的面积是9+4√2．【答案】9+4√2．3．（2015秋•嵊泗县期中）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【解答】【答案】。
浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步练习题带答案
浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 是BC 延长线上一点，若110BAD ∠=︒，则DCE ∠的度数是（ ）A ．140︒B ．110︒C ．70︒D ．55︒2．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在圆弧上取点C ，D ，连接AC BC AD BD ，，，，则ADB ∠的度数为（）A ．135︒B ．130︒C ．120︒D ．不确定3．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形142AOC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．109︒B ．142︒C ．45︒D ．19︒4．如图，AB 是半圆O 的直径35BAC ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒5．如图，点A ，B ，C 、D 四点均在O 上68AOD ∠=︒，AO DC ∥则B ∠的度数为（ ）A ．62︒B ．56︒C ．34︒D ．54︒6．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB=BC ，连接OA ，OB ．若60AOB ∠=︒，则D ∠=（ ）A ．40︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒7．如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角64DCE ∠=︒，那么BOD ∠=（ ）A ．128︒B ．100︒C ．120︒D ．132︒8．如图，四边形ABCD 内接于O ，点C 是BD 的中点40A ∠=︒，则CBD ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒9．若等腰ABC 内接于O ，AB=AC ，100BOC ∠=︒则ABC 底角的度数为（ ） A ．65︒B ．25︒C ．65︒或25︒D ．65︒或35︒10．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，连接BD ，CD ．若25CDB ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．155︒C ．130︒D ．125︒二、填空题11．如图，点A ，B ，C 在O 上，若128AOB ∠=︒，则C ∠= ．12．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，若25CAD ∠=︒，55ABD ∠=︒则ADC ∠= 度．13．已知半径为2的O 中，弦2AB =，则弦AB 所对的圆周角P ∠= ．14．如图，在O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．如果6AD =，2DB =则AC 的长为 ．15．如图，O 过四边形ABCD 的四个顶点，已知90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，1,2AB BC ==则BD = ．三、解答题16．如图，在O 的内接四边形ABCD 中AB CD = AB CD ∥． 求证：四边形ABCD 是矩形．17．（1）如图1，在等边三角形ABC 中，AB=6，点D 是线段BC 上的一点，CD=4，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒后得到AE ，连接CE 、DE ．求CE 的长（2）如图2，ABC 是等边三角形，且点A ，B ，C 三点都在O 上，点D 是BC 上任一点，求证：DB DC DA +=．18．O 的半径OA ⊥弦BC ，点D 在O 上（不与点A 、B 、C 重合） 70AOC ∠=︒．(1)如图，当点D 在优弧BC 上时，求ADB ∠的度数；(2)若点D 在劣弧BC 上，则ADB ∠的度数为________．19．如图，在ABC 中90A B α∠=︒∠=，，点D ，E 分别在AB ，BC 上，线段DE 绕点D 顺时针旋转得到DF ，其中旋转角1802EDF α∠=︒-，此时点F 恰好落在AC 上，过点D ，E ，F 的圆交BC 于点G ，连接GF ．(1)若35α=︒，求BGF ∠的度数； (2)求证：BE GF =．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BAADB BAACC11．116︒ 12．100 13．30︒或150︒ 14．14153216证明：⊥AB CD = AB CD ∥⊥四边形ABCD 是平行四边形 180A D ∠+∠=︒ ⊥AD BC ∥ ⊥180A B ∠+∠=︒ ⊥B D ∠=∠⊥四边形ABCD 是O 的内接四边形 ⊥180B D ∠+∠=︒ ⊥90B D ∠=∠=︒⊥平行四边形ABCD 是矩形．17．解：（1）在等边ABC 中，AB=6，点D 是线段BC 上的一点，CD=4 ⊥6AC BC AB === 60BAC ∠=︒⊥642BD BC CD =-=-=将AD 绕点A 逆时针旋转60︒后得到AE ⊥AD AE = 60DAE ∠=︒ ⊥BAD DAC DAC CAE ∠+∠=∠+∠ ⊥BAD CAE ∠=∠ 在ABD △和ACE △中AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥()SAS ABD ACE ≌ ⊥2CE BD ==；（2）证明：如图，将ACD 绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE⊥ACD ABE ∠=∠ DC BE = ⊥180ACD ABD ∠+∠=︒ ⊥180ABE ABD ∠+∠=︒ ⊥D 、B 、E 三点共线由旋转得：60DAE ∠=︒ AD AE = ⊥ADE 是等边三角形 ⊥AD DE = ⊥DE BD BE =+ ⊥DB DC DA +=． 18．（1）解：连接OB⊥半径OA ⊥弦BC ⊥AB AC =⊥70AOB AOC ∠=∠=︒ ⊥1352ADB AOB ∠=∠=︒ （2）解：当点D 在AB 上时由（1）知⊥135AD B ∠=︒⊥四边形1ADBD 是圆的内接四边形 ⊥1180145ADB AD B ∠=︒-∠=︒ 当点D 在AC 上时则1352ADB AOB ∠=∠=︒综上，ADB ∠的度数为145︒或35︒． 故答案为：145︒或35︒． 19．（1）解：⊥35α=︒ ⊥()180235110EDF ∠=-⨯︒=︒⊥18070BGF EDF ∠=︒-∠=︒； （2）证明：连接DG⊥()1802EDF α∠=-︒ ⊥1802EGF EDF α∠=︒-∠= ⊥DE DF = ⊥DE DF =⊥12EGD FGD EGF α∠=∠=∠=⊥B α∠= ⊥B FGD ∠=∠⊥180GED GFD ∠+∠=︒ 又⊥180GED BED ∠+∠=︒ ⊥GFD BED ∠=∠ ⊥()AAS BDE GDF ≌ ⊥BE GF =．。
九年级下册圆形拔高习题（较难及难题）（含解析）（可编辑修改word版）
九年级下册圆形拔高习题（较难及难题）（含解析）（可编辑修改word版）九年级下册圆形拔高习题（中等及较难）一、选择题1、如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值为( )A .B .2C .D .2、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC=3∠AOB，若∠ACB=20°，则∠BAC 的度数是( )A .120°B .80°C .60°D .30°3、如图，AB 为⊙O的直径，点C 在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为( )A . πB . πC . πD . π4、如图所示，AB 是⊙O的直径，点 C 为⊙O外一点，CA，CD 是⊙O的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )B .30°C .60°D .75°5、如图，圆 O 是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点 C 作圆 O 的切线，交 AB 的延长线于点 D，则∠D的度数是 ( )A .25°B .40°C .50°D .65°6、如图，在⊙O中，AB 是直径，点 D 是⊙O上一点，点 C 是弧AD 的中点，弦CE⊥AB于点 E，过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CE、CB 于点 P、Q，连接 AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点 P 是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是（）A．①②④B．②③⑤C．③④D．②⑤7、一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A .21B .20C .19D .188、如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC 和∠ACB 的平分线，分别交圆 O 于点 D ，E ，且 BD=CE ，则∠A 等于（）B ．