人教版2017高一数学必修五2.2等差数列PPT课件
（－3） =-49 a20= 8 + (20-1)× (2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 得到这个数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得 －401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程， 得n＝100 即－401是这个数列的第100项。
函数思想
即 an-a1=（n-1）d，
（n-1）
an=a1+（n-1）d
公式理解
函数思想：将an=a1+（n-1）d 的an视为函数中的y，再根据情 况将n或d视为x。将等差数列的通项公式视为函数 理解。 方程思想：在已知 an，a1，n， d这四个中的两个时，我们就可 以将等差数列的通项公式视为方程，利用代入法或 者方程组的方法解题。
点评：解等差数列有关问题时转化为
a1和d是常用的基本方法
高考试做
（此题为2003年全国高考题） 则n的值为（ C） A.48 B.49 C.50
1 等差数列{an}中，已知 a1 , a 2 a5 4, a n 33 3
D.51
a2+a5=a1+d+a1+4d=4 2 ∴d= , an=a1+(n-1)d=33 3 ∴n=50
高考占比
2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 文科5分 文科5分 文科5分 文科5分 文科5分 高考分数占比 选择题的后3题 第一道大题的一小问 第一道大题的一小问 选择题的后3题 第一道大题的一小问 理科5分 选择题的后3题 理科5分 选择题的后3题 理科5分 第一道大题的一小问 理科5分 第一道大题的一小问 理科5分 选择题的后3题
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
观察归纳
发现？
高斯计算的数列： 1，2，3，4， … ，100 姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
观察：以上数列有什么共同特点？
从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一 常数。
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
①1，2，3,…,100；
公差d=1
②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000 公差d=500
新概念 在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？ 解: 依题得 , A-a=b-A
所以 ,
A=(a+b)/2
A为a,b的
等差中项
通项公式
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
累差迭加法
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
（1） （2） （3）
an-an-1=d
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差d. 解： 由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3 即等差数列的首项为-2,公差为3 点评：利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解
方程思想
练一练
在等差数列{an}中，
a1=11 d=-1
所以： a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
古题今解
我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记 有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。 人分加三颗。问：五人各得几何？”
分析： 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3， ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。
要点扫描
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*）
一个公式：an=a1+（n-1）d
两种思想：函数思想和方程思想 一个概念： A=a+b/2 一个思维： 等差思维
课后作业
如何解决
1+2+3+· · · +100=?
预习：等差数 列的前n项和
引例一
1+2+3+· · · +100=?
高斯
(1777—1855）
德国著名数学家
得到数列 1，2，3，4， … ，100
引例二
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
等差思维
等差数列实质上是人类对于规律的一种总 结，所以获取这种思维总结方式也是十分 有必要的。 我们在面对规律方面的题型时，比如比较 复杂的看不出头绪的题时，加减一下也许 会发现一个新天地。这种想法就是等差1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，… 的项？如果是，是第几项？ 解： （1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得
(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与 a12. 解： (1)由题意知， a4=10＝a1+3d 解得: a1=1 a7=19＝a1+6d 即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知， a3=9＝a1+2d a9=3＝a1+8d d=3
解得:
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4„是否为等差数列？若是， 则公差是多少?若不是，说明理由 公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由
公差是0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是 多少?若不是，说明理由
不是
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可 以是正数，负数，也可以为0
函数思想
即 an-a1=（n-1）d，
（n-1）
an=a1+（n-1）d
公式理解
函数思想：将an=a1+（n-1）d 的an视为函数中的y，再根据情 况将n或d视为x。将等差数列的通项公式视为函数 理解。 方程思想：在已知 an，a1，n， d这四个中的两个时，我们就可 以将等差数列的通项公式视为方程，利用代入法或 者方程组的方法解题。
点评：解等差数列有关问题时转化为
a1和d是常用的基本方法
高考试做
（此题为2003年全国高考题） 则n的值为（ C） A.48 B.49 C.50
1 等差数列{an}中，已知 a1 , a 2 a5 4, a n 33 3
D.51
a2+a5=a1+d+a1+4d=4 2 ∴d= , an=a1+(n-1)d=33 3 ∴n=50
高考占比
2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 文科5分 文科5分 文科5分 文科5分 文科5分 高考分数占比 选择题的后3题 第一道大题的一小问 第一道大题的一小问 选择题的后3题 第一道大题的一小问 理科5分 选择题的后3题 理科5分 选择题的后3题 理科5分 第一道大题的一小问 理科5分 第一道大题的一小问 理科5分 选择题的后3题
