2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学(文)(三) 含答案
2020届百校联考高考百日冲刺金卷
全国II卷·文数(三)
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合M＝{x∈N|x≤6}，A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则
M
ðB＝
(A){2，5，6} (B){2，3，6} (C){2，3，5，6} (D){0，2，3，5，6}
(2)已知i是虚数单位，z(2－i)＝5(1＋i)，则z＝
(A)1＋3i (B)1－3i (C)－1＋3i (D)－1－3i
(3)已知O为坐标原点，椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，过右焦点F的直线l⊥x轴，交椭圆
C于A，B两点，且△AOB为直角三角形，则椭圆C的离心率为
A.
15
2
-+
B.
13
2
-+
C.
1
2
D.
15
2
--
(4)如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T的概率是
A.1
8
B.
1
4
C.
1
2
D.
2
3
(5)在△ABC中，AB＝3，AC＝4，D为BC上一点，且BC＝3BD，AD＝2，则BC的长为
(A)423 (B)422 (C)4 (D)42 (6)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<
2π)的图象经过(0，18)，周期为π，且f(x)≤|f(6π)|对x ∈R 恒成立，则函数f(x)在区间[0，2
π]上的取值范围为 (A)[－14，14] (B)[－12，14] (C)[－ 18，14] (D)[－12
，1] (7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(A)243π+ (B)2123π+ (C)443π+ (D)4123π+ (8)函数f(x)＝(x 2－2|x|)e |x|的图象大致为
(9)已知大于1的实数x ，y 满足log x (2x)＝log y (3y)，则下列结论正确的是
(A)221111
x y <++ (B)ln(x 2＋1)<ln(y 2＋1) (C)tanx<tany 33x y >(10)如图给出的是计算
1111124640384040
-+-⋅⋅⋅+-的值的程序框图，其中判断框内应填入的是
(A)i ≤4034? (B)i ≤4036? (C)i ≤4038? (D)i ≤4042?
(11)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为边长为2的正方形，M ，N 分
别是C 1B 1，CC 1的中点，CA CB ⋅u u u r u u u r ＝0，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为 (A)15 (B)25 (C)45
(D)215 (12)已知函数()221,022,0
x e x f x x x x ⎧->⎪=⎨---≤⎪⎩，若|f(x)|≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为 (A)[2－2，2] (B)[2－2，1] (C)[2－2，e] (D)[2－e e]
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(2，－1)，则b ·(2a －b)＝ 。
(14)若sin(α＋6
π)＋cos α＝－33，则cos(23π＋2α)＝ 。
(15)已知曲线f(x)＝ln(a ＋x)在(0，f(0))处的切线方程为y ＝x ，则满足0≤f(x －2)≤1的x 的取值范围为 。
(16)某饮料厂生产A ，B 两种饮料。
生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时(m ，n ∈N *)利润最大，则m ＋n ＝ 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，a 3a 7＝322，数列{b n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n －2。
(I)求{a n }的通项公式与S n ；
(II)设c n ＝a n
＋1
1n S +，求数列{c n }的前n 项和T n 。
(18)(本小题满分12分)
2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众(含200名女性)的评分(百分制)进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图。
(I)计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；
(II)若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”。
(i)试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；
(ii)完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关。
参考数据：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++
(19)(本小题满分12分)
如图，在三棱锥A －BCD 中，ABD 是等边三角形，BC ⊥CD ，BC ＝CD 2，E 为三棱锥A －BCD 外一点，且△CDE 为等边三角形。
(I)证明：AC ⊥BD ；
(II)若AE ⊥平面CDE ，求点E 到平面BCD 的距离。
(20)(本小题满分12分)
已知圆O ：x 2＋y 2＝9与抛物线C ：y 2＝2px(p>0)相交于G ，H 两点，且|GH|＝2。
(I)求抛物线C 的方程；
(II)若抛物线C 与直线l ：y ＝k(x ＋2)(k>0)相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|FA|＝2|FB|，求直线l 与圆O 相交所得的弦长。
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln(ax)－
x a x -(a>0)的最小值为0。
(I)求f(x)的解析式；
(II)若函数g(x)＝f(x)－12x
－m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2>1。
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
(22)(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为212212
x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4，
6π)，(4，56π)，(4，32
π)，且△ABC 的顶点都在圆C 2上，将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3。
(I)求曲线C 3的直角坐标方程；
(II)设M(1，1)，曲线C 1与C 3相交于P ，Q 两点，求|MP|·|MQ|的值。
(23)(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|3x －1|＋|x －2|。
(I)求不等式f(x)≥3的解集；
(II)若m>1，n>1，对∀x ∈R ，不等式()
2253log log m n f x ⋅≥恒成立，求mn 的最小值。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 语文(三)
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国II卷·语文(三)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
2.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.本试卷满分150分，测试时间150分钟。
4.考试范围：高考全部内容。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。
党的十八大以来，中国以创新主动适应和引领新常态，不仅从容面对“前后围堵”的双重挤压，顶住了“三期叠加”的下行压力，也取得一份又一份骄人成绩单。
不仅如此，以人工智能为代表的创新性产品、以5G为代表的创新性互联网技术、以新媒体等为代表的新兴服务产业也蓬勃发展。
今天，创新性产品和创新性技术正在成为推动中国经济前行的强大动力。
中国经济之所以能够继续保持稳中向好的趋势，一个重要原因也正是新旧动能转换加快，以及由此带来的产业结构升级。
今天，在迈向高质量发展的征程上，当加快速度变为加快转型，当扩张规模变为提质增效，创新驱动已经成为中国经济的新引擎。
外媒也注意到，只担忧中国经济的减速、看不见中国在创新上表现出的巨大潜力，恐怕是很危险的。
这体现在经济结构的不断优化，2018年，服务业占国内生产总值比重为52.2%，对国民经济增长的贡献率为59.7%，比第二产业高23.6个百分点；这也体现在发展效率的不断提升，2018年新产业新产品不断成长，规模以上工业战略性新兴产业增加值比2017年增长8.9%，规模以上工业高技术产业增加值比上年增长11.7%。
这些数据背后，是如雨后春笋般涌现的新市场主体，是每天都在蓬勃生长的新动能、新业态、新模式。
从更大的视野来看，历史上每一轮科技革命都能重塑世界经济格局，而现在全球新一轮科技革命和产业变革同我国经济优化升级交汇融合，为中国实现转型升级提供了难得的机遇。
中国有联合国产业分类目录中的全部工业门类，220多种主要工业品产量常年领先世界，具有产业规模效应和创新成果转化效应；中国有近14亿人口的大市场，有世界上规模最大并持续扩大的中等收入群体，可以用消费升级带动产业升级；中国丰富的人力资本，受高等教育或拥有专业技能的人才越来越多，研发人员规模连续5年稳居世界第一位，为高质量发展提供“最强大脑”。
百校联考冲刺二卷文科数学(2)
(B)[－ 1 ， 1 ] 24
(C)[－ 1 ， 1 ] 84
(D)[－ 1 ，1] 2
(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(A) 2 4 3 3
(B) 2 12 3 3
(C) 4 4 3 3
(8)函数 f(x)＝(x2－2|x|)e|x|的图象大致为
(D) 4 12 3 3
(9)已知大于 1 的实数 x，y 满足 logx(2x)＝logy(3y)，则下列结论正确的是
(D)i≤4042?
(11)已知三棱柱 ABC－A1B1C1，四边形 A1ACC1 与 B1BCC1 均为边长为 2 的正方形，M，N 分
别是 C1B1，CC1 的中点， CA CB ＝0，则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为
(A) 1 5
(B) 2 5
(C) 4 5
(D) 21 5
(12)已知函数
(21)(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ln(ax)－ x a (a>0)的最小值为 0。 x
(I)求 f(x)的解析式；
(II)若函数
g(x)＝f(x)－
1 2x
－m
有两个零点
x1，x2，且
x1<x2，求证：x1＋x2>1。
-5-
请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
(13)已知向量 a＝(2，1)，b＝(2，－1)，则 b·(2a－b)＝
。
(14)若 sin(α＋ )＋cosα＝－ 3 ，则 cos( 2 ＋2α)＝
。
6
3
3
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅱ卷)(含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（三）（全国Ⅱ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，，，则A. 5，B. 3，C. 3，5，D. 2，3，5，2.已知i是虚数单位，，则A. B. C. D.3.已知O为坐标原点椭圆C：，过右焦点F的直线轴，交椭圆C于A，B两点，且为直角三角形，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.4.如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T的概率是A.B.C.D.5.在中，D为BC上一点，且，，则BC的长为A. B. C. 4 D.6.已知函数的图象经过，周期为，且对恒成立，则函数在区间上的取值范围为A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.8.函数的图象大致为A. B.C. D.9.已知大于1的实数x，y满足，则下列结论正确的是A. B.C. D.10.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是A. ？B. ？C. ？D. ？11.已知三棱柱，四边形与均为边长为2的正方形，M，N分别是，的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为A. B. C. D.12.已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，则______．14.若，则______．15.已知曲线在处的切线方程为，则满足的x的取值范围为______．16.某饮料厂生产A、B两种饮料．生产1桶A饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A饮料的产量不超过B饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A饮料的时间不低于生产B饮料的时间，每桶A饮料的利润是每桶B饮料利润的倍，若该饮料厂每天生产A饮料m 桶，B饮料n桶时利润最大，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项等比数列满足，，数列的前n项和为，．Ⅰ求的通项公式与；Ⅱ设，求数列的前n项和．18.2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众含200名女性的评分百分制进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图．Ⅰ计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；Ⅱ若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”．试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．女性观众男性观众合计“满意”“不满意”合计参考数据：k19.如图，在三棱锥中，是等边三角形，平面平面BCD，，，E为三棱锥外一点，且为等边三角形．Ⅰ证明：；Ⅱ若平面CDE，求点E到平面BCD的距离．20.已知圆O：与抛物线C：相交于G，H两点，且．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若抛物线C与直线l：相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若，求直线l与圆O相交所得的弦长．21.已知函数的最小值为0．Ⅰ求的解析式；Ⅱ若函数有两个零点，，且，求证：．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A，B，C的极坐标分别为，，，且的顶点都在圆上，将圆向右平移3个单位长度后，得到曲线．Ⅰ求曲线的直角坐标方程Ⅱ设，曲线与相交于P，Q两点，求的值．23.已知函数．求不等式的解集；Ⅱ若，，对，不等式恒成立，求mn的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：已知集合1，2，3，4，5，，0，1，，1，，则3，5，，故选：C．求出集合M，B，再计算即可．考查集合与集合的关系，集合的交并补运算，基础题．2.答案：B解析：解：由，得，则．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：设右焦点的坐标为，把代入得，，，又为直角三角形，即，，，解得或舍．故选：A．由题易求得，因为为直角三角形，可知，再结合和即可得解．本题考查椭圆的离心率、焦点等几何性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为，六个小三角形的面积之和为，又长方形的宽为3，长为，所以长方形的面积为，故此点取自阴影部分T的概率是．故选：B．分别求出各自的面积，转化为面积比即可．