【最新】一章现实世界中的数学模型
数学模型在社会生活中应用浅析
数学模型在社会生活中应用浅析现代社会中，“建模”这个看起来高大上的词变得日益常见。
很多人不理解何为建模，如何建模，那么本文将以解决这个问题为出发点，试图普及在社会生活中如何应用建模来提高问题解决效率。
1.数学模型与生活1.1 数学模型的含义数学模型是使用数学学科中的思想对日产给生活中的实际问题进行概括和描述。
建立模型往往是出于某个或某一类特定的研究目的，为了简化研究问题突出研究重点，在建模之初需要提出一系列简化问题的假设。
通过分析研究问题将复杂的现实问题使用合适的数学结构描述出来，例如使用图表、方程式、图形等。
换句话说，数学建模就是对具体的实际问题加以抽象化，转化成可以求解的数学符号代数式。
这是个复杂的过程，主要包括提出问题、模型建构、模型验证、模型改进、模型应用等几个方面。
1.2 数学建模的重要性数学模型一般分为两大类：概率型和确定型。
但是数学这一学科经过长期的积累和发展，出现了诸多分支。
分支与分支之间又在发展中相互交融，形成许多的派生分支。
因此，对于我们生活中的同一个问题，可以使用多种数学方法对其进行描述和解释，这不足为奇。
值得注意的是，具体情况要具体对待，建立什么类型的数学模型，不仅与研究问题相关，而且跟研究目的和研究思路密切相关[3]。
数学尽管强大，但现实问题往往是极其复杂的，以至于我们无法直接用数学知识对其进行处理。
因此，数学建模其实是一个转化过程，帮助我们利用数学知识解决实际问题。
1.3数学建模的步骤（一）提出问题脱离实际生活的建模是没有任何意义的。
因此，对问题有清晰的了解是建模的基础。
在此基础上然后澄清问题的背景，明确研究对象的具体特点，然后才能进行科学的调查分析获取相关数据支撑。
此外，有必要对建模的目的加以准确和充分的理解，以便抽象成更加合理的问题，进而提高模型的普适性。
（二）模型建构通过分析，理清各个研究变量之间的关系。
然后利用数学符号的组合，使其反映真实问题，得到初步的数学模型。
日常生活中的数学模型ppt课件
• 给出了污染程度降低到初始形状的 α倍时所用的 时间. 取 α =1/2, 那么有 T1/2 0.7 .
• 由此可知, 在完全断绝污染物流入的前提下, 湖
泊污染情况缓解一半所用的时间是湖水保管时间 的0.7倍.
• 2. 情形II. 控制污染：PI(t) = K0e-αt.
•
流入的污染物逐年降低, 污染情况以强度 α
• 普通来说，对于 Ps <= K, 假设给定sPS/K假设 K=0 且 Ps > 0, 那么
•
P(t)PSet/
• 将递减并且趋于零.
• 令 (t)P(t)/Ps , 它表示污染情况相对降低的 强度.
•
那么不难看出
T ln P S/p ((t) )ln (t)
20.30 • 斯卢皮 13.77 2.06 40.00 21.25
• 分析: • 1. 最正确出手角度: 求函数 s(α) 的极大值点 • 满足方程
c2 o v 4 s s 2 2 i n 8 h 2 c g 2o v 2 s s 2 ic n 2 o 2 g s2 h i n 0
• 出手时间 t，投掷远度 s。
• 坐标系：〔x，y〕
• 铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ).
