2020-2021学年河南省安阳市滑县高二上学期期末考试数学理试题 PDF版
2020-2021学年河南省安阳市滑县第二高级中学高三数学理期末试题含解析
2020-2021学年河南省安阳市滑县第二高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A略2. 已知正数a，b满足，则的最大值为（）A．B． C. D．参考答案：C3. 函数的图象大致为（）A B C D参考答案：D因为，所以舍去A;因此选D.4. 三对夫妇参加完“红歌汇”，在人民大礼堂前拍照留念．若六人排成一排，每对夫妇必须相邻，不同的排法种数为A． B． C． D．参考答案：C5. 设数列的前项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为，那么数列，，，……，的“理想数”为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略6. 在空间内，设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是(A)，则(B)，则(C)，则(D)，则或参考答案：D7. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2参考答案：A试题分析：由双曲线方程可知渐近线为，由渐近线夹角为，可知渐近线倾斜角为，所以考点：双曲线方程及性质8. 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A}，且a≠b，则B的子集的个数是（）A．4 B．8 C．16 D．15参考答案：A【考点】集合中元素个数的最值．【专题】计算题．【分析】由题意求出集合B，然后求出集合B的子集个数即可．【解答】解：因为集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A，a≠b}={0，6}，它的子集有：?；（0）；{6}；{0，6}．共有4个．故选A．【点评】本题考查集合的子集的求出，集合的基本运算，考查计算能力．9. 一个算法的程序框图如右，则其输出结果是A.0B.C.D.参考答案：C10. 若正实数满足，则（）A．有最大值4 B．有最小值C．有最大值D．有最小值参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，若，则实数a的取值范围是____________.参考答案：(－2,1)【分析】判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:12. 计算(lg－lg25)÷100－＝________.参考答案：－2013. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为_______________参考答案：14. 已知数列{a n}，其前n项和为S n，给出下列命题：①若{a n}是等差数列，则(10，)，(100，)，(110，)三点共线；②若{a n}是等差数列，则S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m(m∈N*)；③若a1=1，S n+1=S n+2则数列{a n}是等比数列；④若=a n a n+2，则数列{a n}是等比数列．其中证明题的序号是．参考答案：①②【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】①根据等差数列的前n项和公式和和一次函数的性质进行判断；②若{a n}是等差数列，利用等差数列前n项和公式，求出S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）即可判断是否是等差数列；③首先，根据所给关系式，得到a2=，a3=，从而很容易判断该数列不是等比数列．④根据等比数列的性质和递推公式进行判断．【解答】解：①∵等差数列{a n}前n项和为S n=na1+，∴=（a1﹣）+n，∴数列{}关于n的一次函数（d≠0）或常函数（d=0），故三点共线，正确；②设等比数列{a n}的公差为d，A=S m，B=S2m﹣S m，C=S3m﹣S2m则B=S2m﹣S m=a m+1+a m+2+…+a2m，C=S3m﹣S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m，则B﹣A=a m+1+a m+2+…+a2m﹣（a1+a2+…+a m）=m2d，C﹣B=a2m+1+a2m+2+…+a3m﹣（a m+1+a m+2+…+a2m）=m2d，则B﹣A=C﹣B，即A，B，C成等差数列，即成等比数列，正确；③∵S n+1=S n+2，a1=1，∴a1+a2=a1+2，解得a2=，∴a1+a2+a3=（a1+a2）+2，即1++a3=（1+）+2，解得a3=，∴≠，∴数列{a n}不是等比数列，错误；④当a n=0时，成立，但是数列{a n}不是等比数列，错误；故答案是：①②．【点评】本题考查等差数列、等比数列的基本性质，通过对数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．15. 已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为_____________.参考答案：略16. 己知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为▲。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）直线320x y --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ）（A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天（C ）17天（D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （9）已知等差数列{}na 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++ （C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F12∆的内心，若1212IPF IPF IF F SSSλ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率152e +=③512λ-=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z =. （14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = . （15）已知数列{}na 满足11a =，111+)nn a n N a *-=∈(，则4a =（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，并且经过点(2,22)M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为.（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和nT .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 123456789101112A C DB B A D B AC BD 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 13 14 151617 18 19 20 2 35321m m <->-或 632,8p AB ==5n =或6，15232768=53三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -， 由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CDABkk⨯=-，得1CDk=-，………………2分所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >）， 由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分 （Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为232-41314d ==+（）………………10分所以，22224123MN r d =-=-=………………12分（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}nc 的前n 项和为n T ，121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n n B n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n n A n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ (9)分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k k y k k k -+=+=++，所以2228612(,)4343k k D k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k k k k -++，………………6分 则3(0)4OP k k k =-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OPEQ kk ⋅=-，即32()14n k km--⋅=-恒成立，所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M 点的横坐标为22343x k =±+，………………9分由//OM l 可得：22249=343D AE A D A M M x x x x x x AD AEk OM x x k -+--++==+2216(43)22343k k =+++≥，………………11分当且仅当2264343k k +=+，即32k =±时取等号，………………12分 所以当32k =±时，AD AEOM +的最小值为22.………………13分。