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
观察归纳
发现？
高斯计算的数列： 1，2，3，4， … ，100 姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
观察：以上数列有什么共同特点？
从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一 常数。
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
①1，2，3,…,100；
公差d=1
②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000 公差d=500
新概念 在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？ 解: 依题得 , A-a=b-A
所以 ,
A=(a+b)/2
A为a,b的
等差中项
通项公式
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
累差迭加法
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
（1） （2） （3）
an-an-1=d
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差d. 解： 由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3 即等差数列的首项为-2,公差为3 点评：利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解
方程思想
练一练
在等差数列{an}中，
a1=11 d=-1
所以： a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
古题今解
我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记 有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。 人分加三颗。问：五人各得几何？”
分析： 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3， ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。
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本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*）
一个公式：an=a1+（n-1）d
两种思想：函数思想和方程思想 一个概念： A=a+b/2 一个思维： 等差思维
课后作业
如何解决
1+2+3+· · · +100=?
预习：等差数 列的前n项和
引例一
1+2+3+· · · +100=?
高斯
(1777—1855）
德国著名数学家
得到数列 1，2，3，4， … ，100
引例二
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
等差思维
等差数列实质上是人类对于规律的一种总 结，所以获取这种思维总结方式也是十分 有必要的。 我们在面对规律方面的题型时，比如比较 复杂的看不出头绪的题时，加减一下也许 会发现一个新天地。这种想法就是等差1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，… 的项？如果是，是第几项？ 解： （1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得
(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与 a12. 解： (1)由题意知， a4=10＝a1+3d 解得: a1=1 a7=19＝a1+6d 即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知， a3=9＝a1+2d a9=3＝a1+8d d=3
解得:
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4„是否为等差数列？若是， 则公差是多少?若不是，说明理由 公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由
公差是0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是 多少?若不是，说明理由
不是
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可 以是正数，负数，也可以为0
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人教高中数学必修五 第二章2.2 等差数列的概念课件(共20张PPT)
an1 an d (是与n无关的数或式子）
练习
1、判断下列数列是否为等差数列？如果是请说出公差d
a2=a1 + d， 常数列 （1）1，2，4，6，8，10，12，… 不是 a （ a +d ） a 3= 2 + d = 1 + d= a1 + 2 d， （2）0， 1，2，3，4，5，6，… 是 d=1 a 3 + d = （a1+2 + d= a + a = 3 d， 4 1 （3）3，3，3，3， 3，3，3，… 是 d=0 d ） a （ a1+3 + d= a + 4 d， 4 + d = a = 5 2，4，7，11，16，… 1 （ 4） 不是 d ） …… （5）－8，－6，－4，0，2，4，… 不是 （n-1） a3n，－ = 6，－ a1 9 + d． （6）3，0，－ ，… 是 d=-3
练习
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后, 三个数就会成为一个等差数列： （1）2 ， 3 ， 4 （2）-1， 2 ，5 （3）-12， -6 ，0 （4）0，
0
，0
例题
例4
已知一个等差数列的第3项是5，第8项 是20，求它的第25项． an=a1+(n-1)d 解 因为a3=5，a8=20，根据通项公式得
2、已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何 求出它的任意项an呢？
等差数列通项公式：
an=a1+（n-1）d
例题
例1
求等差数列8，5，2，…的通项公式 和第20项． an=a1+(n-1)d 解：∵a1 =8 d=5-8=-3
人教版高中数学必修5《等差数列》PPT课件
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
人教A版高中数学必修五课件：2.2.1 等差数列(2) (共17张PPT)
(2) 若 m 、n 、p 、q N* 且 m n p q
则 am an ap aq (反之不成立)
证明：由通项公式得：
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
ap aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
2a1 ( p q 2)d
2.2.2 等差数列 （2）
1、定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项 的差都等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用 d 表示.
