因式分解之十字相乘法教案(供参考)
十字相乘法进行因式分解详案(供参考)
十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）明白得二次三项式的意义；（2）明白得十字相乘法的依照；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是把握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，若是把y 看做常数，确实是关于x 的二次三项式；若是把x 看做常数，确实是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看做一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，确实是关于ab 的二次三项式．一样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看做一个整体，确实是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方式．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法那么．它的一样规律是：（1）关于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，若是能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，而且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就能够够运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方式的特点是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 能够表示单项式，也能够表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）关于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来讲，若是存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特点是“拆两头，凑中间”，那个地址要确信四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情形复杂，因此，一样要借助“画十字交叉线”的方法来确信．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意幸免以下两种错误显现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是不是等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一样要遵循的步骤多项式因式分解的一样步骤：先考虑可否提公因式，再考虑可否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．关于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀归纳如下：“第一提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要适合，四种方式反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把以下各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看做常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把以下各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：咱们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，那个地址a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要实验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积存体会，才能提高速度和准确性．例3 把以下各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看做一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ ]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a )108)(128(22++++=a a a a)108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻明白得换元的思想，这能够帮忙咱们及时、准确地发觉多项式中究竟把哪个看成整体，才能组成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是不是能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看做一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，那么原式＝(y －3)(y －24)＋90 162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：此题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题进程，表现了换元法化简求解的良好成效．另外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，咱们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，那么 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：此题持续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方式巧妙，令人眼花瞭乱．可是，体味之余应想到对换元后得出的结论必然要“还原”，这是一个重要环节．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方式1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．方式2：把字母y 看做是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x)1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部份从头分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---=)())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、从头分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，依照字母c 的次数分组，显现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又显现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和那个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，依照多项式的乘法原那么可明白另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．依照此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，那么 12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，因此其对应项系数别离相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方式称为待定系数法，是很有效的方式．待定系数法、配方式、换元法是因式分解较为经常使用的方式，在其他数学知识的学习中也常常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有把握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】一、选择题1．若是))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．若是305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，那么b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，那么a ，b 的值别离为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a m n a ．12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．假设x －y ＝6，3617=xy ，那么代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把以下各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把以下各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把以下各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,m n 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x)32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x)2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x 120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x)3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4， 2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得，a ＝－7．。
十字相乘法分解因式教案
十字相乘法分解因式教案教案标题：十字相乘法分解因式教案一、教学目标：1. 理解十字相乘法的概念和原理。
2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。
3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。
2. 学生准备：纸和笔。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。
b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。
2. 知识讲解（15分钟）a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。
b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。
c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。