本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力．5.答案：D解析：解：在中，D为BC上一点，如图所示：设，且，所以，，在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：，由于，由得：，代入得：，解得．所以，故选：D．首先利用平面向量的线性运算的应用和余弦定理的应用求出BC的值．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：C解析：解：由题意，可得函数的周期，，又，，，．又，所以，当时，，，，，又，所以，所以．故选：C．由的周期为，可求得，又对恒成立，可求得，过可求得A，从而可得答案．本题考查不等式恒成立问题，求得函数的解析式是关键，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．7.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为．则该组合体的体积．故选：A．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为再由球与棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.答案：B解析：解：根据题意，，则有，即函数为偶函数，排除C，又由，排除AD；故选：B．根据题意，分析可得为偶函数，排除C，计算的值，排除AD，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性、特殊值的分析计算，属于基础题．9.答案：B解析：解：大于1的实数x，y满足，，．．故选：B．大于1的实数x，y满足，可得，再利用函数的单调性即可判断出结论．本题考查了对数运算性质、对数函数的单调性、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：算法的功能是计算的值，易知正项的分母为2，6，10，，4038成等差数列，所以判断框中，继续执行，故终止程序运行的i值为4038，判断框内处应为．故选：C．根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件式子．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值的出现规律是解答本题的关键，属于基础题．11.答案：B解析：解：三棱柱，四边形与均为边长为2的正方形，M，N分别是，的中点，，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则2，，1，，0，，0，，，0，，设异面直线BM与AN所成角为，则．异面直线BM与AN所成角的余弦值．故选：B．推导出，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与AN所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：作出函数的图象如图所示；当时；令，即，令，即，解得，结合图象可知，；当时，令，则此时，相切，设切点，则，解得，观察可知，实数m的取值范围为．故选：A．作出函数的图象，当时；令，可求得m的值；当时，令，由与相切可设切点为，由，可解得，观察可得答案．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查分类讨论思想及数形结合思想的运用，考查观察能力与推理运算能力，属于是难题．13.答案：1解析：解：因为向量，，；则；故答案为：1．直接代入数量积求解即可．本题考查了向量的坐标运算以及求数量积等问题，较容易的题．14.答案：解析：解：由，即，所以，即，所以．故答案为：．由条件利用两角和的正弦公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值．本题主要考查了两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式应用问题，是基础题．15.答案：解析：解：因为，所以，，则曲线在处的切线方程为，所以，，解得，所以，则即，所以解得，故答案为．根据切线方程可求得参数a，进而解出不等式组即可本题考查利用曲线上某点切线方程求参数a，考查不等式组的求解，属于中档题．16.答案：7解析：解：设每天A，B两种饮料的生产数量分别是x桶，y桶，则有，则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为，则，z表示直线在y轴上的截距，，y只取整数，当直线经过点，即，时，利润最大，该饮料厂每天生产A饮料m桶，B饮料n桶时利润最大时，．故答案为：7．设每天A，B两种饮料的生产数量分别是x桶，y桶，则有，作出可行域，目标函数为，则，z表示直线在y轴上的截距，求出当直线经过点，即，时，利润最大，由此能求出结果．本题考查利润最大时两种产品的产量和的求法，考查线性规划等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：根据题意，，，，，，所以，因为，数列为公差2，首项为0的等差数列，；根据题意，所以．解析：Ⅰ先由题设条件求出数列的公比，再求其前n项和；Ⅱ先求出，再利用分组求和与裂项相消法求出．本题主要考查等比数列基本量的运算及数列的求和，属于基础题．18.答案：解：根据题意，设女性观众评分的中位数为x，，，男性观众评分的平均数为；男性观众不满意的概率大，记表示事件：“女性观众不满意”；表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得的估计值为，的估计值为，所以男性观众不满意的概率大；列联表如下图：女性观众男性观众合计“满意”140180320“不满意”60120180合计200300500所以，故有的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．解析：Ⅰ利用中位数左侧的小矩形的面积之和为，即可估计女性观众评分的中位数，利用每组区间中点值乘以该组的频率依次相加，即可估计男性观众评分的平均数；Ⅱ分别估算男观众与女观众不满意的概率，再比较即可；计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了估计中位数和平均数，以及独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题．19.答案：Ⅰ证明：取BD的中点O，连接OC，OA，是等边三角形，，又，，，平面AOC，平面AOC，；Ⅱ解：平面平面BCD，平面平面，平面BCD，且，，取CD的中点F，连接OF，EF，同理可证平面EOF，平面AOF，，O，F，E共面，平面平面OFE，作EH垂直OF于点H，则平面BCD，故点E到平面BCD的距离即为EH，又平面CDE，，，，，，，得，，，．由，．即点E到平面BCD的距离．解析：Ⅰ取BD的中点O，连接OC，OA，由已知可得，，得到平面AOC，从而可得；Ⅱ由平面与平面垂直的性质可得平面BCD，取CD的中点F，连接OF，EF，可得平面EOF，平面AOF，即A，O，F，E共面，由平面平面OFE，作EH垂直OF于点H，则平面BCD，可得点E到平面BCD的距离即为EH，然后求解三角形得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间中点到面距离的求法，是中档题．20.答案：解：因为G，H关于x轴对称，所以G，H的纵坐标为，横坐标为1，代入，可得．设抛物线C：的准线为l：，直线恒过定点，如图过A，B分别作于M，于N，由，则点B为AP的中点，连接OB，则，，点B的横坐标为1．点B的坐标为，，，所以直线l的方程为，所以O到直线l的距离为所以弦长为．解析：通过G，H关于x轴对称，求出G，H的纵坐标为，横坐标为1，然后求解抛物线方程．设抛物线C：的准线为l：，直线恒过定点，画出图形过A，B分别作于M，于N，由，点B为AP的中点，连接OB，求出直线l的方程，通过O到直线l的距离，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：因为，，易得当时，，函数单调递减，当，，函数单调递增，故当时，函数取得最小值，故，．由可得，所以，因为有两个零点，，且，所以，，两式相减可得，故，则，，令，则，，令，，则恒成立，故在上单调递增，，所以，所以，故．解析：先对函数求导，结合导数与单调性关系可求函数的单调性，进而可求最小值，然后结合已知即可求解a；由题意可得，，，两式相减可得，然后结合式子特点适当构造函数，即可证明本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，还考查了导数与函数性质，零点性质的综合应用，属于中档试题．22.答案：解：Ⅰ已知点A，B，C的极坐标分别为，，，转换为直角坐标为，，设经过的圆的方程为，将直角坐标，，，代入圆的方程得到：解得，，所以圆的直角坐标方程为．将圆向右平移3个单位长度后，得到曲线，得到．Ⅱ由Ⅰ得：把曲线的参数方程为为参数，代入．得到：，整理得：，所以．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：原不等式可化为当时，原不等式可化为，解得，分当时，原不等式可化为，解得，分当时，原不等式可化为，解得，分综上，原不等式的解集为：或分Ⅱ，，分由恒成立可知，不等式恒成立分，，，当且仅当时等号成立，的最小值是分．解析：原不等式可化为通过对x取值范围的讨论，去掉绝对值符号解对应的不等式，最后取并即可；Ⅱ由，可求得，恒成立恒成立，利用基本不等式即可求得mn的最小值．本题主要考查了不等式的恒成立问题及绝对值不等式的解法，突出分类讨论思想与转化思想的应用，考查基本不等式及运算能力，属于中档题．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅱ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅱ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 集合{1,2，3}的非空真子集共有 ( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −3B. −2C. 2D. 34. 从1，2，…，10这十个数中任取三个不同的数，则至少有一个奇数和一个偶数的概率为( )A. 56B. 512C. 518D. 5365. 已知sin(x +π12)=13，则cos(x +712x)的值为( )A. 13B. −13C. −23√2D. 23√26. 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29−y 227=1的左、右焦点，点A 为双曲线上一点，∠F 1AF 2的平分线交x 轴于点 (2,0)，则|AF 2|=( )A. 3B. 6C. 8D. 107. 已知等差数列{a n }满足a 1=2，公差d ≠0，且a 1,a 2,a 5成等比数列，则d =( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 给出50个数：1，3，5，7，…，99，要计算这50个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( )A. i ≤50？和p =p +1B. i ≤51？和p =p +1C. i ≤51？和p =p +2D. i ≤50？和p =p +29. 已知f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)在区间[π6,π4]上单调递增，则ω的取值范围是( )A. (0,23]B. (0,23]∪[7,263] C. [7,263]∪[503,19]D. (0,23]∪[503,19]10. 对于定义域是R 的任意奇函数f(x)，都有( )A. f(x)−f(−x)>0B. f(x)−f(−x)≤0C. f(x)⋅f(−x)≤0D. f(x)⋅f(−x)>011. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱12. 设f(x)={3−x +a(x ≤2)f(x −1)(x >2)，若f(3)=−89，则实数a 是( )A. 1B. −1C. 19D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )=x 3+ax 在点(1,2)处的切线方程为____．14. 已知满足{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0 ，若目标函数z =3x +y 的最大值为10，则z 的最小值为______．15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的半焦距为c ，(c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2=158(a +c)x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是______．16. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50． 通项公式：a n ={n 2−12,n 为奇数n 22,n 为偶数如果把这个数列{a n }排成右侧形状，并记A(m,n)表示第m 行中从左向右第n 个数，则A(10,4)的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 在△ABC 中，cosBcosC =−b2a+c ，(1)求B ；(2)b =√13,a +c =4，求S △ABC ．18. 如图，ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF//DE ，DE =DA =2AF =2．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求AE 与平面BDE 所成角的大小； (3)求三棱锥D −BEF 的体积．19.改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利．已知某市某快递点的收费标准为：首重(重量小于等于1kg)收费10元，续重5元/kg(不足1kg按1kg算).(如：一个包裹重量为2.5kg，则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)(1)若你有三件礼物A，B，C重量分别为0.4kg，1.2kg，1.9kg，要将三个礼物分成两个包裹寄出，如：A，B合为一个包裹，C一个包裹．那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？(2)对该快递点近5天的每日揽包裹数(单位：件)进行统计，得到的日揽包裹数分别为56件，89件，130件，202件，288件，那么从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率．20. 已知函数f(x)=ax +1nx(a ∈R)，g(x)=e x ．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：当a =0时，g(x)>f(x)+2．21. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．22. (1)已知f(x +1)=x 2+2x ，求f(x)的解析式．(2)已知不等式｜x −2｜+｜x +1｜>a 对于一切的实数x 恒成立，求a 的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【试题解析】本题考查的知识点是计算集合非空真子集的个数．根据集合{1,2，3}把集合的非空真子集列举出来，即可得到个数； 解：集合{1,2，3}的非空真子集有： {1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共6个； 故选：B ．2.答案：C解析：解：∵Z =3−4i ， ∴|Z|=√32+(−4)2=5． 故选：C ．直接利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积，向量的模的运算，向量的加减运算，属基础题．由题意可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，然后利用向量的模与数量积进行求解即可得． 解：因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+(t −3)2=1，解得t =3， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+3×0=2， 故选C ．4.答案：A解析：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53= 100，由此能求出至少有一个奇数和一个偶数的概率．