2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理 (E)
2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理 (E)考试时间：xx1月一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1．已知命题:p 200x x ∃＜，＞，那么p ⌝是( )A ．200x x ∀≥≤， B ．200x x ∃≥≤， C ．200x x ∃≤＜， D ．200x x ∀≤＜， 2．某市有大型、中型与小型商店共1500家,它们的家数之比为1∶5∶9.用分层抽样抽取其中的30家进行调查,则中型商店应抽出( )家.A ．10B ．18C ．2D ．203．双曲线1493622=-y x 的渐近线方程是( ) A ．x y 3649±= B ．x y 4936±= C ．x y 67±= D ．x y 76±=4. 在区间[]1,2-内任取一个数a ，则点()5,a 位于x 轴下方的概率为( ) A ．23 B ．12 C ．13 D ．165．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积等于( ) A ．243π+B ．342π+C ．263π+D ． 362π+ 6．袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P 表示“取出的都是黑球”；事件Q 表示“取出的都是白球”；事件R 表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列命题正确的是( ) A ．P 与R 是互斥事件 B ．P 与Q 是对立事件C ．Q 和R 是对立事件D ．Q 和R 是互斥事件，但不是对立事件7．定义运算*a b 为执行如右上图所示的程序框图输出的S 值，则55sin *cos 1212ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为 ( ) A ．234- B ． 14C ． 34D ． 234+8．已知条件p ：2b =，条件q ：直线y x b =+截圆224x y +=所得弦长为23，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点，到直线:l y x b =+的距离为22，则b 取值范围为( )A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[0,2]D ．[2,2)-10. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(5,0)M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点D .若3BF =，则BDF ∆与ADF ∆的面积之比为( ) A ．34 B ．45 C ．56 D ．6711．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为312．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左,右焦点分别为12,F F ,若双曲线上存在点P ,使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ,则该双曲线的离心率e 范围为( )A ．（1,12+）B ． （1,13+）C ．（1,12+]D ．（1,13+]二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，以这5次测试成绩为判断依据，则甲、乙两名运动员成绩稳定性较．差．的是__________．（填“甲、乙”） 14．椭圆22154x y +=的右焦点为F ，则以F 为焦点的抛物线的标准方程是__________． 15．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与利润额y （单位：百万元）进于了初步统计，得到下列表格中的数据： 经计算，月微信推广费用x 与月利润额y 满足线性回归方程6.5175ˆ.yx =+，则p 的值为__________． 16．我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个命题： ①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为__________．三. 解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知命题:p []20,1,0x x m ∀∈-≤；:q 方程22214x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆. （Ⅰ）若p ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n n b a =+-，且22n S n n =-.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1)(()n n n c a b n +-=，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b C c B +=．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若5a =，10b =，线段BC 的中垂线交AB 于点D ，求线段BD 的长.20．某高校数学与统计学院为了对xx 录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在xx 高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数x 分布在[)100,150内.当[)*10,10(1),x n n n N ∈+∈时，其频率1020ny a =-. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数；（Ⅲ）从成绩在100～120分的学生中，用分层抽样的方法从中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选两人甲、乙，记甲、乙的成绩分别为m n 、，求概率()10P m n ->．21．如图，在多面体ABCDEF 中，AB CD EF ∥∥，EF ADE ⊥面，BE DE ⊥. （Ⅰ）求证：AE CF ⊥；（Ⅱ）若244AB EF CD ===，2AE DE +=，且直线BD 与平面ABFE 所成角的正切值为1717，求二面角A BC F --的余弦值．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，且过点2(2,)2． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠，与该椭圆交于P Q 、两点，直线OP OQ 、的斜率分别为12k k 、，满足124=k k k +．（i ）当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； （ii ）求OPQ △面积的取值范围．宜昌市葛洲坝中学xx 第一学期 高二年级期末考试 数学（理科）参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACCDCBABDDA二、填空题：13．甲 14．24y x = 15．50 16．①②③④ 12．【解析】在12PF F ∆ 中，由正弦定理得122112PF PF sin PF F sin PF F =∠∠，又112212,PF a cc sin PF F sin PF F PF a==∠∠ ，即12·cPF PF a = ， P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得222a PF c a =- ，由双曲线的几何性质，知222,a PF c a c a c a >-∴>-- ，即2220c ac a --< ， 2210e e ∴--<，解得2121e -+<<+ ，又1e > ，所以双曲线离心率的范围是()1,21++ ，故选A.17．(1) 24n a n =-;(2) 3118n n S -=.【解析】(1)因为()21n a n d =-+-，所以1221120a d =-+=，于是2d =，所以24n a n =-.(2) 因为24n a n =-，所以()()1226 (32)n n n a a a n n -+++==-，于是12 (32)nn a a a b n +++==-，令3n b n c =，则33n n c -=，显然数列{}n c 是等比数列，且213c -=，公比3q =，所以数列{}3nb 的前n 项和()1131118nnn c q S q--==-. 18．（1）85%;（2）1）该玩具合格;2）见解析.【解析】（1）由题意知， 20个样本中，极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格，故合格率可估计为170.8520=，即这批玩具的合格率约为85%.（2）由数据可知，5点或9点对应最大频率0.10,4点对应最小频率0.06，故频率极差为0.040.05≤，故该玩具合格.2）根据统计数据，可得以下列联表：于是2K的观测值()21001560151030702575k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯010014.2857 6.6357k=≈>=，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为事件A与事件B有关.19．（1）见解析；（2）5719h=.