牛顿插值MATLAB算法

MATLAB程序设计期中作业
——编程实现牛顿插值
成员:刘川（P091712797）签名＿＿＿＿＿
汤意（P091712817）签名＿＿＿＿＿
王功贺（P091712799）签名＿＿＿＿＿
班级:2009信息与计算科学
学院:数学与计算机科学学院
日期:2012年05月02日
牛顿插值的算法描述及程序实现
一：问题说明
在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些已知的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。

插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

二：算法分析
newton 插值多项式的表达式如下：
010011()()()()()n n n N x c c x x c x x x x x x -=+-+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-
其中每一项的系数c i 的表达式如下：
12011010
[,,,][,,,][,,,]i i i i i f x x x f x x x c f x x x x x -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=- 即为f (x)在点01,,,i x x x ⋅⋅⋅处的i 阶差商，（[]()i i f x f x =，1,2,
,i n =）
，由差商01[,,,]i f x x x ⋅⋅⋅的性质可知： ()
01001[,,,]()i i i j j k j k k j f x x x f x x x ==≠⋅⋅⋅=-∑∏ 牛顿插值的程序实现方法：
第一步：计算[][][][]001012012,,,,,,,n f x f x x f x x x f x x x x 、、、、。

第二步：计算牛顿插值多项式中01[,,,]i f x x x ⋅⋅⋅011()()()i x x x x x x ---⋅⋅⋅-，1,2,
,i n =，得到n 个多项式。

第三步：将第二步得到的n个多项式相加，得到牛顿插值多项式。

f x的值。

第四步：利用所得到的插值多项式，估算x取其它值时()
第五步：作出所求多项式在插值结点周围的函数图像。

三：编程实现
function [p2,z]=newTon(x,y,t)
%输入参数中x,y为元素个数相等的向量，t为待估计的点，可以为数字或向量。

%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式，z为利用多项式所得的t的函数值。

n=length(x);
chaS(1)=y(1);
for i=2:n
x1=x;y1=y;
x1(i+1:n)=[];
y1(i+1:n)=[];
n1=length(x1);
s1=0;
for j=1:n1
t1=1;
for k=1:n1
if k==j
continue;
else
t1=t1*(x1(j)-x1(k));
end
end
s1=s1+y1(j)/t1;
end
chaS(i)=s1;
end
b(1,:)=[zeros(1,n-1) chaS(1)];
cl=cell(1,n-1);
for i=2:n
u1=1;
for j=1:i-1
u1=conv(u1,[1 -x(j)]);
cl{i-1}=u1;
end
cl{i-1}=chaS(i)*cl{i-1};
b(i,:)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}];
end
p2=b(1,:);
for j=2:n
p2=p2+b(j,:);
end
if length(t)==1
rm=0;
for i=1:n
rm=rm+p2(i)*t^(n-i);
end
z=rm;
else
k1=length(t);
rm=zeros(1,k1);
for j=1:k1
for i=1:n
rm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)^(n-i); end
z=rm;
end
end
plot(t,z,'y',x,y,'*r')
四：实例验证
clc
clear
x=[0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05];
y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25386];
t=0.4:0.1:1.05;
[u,v]=newTon(x,y,t)
执行结果：
u =
0.0085 0.0032 0.1587 0.0073 0.9971 0.0004
v =
0.4108 0.5211 0.6367 0.7586 0.8881 1.0265 1.1752
1.3356 1.5095
则所求得的牛顿多项式为：
5432
=+++++
f x x x x x x
()0.00850.00320.15870.00730.99710.0004牛顿多项式的函数图像及已知节点在坐标中的显示如下：
x 轴y 轴
五：结果分析
本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算点的值，作出了节点及待求多项式的函数图像，能够比较清晰的通过图像显示出来，总体来说，计算结果是比较理想的，达到了我们的目的。

然而程序在实现过程中，依旧存在着一些不足之处，总体反应在灵活性方面，参数的输入必须为三个，否则程序会出错，有时候我们仅需要得到牛顿多项式，而不需要去估算某个具体的x 对应的函数值。

另外，本程序的函数在实现过程中会给出多项式函数的函数图像，没有设置参数对其判断是否需要。

因此，这些都是有待改进的地方。