即 an an1 d （n 2）
2、通项公式：
an a1 (n 1)d.
推广：an am (n m)d
故a，A，b 成等差数列 A a b 2
3、等差中项：
如果a ，A ，b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项，且 A a b .
2
由此得,在等差数列a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , … an , …中,
an
an1 an1 2
（n 2）
即 2an an1 an1 （n 2）
(2) 若 m n p q，则 am an ap aq . (3) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是 等差数列，且公差为 md .
(4) Sk ，S2k Sk ，S3k S2k ， 组成的数列仍然是 等差数列 .
(5) 若数列{an}与{bn}均为等差数列 ， 则数列{man kbn}(m，k 为常数)仍为等差数列 .
∴ a3+ a6+a9=3a6 = 27.
练习： 在等差数列{an } 中 . (1) 已知 a2 a3 a11 a12 76，求 a7 ； (2) 已知 a2 a3 a4 a5 34，a2a5 52， 且 d 0，求 d ，an .
人教版高中数学必修五等差数列课件
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）0，5，10，15，20，（ 25 ）. （2） 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. （3） 1，4，7，10，（ 13 ），16，…
(4) 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
它们的共同特点是？
d=5
( 1 ) 0,5，10，15，20，（25）
（3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
是 a1=3,d=0
(5)1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
不是
2345
（6）15，12，10，8，6，…
不是
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
探究性问题1：
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
练习二
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： （2）由题意得：
通项公式
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
累加法
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
（1） （2） （3）
（n-1）
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
高中数学人教版必修5等差数列 课件PPT
2．若 m 与 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，则 m 与 n 的 等差中项是________． 解析：由 m 和 2n 的等差中项为 4，得 m＋2n＝8. 又由 2m 和 n 的等 差中项为 5，得 2m＋n＝10，两式相加，得 m＋n＝6，所以 m 与 n 的等差中项为m＋2 n＝62＝3. 答案：3
2 A.n＋1
B.23n－1
C.23n
2 D.n＋2
[解析] 因为 a1＝1，a2＝23， 所以a12－a11＝32－1＝12. 因为an1－1＋an1＋1＝a2n(n≥2)， 所以an1＋1－a1n＝a1n－an1－1(n≥2)．
所以数列a1n是首项为 1，公差为12的等差数列． 所以a1n＝1＋12(n－1)＝n＋2 1， 所以 an＝n＋2 1. [答案] A
A.13，15，17，19
B．1， 3， 5， 7
C．1，－1,1，－1
D．0,0,0,0
答案：D
4．等差数列 1，－3，－7，－11，…的通项公式是________，它的 第 20 项是________． 解析：数列中 a2＝－3，a1＝1，∴d＝a2－a1＝－4. 通项公式为 an＝a1＋(n－1)×d ＝1＋(n－1)×(－4) ＝－4n＋5， a20＝－80＋5＝－75. 答案：an＝－4n＋5 －75
4．设{an}为等差数列，若 a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝420，则 a1＋ a9＝________. 解析：∵a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. ∴a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝7a5＝420. ∴a5＝60. a1＋a9＝2a5＝2×60＝120. 答案：120
探究二 等差中项及其应用 [典例 2] (1)在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成 等差数列，求此数列． (2)已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q 为常数)， 且 x1、x4、x5 成等差数列，求：p，q 的值．
高一数学必修5等差数列前n项和性质及应用2PPT课件
A.85 B.145 C.110 D.则它的前110项的和 为 －110 .
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n1
求a5 和 an
b5
bn
.
Tn 4n 27
a 5 6 4 an 14n 6 b 5 6 3 bn 8n 23
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。
3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大，
1、 设Sn=an2+bn, 则有： 9250 0265a4a5b8b。
Sn
d 2
n2
(a1
d )n的二次函数配方法求得最值时的n的取值； 2
②是当ad100时，Sn有最大值，并利用aann1 00求得n值；
当ad100时，Sn有最小值，并利用aann1 00求得n值.