【解析】（1）因为,,G H F分别是,,AC BC PC的中点，故//AB GH，//FH PB，又AB⊂平面ABD，BE⊂平面ABD，所以//GH平面ABD，//HF平面ABD，因为GH⊂平面GHF，HF⊂平面GHF，GH HF H⋂=，故平面//GHF平面ABD；因为HI⊂平面GHF，故//HI平面ABD.（2）由（1），//BE HF，∴//BE平面FGH，又∵H是BC中点，∴E到平面FGH的距离等于C到平面FGH的距离，依题意，52HF=，1HG=，72GF=，故571544cos105212GHF+-∠==⨯⨯；故95sin10GHF∠=，记点E到平面FGH的距离为h，因为E GHF C GHF F GHCV V V---==，故11131159511322232210h⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5719h=.20．（1）见解析;（2）见解析.【解析】（1）()f x的定义域为()0,+∞，()21mf xx='-=2x mx--.①当0m ≤时， ()0f x '<，故()f x 在()0,+∞内单调递减， ()f x 无极值； ②当0m >时，令()0f x '>，得02x m <<；令()0f x '<，得2x m >.故()f x 在2x m =处取得极大值，且极大值为()()22ln 22f m m m m =-， ()f x 无极小值.（2）证法一：当0x >时， ()()30g x f x '+>⇔23e 3630x mx x -+->⇔ 23e 3630x x mx -+->.设函数()23e 3xu x x=- 63mx +-， 则()()3e 22x u x x m='-+. 记()e 22x v x x m =-+，则()e 2x v x '=-.当x 变化时， ()v x '， ()v x 的变化情况如下表：由上表可知()()ln2v x v ≥，而()ln2ln2e2ln22v m =-+= 22ln22m -+=()2ln21m -+，由1m >，知ln21m >-，所以()ln20v >，所以()0v x >，即()0u x '>. 所以()u x 在()0,+∞内为单调递增函数. 所以当0x >时， ()()00u x u >=.即当1m >且0x >时， 23e 3x x - 630mx +->. 所以当1m >且0x >时，总有()()30g x f x '+>.证法二：当0x >时， ()()30g x f x '+>⇔ 23e 3630x mx x -+->⇔ 23e 3630x x mx -+->.因为1m >且0x >，故只需证()22211x e x x x >-+=-.当01x <<时， ()211x e x >>-成立；当1x ≥时， ()2211x xe x e x >-⇔>-，即证21x e x >-.令()21x x e x ϕ=-+，则由()21102x x e ϕ'=-=，得2ln2x =.在()1,2ln2内， ()0x ϕ'<； 在()2ln2,+∞内， ()0x ϕ'>， 所以()()2ln222ln210x ϕϕ≥=-+>. 故当1x ≥时， ()21x e x >-成立. 综上得原不等式成立.21．（1）2212x y +=（2）27λ= 【解析】(1)抛物线24x y =在点()2,1P 处的切线方程为1y x =-，它过x 轴上()1,0点，∴椭圆C 的一个焦点为()1,0即1c =又22c e a ==,2,1a b ∴== ∴椭圆C 的方程为2212x y +=(2)设()()1122,,,A x y B x y , l 的方程为()4y k x =+, 联立()()2222224{1216322022y k x k x k x k x y =+⇒+++-=+=2122212216{1232212k x x k k x x k ∆>∴+=-+-=+ ()12112121,0,,11y yF k k x x -==++, 1212121212111111144x x x x k k y y k x x ⎛⎫++++∴+=+=+ ⎪++⎝⎭()()121212121225824167x x x x k k k k x x x x +++∴+==+++ ， 121227k k k k k k ∴+=∴存在常数27λ=。
河南省安阳市滑县2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
2019～2020学年上学期期末考试高二数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：必修⑤、选修2-1.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.不等式290x -<的解集为（ ） A. {}3x x > B. {}3x x <-C. {}33x x -<< D. {3x x <-或}3x >【答案】D 【解析】 【分析】将所求不等式变形为290x ->，解此不等式即可得解集.【详解】将不等式290x -<变形为290x ->，解此不等式得3x <-或3x >. 因此，不等式290x -<的解集为{3x x <-或}3x >. 故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 2.已知()2,3,1a =-，则下列向量中与a 平行的是（ ） A. ()1,1,1 B. ()2,3,5-- C. ()2,3,5- D. ()4,6,2--【答案】D 【解析】根据空间向量共线的等价条件判断即可. 【详解】对于A 选项，111231≠≠-，A 选项中的向量与a 不平行； 对于B 选项，235231--≠≠-，B 选项中的向量与a 不平行； 对于C 选项，235231-=≠-，C 选项中的向量与a 不平行； 对于D 选项，462231--==-，D 选项中的向量与a 平行. 故选：D.【点睛】本题考查空间向量共线的判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 3.已知a 、b 、c ∈R ，则（ ） A. 22a b ac bc >⇒> B.a ba b c c>⇒> C. 110a b a b>>⇒< D. 22a b a b >⇒>【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，若0c ，则22ac bc =，A 选项错误； 对于B 选项，若0c <，则a ba b c c>⇒<，B 选项错误； 对于C 选项，由不等式的基本性质知，若0a b >>，则0ab >，则a b ab ab>，所以，11a b <，C 选项正确；对于D 选项，取3a =-，2b =-，则22a b a b >⇒>/，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查利用已知条件判断不等式的正误，常用不等式的基本性质、特殊值法与作差（商）法来判断，考查推理能力，属于基础题.4.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于（ ） A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】D试题分析：2sin2sin sin sin3a B A B B A Aπ=∴=∴==考点：正弦定理解三角形5.已知0a>，则4aaa-+的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】将所求代数式变形为41aa+-，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.【详解】0a >，由基本不等式得44113aa aa a-+=+-≥=，当且仅当2a=时，等号成立，因此，4aaa-+的最小值为3.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.6.已知变量x、y满足线性约束条件160xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最小值是（）A. 3 B. 2 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+，观察该直线在y轴上的截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组160xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分所示：联立10x x y =⎧⎨-=⎩，解得1x y ==，可得点()1,1A ，平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点()1,1A 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最小，此时目标函数2z x y =+取得最小值，即min 2113z =⨯+=. 故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般通过平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.7.等差数列{}n a 前几项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于（） A. 1 B.53C. 2D. 3【答案】C 【解析】设{a n }公差为d ，首项为a 1 ， 由题意得113236224a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得102a d =⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.8.在直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=，11AB AC AA ===，则异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值为（ ）36 C. 0 2【答案】C【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()10,0,1A 、()1,0,0B 、()11,0,1B 、()0,1,0C ，()11,0,1BA =-，()11,1,1B C =--，则()()211101110BA B C ⋅=-+⨯+⨯-=，所以，11BA B C ⊥，因此，异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值为0. 