(精心整理)2007年高考数学试题(广东·理)含答案

绝密★启用前 试卷类型：B

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室

号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点

涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，

再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式sh V 3

1

=

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ?=?．

用最小二乘法求线性同归方程系数公式1

2

21

???,n

i i

i n

i i x y nx y

b

a

y bx x nx

==-==--∑∑． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合要求的． 1．已知函数x

x f -=

11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N =

A ．{}

1x x >-

B ．{}1x x <

C ．{}

11x x -<<

D ．?

2．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝

A ．2

B ．

2

1

C ．2

1-

D ．-2

3．若函数2

1

()sin (),()2

f x x x f x =-

∈R 则是

A ．最小正周期为

2

π

的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数

C ．最小正周期为π2的偶函数

D ．最小正周期为π的偶函数

4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发．经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是

A ．

B ．

C ．

D ．

5．已知数{}n a 的前n 项和2

9n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k=

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm(含

160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A ．i<6

B ． i<7

C ． i<8

D ． i<9

7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为

A ．15

B ．16

C ．17

D ．18 8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是 A ．（a*b ）*a=a B ．［a*(b*a)］*(a*b)=a C ．b*(b*b)=b D ．(a*b)* ［b*(a*b)］=b

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只

能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．

9．甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球． 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10． 若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120，则a a ＋=a b ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．

12．如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定

的直线共有 条．这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ 图4 ; )(n f ＝ ．（答案用数字或n 的解析式表示）

13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

3

()3x t t y t =+?∈?=-?R 参数，圆C 的参数方程为[])20(2

sin 2cos 2πθθθ，参数∈??

?+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．

14．（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，

则x 的取值范围是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C

为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则

∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 ．

图5

三、解答题：本大题共有6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、．

（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;

（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围．

17．(本题满分12分)

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生 产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据

x

3 4 5

6

y

2.5

3

4

4.5

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程??y bx a =+；

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性

同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：3 2.543546 4.566.5?+?+?+?=） 18．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O ．椭圆9222

y a

x +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．

（1）求圆C 的方程．

（2）试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）

如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，

点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点．点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ．现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ．记

BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积．

（1）求V (x )的表达式；

（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？

（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20．（本小题满分14分）

已知a 是实数，函数2

()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）

已知函数2

()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()

f x 的导数，设11a =，1()

()

n n n n f a a a f a +=-

'，(1,2,)n =．

（1）求α、β的值；

（2）证明：任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln n n n a b a β

α

-=-，(1,2,)n =，求数列{n b }的前n 项和n S ．

2007年普通高等学校全国招生统一考试 （广东卷）数学（理科）参考答案

一、选择题

二、填空题

9．19 10．12 11．5

4

x =- 12．()12n n +，()()122n n n --

13．

（0，2）

， 14．6，[]1,1- 15．30

，3

三、解答题

16．解：（1）∵()3,4A ，()0,0B ， ∴5AB =，4

sin 5

B =

． 当5c =时，5

BC =，AC =

=

根据正弦定理，得

sin sin BC AC

A B

=， ∴sin 5

A =

． （2）∵()3,4A ，()0,0B ，(),0C c ， ∴5AB =，AC =

，BC c =．

根据余弦定理，得2

2

2

cos 2AB AC BC

A A

B AC

+-=

．

若A ∠为钝角，则cos 0A <，即222

0AB AC BC +-<，

即()2222

5340c c ??+-+-

，

解得253

c >

．

17．解：（1）如下图

（2）

y x i n

i i ∑=1

＝3?2.5＋4?3＋5?4＋6?4.5＝66.5，

x ＝

4

6

543+++＝4.5，

y ＝2.534 4.54

+++＝3.5，

2

22221

345686n

i i

x ==+++=∑，

b ＝

2

66.54 4.5 3.5

0.7864 4.5

-??=-?， a ＝3.5－0.7?4.5＝0.35．

故线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35．

（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7?100＋0.35＝70.35，

故耗能减少了90－70.35＝19.65（吨）

18．解：（1）设圆心坐标为（m ，n ）（m <0，n >0），则该圆的方程为()()2

2

8x m y n -+-=，已知该圆与直线y ＝x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

2

n m -＝22．

即n m -＝4 ① 又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入，得m 2＋n 2＝8． ② 联立方程①和②组成方程组解得

??