解：从1，2，3，…，10这十个数中任取3个不同的数，基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53=100，∴至少有一个奇数和一个偶数的概率为P=mn =100120=56．故选A．5.答案：B解析：本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题．根据诱导公式直接计算即可．解：故选B．6.答案：B解析：解：双曲线C：x29−y227=1的a=3，b=3√3，c=√a2+b2=6，则F1(−6,0)，F2(6,0)，∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得|F1M||F2M|=|AF1||AF2|=48=12，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理，以及双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|= 6，进而可得所求；本题考查双曲线的方程和定义，考查角平分线的性质定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．7.答案：D解析：本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d．解：等差数列{a n}满足a1=2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a1a5，即为(2+d)2=2(2+4d)，即d2=4d，解得d=4(d=0舍去)，故选D．8.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知，要计算50个数的和．故循环次数要50次，由循环变量的初值为1，故判断框①处应填：i≤50？由于每次累加的值步长为2，故执行框②处应填：p=p+2，故选：D．9.答案：B解析：解：f(x)=sinωx +√3cosωx =2sin(ωx +π3)， 由2kπ−π2≤ωx +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得2kπ−5π6≤ωx ≤2kπ+π6，k ∈Z ，即2kπ−5π6ω≤x ≤2kπ+π6ω，即函数的单调递增区间为[2kπ−5π6ω,2kπ+π6ω]，k ∈Z ，∵f(x)在区间[π6,π4]上单调递增，∴{2kπ−5π6ω≤π62kπ+π6ω≥π4，即{ω≥12k −5ω≤8k +23，即12k −5≤ω≤8k +23， ∵ω>0，∴当k =0时−5≤ω≤23，此时0<ω≤23， 当k =1时，7≤ω≤263，当k =2时，19≤ω≤16+23，此时不成立， 综上ω的范围是0<ω≤23或7≤ω≤263，即(0,23]∪[7,263]， 故选：B ．根据辅助角公式进行化简，结合函数单调递增的性质求出单调递增区间，建立不等式组关系进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，结合辅助角公式进行化简，以及利用三角函数单调性的性质是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：∵函数f(x)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)，则f(x)⋅f(−x)=−f(x)⋅f(x)=−f 2(x)≤0， 故C 正确，其他不一定正确，故选：C根据函数奇偶性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，比较基础．11.答案：B解析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．考点：三视图的考查12.答案：B解析：本题考查分段函数求值，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．推导出f(3)=f(2)=3−2+a=−89，由此能求出a的值．解：∵f(x)={3−x+a(x≤2)f(x−1)(x>2),f(3)=−8 9 ,∴f(3)=f(2)=3−2+a=−89，解得a=−1．故选B．13.答案：y=4x−2解析：本题主要考查了利用导数求解曲线某点处的切线方程，属于基础题.将点(1,2)代入f(x)中得到a值，然后求解f(x)的导数，利用导数的几何意义求解即可．解：因为(1,2)在f(x)上，所以1+a =2，解得：a =1，所以f (x )=x 3+x ，所以f′(x )=3x 2+1，所以f′(1)=4，所以f(x)在点(1,2)处的切线方程为y −2=4(x −1)，即y =4x −2．故答案为y =4x −2．14.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图：由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)， 此时C 在2x −y −m =0上，则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小，由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5，故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15.答案：12 解析：本题给出椭圆与抛物线相交得到菱形ABFC ，求椭圆的离心率e ，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．根据四边形ABFC 是菱形得到B 的横坐标为12(a −c)，代入抛物线方程求出B 的纵坐标为√154b ，因此将点B 的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e 的方程，即可得到该椭圆的离心率． 解：如图∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，∴A(a,0)，F(−c,0)，a 2−c 2=b 2， ∵抛物线y 2=158(a +c)x 与椭圆交于B ，C 两点，∴B 、C 两点关于x 轴对称，可设B(m,n)，C(m,−n)(n >0)，∵四边形ABFC 是菱形，∴m =(a−c )2将B(m,n)代入抛物线方程，得n 2=15(a +c )×(a −c )=15b 2 ∴B((a−c )2,√154b)，再代入椭圆方程， 得[12(a−c)]2a 2+(√154b)2b 2=1，又∵离心率e =ca ，化简整理，得4e 2−8e +3=0，解之得e =12(e =32>1不符合题意，舍去)，故答案为：12．16.答案：3612解析：解：由题意，前9行，共有1+3+⋯+17=9×182=81项，A(10,4)为数列的第85项，∴A(10,4)的值为852−12=3612．故答案为3612．由题意，前9行，共有1+3+⋯+17=9×182=81项，A(10,4)为数列的第85项，即可求出A(10,4)的值．本题考查归纳推理，考查等差数列的求和公式，属于中档题．17.答案：解：(1)由cosBcosC =−b2a+c，根据正弦定理，可得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC，2cosBsinA+cosBsinC=−sinBcosC，即2cosBsinA=−sinA∵0<A<π，sinA≠0．∴cosB=−12∵0<B<π，∴B=2π3(2)b=√13,a+c=4，由余弦定理：cosB=a2+c2−b22ac，可得：−ac=a2+c2−13，即(a+c)2−ac−13=0得：ac=3那么三角形的面积S△ABC=12acsinB=3√34．解析：(1)利用正弦定理化简后，根据和与差的公式可得B的大小．(2)根据余弦定理建立关系，求出ac的值，即可得S△ABC的值．本题考查三角形的正余弦定理和和与差公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE；(2)设AC∩BD=O，连接AE，EO，∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO是AE与平面BDE所成角，在Rt△EAD中，EA=√AD2+DE2=2√2，AO=√2，∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=AOEA =12，∴∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成角为30°；(3)∵DE⊥平面ABCD，DE⊂平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面ABCD，∴AB⊥AD，∵平面ADEF∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面ADEF，∴三棱锥D−BEF的体积V D−BEF=V B−DEF=13×S△DEF×AB=13×12×22×2=43．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由AC⊥BD，得DE⊥平面ABCD，从而AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE；(2)设AC∩BD=O，连接AE，EO，由AC⊥平面BDE，得∠AEO是AE与平面BDE所成角，由此求出AE与平面BDE所成角；(3)推导出平面ADEF⊥平面ABCD，从而AB⊥AD，三棱锥D−BEF的体积V D−BEF=V B−DEF，由此能求出结果．19.答案：解：(1)A，B一个包裹，C一个包裹时，需花费15+15=30(元)，A，C一个包裹，B一个包裹时，需花费20+15=35(元)，B，C一个包裹，A一个包裹时，需花费25+10=35(元)，综上，A，B一个包裹，C一个包裹时花费的运费最少，为30元．(2)5天中有3天的日揽包裹数超过100件，记这三天为a1，a2，a3，其余两天为b1，b2，从5天中随机抽出2天的所有基本事件如下：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3，b2)，(b1,b2)，一共10种，2天的日揽包裹数均超过100件的基本事件有(a1,a2)，(a1,a3)，(a2,a3)，一共3种，所以从这5天中随机抽出2天，2天的日揽件数均超过100件的概率为310．解析：本题考查实际应用问题以及古典概型的计算与应用，属于中档题．(1)分别求出A，B一个包裹，C一个包裹时；A，C一个包裹，B一个包裹；B，C一个包裹，A一个包裹时三种情况的快递费用，再比较大小，即可得到答案；(2)5天中有3天的日揽包裹数超过100件，记这三天为a1，a2，a3，其余两天为b1，b2，得到所有的基本事件数，以及这2天的日揽包裹数均超过100件的事件个数，再通过古典概型的概率公式计算，即可得到答案．20.答案：(本小题满分12分)解(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+1x,(x>0)10当a≥0时，f′(x)>0，所以在(0,+∞)单调递增；20当a<0时，由f′(x)=0，解得x=−1a．则当x∈(0,−1a )时．f′(x)>0，所以f(x)单调递增．当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减．综上所述：当a ≥0时，f(x)增区间是(0,+∞)；当a <0时，f(x)增区间是(0,−1a )，减区间是(−1a ,+∞). …(4分)(2)f(x)=lnx ，f(x)与g(x)的公共定义域为(0,+∞)，令F(X)=e x −lnx ，F′(x)=e x −1x ，F″(x)=e x +1x 2>0，所以F′(x)单调递增因为F′(12)=√e −2<0,F′(1)=e −1>0，所以存在唯一x 0∈(12,1)使得F′(x 0)=e x 0−1x 0=0，∴x 0=e −x 0 且当x ∈(0,x 0)时F′(x)<0，F(x)递减； 当x ∈(x 0,+∞)时F′(x)>0，F(x)当递增；所以F min (x)=F(x 0)=e x 0−lnx 0=e x 0+x 0>e 12+12>1.6+12>2 故g(x)>f(x)+2. …(12分)解析：(1)求出f(x)的定义域是(0,+∞)，导函数f′(x)=a +1x ,(x >0)，通过10当a ≥0时；20当a <0时，求解函数的单调区间．(2)求出函数的定义域，化简令F(X)=e x −lnx ，求出导函数，通过二次求导，求出函数的最值，判断导数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ，整理得(ρcosθ)2=2ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2=2y ．(2)把直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t，代入x 2=2y ，得到：(√22t −1)2=2×√22t ， 整理得12t 2−2√2t +1=0，即：t 2−4√2t +2=0，故t 1+t 2=4√2，t 1t 2=2，所以：|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.答案：解：(1)令t=x+1，则x=t−1，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，∴f(x)=x2−1(2)要使不等式｜x−2｜+｜x+1｜>a，只需不等式(｜x−2｜+｜x+1｜)min>a，而不等式｜x−2｜+｜x+1｜≥|(x−2)−(x+1)|=3，当且仅当(x−2)(x+1)≥0时等号成立；所以a<3．解析：本题主要考查了求函数解析式和不等式中的恒成立问题，属于基础题．(1)首先令t=x+1，则x=t−1，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，再利用同一函数确定f(x)的解析式；(2)要使不等式｜x−2｜+｜x+1｜>a，只需不等式(｜x−2｜+｜x+1｜)min>a，而不等式｜x−2｜+｜x+1｜≥|(x−2)−(x+1)|=3，所以a<3．。
2020年高考全国名校联考冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学(理)(三) Word版含答案
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国II 卷·理数(三)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合M ＝{x ∈N|x ≤6}，A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则M ðB ＝ (A){2，5，6} (B){2，3，6} (C){2，3，5，6} (D){0，2，3，5，6} (2)已知i 是虚数单位，z(2－i)＝5(1＋i)，则z ＝ (A)1＋3i (B)1－3i (C)－1＋3i (D)－1－3i(3)在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝4，D 为BC 上一点，且3BC BD =u u u r u u u r，AD ＝2，则BC 的长为 (A)42 (B)42 (C)4 (D)42 (4)在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”。
已知如图所示的多边形镶嵌的图形T ，在T 内随机取一点，则此点取自正方形的概率是(A)23 43743+ 743+ (D)12 (5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)2433π+ (B)21233π+ (C)4433π+ (D)41233π+ (6)已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，BO BA ⋅u u u r u u u r<0，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是 (A)(1，233) (B)(233，＋∞) (C)(1，23) (D)(23，＋∞) (7)函数f(x)＝(x 2－2|x|)e |x|的图象大致为(8)如图给出的是计算1111124640384040-+-⋅⋅⋅+-的值的程序框图，其中判断框内应填入的是(A)i ≤4034? (B)i ≤4036? (C)i ≤4038? (D)i ≤4042?(9)已知大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ，则下列结论正确的是(A)221111x y <++ (B)ln(x 2＋1)<ln(y 2＋1) (C)tanx<tany >(10)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线l ：x －y －2＝0对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为 (A)(1，－1) (B)(2，0) (C)(12，－32) (D)(1，1) (11)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为边长为2的正方形，M ，N 分别是C 1B 1，CC 1的中点，CA CB ⋅u u u r u u u r＝0，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为(A)15 (B)25 (C)45(D)5(12)设函数f(x)＝asin ωx ＋bcos ωx(ω>0)在区间[6π，2π]上单调，且f(2π)＝f(23π)＝－f(6π)，当x ＝12π时，f(x)取到最大值4，若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y ＝g(x)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(二)数学(文)试题(解析版)