故选：C .【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.9.若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅的最小值为（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】C 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(),x y ，可得2212x y =-，且有x ≤≤，然后利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出OP FP ⋅的最小值.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则2212x y =-，且有x ≤≤，()1,0F ，()1,FP x y =-，()22222212111211122O x P FP x x y x x x x x ⋅=-+=-+=--+=+-，2x -≤≤，当1x =时，OP FP ⋅取得最小值12. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的计算，涉及到椭圆的有界性，考查计算能力与函数方程思想的应用，属于中等题.10.已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠，其前n 项和为n S ，则23S a 与32S a 的大小关系为（ ） A. 2332S a S a > B. 2332S a S a < C. 2332S a S a = D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】利用1a 和q 表示23S a 与32S a ，然后利用作差法可比较出23S a 与32S a 的大小关系. 【详解】()()222322311111110S a S a a q q a q a q a qa q -=++⋅-+⋅=>，因此，2332S a S a <.故选：B.【点睛】本题考查等比数列中相关项的大小比较，一般利用首项和公比相应的项进行表示，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.已知P 是双曲线()222210169x y a a a-=>上的点1F 、2F 是其左、右焦点，且120PF PF ⋅=，若12PF F ∆的面积为9，则a 等于（ ）A. 2B. 1C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出12PF PF ⋅，结合三角形的面积公式可求出a 的值. 【详解】由120PF PF ⋅=得12PF PF ⊥，由勾股定理得()22222212122169100PF PF F F a a a +==+=，由双曲线的定义得128PF PF a -=，22221212126421002a PF PF PF PF a PF PF ∴=+-⋅=-⋅，所以21218PF PF a ⋅=，则12PF F ∆的面积为2121992PF PF a ⋅==，0a >，解得1a =. 故选：B.【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ） A.5 B.23C.2 D.12【答案】A 【解析】【详解】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-3c )2+y 2=23c 的圆心为E, 连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-3c =23a ,QF =2,∴QF PF '=13=,∴PF′∥QE,∴=13,且PF′⊥PF. 又∵|QE|=ca(圆的半径长),∴|PF′|=b. 据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a -b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b 2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a 2-c 2)+b 2=2ab,∴3b 2=2ab, ∴b=,c==53a,=53∴椭圆的离心率为53. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.命题“x R ∀∈，221x x ≥-”的否定为________．【答案】0x R ∃∈，20021x x <-【解析】 【分析】将全称命题的量词改变，结论否定可得出全称命题的否定.【详解】由题意可知，命题“x R ∀∈，221x x ≥-”的否定为“0x R ∃∈，20021x x <-”. 故答案为：0x R ∃∈，20021x x <-.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.14.设m 为常数，若点()0,5F 是双曲线2219y xm --=的一个焦点，则m =________．【答案】16- 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点坐标可得出关于m 的等式，解出即可.【详解】由于点()0,5F 是双曲线2219y x m --=的一个焦点，则29525m -+==，解得16m =-.故答案为：16-.【点睛】本题考查根据双曲线的焦点坐标求参数，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知集合1|28,2x A x x R ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}|11,B x x m x R =-<<+∈，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】2+∞（，） 【解析】试题分析：1|28,{|13}2x A x x R x x ⎧⎫=<<∈=-⎨⎬⎩⎭＜＜，因为x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈，所以13m +＞，即2m ＞．所以实数m 的取值范围是2+∞（，） 考点：充分条件和必要条件的应用 16.斜率为43的直线l 经过抛物线()220y px p =>的焦点()1,0F 且与抛物线交于A 、B 两点，则线段AB 的长为________． 【答案】254【解析】 【分析】先根据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段AB 的长. 【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，则122pp =⇒=， 所以，抛物线的方程为24y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线l 的方程为()413y x =-，联立()24134y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得241740x x -+=， 12174x x ∴+=，1217252244AB x x =++=+=．故答案为：254. 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长的计算，涉及韦达定理与抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17.已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=﹣3． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }的前k 项和S k =﹣35，求k 的值． 【答案】（Ⅰ）a n =1+（n ﹣1）×（﹣2）=3﹣2n （Ⅱ）k=7 【解析】试题分析：（I ）设出等差数列的公差为d ，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d 的方程，求出方程的解即可得到公差d 的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II ）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k 项和的公式，当其等于﹣35得到关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，根据k 为正整数得到满足题意的k 的值．解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d 由a 1=1，a 3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2， 从而，a n =1+（n ﹣1）×（﹣2）=3﹣2n ； （II ）由（I ）可知a n =3﹣2n ， 所以S n ==2n ﹣n 2，进而由S k =﹣35，可得2k ﹣k 2=﹣35， 即k 2﹣2k ﹣35=0，解得k=7或k=﹣5， 又k∈N +，故k=7为所求．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．18.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()223a b c ab +=+． （1）求C 的值； （2）若ABC ∆337c =a 、b 的值．【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩． 