• 平衡关系：力与运动的牛顿定律
d d22 xt0, x(0)0, x(0)vcos
d d22 ytg, y(0)h, y(0)vsin
• 有解x(t)(vcos)t
y(t)(vsin)t1gt2 h
度的初速度。
• 2. 在用力阶段，运发动从开场用力推铅球到铅球 出手有一段时间。
• 3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变， 力的方向与铅球出手方向一样。
生活中的简单数学模型
生活中的简单数学模型
在日常生活中，我们经常会用到简单的数学模型来解决实际问题。
比如，当我们想要计算一个物体的体积时，可以使用体积公式V=S×H，其中S表示物体的表面积，H表示物体的高度。
另外，当我们想要计算一个圆的面积时，可以使用面积公式
S=πr²，其中π表示圆周率，r表示圆的半径。
此外，当我们想
要计算一个矩形的面积时，可以使用面积公式S=a×b，其中a
表示矩形的长度，b表示矩形的宽度。
另外，当我们想要计算一个三角形的面积时，可以使用面积公式S=1/2×a×h，其中a表示三角形的底边长度，h表示三角形
的高度。
此外，当我们想要计算一个椭圆的面积时，可以使用面积公式S=πab，其中a表示椭圆的长轴长度，b表示椭圆的
短轴长度。
此外，当我们想要计算一个圆柱的体积时，可以使用体积公式
V=πr²h，其中π表示圆周率，r表示圆柱的底面半径，h表示
圆柱的高度。
另外，当我们想要计算一个圆锥的体积时，可以使用体积公式V=1/3πr²h，其中π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高度。
以上就是日常生活中常用的简单数学模型，它们可以帮助我们解决实际问题，比如计算物体的体积、面积等。
生活中的简单数学模型
生活中的简单数学模型1. 引言数学是一门研究数量和空间关系的学科，它在我们日常生活中扮演着重要的角色。
无论是购物、旅行、烹饪还是理财，数学都扎根在我们的生活中。
在本文中，我们将探讨生活中的一些简单数学模型，并展示它们如何帮助我们更好地理解和解决常见的问题。
2. 百分比计算在日常生活中，我们经常需要进行百分比计算。
无论是计算打折商品的价格、计算概率还是计算利润，百分比都是一个非常常见的概念。
2.1 百分数的计算公式百分数 = （部分 / 总数）* 1002.2 例子：打折商品假设有一件原价为100元的商品，现在打折20%。
我们可以使用百分比计算公式来计算打折后的价格：打折后的价格 = 原价 * （1 - 打折率）打折后的价格 = 100 * （1 - 0.20）打折后的价格 = 100 * 0.80打折后的价格 = 80元通过这个简单的数学模型，我们可以知道打折后的价格是80元。
3. 货币兑换在全球化的今天，货币兑换是一个非常重要的问题。
当我们去旅行或者在网上购物时，我们需要把不同国家的货币进行兑换。
3.1 汇率的计算汇率是不同国家货币之间的比率。
我们可以使用汇率来计算两种货币之间的等值关系。
3.2 例子：人民币兑换美元假设当前的人民币兑换美元的汇率是1美元 = 6.5人民币。
如果我们有1000人民币，我们可以使用以下的计算公式来计算等值的美元数量：美元数量 = 人民币数量 / 汇率美元数量 = 1000 / 6.5美元数量≈ 153.85美元通过这个简单的数学模型，我们可以知道1000人民币约等于153.85美元。
4. 车辆油耗在购买汽车或者长途驾驶时，了解车辆的油耗是非常重要的。
通过计算油耗，我们可以评估驾驶的成本以及行驶的距离。
4.1 油耗的计算油耗是指车辆行驶一定距离所需要的燃料的量。
我们可以使用以下的计算公式来计算油耗：油耗 = 驾驶的距离 / 使用的燃料量4.2 例子：驾驶距离和油耗假设我们驾驶了500公里，并使用了40升的汽油。
数学模型在实际问题中的应用
数学模型在实际问题中的应用教案主题：数学模型在实际问题中的应用导语：数学模型是数学和实际问题相结合的产物，能够帮助人们理解和解决现实生活中的各种问题。
本教案将以数学模型在实际问题中的应用为主题，通过介绍实例和案例，展示数学模型在不同领域的应用，帮助学生了解数学模型在解决实际问题中的重要性和实用性。
一、数学模型在物理领域的应用物理学中有许多现象可以通过数学模型予以描述和分析。
例如，自由落体运动可以用一系列的数学公式来表示，通过这些公式可以计算物体的运动轨迹、速度和时间等相关参数。
同样的，弹簧振动、电磁场、光学等也可以通过数学模型加以解释和计算。
例如：1. 弹簧振子模型弹簧振动是物理学中研究的一个重要课题，可以通过数学模型来分析和计算其振动的频率和振幅。
学生可以通过观察和实验，获得弹簧振子的周期和振幅的关系，然后建立数学模型，通过计算和预测来进一步验证实验结果。
2. 电磁场模型电磁场是物理学中研究的一个重要课题，可以通过数学模型来描述和计算电磁场的分布和变化。
学生可以通过实验和观察，了解不同电荷和电流之间的相互作用，然后建立数学模型，通过计算和预测来进一步验证实验结果。
二、数学模型在经济领域的应用经济学中研究的问题涉及到社会资源的合理利用和分配，可以通过数学模型予以分析和解决。
例如，供求关系、市场价格、投资决策等都可以通过数学模型来研究和计算。
例如：1. 需求曲线和供应曲线模型需求和供应是经济学中的两个重要概念，可以通过数学模型来描述和计算。
