自身阻滞作用下的食饵—— 捕食者模型

楚雄师范学院数学系《数学模型》课程教学论文自身阻滞作用下的食饵—捕食者模型题目：专业：数学与应用数学班级：数学系09级01班学号： 20091021135学生姓名：韩金伟完成日期： 2011 年 12 月楚雄师范学院数学系09级01班韩金伟学号：20091021135楚雄师范学院数学系09级01班 韩金伟 学号：20091021135自身阻滞作用下的食饵——捕食者模型V olterra （Logistic ）考虑自身阻滞作用的食饵——捕食者模型一、模型要求讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。

二、问题叙述针对两种群的生存关系食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）的V olterra 模型，我们在实际的生态系统中观察不到V olterra 模型显示的那种周期性震荡，而是趋向于某种平衡状态，即系统存在稳定平衡点。

在V olterra 模型中，我们看到他并没有考虑种群的自身阻滞作用对模型的影响。

为此，我们现在就在V olterra 模型中加入考虑种群自身阻滞作用Logistic 项重新建立模型对食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）的关系加以分析。

三、建立模型食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）在时刻t 的数量分别记作)(),(21t x t x ，因为大海中资源丰富，假设在它们生存的空间里容纳食饵和捕食者的最大容纳量分别为21N N ，，当食饵独立存在时以指数规律增长，（相对）增长率为1r ，即11x r x= ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者的数量成正比，即22N x ，食饵数量的增长对自身也有一定的阻滞作用，阻滞率为11N x，于是)(1t x 满足方程)1(r )(2211111N xN x x t xσ--= （1） 1σ反映单位数量的乙（相对于甲）捕食单位数量甲（相对于乙）的能力。

捕食者离开食饵无法生存，设它独立存在时死亡率为2r ，即22x r y-= ，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长，设这种作用与食饵数量成正比，即11N x ，而捕食者的增长又对自身产生了阻滞作用，阻滞率为22N x ，于是)(2t x 满足方程)1()(2211222N x N x x r t y-+-=σ （2）2σ反映单位数量的甲（相对于乙）供养单位数量乙（相对于甲）能力。

方程（1），（2）是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约关系，这里考虑到了种群的自身阻滞作用，是V olterra 模型的延伸。

四、符号说明)(1t x：食饵（食用鱼）在时刻t 的数量。

）t x (2 ：捕食者（鲨鱼）在时刻t 的数量。

1r ：食饵（食用鱼）独立存在是以指数规律增长，（相对）增长率。

2r ：捕食者（鲨鱼）独立存在时的死亡率。

1σ：单位数量的乙（相对于1N ）捕食单位数量甲（相对于2N ）的能力。

2σ：单位数量的甲（相对于2N ）供养单位数量乙（相对于1N ）的能力。

1N ：生存环境允许食饵的最大生存量。

2N ：生存环境允许捕食者的最大生存量。

五、模型分析1、稳定性分析：为了了解食饵和捕食者在自身阻滞作用下的生存结局，即∞→t 时，)(),(21t x t x 的趋向，我们对方程（1），（2）的平衡点进行稳定性分析。

首先根据微分方程（1），（2）解代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-≡==--≡=0)1(),(0)1(),(22212222212211111121N xN x x r dt dx x x f N xN x x r dt dx x x f σσ 可以得到3个平衡点：)0,0(1p )0,(12N p ()2122211131)1(,1)1(σσσσσσ+-++N N p按照判断平衡点稳定性的方法计算，可以得到：（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=）2211221222211122111121(-)21(A 2121N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f x x x xσσσσ4,3,2,1,|)(21=+-=i g f p i p x x 4,3,2,1,|det ==i A q i p 对三个平衡点进行稳定性分析：（1）、对于)0,0(1p 点，由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210A σσ，2121,r r q r r p -=+-=，故1p 点不稳定。

（2）、对于)0,(12N p 点，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=122121110r r N N r r A σσ，解得)1(221--=σr r p ，)1(221-=r r r q ，所以当12<σ时2p 点稳定。

（3）、对于()2122211131)1(,1)1(σσσσσσ+-++N N p 点，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-++-+--=21222211221212111212111)1()1()1()1(1σσσσσσσσσσσσσσr r N N N N r r A （4）解得2121212122111)1)(1(,1)1()1(σσσσσσσσ+-+=+-++=r r q r r p ，当1,1,12121>>>σσσσ时3p 点稳定。