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为( )A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A【解析】先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解. 【详解】因为集合{|6A x x =<且}{}*N1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 2．复数z 满足()113z i i ⋅+=+，则z =（ ）A ．2B ．4C D ．5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z ，再求出模长|z |． 【详解】()()13113212i i i z i i +-+===++，故z =故选：C . 【点睛】本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．3．若正六边形ABCDEF 边长为2，中心为O ，则||EB OD CA ++=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【解析】由正六边形的性质的易得OD BC =u u u r u u u r，由此可化简得||EB OD CA EA ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，运用平面向量的运算法则计算即可.【详解】如图所示，为正六边形ABCDEF ，易知OD BC =u u u r u u u r∴EB OD CA EB BC CA EA ++=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴||EB OD CA EA ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，Q 正六边形ABCDEF 边长为2，EA EF FA =+，即()2EA EF FA=+u u u ru u u r u u u r ，∴22221||2cos 22222362EA EF EF FA FA π=++=+⨯⨯⨯+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴||23EB OD CA ++=u u u r u u u r u u u r.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积公式，属于基础题. 4．从集合{1,2,3,4,5}A =中任取2个数，和为偶数的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．13【答案】B【解析】通过列举法，计算出符合条件的基本事件总数，以及“和为偶数”这一事件所含基本事件个数，再由古典概型的计算公式计算即可. 【详解】集合{}1,2,3,4,5A =中任取2个数，则基本事件为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，10个；“和为偶数”这一事件包含的基本事件为：()2,4，()1,3，()1,5，()3,5，共4个；故所求概率为42105=. 故选：B. 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.5．在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，满足方程3sin 2cos 22x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的x 值为（ ） A ．3π B ．3π±C ．6π D ．6π±【答案】C【解析】先利用诱导公式对原方程进行化简，再利用二倍角的余弦公式，结合角的范围，解出x 即可. 【详解】Q 3sin 2cos 22x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos2sin x x =， ∴212sin sin x x -=， ∴22sin sin 10x x +-=，解得1sin 2x =或1-， 又Q ,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， ∴()sin 1,1x ∈-， ∴1sin 2x =，6x π= 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了转化能力，属于中档题.6．双曲线：22221x y a b-=（0a >，0b >），左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，190AF B ∠=︒，则一条渐近线斜率为（ ）A ．2+B ．2+C D【答案】D【解析】由已知条件求出A 坐标，可得2AF ，由双曲线的对称性可知，11AF BF =，结合190AF B ∠=︒可得122F F AF =，列方程解出ba，即可得双曲线的一条渐近线斜率. 【详解】把x c =代入22221x y a b-=，解得2by a =±，∴22b AF a=，结合双曲线的对称性，由题可知，11AF BF =， 又190AF B ∠=︒，∴1AF B △为等腰直角三角形，易得：122F F AF =，即22b c a=， 两边平方得4224c a b =， 又222c a b =+，∴整理得4224440b a b a --=，故42440b b a a ⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得ba= 又0a >，0b >，∴ba=∴双曲线的渐近线方程为by x a=±=，∴故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质的应用，考查了计算能力，属于基础题.7．递减的等差数列{}n a 满足：11a =，且1a ，2a ，8a 分别是某等比数列的第1，2，4项，则{}n a 的通项公式为（ ） A ．54n - B ．43n -C ．32n -D ．21n -【答案】A【解析】设等差数列{}n a 公差为d ，由题可知0d <，表示出2a ，8a ，设题干中的等比数列公比为q ，表示出2a ，8a ，列方程组，消去q 得到关于d 的方程组，解出符合要求的d ，即可得到{}n a 的通项公式. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由题可知0d <， 则211a a d d =+=+，18717d a a =+=+，()11n a a n d +-=，Q 1a ，2a ，8a 分别是某等比数列的第1，2，4项，设该等比数列公比为q ，∴21a a q q ==，3381a a q q ==， ∴3117q dq d=+⎧⎨=+⎩， ∴()3171d d =++，整理得()2340d d d +-=，而0d <，∴4d =-， ∴54n a n =-.故选：A. 【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了方程思想与计算能力，属于基础题. 8．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为( )A ．222?x z y +=B ．222?x y z +=C ．222?y z x +=D ．?x y =【答案】A【解析】根据题意得，,,,AC x AB y BC z === 则1600,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，再根据ABC V 为直角三角形90C =o ∠ 求解. 【详解】由题意得，,,,AC x AB y BC z === 则1000,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ， 符合程序框图所示:又ABC V 为直角三角形，且90C =o ∠，所以222x z y += .故选：A 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9．已知2()sin 25f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2()3f x =在[0,2)π上的所有解的和为（ ） A ．6π B ．295πC ．265πD ．215π【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式得到()f x 的最小正周期，结合正弦型函数的特征，从而判断解的个数及分布，根据对称性即可求出2()3f x =在[0,2)π上的所有解的和. 【详解】函数()2sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==，值域为[]1,1-， ∴()23f x =在[)0,π，[),2ππ上各有两解，分别为1x ，2x ，3x ，4x ， 令2252x k πππ+=+，解得220k x ππ=+，k Z ∈， ∴()f x 对称轴：220k x ππ=+，k Z ∈，又()220sin53f π=>， ∴当[)0,x π∈时，()y f x =与23y =的交点关于220x ππ=+对称， 当[),2x ππ∈时，()y f x =与23y =的交点关于3220x ππ=+对称，由()f x 的对称性可得，122220x x ππ⎛⎫+=⋅+⎪⎝⎭，3432220x x ππ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴1234215x x x x π+++=. 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图象与性质，考查了转化能力，属于中档题.10．奇函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，在()0,1上，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ） A ．20191024-B ．20191024C ．20192048-D ．20192048【答案】A【解析】由()f x 为奇函数，结合()()2f x f x -=，得到()f x 的周期，从而化简所求的表达式，即可求解. 【详解】Q ()f x 为奇函数，定义域为R ，∴对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-，∴()()22f x f x -=--，又对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，∴()()2f x f x --=，∴()()()42f x f x f x +=-+=， ∴()f x 为周期是4的函数，又210log 201911<<，在()0,1上，()2x f x =，∴()()()2log 2019102222019log 2019log 20198log 20191021024f f f -=-=--=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性，考查了转化能力与计算能力，属于中档题. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A ．3B ．22C ．3D 6【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论． 【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥， 画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A 、C 为所在棱的中点， 则CD =1，BC =AD 5，BD =BE =CF =22结合图形可得, △AEB ，△AFC ，△AFD 为直角三角形，由勾股定理得AB 22=813BE AE +=+=，AC 22=5+1=6CF AF + 最长的棱为AB=3， 故选：C . 【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.12．已知()()()12,2112,2xx f x f x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩，则()2019f =( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据()()()12f x f x f x =---，转化变形推出()()6f x f x +=，得到函数()f x 的周期为6再求解. 【详解】因为()()()12f x f x f x =---， 所以()()()11f x f x f x +=-- 所以()()12f x f x +=-- 所以()()3f x f x +=-，所以()()6f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为6， 故()()()()()()()()()0201963363321101021=⨯+==-=--=-=-=-⎡⎤⎣⎦f f f f f f f f f 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了变形转化解决问题的能力，属于中档题.二、填空题13．已知()323f x x x ax =-+（02x <<），曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是_________.【答案】3322⎛+ ⎝⎭【解析】写出()f x 的导数，并求出范围，结合导数的几何意义列出不等式，进行求解即可. 【详解】由题可得，()()2236313f x x x a x a '=-+=--+，()0,2x ∈，∴()[)3,f x a a -'∈，Q 曲线()y f x =上存在两点A ，B ，使以A ，B 为切点的切线相互垂直，∴[)12,3,k k a a ∃∈-，121k k =-， ∴()31a a -<-，解得3322a +<<故答案为：⎝⎭.【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了转化能力，属于中档题.14．已知x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩目标函数2z x y =-+的最大值为2，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(]1,2-【解析】根据x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，且直线20kx y -+=过定点()0,2 ，将目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，根据2z =时，最优解在直线220x y -+=上，而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=结合图形求解.【详解】x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，直线20kx y -+=，过定点()0,2目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，在y 轴上截距最大时，目标函数值最大， 当2z =时，可知：最优解在直线220x y -+=上， 而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=. 所以最大值点为()0,2 如图所示：所以实数k 的取值范围是(]1,2-.故答案为：(]1,2- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 与抛物线E ：()220y px p =>的焦点重合.椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，则椭圆C 的离心率为______.1【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，则有22b AF p a == ，122F F c p ==，再由221212b AF a cF F ==求解. 【详解】因为椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，A ，2F ，B 三点共线，所以22b AF p a== ，122F F c p ==，221212b AF a cF F ==， 即22b ac = ，所以2220c ac a --=， 所以2210e e --=，解得1e =.1 【点睛】本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．自然奇数列{}n a 排成以下数列，若第n 行有12n -个数，则前n 行数字的总和为_________. 【答案】()221n -【解析】由题中数列的规律可得，第n 行数字的个数及其第1个数字和最后一个数字，由此结合题中数据，利用等比数列的求和公式，求出前n 行数的个数，再利用等差数列求和公式，求出前n 行数字的总和即可. 【详解】通过观察可知，第n 行共有12n -个，第1个数字为21n -，最后一个为123n +-， 前n 行数的个数1112221n n -+++=-L ，∴前n 行数字总和为：()()()1212321212n n n++--=-.【点睛】本题考查了等差（比）数列的求和公式，考查了归纳推理能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC V 中，2a b c +=，且3cos 2cos 2cos c C a B b A -=. （1）求cos C ； （2）若352ABC S =V ，求ABC V 的周长. 【答案】（1）2cos 3C =；（2）310【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，可得3sin cos 2sin C C C =，结合C 的范围，可得cos C 的值；（2）由已知利用三角形的面积公式可得9ab =，进而根据余弦定理，结合已知求出c 的值，即可得到ABC V 的周长. 【详解】（1）在ABC V 中，则A B C π++=，A ，B ，C ()0,π∈，∴()()sin sin sin A B C C π+=-=，sin 0C ≠， Q 3cos 2cos 2cos c C a B b A -=，∴由正弦定理得，()()3sin cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin C C B A A B A B C =+=+=，∴2cos 3C =. （2）由（1）得，2cos 3C =， Q C ()0,π∈，∴sin 3C =，Q ABC S =V ，∴1sin 2ABC S ab C ===V ，∴9ab =，在ABC V 中，由余弦定理得，()22222242cos 303c a b ab C a b ab a b =+-⋅=+-=+-， 又Q 2a b c +=，∴()22230c c -=，解得c =，故3a b c c ++==【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用以及三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，考查了转化能力，属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，2AD =，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ∠=︒.PBA ∠为锐角，平面PAB ⊥平面PBD .（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）AD 与平面PBD 所成角的正弦值为2，求三棱锥P ABD -的表面积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3362++.【解析】（Ⅰ）作AM PB ⊥于M ，根据平面PAB ⊥平面PBD 得到AM ⊥平面PBD .AM BD ⊥，取AD 中点为Q ，则=BC QD ，且//BC QD ，得到1====BQ CD QD QA ，有BD AB ⊥，由线面垂直的判定定理，得到DB ⊥平面PAB DB PA ⇒⊥，再由PA AD ⊥得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM ⊥平面PBD ，根据线面角的定义，故ADM ∠即为AD 与平面PBD 所成角，所以有2242AM AM AD =⇒=，三棱锥的四个面都是直角三角形，由三角形的面积公式求解. 【详解】 （Ⅰ）如图所示：作AM PB ⊥于M ， 因为平面PAB ⊥平面PBD 所以AM ⊥平面PBD . 所以AM BD ⊥ 取AD 中点为Q ， 则=BC QD ，且//BC QD所以1====BQ CD QD QA 所以90ABD ∠=︒，BD AB ⊥ 又PBA ∠为锐角，∴点M 与点B 不重合. 所以DB ⊥平面PAB DB PA ⇒⊥.又PA AD ⊥，DB 与AD 为平面ABCD 内两条相交直线， 故PA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM ⊥平面PBD ， 故ADM ∠即为AD 与平面PBD 所成角，AM AM AD =⇒=在Rt PAB V 中，452AM PBA =⇒∠=︒， 故1PA =，12PAB S =△，1PAD S =△，22ABD AB BD S ⋅==△. 而90PBD ∠=︒，所以222△⋅===PBD PB BDS故所求表面积为：112++=. 【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和几何体表面积的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x （单位：只）如下表：这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A 饭店当天的需求量即可.这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数()71418a a ≤≤，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x a <时，剩下的鸡只能以每只56a -元的价钱处理.（Ⅰ）若15a =，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于A 饭店当天需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；（Ⅱ）若16a =，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值； （Ⅲ）17a =时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率. 【答案】（Ⅰ）()*2915,15N 450,15x x y x x +<⎧=∈⎨≥⎩；（Ⅱ）465元；（Ⅲ）25.【解析】（Ⅰ）根据每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x a <时，剩下的鸡只能以每只56a -元的价钱处理，建立分段利润函数模型..再将15a =代入求解.（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，将16a =，代入得()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，再用平均数公式求解.（Ⅲ）当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩，令479y = 得到16x =，再从表中记录，根据频率求解概率. 【详解】（Ⅰ）当x a <时，()()()()2704056401416y x a a x a x a a =-+---=++-，当x a ≥时，30y a =，()()2*1416,N 30,a x a a x a y x a x a ⎧++-<=∈⎨≥⎩， 15a =，得：()*2915,15N 450,15x x y x x +<⎧=∈⎨≥⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，16a =，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，所以鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值为()14204545060195480465300⨯⨯+⨯+⨯=（元）. （Ⅲ）当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩，当16x =时，鸡厂当天在A 饭店得到的利润479y =元， 所以鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率为606023003005+=. 【点睛】本题主要考查样本估计总体，还考查了分段函数的应用和运算求解的能力，属于中档题. 20．已知：()e 1xf x ax =--仅有1个零点.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：2e e e ln 1x x x x x x x -->+. 【答案】（1）(]{},01-∞⋃；（2）见解析【解析】（1）求出()f x 的导数，对a 进行分类讨论，判断导函数的符号，判断函数单调性，利用零点存在性定理，判断是否为符合题意的a 范围即可； （2）将不等式的左边可变形为()2ee e ln e e ln xx x x x x x x x x x --=--，构造函数()e ln x g x x x x =--，利用导数证明e ln 1x x x x --≥，由（1）可得不等式右边有1x x e +≤，利用放缩法证明原不等式成立即可，在放缩过程中需要注意等号成立的条件. 【详解】（1）Q ()e 1xf x ax =--，定义域为R ，∴()00e 010f a =-⋅-=，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 为增函数，而(0)0f =，∴()f x 仅有1个零点，满足题意，当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <，∴在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增， ∴()()min ln f x f a =，①当ln 0a =，即1a =时，()()()min ln 00f x f a f ===，()e 1x f x x =--，当()(),00,x ∈-∞+∞U 时，()0f x >，此时()f x 仅有1个零点，符合条件； ②当ln 0a <，即01a <<时，1ln ln a a a-<， 在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增，()00f =，()f x 有一个零点，∴()ln 0f a <，在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，11ln ln 11ln e ln 1n 0e l a a a a a f a a a a a a --⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝->⎭，由零点存在性定理可得()f x 在(,ln )a -∞也有一零点， 不符合条件；③当ln 0a >，即1a >时，在(,ln )a -∞上，()f x 单调递减，()00f =，()f x 有一个零点，∴()ln 0f a <，在(ln ,)a +∞上，()f x 单调递增，由①知，1a e a >+，a e a >，即ln a a >，()3ln ,a a ∈+∞，∴()()()33322233313113130a af a e a e a a a a a =--=-->+--=+>，由零点存在性定理可得()f x 在(ln ,)a +∞也有一零点，不符合条件；综上所述，实数a 的取值范围是(]{},01-∞⋃. （2）()2ee e ln e e ln xx x x x x x x x x x --=--.令()e ln xg x x x x =--， 则()()()111e 11e xx g x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭. 令()1e xh x x=-则()21e 0xh x x'=+>，即()h x 在()0,∞+单调递增， 又102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10h >，∴()h x 在()0,∞+有且仅有1个零点，设为0x ，()00x ∈+∞,，则01e x x =，即00ln x x =-，()00g x '=， ∴()g x 最小值为()()0000000e ln 11x g x x x x x x =--=---=，即e ln 1x x x x --≥，当且仅当0x x =时取等号， 又由（1）知，e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号， 可得：()ln 1xxx exex x e x --≥≥+，而以上两式不同时取等， 故2e e e ln 1x x x x x x x -->+. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了利用导数证明不等式以及放缩法在不等式证明中的应用，考查了分类讨论的思想，属于较难题.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）当3πϕ=时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为()2,1M ，求直线l 的斜率.【答案】（Ⅰ10y -+-=，2211612x y +=；（Ⅱ）32-. 【解析】（Ⅰ）根据直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，消去t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C 的极坐标方程222483cos 4sin ρθθ=+，变形为22223cos 4sin 48ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求解.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=，利用A ，B 中点为()2,1M ，且直线过()2,1M ，利用参数的几何意义求解.【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，所以1221x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 消去t10y -+-=，所以直线l10y -+-=；因为椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. 所以22223cos 4sin 48ρθρθ+=，223448x y +=，椭圆C 的直角坐标方程为：2211612x y +=. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=， 因为A ，B 中点为()2,1M所以120t t +=， 故312cos 8sin 0tan 2k ϕϕϕ+=⇒==-， 所以直线l 的斜率为32-. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知函数()2f x x a x =-+-.（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由()()222x a x x a x a -+-≥---=-，求得()f x 最小值，再由23a -≥求解.（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.，再分类求解.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a -， 235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2020届百校联考高考百日冲刺(金卷全国Ⅱ卷)语文试卷(三)及答案
2020届百校联考高考百日冲刺（金卷全国Ⅱ卷）语文试卷（三）★祝考试顺利★注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
2.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.本试卷满分150分,测试时间150分钟。
