高三数学 双曲线
高三数学双曲线PPT优秀课件
变式2-1
设双曲线x 2 -y 2 =1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0， b)两点，且a 2 原b 2点到直线l的距离为 c，求3 双曲线的离心率．
解析：由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的4 方程为bx+ay-
ab=0.
由原点到l的距离为3 c，
则m=( )
A. - 1
4
B. -4
C.4
D.
1 4
4. 已知曲线 x 2 =y12和直线ax+by+1=0(a，b为非零实数)．在
同一坐标系中a，2 它b们2 的图像可能为( )
5. (教材改编题) 以椭圆
x2 169
= 11y424的焦点为顶点，x轴上顶点
为焦点的双曲线的标准方程为________.
by=22 1(a>0，b>0)
y a
=22 1bx(22a>0，b>0)
图形
-
性质 范围
对称性
________
对称轴：________ 对称中心：______
________
对称轴：______ 对称中心：______
顶点 渐近线 离心率
实虚轴
a、b、 c的关
系
顶点坐标：
A1______，A2______
顶点坐标：
A1______， A2______
______________
3. 等轴双曲线
__________等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2-y2= λ(λ 0)，离心率e=______．
答案：1. (1)①差的绝对值 ②小于
(2)F1，F2 |F1F2| 2. x≥a或x≤-a，y∈R x∈R，y≤-a或y≥a 坐标轴 原点
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。
高中高三数学双曲线方程知识点
高中高三数学双曲线方程知识点
高中高三数学双曲线方程知识点
广大高中生要想顺利通过高考，接受更好的教育，就要做好考试前的复习准备。
小编带来高三数学双曲线方程知识点，希望大家认真阅读。
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
长加短减原则：
构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
以上就是高三数学双曲线方程知识点的全部内容。
也祝愿大家都能愉快学习，愉快成长!。
高三数学知识点总结双曲线
高三数学知识点总结双曲线双曲线是高中数学中的重要内容之一，在数学中应用广泛，所以熟练掌握双曲线的性质和运用方法对于高三学生来说非常重要。
本文将对高三数学知识点中的双曲线进行总结和归纳，以便帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 双曲线的定义和性质双曲线是指平面上满足一定关系式的点的集合。
具体而言，设F1和F2是平面上两个固定点，且F1F2的距离是2a（a>0）。
对于平面上的任意点P，其到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数c（c>0），即|PF1 - PF2| = 2a。
双曲线的主轴是连接两个焦点的直线段F1F2，在主轴上的点P到两个焦点的距离之差为0。
双曲线的离心率定义为e = c/a，离心率是表征双曲线形状的重要参数。
2. 双曲线的方程和图像双曲线的一般方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b都是正实数。
由于a和b的取值不同，双曲线可以表现出不同的形状。
当a > b时，双曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，x轴称为双曲线的对称轴，y轴称为双曲线的渐近线。
这种双曲线的形状是开口向左右两侧的。
当b > a时，双曲线的中心在原点O，焦点在y轴上，y轴成为双曲线的对称轴，x轴称为双曲线的渐近线。
这种双曲线的形状是开口向上下两侧的。
3. 双曲线的性质和运用双曲线有许多重要的性质和应用，下面列举其中几个重要的：（1）双曲线的渐近线：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，当x 取绝对值较大的正值或负值时，方程右边的项趋近于0。
因此，当x趋近于正无穷或负无穷时，方程左边的项也趋近于0，即y趋近于±a/bx。
因此，双曲线的渐近线方程为y = ±a/bx。
（2）焦点和准线的坐标：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，焦点的坐标为(F1, 0)和(-F1, 0)，其中F1 = √(a^2 + b^2)；准线的方程为x = a/e，其中e为离心率。
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
高三数学双曲线知识点总结归纳
高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。
下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。
一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。
双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。
横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。
二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。
2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。
3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。
4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。
5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。
四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。
2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。
五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。
2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。
高三数学双曲线标准方程
(1) x
2
25
2
y
2
16
2
1
y x ( 2)
25
2
2
16
1
2
(3)4 x 9 y 36
2
(4)4 x 9 y 36
注 : 根据x , y 的系数的正负判断焦点位置。
即x 的系数为正，则焦点在x轴上， y 的系数为正，则焦点在y轴上。
2
2