学生可以通过观察和调研，了解市场的需求和供应情况，进而建立需求曲线和供应曲线模型，通过计算和仿真来预测市场价格的变化和供求关系的变化。
2. 投资决策模型投资决策是经济学中的一个重要问题，可以通过数学模型来分析和计算。
学生可以通过学习和实践，了解投资的风险和回报关系，进而建立投资决策模型，通过计算和仿真来评估不同投资方案的风险和回报情况。
三、数学模型在生物领域的应用生物学中研究的问题涉及到生物体的生长、繁殖和演化等过程，可以通过数学模型予以描述和分析。
第一章数学建模概述
1数学建模概述⏹ 数学模型 ⏹ 数学建模过程 ⏹ 数学建模示例⏹ 建立数学模型的方法和步骤 ⏹数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。
直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。
物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。
思维模型，符号模型，数学模型 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。
它是模型的一种。
2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。
3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。
数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。
总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。
古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。
文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。
微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。
费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。
牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得221r m m G F =ma F =⎩⎨⎧=⋅-=⋅+75050)(75030)(y x y x 小时）（千米小时）（千米/5/20==y x答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。
数学中的数学模型与实际问题
数学中的数学模型与实际问题数学是自然科学中最基础、最重要的学科之一，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。
在数学中，数学模型是一个非常重要的概念，它将抽象的数学概念与实际问题相结合，使得我们能够通过一定的数学方法来解决实际问题。
在本文中，我们将探讨数学模型在实际问题中的应用和作用。
一、数学模型的概念和定义数学模型是指将现实世界中的问题抽象化和数学化，用数学语言和数学方法来描述和解决实际问题的一种方法。
数学模型可以是代数模型、几何模型、概率模型、微分方程模型等各种形式。
通过建立数学模型，我们可以对实际问题进行研究、分析和预测，从而得到一些有用的结论和信息。
二、数学模型的应用领域数学模型在各个领域都有广泛的应用，比如物理、经济、生物、环境等。
以下是几个具体的例子：1. 物理学中的数学模型在物理学中，数学模型起着非常重要的作用。
比如，通过建立物体的运动方程，可以预测物体的运动轨迹和速度；利用电磁场的方程可以研究电磁波的传播和反射；通过应用波动方程可以研究声音和光的传播等。
2. 经济学中的数学模型经济学是应用数学最广泛的领域之一，经济学家经常利用数学模型来研究经济现象和问题。
比如，通过建立供求模型可以研究市场价格的形成和变化；利用经济增长模型可以分析经济发展的趋势和影响因素；利用投资组合模型可以进行资产配置和风险管理等。
3. 生物学中的数学模型在生物学中，数学模型可以帮助我们研究生物系统的结构和功能。
比如，通过建立生物遗传方程可以预测物种的遗传变异和进化过程；利用生态模型可以研究物种的数量和分布规律；通过传染病模型可以分析疾病的传播机制和控制策略等。
4. 环境学中的数学模型在环境学中，数学模型可以用来研究环境系统的变化和影响。
比如，建立气候模型可以预测气候变化和全球变暖的趋势；利用水文模型可以分析水资源的分布和利用；通过建立空气质量模型可以评估空气污染的程度和来源等。
三、数学模型的建立和求解建立数学模型是一个复杂而艰巨的任务，需要深入理解实际问题、分析问题的关键因素和变量，确定合适的数学表达和模型假设，以及选择适当的数学方法和技巧。
数学模型在实际问题中的应用
数学模型在实际问题中的应用概述：数学模型是将实际问题抽象化并用数学语言和符号进行描述的工具。
它可以帮助我们理解和解决各种实际问题，无论是在科学研究、工程设计还是经济管理中，数学模型都发挥着重要的作用。