4.考试范围：高考全部内容。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字,完成1～3题。
党的十八大以来,中国以创新主动适应和引领新常态,不仅从容面对“前后围堵”的双重挤压,顶住了“三期叠加”的下行压力,也取得一份又一份骄人成绩单。
不仅如此,以人工智能为代表的创新性产品、以5G为代表的创新性互联网技术、以新媒体等为代表的新兴服务产业也蓬勃发展。
今天,创新性产品和创新性技术正在成为推动中国经济前行的强大动力。
中国经济之所以能够继续保持稳中向好的趋势,一个重要原因也正是新旧动能转换加快,以及由此带来的产业结构升级。
今天,在迈向高质量发展的征程上,当加快速度变为加快转型,当扩张规模变为提质增效,创新驱动已经成为中国经济的新引擎。
外媒也注意到,只担忧中国经济的减速、看不见中国在创新上表现出的巨大潜力,恐怕是很危险的。
这体现在经济结构的不断优化,2018年,服务业占国内生产总值比重为52.2%,对国民经济增长的贡献率为59.7%,比第二产业高23.6个百分点；这也体现在发展效率的不断提升,2018年新产业新产品不断成长,规模以上工业战略性新兴产业增加值比2017年增长8.9%,规模以上工业高技术产业增加值比上年增长11.7%。
这些数据背后,是如雨后春笋般涌现的新市场主体,是每天都在蓬勃生长的新动能、新业态、新模式。
从更大的视野来看,历史上每一轮科技革命都能重塑世界经济格局,而现在全球新一轮科技革命和产业变革同我国经济优化升级交汇融合,为中国实现转型升级提供了难得的机遇。
中国有联合国产业分类目录中的全部工业门类,220多种主要工业品产量常年领先世界,具有产业规模效应和创新成果转化效应；中国有近14亿人口的大市场,有世界上规模最大并持续扩大的中等收入群体,可以用消费升级带动产业升级；中国丰富的人力资本,受高等教育或拥有专业技能的人才越来越多,研发人员规模连续5年稳居世界第一位,为高质量发展提供“最强大脑”。
2020届百校联考高考百日冲刺全国II卷文科数学试题一和答案详细解析及备考策略
多地确定高三返校时间，以“云考试”模拟测试
“真的很着急，希望赶紧开学，不过还是安全第一吧。”北京高三学生戴兆均纠结地说。
记者了解到，多地遵循高三、初三率先开学的原则，实行分类分批、错时错峰开学，已 有不少省份明确毕业生的开学返校日期。截至 3 月 30 日，贵州、新疆、西藏等 10 地高三年 级已开学，广西、江西、湖南、海南等省份定于 4 月 7 日高三、初三年级开学，辽宁省高三 年级 4 月中旬起返校。北京、上海、广东、湖北等省份还未明确开学时间。
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
D．b＜a＜c
13． （5 分）已知向量
，若
，则实数 λ 的值为
．
14．（5 分）已知实数 x，y 满足
，则 z＝3x﹣y 的最小值为
．
15．（5 分）《九章算术（卷第五）商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广
居家考试能否保证成绩的真实性？受访学生认为，“作弊没有意义，模拟考试的目的就 是为了测试真实水平。”厦门市教育科学研究院副院长傅兴春说，目前高三年级处于第二轮 复习阶段。线上考试的目的，一是让学生了解存在的知识缺陷，有的放矢地复习；二是让老 师深入了解学生学习情况，更有针对性地安排后期教学。
“云考试”面临技术、流程与公平挑战
【我说】在对高考考生压力来源的一次调查中，我们发现，考生真正的压力不是高考本 身，而是来自不合理的比较，但孩子的攀比心理有些并非来自他们自身，而是来自家长。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅱ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅱ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−x −6<0}，B ={x||x|≤3}，则∁B A =( )A. [−3,−2]B. (−3,−2)C. [−3,−2]∪{3}D. (−3,−2)∪{3}2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 过椭圆C ：x 225+y 216=1的右焦点F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，则弦长|AB|=( )A. 1625B. 165C. 325D. 2544. 如图，E ，F ，G ，H 是平面四边形ABCD 各边中点，若在平面四边形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是( )A. 14 B. 12 C. 34 D. 585. 在△ABC 中，AB =7，AC =6，M 是BC 的中点，AM =4，则BC 等于( )A. √21B. √106C. √69D. √1546. 设函数f(x)=2sin(ωx +φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f (5π8)=2，f (11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则 ( )A. ω=23，φ=π12 B. ω=23，φ=−11π12C. ω=13，φ=−11π24D. ω=13，φ=7π247. 已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )A. 16+12πB. 32+12πC. 24+12πD. 32+20π8.函数y=2x2−e|x|在[−2,2]的图象大致为()A. B.C. D.9.函数y=log5x+2(x≥1)的值域是()A. RB. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,2)10.如图给出的是计算11+13+15+⋯+12013的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()A. i≥2013？B. i≤1007？C. i<2013？D. i>1007？11.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC所成角的余弦值为()A. 15B. √55C. 2√55D. √15512.已知直线l是曲线y=e x与曲线y=e2x−2的一条公切线，l与曲线y=e2x−2切于点(a,b)，且a是函数f(x)的零点，则f(x)的解析式可能为()A. f(x)=e2x(2x+2ln2−1)−1B. f(x)=e2x(2x+2ln2−1)−2C. f(x)=e2x(2x−2ln2−1)−1D. f(x)=e2x(2x−2ln2−1)−2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(−1,2)，则a⃗⋅b⃗ 等于______ ．14.若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________．15.曲线f(x)=4ln x−x2在点(1,−1)处的切线方程为________．16.某工厂一车间计划每天生产A，B，C型产品共30个，生产一个A型产品需要资金100元，生产一个B型产品需要资金120元，生产一个C型产品需要资金80元，且该车间每天可支配的生产资金为3200元，若生产一个A型产品可获利160元，生产一个B型产品可获利180元，生产一个C型产品可获利120元，则该车间每天的最大利润为______元．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n18.抖音传媒公司为了解某地区已安装抖音软件的手机用户对抖音的喜爱情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均观看抖音视频时间的频率分布直方图，将日均观看抖音视频时间不低于40分钟的观众称为“抖音控”，已知“抖音控”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否有95％的把握认为“抖音控”与性别有关?(2)将日均观看抖音视频时间不低于50分钟的观众称为“超级抖音控”，已知“超级抖音控”中有2名女性．若从“超级抖音控”中任意选取2人，求至少有1名男性观众的概率．附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0250.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.63519.如图，三棱锥A−BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点．(I)证明：EF⊥CD；(II)若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．20.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若AF=4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．x3−ax+1(a∈R)．21.已知函数f(x)=13(1)当x=1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的补集运算，属于基础题． 求出集合A ，B ；再求出∁B A 即可．解：集合A ={x|x 2−x −6<0}={x|−2<x <3}， B ={x||x|≤3}={x|−3≤x ≤3}， 则或x =3}=[−3,−2]∪{3}故选C ．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z=4+i 4−i=(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ．故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．椭圆x 225+y 216=1，可得c =3，取焦点F(3,0).把x =3代入椭圆方程，解得y ，即可得出弦长|AB|．解：由题意可知：a 2=25，b 2=16， c 2=a 2−b 2=9，则c =3， 由x =3时，y =±165， ∴弦长|AB|=325，故选C．4.答案：B解析：连接AC、BD，由相似三角形面积比可得，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分面积与四边形面积的关系，是中档题．解：如图，连接AC，BD，∵E，F，G，H是平面四边形ABCD各边中点，∴S△AEH=14S△ABD，S△BEF=14S△ABC，S△CFG=14S BCD，S△DGH=14S ACD，∴S△AEH+S△BEF+S CFG+S△DGH=12S四边形ABCD．，即在平面四边形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是12．故选：B．5.答案：B解析：本题考查余弦定理，属于基础题．设MC=x，运用余弦定理及∠AMC+∠AMB=π，即可解题．解：设MC=x，则BC=2x，cos∠AMC=16+x2−362×4×x =x2−208x，cos∠AMB=16+x2−498x =x2−338x，∵∠AMC+∠AMB=π，∴cos∠AMB+cos∠AMC=0，∴2x2=53，∴x=√1062，∴BC=2x=√106．故选B．6.答案：A解析：本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的性质，是中档题，由题意求得T4，再由周期公式求得ω，最后由若f(5π8)=2，求得φ值．解：由f(x)的最小正周期大于2π，得T4>π2，又f(5π8)=2，f(11π8)=0，得T4=11π8−5π8=3π4，∴T=3π，则2πω=3π，即ω=23，∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(23x+φ)，由f(5π8)=2sin(23×5π8+φ)=2，得sin(φ+5π12)=1．∴φ+5π12=π2+2kπ，k∈Z．取k=0，得φ=π12<π．∴ω=23，φ=π12，故选A．7.答案：A 解析：本题考查空间几何体的三视图及空间几何体的求法，根据三视图还原出几何体为四棱柱与半球的组合体，结合图中所给数据即可求出其表面积，属中档题．解：由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为√2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以几何体的表面积为：×4π×22+π×22+2√2×√2×4=12π+16．S=12故选A．8.答案：D解析：本题考查函数图象的作法与应用，考查函数的奇偶性，属于基础题．先令x=±2时，y=8−e2∈(0,1)排除A，B，再由x∈[0,2]时，f(x)=y=2x2−e x，利用导数判断在[0,2]不是单调的，排除C即可．解：∵f(x)=y=2x2−e|x|，∴f(−x)=2(−x)2−e|−x|=2x2−e|x|，∴函数为偶函数，当x=±2时，y=8−e2∈(0,1)，故排除A，B；当x∈[0,2]时，f(x)=y=2x2−e x，∴f′(x)=4x−e x=0有解，故函数y=2x2−e|x|在[0,2]不是单调的，故排除C，故选D．9.答案：B解析：因为x≥1，所以log5x≥log51=0，所以y=log5x+2≥2，故选B．10.答案：B解析：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：S=0+1，i=1，第二次循环：S =1+13，i =2， 第三次循环：S =1+13+15，i =3，…依此类推，第1007次循环：S =1+13+15+⋯+12011+12013，i =1008，此时不满足条件，退出循环 其中判断框内应填入的条件是：i ≤1007， 故选：B ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S 的值．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11.答案：B解析：解：∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，∴以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，以CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(√3,−1,0)，B 1(0,0，1)，B(0,0，0)，C(0,1，0)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设异面直线AB 1与BC 所成角的为θ， 则cosθ=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅1=√55． ∴异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为√55．故选：B ．以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，以CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：本题考查导数的运用：求切线的方程，以及方程思想和运算能力，属于中档题．设直线l与曲线y=e x切点为(m,n)，求得两曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，以及切线的方程，由方程相等，可得m，进而得到a的方程，可得f(x)的函数式．解：设直线l与曲线y=e x切点为(m,n)，y=e x的导数为y′=e x，y=e2x−2的导数为y′=2e2x，曲线y=e x在(m,n)的切线的方程为y−e m=e m(x−m)，可得y=e m(x−m+1)，曲线y=e2x−2在点(a,b)处的切线方程为y−(e2a−2)=2e2a(x−a)，即y=2e2a x+e2a(1−2a)−2，可得e m=2e2a，e m(−m+1)=e2a(1−2a)−2，则m=2a+ln2，即有2e2a(1−2a−ln2)=e2a(1−2a)−2，即e2a(2a+2ln2−1)−2=0，即有f(x)=e2x(2x+2ln2−1)−2，故选：B．13.答案：1解析：解：由向量的数量积的坐标表示可得：a⃗⋅b⃗ =(1,1)⋅(−1,2)=1×(−1)+1×2=1．故答案为：1直接利用向量的数量积的坐标表示，代入即可求解本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用，属于基础试题14.答案：2√25解析：sin(α−π4)+√22cosα=√22sinα−√22cosα+√22cosα=√22sinα=2√25.15.答案：y=2x−3解析：本题考查函数导数的基本运算，导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．根据函数的导数的几何意义，求出导数后代入该点横坐标，即可求出切线斜率．