x2 y2 练习2:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
解：由题意，可设双曲线的标准方程为 x2 y 2 1 a 0, b 0 a b 因为 2a 8, c 5
所以
a 4, b2 c2 a2 52 42 9
x2 y 2 1 16 9
因而所求双曲线的标准方程为
例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：
1 a 3, b 4, 焦点在x轴上 5，焦点在y轴上 2 a 2 5, 经过点A 2，
注：求双曲线的标准方程应先定型，后定量。 即先判断焦点所在的坐标轴，然后在确定a,b
小 结
定义
图 形
MF1 MF2 2a， 0 2a F1F2
方 程 焦点
a, b,c的 关系 焦点的 判断
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 2. 椭圆的标准方程
Y
M x, y
(1).焦点在x轴
2
F1 c, 0
O
F2 c, 0 X
(2)焦点在y轴
2 2
x y 2 1(a b 0) 2 a b
高三数学知识点双曲线椭圆
高三数学知识点双曲线椭圆高三数学知识点：双曲线和椭圆双曲线和椭圆是高中数学中重要的曲线类别，它们在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将详细介绍双曲线和椭圆的定义、性质、方程及其应用。
一、双曲线1. 定义及性质双曲线是由平面上满足一定条件的点构成的曲线。
它的定义是：平面内到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。
两个给定点叫做焦点，常数叫做离心率。
双曲线的形状与焦点和离心率有关。
2. 方程双曲线的标准方程有两种形式：独立变量在分子和分母上的方程和独立变量在一项上的方程。
常见的双曲线方程有：横轴双曲线方程、纵轴双曲线方程、一般方程等。
3. 性质和参数双曲线具有许多重要的性质和参数，如焦点、离心率、短轴、长轴、渐进线等，这些性质和参数在解决具体问题和计算曲线方程时非常重要。
4. 应用双曲线在物理学、工程学、天文学等领域中有广泛的应用。
例如，双曲线可以描述天体的轨迹、椭圆轨道上的行星运动等。
二、椭圆1. 定义及性质椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
两个定点称为焦点，常数称为离心率。
椭圆的形状与焦点和离心率有关。
2. 方程椭圆的标准方程也有两种形式：横轴椭圆方程和纵轴椭圆方程。
椭圆方程可以用于描述椭圆的形状和位置。
3. 性质和参数椭圆也具有一些重要的性质和参数，如焦点、离心率、长轴、短轴、焦距、半焦距等。
这些性质和参数对于解决问题和计算曲线方程非常有帮助。
4. 应用椭圆在物理学、天文学、力学、电磁学等领域中有广泛的应用。
例如，椭圆可以用于描述行星轨道、天体运动、电子轨道等。
三、双曲线与椭圆的区别与联系1. 区别双曲线和椭圆的最大区别在于它们到焦点的距离之和是否等于常数。
双曲线是距离之差的绝对值等于常数，而椭圆是距离之和等于常数。
2. 联系双曲线和椭圆具有一定的联系和相似之处。
它们都是由到焦点的距离之和或之差等于常数的点构成的曲线，因此它们在数学中有类似的性质和参数。
四、总结双曲线和椭圆是高三数学中重要的知识点，它们的定义、性质、方程和应用都需要我们深入理解。
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第二节 双曲线一、基本知识概要： 1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹，即点集{}a PF PF P 2|21=-。
（212F F a =为两射线；221F F a >无轨迹。
）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
即点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1|11e d PF P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1|22e d PF P ，一个比产生整条双曲线。
2.双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y 图形焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+一个Rt ∆范围R y a x ∈≥,||R x a y ∈≥,||对称性关于x 轴，y 轴和原点对称说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的p e c b a ,,,,与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。
求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。
唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。
利用共渐近线的双曲线系k b y a x =-2222或)0(2222≠=-k k bx a y 方程解题，常使解法简捷。
(4)双曲线的焦半径，当点P 在右支（或上支）上时，为);(,00a ey a ex ±±当点P 在左支（或下支）上时，为)];([),(00a ey a ex ±-±-利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，3.重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。
4.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。
二、例题：例1：根据下列条件，求双曲线方程：(1) 与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-；(2) 与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(。
【解】：（1）设所求双曲线方程为)0(16922≠=-λλy x ，将点)32,3(-代入得41=λ，所以双曲线方程为4116922=-y x 。
（2）设双曲线方程为141622=+--ky k x ，将点)2,23(代入得4=k ， 所以双曲线方程为181222=-y x 。
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。
要善于选择恰当的方程模型。
例2：在双曲线191622=-y x 上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
【解】：设P 点的坐标为),(y x ，21,F F 分别为双曲线的左，右焦点。
∵双曲线的准线方程为516±=x 。
∴|516||||516|||21-=+x PF x PF ∵||2||21PF PF = ∴P 在双曲线的右支上。
