高三数学 双曲线
第二节 双曲线
一、基本知识概要： 1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于
|)|2(221F F a a <的点的轨迹，即点集{}
a PF PF P 2|21=-。（212F F a =为两
射线；221F F a >无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。即点集??????
>=1|
1
1e d PF P =?
?????>=1|2
2
e d PF P ，一个
比产生整条双曲线。
2.双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 )0,0(12
2
22>>=-b a b y a x )0,0(12
2
22>>=-b a b x a y 图形
焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o
焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+一个Rt ?
范围
R y a x ∈≥,||
R x a y ∈≥,||
对称性
关于x 轴，y 轴和原点对称
说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认
识。
(2)双曲线方程中的p e c b a ,,,,与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。
求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。 (3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。
利用共渐近线的双曲线系k b y a x =-2222或)0(22
22≠=-k k b
x a y 方程解题，常
使解法简捷。
(4)双曲线的焦半径，当点P 在右支（或上支）上时，为);(,00a ey a ex ±±当点P 在左支（或下支）上时，为)];([),(00a ey a ex ±-±-利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，
3.重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，
掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。
4.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。
二、例题：
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
(1) 与双曲线116
92
2=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-；
(2) 与双曲线14
162
2=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(。
【解】：（1）设所求双曲线方程为)0(16
92
2≠=-λλy x ，将点)32,3(-代入
得4
1=λ，
所以双曲线方程为4
1
16922=-y x 。
（2）设双曲线方程为
14162
2=+--k
y k x ，将点)2,23(代入得4=k ， 所以双曲线方程为18
122
2=-y x 。
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
例2：在双曲线19
162
2=-y x 上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右
焦点距离的两倍。
【解】：设P 点的坐标为),(y x ，21,F F 分别为双曲线的左，右焦点。
∵双曲线的准线方程为5
16
±=x 。 ∴|
5
16||||516|||21-=+x PF x PF ∵||2||21PF PF = ∴P 在双曲线的右支上。 ∴
5
16|
|516||222-
=+x PF x PF ∴548=x 。把548=x 代入方程191622=-y x 得1195
3
±=y 。 所以，P 点的
坐标为（
548，1195
3
±） 【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.
例3．（2019年全国，19）设点P 到点M （－1，0），N （1，0）距离
之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。 解：设点P 的坐标为（x,y ），依题意得
)0(2,2≠±==x x y x
y 即。 （1）
因此，点P （x.y ）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得
2=<-MN PN PM
10,02<<∴>=-m m PN PM ，
因此，点P 在以M ，N 为焦点，实轴长为2m 的双曲线上，故
1122
22=--m
y m x （2） 将（1）代入（2），并解得2
222
51)1(m
m m x --=，051,0122>-∴>-m m 解得0＜5
5
<
m ，即m 的取值范围为)55,0()0,55( -。
【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查
了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
例4：已知双曲线122
22=-b y a x 的离心率21+>e ，左，右焦点分别的为
21,F F ，左准线为1l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得||1PF 是
P 到l 的距离d 与||2PF 的等比中项。
【解】：设在左半支上存在点P ，使d PF PF ||||221=，由双曲线的第二定义知
e PF PF d PF ==|
|||||121，即||||12PF e PF = ① 再由双曲线的第一定义，得a PF PF 2||||12=- ② 由①②，解得： 1
2||,12||21-=
-=
e ae
PF e a PF
由在Δ21F PF 中有 c PF PF 2||||12≥+， c e ae e a 21
21
2≥-+-∴ ③
利用a
c e =，从③式得0122≤--e e 解得2121+≤≤-e
2111+≤<∴>e e ，与已知21+>e 矛盾。 ∴符合条件的点P 不
存在。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。
例5．如图，在双曲线113
122
2=-x y 的上支有三点),(),6,(),,(33211y x C x B y x A ，
它们与点F （0，5）的距离成等差数列。 （1） 求的值31y y +
（2） 证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标 解：（1）,51312=+=c 故F 双曲线的焦点，设准线为l ，离心率为e ，
由题设有FC FA FB +=2 （1）
分别过A 、B 、C 作x 轴的垂线111222C B A ,,,，，于交l CC BB AA ，则由双曲线的第二定义有111,,FB CC e FC AA e FA BB e ==＝，代入（1）式，得111111CC AA B B 2,2＋＝即CC e AA e BB e +=，于是两边均加上准线与x 轴距离的2倍，有126223131222=+?+?+=y y y y CC AA BB ＝，此即
（
2
）
AC
的
中
垂
线
方
程
为
)
(26),2(23123
21313131313131y y x x x y y x x y x x x y y x x y y y --+
---=-+----=+-即 （2） 由于A 、C 在双曲线上，所以有113
12,113122
3232
121=-=-x y x y
相减得131212
13
)(1213,121331312
32123212321=?=+=---=-y y y y x x y y x x 于是有
故（2）式化为2253131+---
=x y y x x y ，易知此直线过定点)2
25
,0(D 。
【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过
弦AC 的中点，中点问题往往把A 、C 的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。
例6：（备用） 已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点)0,1(A 和)0,1(-B ，P 是双曲线上异于A 、B 的任一点，如果ΔAPB 的垂心H 总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。
【解】：设双曲线方程为),(,10022
2
y x P b
y x =-为双曲线上任一点，BN ，PM
是ΔAPB 的两条高，则BN 方程为)1(10
+-=x y x y ① PM 方程为0x x = ② 又,122
02
=-b y x ③ 得),(200b
y x H -，又H 在双曲线上，∴142
02
=-b
y
x ④ ∴12=b ，所以双曲线方程为122=-y x
【思维点拨】设方程，消参数。
例7：（备用）双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为3，它的两个焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为α，且2
21
tan =
α，l 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点为P ，
线段P F 2与双曲线的交点为Q ，且||PQ :||2QF =2:1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。 【解】：以F 1F 2的中心为原点，F 1，F 2所在的直线为x 轴建立坐标系，
则所求双曲线方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，设)0,(2c F ，
不妨设l 的方程为)(221c x y -=
，它与y 轴交点)2
21,0(c P - 由定比分点坐标公式Q 点的坐标为???
?
???
-=-==+=c c y c c x 6213221
32320 即)6
21
,32(c c Q - 由点Q 在双曲线上可得 13621942
2
22=-b
c a c ① 又 3=ab ② 222c b a =+ ③
解得3,1==b a ，所以双曲线方程为13
2
2
=-y x
三、课堂小结：
1. 渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为
x m n y ±=的双曲线方程可设为)0(2
2
22≠=-λλn y m x 。
2. 利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。
3. 椭圆中c b a ,,的关系与双曲线中c b a ,,的关系是不同的，应注意区分运用。
四、作业布置：
教材P123闯关训练