60°C ．45°D ．30°9、如图，半径为 5 的⊙O 中，弦 AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．已知AB=8，∠AOB+∠COD=180°，则弦CD 的弦心距等于（）B ．3D ．4 A ．C ．10、如图，AB 是半圆 O 的直径，AC 为弦，OD⊥AC 于 D ，过点 O 作OE∥AC 交半圆 O 于点 E ，过点 E 作EF⊥AB 于 F ，若AC=4，则 OF 的长为( )D .411、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，将长为 1 的线段 QR 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，按A→B→C→D→A 的方向滑动到A 停止，同时点R 从点B 出发，按B→C→D→A→B 的方向滑动到 B 停止，在这个过程中，线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形面积为（）A． B．4-πC ．πD ．A .1B .C .2二、填空题12、如图，点 C 在以AB 为直径的半圆上，AB=4，∠CBA=30°，点D 在AO 上运动，点 E 与点D 关于AC 对称：DF⊥DE于点D，并交 EC 的延长线于点 F，下列结论：①CE=CF；②线段EF 的最小值为；③当 AD=1 时，EF 与半圆相切；④当点D 从点A 运动到点O 时，线段EF 扫过的面积是4．其中正确的序号是．13、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为.14、已知正三角形的面积是cm，则正三角形外接圆的半径是cm．15、如图，四边形ABCD 为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB 与CD 的位置关系是．16、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，过 C 点的切线与 AB 的延长线交于 P 点，若∠P=40°，则∠D 的度数为.三、解答题17、如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2 cm．（1）求⊙O的半径 r；（2）求劣弧的长（结果保留π）．18、在△ABC 中，CE，BD 分别是边 AB，AC 上的高，F 是 BC 边上的中点．（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含 x 的代数式表达）．（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．19、如图，直线 AB 经过⊙O上的点 C，直线 AO 与⊙O交于点E 和点D，OB 与OD 交于点F，连接DF，DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线 AB 是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD 的长.20、如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠A=2∠BCD，点 E 在 AB 的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE 与⊙O相切；（2）若BF=2，DF= ，求⊙O的半径．21、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交 BC 于点D，点O 在AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D，分别交 AC，AB 于点E，F．（1）试判断直线 BC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．22、如图1，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1:2:3，⊙O 是△ABD 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O的切线（2）当BD 是⊙O的直径时（如图 2），求∠CAD的度数．23、如图，AB 为⊙O的直径，点E 在⊙O上，C 为的中点，过点C 作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC.（1）试判断直线 CD 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC= ，求AB 的长。
圆的内接四边形(拔高训练)(有答案)
第3课时圆内接四边形重点：圆内接四边形对角互补。
习题精练1、下列关于圆内接四边形叙述正确的有（）①在圆内部的四边形叫圆内接四边形；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④圆内接四边形的一个外角等于它的相邻内角的对角。
A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A、80°B、120°C、100°D、90°3、四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（）A、1:2:3:4B、1:3:2:4C、1:4:2:3D、1:2:4:34、如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°,则∠DAC的大小为（）A、130°B、100°C、65°D、50°5、如图，A、B、C在⊙O上，∠AOB=22.5°，则∠ACB的度数是_________.6、如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 为CD⌒ 上不同于点C 、D 的任意一点，则∠DPC 的度数是_________.7、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分∠CAE 。
求证：DB=DC 。
拓展提升8、如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（ ）A 、50°B 、60°C 、80°D 、90°第8题 第9题9、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过B 、C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，若∠EDC=135°，22=CF ,则22BE AB +的值为（ ）A 、8B 、12C 、16D 、2010、如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_______°.11、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC=3，则DE=________.12、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，在劣弧AB 上取一点E ，连接DE ，BE ，过点D 作DF//BE 交⊙O 于点F ，连接BF ，AF ，且AF 与DE 相交于点G ，求证：（1）四边形EBFD 是矩形；（2）DG=BE 。
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圆内接四边形
一．选择题
1．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA、CB分别交半圆于点D，E 若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于（）
A．30°B．40°C．45°D．60°
二．填空题
2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=_________度．
3．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，则四边形的面积为_________．
三．解答题
4．已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．
5．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE=DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．
6．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP=AQ．
7．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC 延长线上一点．
（1）求证：∠DCF=∠DAB；
（2）求证：；
（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
8．如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．
9．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于P点．求证：PE⊥PF．
10．如图，P是等边△ABC外接圆上任意一点，求证：PA=PB+PC．。