∴516||516||222-=+x PF x PF ∴548=x 。
把548=x 代入方程191622=-y x 得11953±=y 。
所以，P 点的坐标为（548，11953±） 【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.例3．（2019年全国，19）设点P 到点M （－1，0），N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。
解：设点P 的坐标为（x,y ），依题意得)0(2,2≠±==x x y xy 即。
（1）因此，点P （x.y ）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得2=<-MN PN PM10,02<<∴>=-m m PN PM ，因此，点P 在以M ，N 为焦点，实轴长为2m 的双曲线上，故112222=--my m x （2） 将（1）代入（2），并解得222251)1(mm m x --=，051,0122>-∴>-m m 解得0＜55<m ，即m 的取值范围为)55,0()0,55( -。
【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。
解决此题的关键是用好双曲线的定义。
例4：已知双曲线12222=-b y a x 的离心率21+>e ，左，右焦点分别的为21,F F ，左准线为1l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得||1PF 是P 到l 的距离d 与||2PF 的等比中项。
【解】：设在左半支上存在点P ，使d PF PF ||||221=，由双曲线的第二定义知e PF PF d PF ==||||||121，即||||12PF e PF = ① 再由双曲线的第一定义，得a PF PF 2||||12=- ② 由①②，解得： 12||,12||21-=-=e aePF e a PF由在Δ21F PF 中有 c PF PF 2||||12≥+， c e ae e a 21212≥-+-∴ ③利用ac e =，从③式得0122≤--e e 解得2121+≤≤-e2111+≤<∴>e e ，与已知21+>e 矛盾。
∴符合条件的点P 不存在。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。
例5．如图，在双曲线1131222=-x y 的上支有三点),(),6,(),,(33211y x C x B y x A ，它们与点F （0，5）的距离成等差数列。
（1） 求的值31y y +（2） 证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标 解：（1）,51312=+=c 故F 双曲线的焦点，设准线为l ，离心率为e ，由题设有FC FA FB +=2 （1）分别过A 、B 、C 作x 轴的垂线111222C B A ,,,，，于交l CC BB AA ，则由双曲线的第二定义有111,,FB CC e FC AA e FA BB e ==＝，代入（1）式，得111111CC AA B B 2,2＋＝即CC e AA e BB e +=，于是两边均加上准线与x 轴距离的2倍，有126223131222=+⇒+⨯+=y y y y CC AA BB ＝，此即（2）AC的中垂线方程为)(26),2(2312321313131313131y y x x x y y x x y x x x y y x x y y y --+---=-+----=+-即 （2） 由于A 、C 在双曲线上，所以有11312,1131223232121=-=-x y x y相减得13121213)(1213,12133131232123212321=⋅=+=---=-y y y y x x y y x x 于是有故（2）式化为2253131+---=x y y x x y ，易知此直线过定点)225,0(D 。
【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC 的中点，中点问题往往把A 、C 的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。
例6：（备用） 已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点)0,1(A 和)0,1(-B ，P 是双曲线上异于A 、B 的任一点，如果ΔAPB 的垂心H 总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。
【解】：设双曲线方程为),(,100222y x P by x =-为双曲线上任一点，BN ，PM是ΔAPB 的两条高，则BN 方程为)1(10+-=x y x y ① PM 方程为0x x = ② 又,12202=-b y x ③ 得),(200by x H -，又H 在双曲线上，∴14202=-byx ④ ∴12=b ，所以双曲线方程为122=-y x【思维点拨】设方程，消参数。
例7：（备用）双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为3，它的两个焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为α，且221tan =α，l 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点为P ，线段P F 2与双曲线的交点为Q ，且||PQ :||2QF =2:1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。
【解】：以F 1F 2的中心为原点，F 1，F 2所在的直线为x 轴建立坐标系，则所求双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，设)0,(2c F ，不妨设l 的方程为)(221c x y -=，它与y 轴交点)221,0(c P - 由定比分点坐标公式Q 点的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==+=c c y c c x 621322132320 即)621,32(c c Q - 由点Q 在双曲线上可得 13621942222=-bc a c ① 又 3=ab ② 222c b a =+ ③解得3,1==b a ，所以双曲线方程为1322=-y x三、课堂小结：1. 渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为x m n y ±=的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλn y m x 。
2. 利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。
3. 椭圆中c b a ,,的关系与双曲线中c b a ,,的关系是不同的，应注意区分运用。
四、作业布置：教材P123闯关训练。