然后求出切线方程．−2x，解：曲线y=4lnx−x2，∴y′=4x∴曲线y=4lnx−x2在点(1,−1)处的切线的斜率是：2.曲线y=4lnx−x2在点(1,−1)处的切线方程为：y+1=2(x−1)，即y=2x−3．故答案为y=2x−3.16.答案：5000解析：本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解，属于中档题．设生产A型产品x个，生产B型产品y个，生产C型产品30−x−y个，利润总额为z元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=40x+60y+3600，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．解：设生产A型产品x个，生产B型产品y个，生产C型产品30−x−y个，则满足的条件为即设利润为z，则z=160x+180y+120(30−x−y)=40x+60y+3600，画出约束条件，如图所示：当目标函数经过点B 时利润最大， 由{x +2y −40=0x +y =30, 解得x =20，y =10，则B(20,10)，∴z max =40×20+60×10+3600=5000． 故答案为5000．17.答案：解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6，得a 32=9a 42， 所以q 2=19.由条件可知q >0，故q =13． 由2a 1+3a 2=1，得2a 1+3a 1q =1，得a 1=13． 故数列{a n }的通项公式为a n =13n ．(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n =−(1+2+⋯+n)=−n(n+1)2，故1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，∴1b 1+1b 2+⋯+1b n=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=−2nn+1．解析：本题考查数列的通项公式、前n 项和的求法，考查等比数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由a 32=9a 2a 6，q >0，求出q =13.由2a 1+3a 2=1，得a 1=13.由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)求出b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n =−(1+2+⋯+n)=−n(n+1)2，从而1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，由此能求出数列{1b n}的前n 项和．18.答案：解：(1)由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，“抖音控”有25人，从而2×2列联表如下．非抖音控抖音控合计男301545女451055合计7525100由2×2列联表中数据代入公式计算，得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(30×10−45×15)275×25×45×55=10033≈3.030，因为所以没有95%的把握认为“抖音控”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知，“超级抖音控”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}，其中a i表示男性，i= 1,2,3，b j表示女性，j=1,2，Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现时等可能的．用A表示“任选2人中至少有1名是男性”这一事件，则A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)}，∴P(A)=9 .解析：本题考查了频率分布直方图，考查了独立性检验以及古典概型．(1)由频率分布直方图和已知条件，来完成2×2列联表，从而用2×2列联表进行独立检验；(2)由频率分布直方图知“超级抖音控”为5人，从“超级抖音控”中任意选取2人，它的方法数共有１０种，至少有1名男性观众的方法数共有9种，由古典概型的概率求法，从而求得．19.答案：(I)证明：取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，∵E 为BD 的中点，∴EG//BC ， ∵BC ⊥CD ，∴EG ⊥CD ，同理FG//AD ，AD ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，∴FG ⊥CD ， ∵EG ∩FG =G ，∴CD ⊥平面EFG ， ∴EF ⊥CD ；(II)解：S △ABC =12AC ⋅BC =√22，S △BCE =12BE ⋅CE =14，设点E 到平面ABC 的距离为h ，则13×14×1=13×√22ℎ，∴ℎ=√24，即点E 到平面ABC 的距离为√24．解析：(I)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，证明CD ⊥平面EFG ，即可证明：EF ⊥CD ； (II)利用等体积方法，求点E 到平面ABC 的距离．本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积法求点E 到平面ABC 的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.答案：解：由y 2=4x ，得p =2，其准线方程为x =−1，焦点F(1,0)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).(1)由抛物线的定义可知，AF =x 1+p2，从而x 1=4−1=3.代入y 2=4x ，解得y 1=±2√3． ∴点A 的坐标为(3,2√3)或(3,−2√3)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y =k(x −1)． 与抛物线方程联立，得{y =k(x −1),y 2=4x,消去y，整理得k2x2−(2k2+4)x+k2=0．∵直线与抛物线相交于A，B两点，则k≠0，设其两根为x1，x2，∴x1+x2=2+4．k2由抛物线的定义可知，>4．AB=x1+x2+p=4+4k2当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1,−2)，此时AB=4，∴AB≥4，即线段AB的长的最小值为4．解析：本题考查抛物线的定义及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系．直线与抛物线的位置关系问题，一般是将直线方程代入抛物线方程消元得到关于x的一元二次方程，然后借助于韦达定理解决后续问题，属于中档题．(1)由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=−1，焦点F(1,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2).由抛物线的定义可知，|AF|=x1+p，从而x1=3.由此能得到点A的坐标．2(2)分类讨论，设直线l的方程为y=k(x−1)，代入y2=4x整理得x2−6x+1=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=6.由抛物线的定义可知线段AB的长．21.答案：解：(1)f′(x)=x2−a，因为f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=0，解得a=1；(2)f′(x)=x2−a，①当−a≥0，即a≤0时，f′(x)=x2≥0，则f(x)在(−∞,+∞)上为增函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数，故f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=1；②当−a<0，即a>0时，由f′(x)=x2−a>0，得x<−√a或x>√a，所以f(x)的单调增区间为(−∞,−√a)和(√a,+∞)；由f′(x)=x2−a<0得−√a<x<√a，所以f(x)的单调减区间为(−√a,√a)；所以当a≥1时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(1)=43−a；当0<a<1时，f(x)在[0,√a)上单调递减，在(√a,1]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(√a)=13(√a)3−a√a+1=1−23a√a；综上所述，当a≤0时，f(x)的最小值为f(0)=1；当0<a<1时，f(x)的最小值为f(√a)=13(√a)3−a√a+1=1−23a√a；当a≥1时，f(x)的最小值为f(1)=43−a．解析：(1)由条件“f(x)在x=1处取得极值”可得f′(1)=0，解方程即可；(2)先求导数f′(x)，然后讨论a的值，判断f′(x)的正负，进而得到f(x)在[0,1]上的单调性，即可得到f(x)在[0,1]上的最小值．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以 S △OCP =12|OC|⋅d =2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP =π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4， 所以S △OCP =12|OC|⋅|OP|sin∠COP =12⋅2⋅4⋅sin π6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)−|x|<1，即为|x −2|−|x|<1，当x >2时，x −2−x <1，即x >2； 当x <0时，2−x +x <1，即x ∈⌀；当0≤x ≤2时，2−x −x <1，解得x >12，即有12<x ≤2， 综上可得不等式的解集为(12,+∞)； (2)∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立， 即为|x −2|+|x +1|≥a 2−2a 恒成立，由|x −2|+|x +1|≥|x −2−x −1|=3，当且仅当−1≤x ≤2时，取得最小值3， 可得a 2−2a ≤3， 解得−1≤a ≤3．解析：(1)由题意可得|x −2|−|x|<1，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；(2)由题意可得|x −2|+|x +1|≥a 2−2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，解a 的不等式，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(12)x≤4},B={x∈Z|−4≤x≤0}，则A∩B=()A. {−1,0,1,2}B. {0,1,2}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}2.设复数z=4−2i7−3i，则复数z的虚部为()A. −1729B. 1729C. −129D. 1293.唐老师要在甲、乙、丙、丁、戊5个同学中随机抽取3人参加诗歌朗诵，则乙、丙两人同时被选中的概率为()A. 12B. 15C. 310D. 254.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，则双曲线C的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√22x C. y=±23x D. y=±32x5.已知命题p：∃x∈(0,π2)，tanx≤sinx，命题q：直线l1：2x−my+3=0与直线l2：x+my−1=0相互垂直的充要条件为m=±√2.则下列命题是真命题的为()A. ￢qB. p∨(￢q)C. ￢p∧qD. p∧q6.cos240°+2sin35°sin55°sin10°=()A. 34B. 14C. 12+√32D. 3√347.执行如图所示的程序框图，若输入x∈[−3,16]的，则输出的y属于()A. [3,8]B. [4,8]C. [−1,3]D. [−1,8]8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 104+8√5+√2πB. 104+4√5+(√2−2)πC. 104+8√5+(√2−2)πD. 104+8√5+(2√2−2)π9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c=3√2,b=4√3,B=2C，则△ABC的面积为()A. 20√2B. 20√3C. 10√2D. 10√311.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()A. 178B. 98C. 1716D. 331612.已知a=sin45,b=43sin34,c=43cos34，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．14.已知实数x，y满足{y≥14x≥yx+y≤6，则z=3x−y的最小值为______．15.《九章算术(卷第五)商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为______.(注：1丈=10尺，墓坑相对的侧面坡度相同),π]上的取值范围为16.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π2______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a n=(2a n+1)a n+1，其中a2=1．3}的前n项和S n；(1)求数列{1a n(2)若b n=a n+1a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1．618.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，AB=2BC=2CD=2．(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知离心率为12的椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(−1,−32)，直线l ：y =kx +m 与椭圆C 交于M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)两点，其中x 1，x 2≠±a ． (1)求椭圆C 的方程；(2)若A(−a,0)，且AM ⊥AN ，探究：直线l 是否过定点；若是，请求出定点的坐标，若不是，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2lnx −12x 2．(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3√5cosθy =3+3√5sinθ(θ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=6cosα．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 1，C 2交于M ，N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及M ，N 的极坐标(要求写出的极径非负，极角在[0,2π)上)．23.已知函数f(x)=|x+3|+|2x−4|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m>|x+3|−x2的解集为R，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵(12)x ≤4=(12)−2， ∴x ≥−2， ∴A =[−2,+∞)，B ={x ∈Z|−4≤x ≤0}={−4,−3,−2,−1,0}， 则A ∩B ={−2,−1,0}， 故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，指数不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z =4−2i7−3i =(4−2i)(7+3i)(7−3i)(7+3i)=34−2i 58=1729−129i ，∴复数z 的虚部为−129． 故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：唐老师要在甲、乙、丙、丁、戊5个同学中随机抽取3人参加诗歌朗诵，基本事件总数n =C 53=10，乙、丙两人同时被选中包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，则乙、丙两人同时被选中的概率为p =m n=310．