章末知识复习

6.(六盘水中考)在△ABC中,点D是AB边的中点,点E是AC边的中点,连接DE,若BC=4,则 DE= 2 .
7.(2018沈阳)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线,过点D 作AC的平行线,两直线相交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形;
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,∴∠COD=90°. ∵CE∥OD,DE∥OC, ∴四边形OCED是平行四边形, 又∠COD=90°,∴平行四边形OCED是矩形.
1具有平行四边形的所有通性 2 四个边都相等，四个角都是直角 2 对角线相等、垂直且平分对角
8.正方形的判定
1平行四边形 一组邻边相等+一个直角
2 菱形+一个直角 3 菱形+对角线相等 4矩形 一组邻边相等
四边形ABCD 是正方形.
5矩形 对角线互相 垂直
9.三角形中位线定理:三角形的中位线 平行于三角形的第三边,且等于第三边的 一半 .
的四边形是 平行四边形
3.矩形的性质 四边形 ABCD 是矩形
1具有平行四边形的所有通性 2四个角都是 直角 2 对角线相等 4是轴对称图形，它有 两条
对称轴
4.矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形; (2)有三个角是直角的 四边形; (3)对角线相等的 平行四边形;
(4)对角线相等且互相平分的四边形.
(1)求证:∠HEA=∠CGF;
证明:(1)连接 GE, ∵AB∥CD,∴∠AEG=∠CGE, ∵GF∥HE,∴∠HEG=∠FGE, ∴∠HEA=∠CGF.
(2)当AH=DG时,求证:菱形EFGH为正方形.
证明:(2)∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠D=∠A=90°,
∵四边形 EFGH 是菱形,∴HG=HE,
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
(2)解:当 O 运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形, ∵AO=CO,OE=OF, ∴四边形 AECF 是平行四边形, ∵∠ECA+∠ACF= 1 ∠BCD,
2 ∴∠ECF=90°, ∴四边形 AECF 是矩形.
考点三:菱形、正方形的性质与判定 【例4】如图,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上,连接CF.
章末知识复习
1.平行四边形的性质 四边形 ABCD 是平行四边形
1两组对边分别平行 2 两组对边分别相等 3两组对角分别相等 4对角线 互相平分 5邻角互补
2.平行四边形的判定
1两组对边分别平行 从边看2一组对边 平行 且相等
3两组对边分别 相等 从角看— 4 两组对角分别相等 从对角线看—5对角线互相 平分
2
【例3】 如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平 分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF; (1)证明:∵MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, ∴∠BCE=∠ACE=∠OEC, ∠OCF=∠FCD=∠OFC, ∴OE=OC,OC=OF, ∴OE=OF.
1.(2018玉林)在四边形ABCD中:①AB∥CD,②AD∥BC,③AB=CD,④AD=BC,从以上选择两
个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( B
)
(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种
2.(2018黔东南州)如图,在▱ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则▱ABCD的
在
Rt△HAE
和
Rt△GDH
中,
AH HE
DG, GH ,
∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL),
∴∠AHE=∠DGH,又∠DHG+∠DGH=90°,
∴∠DHG+∠AHE=90°,∴∠GHE=90°, ∴菱形 EFGH 为正方形.
易错点一:不能正确区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定方法,使用混 乱易导致错解
②如图 2,点 E 在 CD 的延长线上时, 因为 BE 是∠ABC 的平分线,∠ABC=90°,所以∠ABE=45°, 所以△ABF 是等腰直角三角形,所以∠AFB=45°, 所以△DEF 是等腰直角三角形, 因为 DE=2,CD=4, 所以 AF=AB=CD=4,DF=DE=2,所以 AD=AF+DF=4+2=6, 所以这个矩形的面积为 CD·AD=4×6=24. 综上所述,矩形的面积为 8 或 24.