【解析】【分析】（1）将题干中的等式变形为222a b c ab +-=，利用余弦定理可求出cos C 的值，结合角C 的取值范围可得出角C 的值；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a 、b 的方程组，解出即可.【详解】（1）将等式()223a b c ab +=+变形为222a b c ab +-=， 由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，0C π<<，故3C π=； （2）由题意有：22127ab a b ab ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩22613ab a b =⎧⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用余弦定理和三角形面积求边长，考查运算求解能力，属于基础题.19.在等比数列{}n a 中，10a >，*n ∈N ，且328a a -=，又1a 、5a 的等比中项为16．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log 2n n a b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得1231111n k S S S S ++++<对任意*n ∈N 恒成立？若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12n n a +=；（2）存在，且k 最小值2．【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出3a 和2a 的值，即可求出q 的值，然后利用等比数列的通项公式可得出数列{}n a 的通项公式；（2）求出n b 与n S ，利用裂项求和法求出1231111nS S S S ++++，可得出该代数式的取值范围，由此可得出正整数k 的最小值. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意可得2310a a q =>，故316a =，328a a -=，28a ∴=，322a q a ∴==，122112822n n n n n a a q a q ---+∴===⨯=； （2）2log 2n n b n ==，()1212n n n n S b b b +∴=+++=． ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 1231111111111111221212233411n S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因此，正整数k 的最小值为2．【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了数列不等式的恒成立问题，涉及等差数列的前n 项和以及裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.20.已知抛物线2y x =与直线()1y k x =-相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）求证：OA OB ⊥；（2）当OAB ∆时，求k 的值． 【答案】（1）见解析；（2）16k =±. 【解析】【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算计算出0OA OB ⋅=，即可证明出OA OB ⊥；（2）由题意得出OAB ∆的面积为1212OAB S y y ∆=-=k 的值. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，若0k =，则抛物线2y x =与直线()1y k x =-只有一个交点，所以，0k ≠，联立方程()21y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 得20ky y k --=，则有121y y =-． 因为211y x =，222y x =，所以()212121x x y y ==． 所以1212110OA OB x x y y ⋅=+=-=，故OA OB ⊥；（2）由题可知直线经过点()1,0N ，则OAB ∆可拆分为OAN ∆和ONB ∆． 所以12121122AOB OAN OBN S S S ON y y y y ∆∆∆=+=⋅-=-． 因为121y y k +=，121y y =-，所以()21212122144y y y y y y k-=+-=+， 所以当10AOB S ∆=时，有2114102k +=，解得16k =±． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及两直线垂直的证明以及利用三角形的面积求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.21.如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，//AB DC ，11AA =，3AB =，4=AD ，5BC =，6DC =．（1）求证：CD ⊥平面11ADD A ；（2）求直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）67.【解析】【分析】（1）取CD 的中点E ，连接BE ，证明出四边形ABED 为平行四边形，由此可得出BCE ∆各边边长，利用勾股定理逆定理可证明出BE CD ⊥，进而得出CD AD ⊥，再由侧棱1AA ⊥底面ABCD ，可得出1CD AA ⊥，利用线面垂直的判定定理可证明出CD ⊥平面11ADD A ；（2）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，计算出平面1AB C 的一个法向量，利用空间向量法可求出直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值．【详解】（1）取CD 的中点E ，连接BE ．//AB DE ，3AB DE ==，∴四边形ABED 为平行四边形，//BE AD ∴且4BE AD ==．在BCE ∆中，4BE =，3CE =，5BC =，222BE CE BC ∴+=，90BEC ∴∠=，即BE CD ⊥，又//BE AD ，所以CD AD ⊥．1AA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，1AA CD ∴⊥．又1AD AA A ⋂=，CD平面11ADD A ；（2）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,0A ，()0,6,0C ，()14,3,1B ，()14,0,1A ，所以()4,6,0AC =-，()10,3,1AB =，()10,0,1AA =．设平面1AB C 的法向量(),,n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得46030x y y z -+=⎧⎨+=⎩， 取2y =，得()3,2,6n =-．设直线1AA 与平面1AB C 所成角为θ， 则1116sin cos ,73613n AA AA n n AA θ⋅====+⋅．因此，直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22.已知椭圆()222:10x C y a a+=>，焦距为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若一直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是椭圆的顶点），以AB 为直径的圆过椭圆C 的上顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2213x y +=；（2）存在，直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦距求出a 的值，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，根据以AB 为直径的圆过椭圆C 的上顶点()0,1Q ，得0QA QB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，可得出k 与m 所满足的等式，即可得出直线l 所过定点的坐标.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，有2c =，1c <，所以，椭圆的焦点在x 轴上，得c =212a -=，得a =C 的标准方程为2213x y +=； （2）由方程组2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2213x kx m ++=， 即22212103k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭． ()22222211144140333k m k m k m ⎛⎫⎛⎫∆=-+-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22310k m -+>． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，则122613km x x k +=-+，()21223113m x x k -=+，()121222213m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++()22222222223163131313k m k m m k m k k k --=-+=+++． 