本文将通过几个具体的例子，详细介绍数学模型在实际问题中的应用。
第一部分：物理系统小标题：天体运动在天文学领域，数学模型被广泛用于描述行星、卫星和彗星等天体的运动。
例如，开普勒定律可以用数学模型来表达行星绕太阳的运动轨迹和速度变化规律。
这些数学模型不仅可以帮助我们预测天体的位置和行为，还可以揭示宇宙的奥秘。
小标题：电路分析在电子工程中，电路分析是一个重要的任务。
通过建立电路的数学模型，可以计算电流、电压和功率等物理量的数值。
这些模型可以帮助工程师设计出稳定可靠的电路，并优化电路的性能。
数学模型还可以用于模拟电路的工作过程，从而提前发现潜在问题并进行改进。
第二部分：经济系统小标题：市场供需在经济学中，供求关系是一个核心概念。
通过建立供求模型，可以分析市场上商品的价格和数量变化规律。
这些模型可以帮助经济学家预测市场走势，并为政府决策提供依据。
例如，通过对供求模型的分析，可以确定最优的税收政策和价格调控措施。
小标题：投资组合在金融领域，投资组合是一个重要的问题。
通过建立投资组合的数学模型，可以帮助投资者找到最优的投资策略。
这些模型可以考虑不同投资标的的收益率、风险和相关性等因素，从而平衡投资组合的收益和风险。
数学模型还可以用于评估投资者的风险承受能力，并提供相应的投资建议。
第三部分：社会系统小标题：流行病传播在公共卫生领域，流行病的传播是一个重要的研究课题。
通过建立流行病传播的数学模型，可以预测疾病的传播速度和范围，并制定相应的防控策略。
这些模型可以考虑人口流动、接触网络和病原体特性等因素，从而提高疫情监测和管理的效果。
小标题：交通流量优化在城市规划中，交通流量的优化是一个挑战性的问题。
通过建立交通流量的数学模型，可以优化交通信号灯的配时方案，减少交通拥堵和排队时间。
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2021/2/2
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建模 设椅子的四只脚位于点 A,B,C,D,其连线构
成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 A C ,
B D 为坐标轴（坐标系统如图所示）。
设 f 为 A , C 两点椅子的脚离开地面的距离只和；
g 为B , D 两点的椅子的脚离开
地面的距离之和，则由条件得
B1
y B
年 人口（亿）
年 人口（亿）
1908 3.0 1982 10.3
1933 4.7 1990 11.3
1953 6.0 2000 12.95
1964 7.2
2021/2/2
27
认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作 出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近 两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作 出检验，最后用它预报2010年美国的人口。
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第三节 数学模型的例子
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一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能 的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一 个四方形的顶点上； 假设2 地面是一张连续变化的曲面； 假设3 在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。
dx dt
r
x
x,
x 0 x 0
⑸
其中r x 是 x 的减函数。进一步假定，设 r x 是 x 的线
性函数，即
rx r s x(r ,s 0 )
⑹
这里r 称为固有增长率。引入 x ，称为人口容量，即
2021/2/2
42
当 x x 时，人口不再增长，即rx0,代入⑹式
得s r , 于是⑹式为
2021/2/2
3
模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。
尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。 原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某 种目的有关的那些方面和层次。
模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。
2021/2/2
4
一、形象模型
根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。
A1
fg00,2. C C 1
A
o
x
D
D1
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注意到：f,g C 0, 2 ,f0,g0.并且
椅子的四脚落地意味着 fg0.故不妨假设
f00,g00.