?=-=2

2n m ，故圆的方程为()()22

228x y ++-=． （2）a ＝5，∴a 2＝25，则椭圆的方程为

221259

x y +=． 其焦距c ＝925-＝4，右焦点为（4，0），那么OF ＝4．

要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为顶点，半径为4的圆()2

2

48x y -+=与（1）所求的圆的交点数．

通过联立两圆的方程解得x ＝54

，y ＝512． 即存在异于原点的点Q （54，5

12

），使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长．

19．解：（1）∵EF AB ⊥，∴EF PE ⊥．

又∵PE AE ⊥，EF AE E =，且PE 在平面ACFE 外， ∴PE ⊥平面ACFE ．

∵EF AB ⊥，CD AB ⊥，

∴EF

CD ．

∴

EF x CD EF x CD BD BD =?==． 所以四边形ACFE 的面积

2211322ACFE ABC BEF S S S x x ??=-=?-=．

∴四棱锥P ACFE -的体积3

1363P ACFE ACFE V S PE x -=

=．

即()3

V x =-

（0x <<．

（2）由（1）知()2

12

V x x '=． 令()0V x '=，解得6x =．

∵当06x <<时，()0V x '>，当6x <<()0V x '<，

∴当6BE x ==时，()V x 有最大值，最大值为()6V = （3）（解法1）过点F 作FG AC 交AE 于点G ，连接PG ，则PFG ∠为异面直线AC 与

PF 所成的角．

∵ABC ?是等腰三角形， ∴GBF ?也是等腰三角形．

于是FG BF PF ====

从而PG =

在GPF ?中，根据余弦定理，得2221

cos 27

PF FG PG PFG PF FG +-∠=

=?． 故异面直线AC 与PF 所成的角的余弦值为

17

． （解法2）以点E 为坐标原点，向量EA ，EF ，EP 分别为x ，y ，z 轴的正向建立空间直角坐标系，

则()0,0,0E ，()0,0,6P ，()

F ，()6,0,0A ，()

6,3,0C ．

于是()

AC =-，()

6PF =-．

异面直线AC 与PF 所成角θ的余弦为1

cos 7

33AC PF AC PF

θ=

=

=，

故异面直线AC 与PF 所成的角的余弦值为

17

． 20．解：当a ＝0时，函数为()23f x x =-，其零点x ＝3

2

不在区间[－1，1]上． 当a ≠0时，函数()f x 在区间[－1，1]分为两种情况： ①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根．

此时()4830a a ?=++=，解得a =

．

当32a -=

时，()0f x =

的重根[]31,12

x -=

∈-． ②函数在区间[─1，1]上只有一个零点，但不是()0f x =的重根． 此时()()110f f -≤，即()()510a a --≤，解得15a ≤≤． ③函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

()()0,

111,2110.

a f f ??>?

?

-<-

?-≥?

解得a <或5a ≥． 综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a 的取值范围

为

[)3,1,2?--∞+∞ ??

．

21．解：（1）解方程x 2＋x －1＝0得x ＝

2

5

1±-， 由αβ>

，知12α-+=

，12

β--=． （2）∵()21f x x '=+，∴1()()n n n n f a a a f a +=-'21

21

n n a a +=

+． ()()2222

212121212121

n n n n n n n n n a a a a a a a a a αααααααα+-+-+---+--===

+++． 下面用数学归纳法证明，当1n ≥时，0n a α->成立． ①当1n =

时，110a αα-=-=

>，命题成立． ②假设n k =（1k ≥）时命题成立，即0k a α->，此时0k a α>>． 则当1n k =+时，()2

1

021

k

k k a a a αα+--=>+，命题成立．

根据数学归纳法可知，对任意的正整数n ，有0n a α->． （3）根据（2），同理可得()2

1

21

n

n n a a a ββ+--=+．

∵n a αβ>>（1,2,3,

n =），且11a =

，∴11b =

ln n n n a b a β

α-=-()()

2

1112

11ln 2ln 2n n n n n a a b a a ββαα-------===--， 即数列{}n b 为首项为1b ，公比为2的等比数列． 故数列{}n b 前n 项和()(

)(

)121211

214ln

24ln

12

22

n n n n b S +-=

=-?=--．