以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点()0,1Q ，AQ BQ ∴⊥，即0QA QB ⋅=，即()()()1122121221111QA QB x x x y y x y y y y +⋅=+-+--=+()2222222231324221013131313m m k m m m k k k k----=+-+==++++， 化简得2210m m --=，1m ∴=或12m =-． 当1m =时，直线:1l y kx =+过定点()0,1Q ，与已知矛盾． 当12m =-时，满足22310k m -+>，此时直线l 为12y kx =-过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ∴直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若，则n=（?）A．1B．8C．9D．102．期末考试结束后，某班要安排节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（?）A．种B．种C．种D．种3．一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（?）A．B．C．D．4．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（?）A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若，则，，已知，则（?）A．B．C．D．6．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（?）A．有1%的人认为该栏目优秀；B．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若，则的值为．A．B．C．D．8．关于的二项展开式，下列说法正确的是（?）A．的二项展开式的各项系数和为B．的二项展开式的第五项与的二项展开式的第五项相同C．的二项展开式的第三项系数为D．的二项展开式第二项的二项式系数为9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（?）A．B．C．D．10．三棱锥中PA?PB?PC两两互相垂直，，，则其体积（?）A．有最大值4B．有最大值2C．有最小值2D．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种.13．若随机变量X的概率分布如表，则表中a的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p)，若P(ξ≥1)=，则D(ξ)的值为_________.15．已知等差数列中，，则和乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距离为，则该球的体积为___________.19．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点是线段的中点，请问在线段是否存在点，使得面？若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合，定义上两点，的距离.（1）当时，以下命题正确的有__________（不需证明）：①若，，则；②在中，若，则；③在中，若，则;（2）当时，证明中任意三点满足关系；（3）当时，设，，，其中，.求满足点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间内的为层次学生，在区间内的为层次学生，在区间内的为层次学生，在其它区间内的为层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自个不同层次，求随机变量的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲?乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲?乙两个城市的街道?社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲?乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲?乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由得，，又，所以，解得，所以正整数n为8．故选：B.2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有种；②若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有种.综上所述，不同的排法共有种.故选：B.3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B(4,0.2)，所以P(ξ≤2)＝ (0.8)4＋(0.8)3×0.2＋(0.8)2×(0.2)2＝0.972 8.故选D4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.故选：D．5．C【分析】由题意，得，再利用原则代入计算即可.【详解】∵，由，，∴.故选：C6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：∵表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，∴有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题．7．D【详解】分析：令，再求f(-1)的值得解.详解：令，．故答案为．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数的性质：对于，，.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A，根据二项式展开式的通项，即可判断B、C、D；【详解】解：展开式的通项为，故第二项的二项式系数为，故D错误；第三项的系数为，故C错误；的展开式的第五项为，的展开式的第五项为，故B错误；令则，即的二项展开式的各项系数和为，故A正确；故选：A9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从到的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共次.所以从到的最近的行走线路，总的方法数有种.不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题.10．B【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意，当且仅当时取等号，所以，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点，代入即可解决【详解】由可知，数据的平均数，又线性回归方程过点，所以，故故答案为：6512．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算.【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3××=36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共=6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑.13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案.【详解】由随机变量X 的概率分布表得：，解得.故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单.14．【分析】由二项分布的特征，先求出，套公式即可求出D(ξ).【详解】因为随机变量ξ~B (2，p)，且P(ξ≥1 )=，所以P(ξ≥1)== =.解得：.所以D(ξ).故答案为：15．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出，再列式即可求得结果.【详解】因为是等差数列，设公差为d，可得，于是得，当且仅当d=0，即时，取得最大值.故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.16．##0.04608【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5 个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：或或，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为故答案为：0.0460817．0.74【详解】试题分析：表示人数，.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为，，，所以，所以三角形外接圆半径，又球心O到截面的距离为，所以球的半径为．球体积为．故答案为：．19．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）由正方形的性质得，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（Ⅱ）当点是线段的中点时，利用中位线定理可得，进而得出面；（Ⅲ）利用二面角的定义先确定是二面角的平面角，易求得，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（Ⅰ）因为四边形为正方形，所以．因为平面平面，且平面平面，所以平面．（Ⅱ）当点是线段的中点时，有面，连结交于点，连结，因为点是中点，点是线段的中点，所以．又因为面，面，所以面.（Ⅲ）因为平面，所以.又因为，所以面，所以面，所以，，所以是二面角的平面角，易得，所以二面角的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．20．12600【详解】问题等价于编号为的10个小球排列，其中号，号，号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是.21．