1.有下列说法:①四个角都相等的四边形是矩形;②有一组对边平行,有两个角为直角的
四边形是矩形;③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形;④对角线相等且
有一个角是直角的四边形是矩形;⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形;⑥一组对边
平行,另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形.其中,正确的个数是(C
证明:(1)∵EF= 1 BC,FG=EF, 2
EG=EF+FG=2EF, ∴EG=BC, 又∵EF∥BC, 即 EG∥BC, ∴四边形 BCGE 是平行四边形.
(2)求证:E,F分别是AB,AC的中点.
证明:(2)∵四边形 BCGE 是平行四边形.∴AB∥GC,BE=GC,∴∠A=∠FCG,∠AEF=∠G. 在 Rt△AEF 和△CGF 中, A FCG, AEF G, EF GF, ∴△AEF≌△CGF(AAS).∴AF=FC,AE=GC,
BE DF , ∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
(2)解:四边形 AECF 是菱形. 理由:连接 AC, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF, ∴OB+BE=OD+DF, 即 OE=OF, ∵OA=OC,OE=OF,∴四边形 AECF 是平行四边形, ∵AC⊥EF,∴四边形 AECF 是菱形.
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
4.在平行四边形ABCD中,AD=BD,BE是AD边上的高,∠EBD=10°,则∠A的度数为 或40° .
50° .
5.矩形ABCD中,∠ABC的平分线与直线CD交于点E,DE=2,CD=4,求这个矩形的面积.
解:①如图1,点E在线段CD上时, 因为DE=2,CD=4, 所以CE=CD-DE=4-2=2, 因为BE是∠ABC的平分线,∠ABC=90°, 所以∠CBE=45°, 所以△BCE是等腰直角三角形, 所以BC=CE=2, 所以这个矩形的面积为BC·CD=2×4=8.
(2)若CE=1,DE=2,(1)知,平行四边形 OCED 是矩形,则 CE=OD=1,DE=OC=2.
∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC=2OC=4,BD=2OD=2,
∴菱形 ABCD 的面积为 1 AC·BD= 1 ×4×2=4.
2
2
8.(2018青岛)已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点, 连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(2)若AB=2,求△OEC的面积.
(2)解:作 OF⊥BC 于 F. ∵四边形 ABCD 是矩形,∴CD=AB=2,∠BCD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD, ∴AO=BO=CO=DO,∴BF=FC,∴OF= 1 CD=1,
2 ∵DE 平分∠ADC,∠ADC=90°, ∴∠EDC=45°, 在 Rt△EDC 中,EC=CD=2, ∴△OEC 的面积为 1 EC·OF=1.
(A)1
(B) 2 3
(C) 2 (D) 5
2
2
4.(2018大连)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=5,AC=6,则BD的长是 (A )
(A)8 (B)7 (C)4 (D)3 5.(2018曲靖)如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,点D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD, 如果DE=2.5,那么△ACD的周长是 18 .
又∵BE=GC,∴AE=BE, 即 E,F 分别是 AB,AC 的中点.
考点二:矩形的性质与判定
【例2】 (2018遵义一模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线 AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(1)证明:∵AD∥BC, ∴∠ABC+∠BAD=180°, ∵∠ABC=90°, ∴∠BAD=90°, ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是矩形.
(1)求证:AB=AF;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠AFC=∠DCG, ∵GA=GD,∠AGF=∠CGD, ∴△AGF≌△DGC, ∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
(2)解:结论:四边形ACDF是矩形. 理由:∵AF=CD,AF∥CD,∴四边形ACDF是平行四边形, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠FAG=60°, ∵AB=AG=AF,∴△AFG是等边三角形, ∴AG=GF, ∵△AGF≌△DGC, ∴FG=CG,∵AG=GD,∴AD=CF, ∴四边形ACDF是矩形.
周长为( D
)
(A)26 cm (C)20 cm
(B)24 cm (D)18 cm
3.(2018 威海)矩形 ABCD 与矩形 CEFG,如图放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G 共线,连接 AF,取 AF 的中点 H,连接 GH.若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH 等于( C )
5.菱形的性质 因为 ABCD 是菱形
1具有平行四边形的所有通性 2 四个边都相等 2 对角线垂直且平分对角
菱形的面积等于两对角线长积的 一半 .