从上表中可以看出)0,0(1p 是不稳定的点；当12<σ时，)0,(12N p 点是稳定点；当12>σ时，()2122211131)1(,1)1(σσσσσσ+-++N N p 是稳定点。

2、相轨线分析： 对于非线性方程（1），（2）我们对它们的局部稳定性做基础上的相轨线分析，在代数方程组（3）中，令： 2211121_1),N x N x x x σφ-=（ 22112211),N x N x x x --=σϕ（ 对于稳定点32,p p 做稳定点的相平面分析即：对于2p 点的相平面分析我们可以看到图像的各个区域都趋向于)0,(12N p 点，3p 点的相平面分析可以看到各个区域都趋向于()2122211131)1(,1)1(σσσσσσ+-++N N p 点。

六、模型求解方程（1），（2）没有解析解，我们从前面的分析可以看出，21,σσ的取值对食饵和捕食者的关系有直接的影响，有前面的分析我们可以知道1σ对方程（1），2p 点的相平面分析3p 点的相平面分析（5）（2）的稳定性没影响，主要是是2σ对方程产生了影响。

我们现在就分两步对这个模型所描述的现象进行分析。

首先，利用Matlab 软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜想它的解析解的结构；然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜想。

记食饵和捕食者的初始数量分别为：)0(1x ＝0x ，)0(2x ＝0y （6）求微分方程（1），（2）及初始条件（6）的数值解)(),(21t x t x （并作图）及相轨线）（t x 2。

1、当12>σ时，设35,100,2)2(,6.1)1(,5.0,1212121========N N a a r r σσ，0x =10，0y =30,)()(),()(21t x t y t x t x ==则用MATLAB 软件编程序如下： 建立M 文件输入以下程序并保存 function xdot=shier(t,x)r(1)=1;r(2)=0.5;a(1)=1.6;a(2)=2;N(1)=100;N(2)=35;xdot=[(1-x(1)/N(1)-a(1)*x(2)/N(2)).*(r(1)*x(1));(-1+a(2)*x(1)/N(1)-x(2)/N(2)).*(r(2)*x(2))];在执行栏中直接输入下列程序求解 ts=0:0.1:50; x0=[10,30];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,可得到)()(),()(21t y t x t x t x ==及相轨线)()(2t y t x =的图形（由于数值结果太多也不是太重要，所以此处就省略去）。

12>σ时，由图形可以看出)(),(21t x t x 是相互趋于稳定的函数，以此相对应的相轨线)(x 2t 也只是在某段才有曲线。

并且当食饵的数量小于捕食者的数量时，曲线会自动的上升和下降，也就是食饵和捕食者最终都将归于平衡状态，在自身的阻滞作用下食饵和捕食者的数量终究都不能达到环境允许的最大值。

2、当12<σ时，设100,6.0)2(,6.1)1(,5.0,112121=======N a a r r σσ，35N 2=，0x =10，0y =30,)()(),()(21t x t y t x t x ==则用MATLAB 软件编程序如下：建立M 文件输入以下程序并保存 function xdot=shier(t,x)r(1)=1;r(2)=0.5;a(1)=1.6;a(2)=0.6;N(1)=100;N(2)=35;xdot=[(1-x(1)/N(1)-a(1)*x(2)/N(2)).*(r(1)*x(1));(-1+a(2)*x(1)/N(1)-x(2)/N(2)).*(r(2)*x(2))];在执行栏中直接输入下列程序求解 ts=0:0.1:50; x0=[10,30];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,可得到)()(),()(21t y t x t x t x ==及相轨线)()(2t y t x =的图形（由于数值结果太多也不是重要，所以此处就省略去）。

数值解x(t),y(t)的图形相轨线)(2t x 的图形12<σ时，由图形可以看出)(),(21t x t x 是相互趋于稳定的函数，以此相对应的相轨线)(x 2t 也只是在某段才有曲线。

并从图像中可以看出，食饵和捕食者由于捕食者的捕食能力低于自身要求水平，所以最终捕食者的数量趋近于零，而食饵的数量则趋于最大值，同样的两个种群相互的作用下最终达到平衡，不在发生明显的波动现象。

七、模型结论通过上述实验的数据和图形可以表明：当12>σ时，3p 点稳定，食饵和捕食者共存，无论是食饵和捕食者的数量如何，只要同时存在二者就能分别趋向于非零的有限值，而且始终都不能达到自己环境所允许的最大值；12<σ时，2p 点稳定此时因为食饵供养捕食者的能力低于捕食者自身的基本生存要求，所以捕食者就慢慢灭绝了，而食饵则趋向环境允许的最大容量。