（1）①；（2）证明见解析；（3），证明见解析．【解析】（1）①根据新定义直接计算．②根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；③由新定义写出等式的表达式，观察有无；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得点是以为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当时，①若，，则，①正确；②在中，若，则，设，所以而，，但不一定成立，②错误；③在中，若，在②中的点坐标，有，但不一定成立，因此不一定成立，从而不一定成立，③错误．空格处填①（2）证明：设，根据绝对值的性质有，，所以．,（3），，所以，当且仅当以上三个等号同时成立，又由已知，∴，又，∴，，点是以为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，．这125个点在这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过，否则还有8个点在平面和上，不合题意，若这三个点在平面或上，不妨设在平面，若在平面在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过，否则剩下的8个点在三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立．22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策；(2)分布列见解析；期望为.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解.(1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为．．，．解得，即中位数的故计值分钟．又作业时长平均数估计值为．因为中位数的估计值分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策.(2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为，，三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A，B，C三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此的所有可能值为1，2，3．因为，，，所以的分在列为：123故数学期望.23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析．(2)；(3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件，甲城市抽到的分数有大于80分为事件，乙城市抽到的分数有大于80分为事件，由计算；（2）的可能值是，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：，乙：，均值相等，方差为甲：，乙：，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”．(2)记抽到的数据中有大于80分为事件，甲城市抽到的分数有大于80分为事件，乙城市抽到的分数有大于80分为事件，，，，，所以；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，的可能是，，，，所以的分布列为：012．试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页。
2021-2022学年安阳市滑县高二上学期期末数学复习卷(含答案解析)
2021-2022学年安阳市滑县高二上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x 2−x ≤0}，B ={x|12≤4x ≤2}，则A ∩B =( )A. {x|12≤x ≤1}B. {x|0≤x ≤12}C. {x|12≤x ≤0}D. {x|12≤x ≤1}2.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心3.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列结论一定成立的是( )A. a 2<b 2B. a 3<b 3C. 1a >1bD. ac 2<bc 24.在△ABC 中，角D ，E 均在边BC 上，且AD 为中线，AE 为∠BAC 平分线，∠BAC =120°，若AD =√32,AE =23，则△ABC 的面积等于( )A. 12B. 23C. √22D. √325.若a >0，b >0，且a +b =ab ，则2a +b 的最小值为( )A. 3+2√2B. 2+2√2C. 6D. 3−2√26.已知，若恒成立，则的取值范围是( )A.B.C.D.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9=1，S 18=0，当S n 取最大值时n 的值为( )A. 7B. 8C. 9D. 108.已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各条棱长相等，且∠A 1AB =∠A 1AC =∠ABC =60°，则异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为( )A. √36B. √55C. √33D. √669. 已知、是椭圆(a >b >0)的两个焦点，以线段为边作正三角形M ，若边M 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是A. B. C. D.10.有一种细胞每半小时分裂一次，由原来的一个分裂成两个，那么一个这种细胞经过3小时分裂成的细胞数为()A. 32B. 64C. 128D. 25411.△ABC中，∠B=2π3，A、B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，且AB=BC，则E的离心率为()A. √5−1B. √3+1C. √3−12D. √3+1212.已知、分别为椭圆的两个焦点，点为其短轴的一个端点，若为等边三角形，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.给出以下命题：①已知m，n⃗为两个非零向量，则“m⃗⃗⃗ 与n⃗共线”是“m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=|m⃗⃗⃗ ⋅n⃗|”的必要不充分条件；②已知函数f(x)=5|x|−√2|x|−4，若a<−2，b>2，则“f(a)>f(b)”是“a+b<0”的充要条件；③命题“∃x0∈R，x02+x0−1<0”的否定是“∀x∈R，x2+x−1≥0”；④“a+b≠4”是“a≠1或b≠3”的充分不必要条件；⑤“φ=kπ+π2(k∈Z)”是“函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数”的充要条件，其中正确命题的序号为______．14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l：√3x−y=1平行，且双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为2√3，则双曲线C的标准方程为______ ．15.在下列命题中：①函数f(x)=x+ax(x>0)的最小值为2√a；②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数；③定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)+f(4)+f(7)=0；④已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d(d ≠0)，则a +b +c =0是f(x)有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数f(x)=x −sinx ，若a +b >0，则f(a)+f(b)>0． 其中正确命题的序号为______ (写出所有正确命题的序号)． 16. 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线x 23−y 2=1的右焦点重合，则抛物线上一点P(2,b)到抛物线焦点的距离是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n −a 1 且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)令b n =log 2a n ，求{a n b n }的前n 项和T n ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列． (1)求B 的值；(2)求2sin 2A −1+cos(A −C)的取值范围．19. (本小题满分12分)已知为数列的前项和，且，，，…(1)求证：数列为等比数列： (2)设，求数列的前项和．20. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点K(−1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．(Ⅰ)证明：点F 在直线BD 上；(Ⅱ)设FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =89，求△BDK 的内切圆M 的方程．21. 如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．(3)求PD与面PBC所成角的余弦值22. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2√2．