故选：C ．基本事件总数n =C 53=10，乙、丙两人同时被选中包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，由此能求出乙、丙两人同时被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，可得c2a2=139，即a2+b2a2=139，解得ba =23，双曲线C的渐近线方程为：y=±23x．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】C【解析】解：依题意得，∀x∈(0,π2)，tanx=sinxcosx>sinx，故命题p为假命题；若直线l1：2x−my+3=0与直线l2：x+my−1=0相互垂直，则2−m2=0，解得m=±√2，故命题q是真命题；故￢q，p∨(￢q)，p∧q为假命题；￢p∧q为真命题．故选：C．先判断命题p，q的真假，再根据含逻辑连接词的命题真假表判断正误即可．本题考查了复合命题及其真假的判定，同时考查了三角函数和两直线垂直的充要条件，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：原式=cos240°+2sin35°cos35°sin10°=cos240°+sin70°sin10°=12+12cos80°+sin70°sin10°=12+12(cos70°cos10°−sin70°sin10°+2sin70°sin10°) =12+12(cos70°cos10°+sin70°sin10°) =12+12cos60°=34． 故选：A ．根据二倍角公式的关系将原式变形为12+12cos80°+sin70°sin10°，而80°=70°+10°，利用两角和的余弦公式化简即可得解．本题考查根据三角恒等变换化简求值，关键在于熟练掌握倍角公式和差公式及其逆用．7.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y ={log 2x x >1x 2−1x ≤1的值．若：−3≤x ≤1，则满足条件输出y =x 2−1∈[−1,8]， 若：1<x ≤16，则不满足条件，此时y =log 2x ∈(0,4]， 则：输出y ∈[−1,8]， 故选：D ．根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱． 则其表面积：S =2×12×4×2+2×4+4×4×4+4×4−12×π×22+4×12×2×2+12×π×2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；又f(π2)=eπ2−5cosπ2−(π2)2=eπ2−(π2)2>0，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于一般题．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用二倍角公式可求sinB，cosB，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可求sinA，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵c=3√2,b=4√3,B=2C，∴由正弦定理bsinB =csinC，可得4√3sinB=3√2sinC，∴可得4√3sin2C =4√32sinCcosC=3√2sinC，可得cosC=√63，sinC=√33，∴sinB =2sinCcosC =2√23，cosB =cos2C =2cos 2C −1=13，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =2√23×√63+13×√33=5√39， ∴S △ABC =12bcsinA =12×4√3×3√2×5√39=10√2．故选：C ．11.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F 到其准线l 的距离为2，可得p =2， 所以抛物线的方程为：y 2=4x所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意可得E(−1,y 2)，可得k EF =y2−1−1=4，所以y 2=−8，将y 2=−8代入抛物线中，64=4x 2，x 2=16， 及B(16,−8)，所以k BF =16−1−8=−158，所以直线AB 的方程为：y =−158(x −1)，与抛物线联立可得225x 2−706x +225=0， 所以x 1x 2=1，所以x 1=116， 所以|AF|=x 1+1=1716， 故选：C ．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p ，由题意可得p 的值，可求出抛物线的方程，设A ，B 的坐标，由题意可得E 的坐标，求出直线EF 的斜率，由题意可得E 的坐标，将E 的纵坐标代入抛物线求出B 的坐标，进而求出直线AB 的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A 的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由于0<34<π4， 根据三角函数的值cos 34>sin 34，则c =43cos 34>b =43sin 34， 由于π2>45>34>0，所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 45． 故c >b >a ． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】−12【解析】解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−65【解析】解：作出实数x ，y 满足{y ≥14x ≥y x +y ≤6，对应的平面区域如图： 设z =3x −y 得y =3x −z ， 平移直线y =3x −z ，由图象可知当直线y =3x −z 经过点A 时，{4x =y x +y =6解得A(65,245)， 直线y =3x −z 的截距最大，此时z 最小， 即z min =185−245=−65．故答案为：−65．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.【答案】52000立方尺【解析】解：对墓坑抽象出来的几何体进行分割，如图所示，∴该几何体的容积为：V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−−PQFD1)+V BQFD1−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000(立方尺)，故答案为：52000立方尺．对墓坑抽象出来的几何体进行分割，分别求体积，由此能求出该几何体的体积．本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、几何体体积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】[−6,3]【解析】解：f(x)=3√3sin2x−6×1−cos2x2+3=3√3sin2x+3cos2x=6(√32sin2x+12cos2x)=6sin(2x+π6)，当π2≤x≤π时，π≤2x≤2π，7π6≤2x+π6≤13π6，则当2x+π6=13π6时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin13π6=6sinπ6=6×12=3，当2x+π6=3π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin3π2=−6，即f(x)的取值范围是[−6,3]，故答案为：[−6,3]．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．17.【答案】解：(1)解：∵a n =(2a n +1)a n+1，∴a n =2a n a n+1+a n+1，∴1a n+1−1a n =2，当n =1时，有a 1=(2a 1+1)a 2，∵a 2=13，∴a 1=1.∴{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴S n =n +n(n−1)2×2=n 2；(2)证明：由(1)知1a n=1+2(n −1)=2n −1，∴a n =12n−1．∵b n =a n+1a n+2=1(2n+1)(2n+3)=12[12n+1−12n+3]，∴T n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=12(13−12n+3)<16．【解析】(1)先对a n =(2a n +1)a n+1左右两边同时除以a n a n+1，得到1a n+1−1a n=2，再求出首项，说明{1a n}是等差数列，进而求得其前n 项和S n ；(2)先求出b n ，再利用裂项相消法求出T n ，即可证明结论．本题主要考查等差数列的前n 项的和的求法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，∵AB =2CD =2，∴DC =BE ， 又∠ABC =∠BCD =90°，∴DC//BE ， 则四边形DCBE 为平行四边形，可得BC//DE ． ∵DE ⊂平面PDE ，BC ⊄平面PDE ， 则BC//平面PDE ；(2)∵BC ⊥PD ，BC ⊥CD ，且PD ∩CD =D ，∴BC ⊥平面PCD ， 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ， 可得PF ⊥平面ABCD ，在Rt △PFA 与Rt △PFD 中，∵PA =PD ，∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，由已知求得AD=√2．∴AF=DF=PF=1．连接BD，则V P−ABD=13×12×2×1=13，又求得S△PAD=√32，设B到平面PAD的距离为ℎ，则由V P−ABD=V B−PAD，得13=13×√32ℎ，即ℎ=2√33．【解析】(1)取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得BC//DE，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE；(2)由已知证明BC⊥平面PCD，可得平面PCD⊥平面ABCD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，得PF⊥平面ABCD，求解三角形求得AF=DF=PF=1，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，∴K2=2000×(800×600−200×400)21000×1000×1200×800≈333.33>10.828，故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．(2)表2中的数据整理如下，∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)．(3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤450.2t +16.4,45<t ≤60，当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)依题意，{c a=121a 2+94b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3c =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)可知A(−2,0)，联立{y =kx +mx 24+y 23=1可得，(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，则△=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk3+4k 2,x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=3m 2−12k 23+4k 2，∵AM ⊥AN ，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0，∴m =2k 或m =27k ，且均满足3+4k 2−m 2>0，当m =2k 时，直线l 的方程为y =k(x +2)，直线恒过(−2,0)，舍去； 当m =27k 时，直线l 的方程为y =k(x +27)，直线恒过(−27,0)； 综上，直线过定点(−27,0)．【解析】(1)根据离心率和椭圆经过的点，建立方程组即可求解；(2)设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理结合AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，建立等量关系求解．本题考查求椭圆的标准方程，解决直线过定点问题，关键在于熟练掌握直线与椭圆位置关系常用解题方法，利用韦达定理整体处理，属于中档题目．21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，故f′(e)=2e ，而f(e)=e 2−12e 2=12e 2，故所求切线方程为y −12e 2=2e(x −e)，即y =2ex −32e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −12x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，所以ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)，令ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22．【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C 1：x 2+(y −3)2=45，故x 2+y 2−6y =36，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2−6ρsinθ−36=0； 曲线C 2：ρ2=6ρcosα，即x 2+y 2−6x =0， 则曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−6x =0． (Ⅱ)联立{x 2+y 2−6y =36x 2+y 2−6x =0，两式相减可得x −y =6，即ρcosθ−ρsinθ=6，故√2ρcos(θ+π4)=6， 即直线MN 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2； 联立{x −y =6x 2+y 2−6x =0故x 2−9x +18=0，解得{x =3y =−3或{x =6y =0 故M ，N 的极坐标为M(3√2,7π4),N(6,0)或M(6,0),N(3√2,7π4)【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用求出结果．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x +3|+|2x −4|>8，当x <−3时，原式化为−x −3+4−2x >8， 故x <−73，解得x <−3；当−3≤x ≤2时，原式化为x +3+4−2x >8， 故x <−1，解得−3≤x <−1；当x >2时，原式化为x +3+2x −4>8，即x >3，解得x >3． 综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)； (Ⅱ)依题意，|x +3|+|2x −4|+m >|x +3|−x 2， 即m >−x 2−|2x −4|，∵m >−x 2−|2x −4|对x ∈R 恒成立，令g(x)=−x 2−|2x −4|={−x 2+2x −4,x ≤2−x 2−2x +4,x >2={−(x −1)2−3,x ≤2−(x +1)2+5,x >2，∴g(x)max =g(1)=−3，∴m >−3， 故实数m 的取值范围是(−3,+∞)．【解析】(Ⅰ)由题意可得|x +3|+|2x −4|>8，由零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得|x +3|+|2x −4|+m >|x +3|−x 2，即m >−x 2−|2x −4|，由题意可得m >(−x 2−|2x −4|)max ，结合二次函数的最值求法和绝对值的定义，计算可得所求最大值，进而得到m 的范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。