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
解之得：
a b
2 9
，∴Sn=3n2+n。
2、是。
简单提示：利用公式： a an 1 S S1 nSn1
(n1) (n2)
3、（1）
274d，3（2）S6最大。
4. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn1 8(an2)2(nN) (1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若bn=1 2an-30， 则 数 列 {bn}的 前 n项 和 有 最 什 么 值 ， 并 求 该 最 值 ； （ 3） 求 数 列 {bn}的 前 n项 和 Tn
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n1
求a5 和 an
b5
bn
.
Tn 4n 27
a 5 6 4 an 14n 6 b 5 6 3 bn 8n 23
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。
3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大，
1、 设Sn=an2+bn, 则有： 9250 0265a4a5b8b。
Sn
d 2
n2
(a1
d )n的二次函数配方法求得最值时的n的取值； 2
②是当ad100时，Sn有最大值，并利用aann1 00求得n值；
当ad100时，Sn有最小值，并利用aann1 00求得n值.
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
解之得：
a b
2 9
，∴Sn=3n2+n。
2、是。
简单提示：利用公式： a an 1 S S1 nSn1
(n1) (n2)
3、（1）
274d，3（2）S6最大。
4. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn1 8(an2)2(nN) (1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若bn=1 2an-30， 则 数 列 {bn}的 前 n项 和 有 最 什 么 值 ， 并 求 该 最 值 ； （ 3） 求 数 列 {bn}的 前 n项 和 Tn
高中数学人教版必修课件：等差数列
（1）1，3，5，7，… 是 a1=1,d=2
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
Hale Waihona Puke 是 a1=3,d=0小列结，：主判要断是一由个定不数义是列进是行不 判是 断等 ：差数
（6）15，12，10，an8+1，-a6n是，不…是同一不个是常数？ 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，那么根 据等差数列的定义可以得到以下结论：
数列 为等差数列
高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
练 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
习
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
二、新课讲解 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （1）指出定义中的关键词：
从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数
48，53，58，63.
3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好 的生活环境，用定期放水清库的办法清理 水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低 降至5m。那么从开始放水算起，到可以进 行清理工作的那天，水库每天的水位组成 数列（单位：m）：
18，15.5，13，10.5，8，5.5.
判断题 (1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列; (2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列; (3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列; (4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列。
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
Hale Waihona Puke 是 a1=3,d=0小列结，：主判要断是一由个定不数义是列进是行不 判是 断等 ：差数
（6）15，12，10，an8+1，-a6n是，不…是同一不个是常数？ 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，那么根 据等差数列的定义可以得到以下结论：
数列 为等差数列
高中数学人教版必修5课件：2.2-等差 数列( 共23张P PT)
练 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
习
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
二、新课讲解 高中数学人教版必修5课件：2.2-等差数列(共23张PPT)
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （1）指出定义中的关键词：
从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数
48，53，58，63.
3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好 的生活环境，用定期放水清库的办法清理 水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低 降至5m。那么从开始放水算起，到可以进 行清理工作的那天，水库每天的水位组成 数列（单位：m）：
18，15.5，13，10.5，8，5.5.
判断题 (1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列; (2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列; (3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列; (4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列。
等差数列及其通项公式ppt课件
新课探索
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列， 这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．
数列①、②、③均为等差数列， 它们的公差分别为－0.5，2%，4．
显然，若数列{an}为等差数列，那么它的递推关系为： an－an-1=d，n≥2 ； an+1－an = an－an-1，n≥2．
1.2.1 等差数列及其通项公式
温故知新
数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，
那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
数列的递推公式： 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可
用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作 数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
归纳小结
性质2 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q， （n，m，p，q∈N+）那么
an＋ am = ap＋ aq． 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d， 所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d， 又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ．
新课探索
当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立， 因此等差数列{an}通项公式为：
an=a1＋(n－1)d（n∈N+）
新课探索
等差数列前n项和公式PPT课件
sn
(a1
an)n 2
（补成平行四边形）
.
11
例1． 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),那么: am+ an = ap+aq
.
2
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的 主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令 人叫绝。
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1) 根据等差数列前n项和公式： sn=na1+ 2 d
×4=54成立
整 理 后 ,得 n 2-6 n -2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是 54.
.
14
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二