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，且直线DA、DB与y轴分别交于P、Q两点，试探究∠PF1F2和∠QF1F2之间的等量关系并加以证明．参考答案及解析1.答案：B解析：本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算，属于基础题．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ={x|0≤x ≤1},B ={x|−12≤x ≤12}， ∴A ∩B ={x|0≤x ≤12}．故选：B ．2.答案：C解析：解：取线段BC 的中点E ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．动点P 满足：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ>0，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 则直线AP 一定通过△ABC 的重心． 故选：C ．取线段BC 的中点E ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .动点P 满足：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ>0，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ .即可判断出结论．本题考查了向量平行四边形法则、三角形重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：B解析：解：A.取a =−3，b =−2，不成立；B .令f(x)=x 3，(x ∈R)，f′(x)=3x 2≥0，∴函数f(x)在R 上单调递增，又a <b ，∴a 3<b 3，因此正确；C .取a =−2，b =1，不正确；D .取c =0，不正确． 故选：B ．A .取a =−3，b =−2，即可判断出正误；B .令f(x)=x 3，(x ∈R)，利用导数研究其单调性即可判断出正误C .取a =−2，b =1，即可判断出正误；D .取c =0，即可判断出正误．本题考查了不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：D解析：解：由题意得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(c 2+b 2+2bccos 2π3)=14(c 2+b 2−bc)=34， 即c 2+b 2−bc =3，因为AE =23，BE 2=c 2+49−2×2c 3×12=c 2−2c 3+49，CE 2=b 2+49−2×2b 3×12=b 2−2b 3+49，由角平分线性质得，BE 2CE 2=c 2−2c 3+49b 2−2b 3+49=c 2b 2，整理得，2b 2−3b 2c =2c 2−3c 2b ， 所以2(b 2−c 2)=3bc(b −c)， 因为b ≠c ，所以2(b +c)=3bc ，两边平方得4(b 2+c 2+2bc)=9b 2c 2， 因为c 2+b 2−bc =3，令t =bc ， 所以4(3+t +2t)=9t 2， 解得t =2，即bc =2， 故△ABC 的面积S =12bcsin2π3=√32． 故选：D ．由已知结合向量线性表示及向量数量积性质c 2+b 2−bc =3，然后结合角平分线性质可求bc ，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质，还考查了角平分线性质及三角形面积公式，属于中档题．5.答案：A解析：解：因为a >0，b >0，且a +b =ab ， 所以1a +1b =1，所以2a +b =(1b +1a )(2a +b)=3+2a b+b a ≥3+2√2a b ⋅ba =3+2√2，当且仅当2ab =b a 时，取等号，所以2a+b的最小值为3+2√2．故选：A．根据a+b=ab，可得1a +1b=1，从而得到2a+b=(1a+1b)(2a+b)，然后利用基本不等式，求出最小值即可．本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于基础题．6.解析：试题分析：由得.作出该不等式组表示的区域，由图可知：.选．考点：1、线性规划；2、不等关系．7.答案：C解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a9=1，S18=0，∴a1+8d=1，18a1+18×172d=0，可得：a1=17，d=−2．∴a n=17−2(n−1)=19−2n，由a n≥0，解得n≤192，∴当S n取最大值时n的值为9．故选：C．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：如图，设AC1，A1C交于M，BC中点为N，则MN//A1B，∴∠AMN(或其补角)即为所求，取棱长为2，可得AM=√3，AN=√3，MN=1，cos∠AMN=√3，6故选：A．取A1C，BC的中点M，N，得A1B的平行线MN，从而得到异面直线所成角，求解比较容易．此题考查了异面直线所成角，难度适中．9.答案：B解析：试题分析：根据题意，则可以结合正三角形的性质，中位线性质和定义得到关系式，求解离心率。
2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．双曲线2228x y -=的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．423．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14．已知函数xxe x f =)(的导函数为)(x f '，则0)(>'x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞ B ．),0(+∞ C ．),1(+∞-D ．)0,(-∞5．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a =（ ）A ．1B ．3C ．3D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在)1(∞+-，上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)+∞-,1 B ．()+∞-,1C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-9．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p=( )。
A ．3 B ．45C ．52D ．410．函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．163->a B ．16356-≤≤-a C ．56->aD ．16356-<<-a 11．已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。
高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 (11)
学年度高二第一学期期末学分认定考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题）两部分。
满分150分； 考试时间120分钟.考试结束后，监考教师将答题纸和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共50分）注意事项：本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )A ．2214y x -= B ．2214x y -=C ．2212y x -= D ．2212x y -= 2．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 3．在ABC ∆中，如果=cos cos a bB A，则该三角形是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．以上答案均不正确4．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，那么4a 的值为A ．1B ．2C ．4D ．85．在平面直角坐标系中，不等式组0400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（ ）A . 2B . 4C . 8D . 16 6．若不等式08322≥-+kx kx的解集为空集，则实数k 的取值范围是（ ） A . )0,3(- B .)3,(--∞ C . (]0,3- D .),0[]3,(+∞--∞ 7．下列命题中，说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B.“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 C ．命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++>”D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题为真命题 8．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且231n n S nT n =+，则55b a A ．32 B ． 149 C ． 3120 D ． 979．在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=（ ） A ．2 B ．22 C ．13+ D ．()1321+10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． 3(0,]4B ．3(0,]2 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上。