则问题归结为是否存在
0
0,
2
,
使得
f0g00.
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解模 由条件对任意 ，有 f0,g0.且
f 20,g20.
1790 3.9 4.2 6.0 1850 23.2 21.7 20.3
1800 5.3 5.5 7.4 1860 31.4 28.6 24.9
1810 7.2 7.2 9.1 1870 38.6 37.6 30.5
1820 9.6 9.5 11.1 1880 50.2 49.5 37.3
1830 12.9 12.5 13.6 1890 62.9 65.1 45.7
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28
年
人口 年 人口 年 人口 年 人口
1790
3.9 1850 23.2 1910 92.0 1970 204.0
1800
5.3 1860 31.4 1920 106.5 1980 226.5
1810
7.2 1870 38.6 1930 123.2 1990 251.4
1820
9.6 1880 50.2 1940 131.7 2000 281.4
令
h f g ,
则
h
C
0,
2
,
因
h 0 f0 g 0 0 ,
h2f2g20,
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由闭区间连续函数的零点定理知，存在 0
0,
2
,
使得
h0 0.
注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落
地，即
f0 0 g 0 0 .
所以由 h00，即有
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f0g00.
分析 当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条 件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着 人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增长模型 就是基于这个事实，对指数增长模型的基本假设进行修 改后得到的。
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建模 设增长率 r 随人口数量x 的增长而下降，则关
系式⑵可改写成
x
r
x
r
1
x x
.
⑺
把⑺代入方程⑸，得
dx x
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้rx 1
x
,
⑻
x
0
x0 ,
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方程⑻右端的因子 r x 体现人口自身的增长趋势，因子
1
x x
则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。
注意到：x 越大，前一因子越大，而后一因子越小，人
口的增长是两个因子共同作用的结果。
年 人口（亿）
1625 5
1974 40
1830 10
1987 50
1930 20 1999 60
1960 30
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25
从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。
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下表是我国在20世纪中人口发展的状况：
数。
200多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立
了著名的人口指数模型。
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建模 记时刻 t 时的人口为 x t ，并视其为连续变量，
初始时 t 0 的人口为x 0 ，从 t 到 t t 时间内人口的
增量为 x ，则有
x x t t x t r x t t .
yrta,
⑷
其中：ylnx.alnx0。
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以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得
r 0 . 2 7 4 3 / 1 0 年 ,x 0 4 . 1 8 8 4 .
以1790年到2000年的全部数据拟合⑷式，可得
r 0 . 2 0 2 2 / 1 0 年 ,x 0 6 . 0 4 5 0 .
1830
12.9 1890 62.9 1950 150.7
1840
17.1 1900 76.0 1960 179.3
表1 美国人口数据统计
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⑴指数增长模型
一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为 x 0 ，
年增长率为 r ，则以后第 k 年的人口为
xk x01rk.
⑴
在上面的问题中，假定人口的增长率 r 是一个不变的常
12
在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：
对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目 的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用 适当的数学工具，得到一个数学结构。
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13
注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学 模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解 过程。
令t 0,则得到 x t 应满足的微分方程：
dx
d
t
rx
.
⑵
x 0 x 0
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由这个方程容易解得：
xtx0ert.
⑶
当 r 0 时，⑶式表明人口将按指数规律无限增长。故
称为指数增长模型。
参数估计：⑶式中的 r和 x 0 可以用表1中的数据进行
估计。为了利用简单的最小二乘法，将⑶式取对数后得
水航行时有关系
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10
xy30750,
当船只逆水航行时，有
yx50750,
即有方程组
x y30 750, y x50 750.
上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。
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容易求出该问题的解：y20,x5。即船速为
20km/h，水速为5km/h。
2021/2/2
建立模型的过程就称为数学建模。
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第二节 数学建模的重要意义
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一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之 地。
二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少 的工具。
三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓 了许多新的处女地。
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四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。
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例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？
分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且 假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。
求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为y ，则当顺
合的结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国
人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明
显放慢，此时模型不再适合了。
2021/2/2
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年 人口
x1 x2 年 人口
x1 x2
1910 92.0
68.4 1970 204.0