3. 案例分析（15分钟）a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。
b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。
4. 练习与巩固（20分钟）a. 分发练习题，让学生独立完成。
b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。
5. 拓展与应用（10分钟）a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。
b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。
6. 总结与反思（5分钟）a. 总结本节课学到的知识点和方法。
b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。
四、教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。
五、教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。
2. 提供更多的练习题和挑战题，以提高学生的解题能力。
六、教学反思：本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节，有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。
然而，在教学过程中，可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题，需要教师及时解答和指导。
此外，为了增加学生的学习兴趣和参与度，可以设计一些趣味性的活动或游戏，使学生更主动地参与到教学中来。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
因式分解法之十字相乘法教案
第7课时§2.4.1 因式分解法——十字相乘法教学目标1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式；2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。
教学重点和难点重点：运用十字相乘法求解一元二次方程难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。
二、师生共同研究形成概念1、 复习分解因式分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。
3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。
二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？特点：1）二次项系数是1；2）常数项是两个数之积；3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
2、 十字相乘法步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式3、 讲解例题例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ；5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。
分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。
例2 分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652--x x 。
分析：此例题中各式都有很大的相同之处。
只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把四个多项式分解因式。
十字相乘法教案
十字相乘法教案课题：十字相乘法一、教学设计与说明一、教材分析：“十字相乘法分解因式”是七年级第二学期第八章第4节的内容，也是学生在学习提取公因式与公式法两种因式分解后的内容。
学生对因式分解已有了解及应用，再借助十字交叉线分解因式，学生容易掌握，同时这节课也为以后学习分式的运算、一元二次方程、二次函数、分式方程、一元二次不等式等作铺垫，这节课无论从它的内容还是它的地位都十分重要。
二、教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解；3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
三、教学的重点难点教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。
教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。
四、教学设计1、通过学生对问题的“议一议”，发现“232++x x ”不是一个完全平方形式，产生了究竟是否还能分解的问题，学生带着问题进入新课。
（吸引学生）2、通过学生对多项式乘法的“算一算”，巩固了多项式的乘法的知识，又观察到了计算中含有“232++x x ”这个结论，为以下“想一想”作了充分准备。
3、通过学生对多项式乘法遗留问题的“想一想”，既加深了对因式分解定义的理解，又得到了“232++x x ”的分解结果，从而过渡到“ab x b a x +++)(2”的分解。
4、借助十字交叉线给师生互动，让学生“动一动”理解十字相乘法的定义。
5、通过学生的多次尝试，用“做一做”的环节来体验“如何用十字相乘法因式分解”。
6、知道了十字相乘法，那么“练一练”的环节是不可缺少的，通过“练一练”，学生就有实践的体会，并能把知识延伸与拓展，学生学习兴趣盎然。
7、最后是学生的自主小结，交流各自的感受，达成共识。
总之，整节课力争体现学生学习的主动性，让学生完全参与整节课的教学活动，体验知识的发生发展过程，通过多次尝试，培养学生的耐心和信心，提高学生的观察能力。
十字相乘法分解因式的教案
十字相乘法分解因式的教案教案标题：十字相乘法分解因式的教案教学目标：1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。
2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。
3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。
教学准备：1. 教学PPT或白板，以及相应的绘图工具。
2. 教学中使用的教材和习题。
3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。
4. 讲解板书的工具，如白板笔或彩色粉笔。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。
2. 提问学生：在学习因式分解中，如何应用乘法分配律？请举例说明。
讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤：1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例，并使用乘法分配律展示如何通过分解因式的方法化简多项式。
2. 讲解十字相乘法的概念：十字相乘法是一种用于分解因式的方法，通过将多项式的首项和尾项相乘，然后找到满足相乘结果的两个数，进而分解因式。
3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤：a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。
b. 找到两个数，使其乘积等于上一步得到的结果，同时使其和等于多项式中的线性项系数。
c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。
d. 化简和测试分解因式的正确与否。
示范和练习：1. 在白板上示范一个具体的例子，展示应用十字相乘法分解因式的步骤。
2. 指导学生根据示例进行练习，并及时给予反馈和指导。
巩固和扩展：1. 提供更多的练习题，让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解因式的理解和应用。
2. 提供一些挑战性的问题，扩展学生对于十字相乘法的运用。
总结：1. 总结十字相乘法分解因式的步骤和方法。
2. 强调理解和掌握十字相乘法分解因式对解决相关问题的重要性和实用性。
3. 鼓励学生在日常学习中主动应用并巩固所学的知识和技巧。
评估：1. 提供一组习题，让学生独立应用十字相乘法分解因式解答问题。
2. 评估学生对于十字相乘法的理解和运用能力。
备注：教案中的具体内容应根据教育阶段和学生实际情况进行相应调整和修改。
十字相乘法教学设计
用十字相乘法分解因式教学设计【教学目标】知识目标：学会用十字相乘法分解二次三项式；注意分解因式的基本步骤。
能力目标：渗透待定系数的思想。
情感目标：感受数学的简洁之美。
【教学重点】：恰当将系数分解质因数，凑出符合的“十字”。
【教学难点】：二次项系数不为1的二次三项式的因式分解。
【课前准备】：学案，阅读教材P172.【教学课时】：1课时。
【教学过程】：一、课前阅读。
阅读教材P172，尝试解决下面的问题。
1、完成后面的四道练习。
2、能用十字相乘法分解的二次三项式有何特征？3、已知x2+mx-12可以分解为两个一次二项式之积，则整数m的值可能是多少？二、新课学习。
（一）引入。
解一元二次方程x2-2x-3=0.（二）阅读效果交流。
1、请学生订正课本上的练习。
【教师点拨】①可应用前面所学的配方思想来解决；②注意一次项系数的符合.③在此处教画十字。
2、请学生谈问题2.【教师点拨】即公式x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。
概括：能够分解为（x＋p）（x＋q）的二次三项式满足以下条件：①二次项系数为____；②一次项系数等于_________；③常数项等于________.3、订正问题3.【教师点拨】因-12=-1×12=-12×1=-2×6=-6×2=-3×4=-4×3，故m应有六种可能的值。
4、预习检测：将下列各式因式分解。
（1）x2 —6x ＋8 （2）x2 —2x —15（3）x2 —8x +12（三）阅读中学习。
1、例1、解方程：x2 +6x－7＝0口诀：“竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
阅读后反思：A、联系：本题与前面的因式分解题有什么相同之处？B、区别：本题与单纯的因式分解题有何区别？C、方法与思想：几个因式的积为0，则必有一个因式为0.【教师点拨】一元二次方程的标准形式为二次三项式的和为0，则只需将二次三项式分解为几个因式之积，就能应用“几个因式的积为0，则必有一个因式为0”求出未知数的值，可见，解方程与整式的变形是统一的。
因式分解(十字相乘)教案
因式分解（十字相乘）教案目的：掌握因式分解的四种方法，并能够解决与此相关的数学题目和问题，为以后的学习打下基础。
1.概念：把一个多项式回味几个整式积地形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
通俗地说就是——多项式的差和化积的过程，因式分解的最后结果是积的形式。
2.和整式的乘法有什么关系？互为逆运算：因式分解是和差化积的过程；整式乘法是积化和差的形式例.：x(x+y)=x^2+xy3.书本上因式分解的四种方法（1）提取公因式法所有相同的项写到一起，其余的写到括号里（2）公式法：平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;(a-b)^2=a^2-2ab+b^2（3）分组分解法一般试四项，较为容易，注意，分完组提取公因式之后，能不能再次分解（4）十字相乘法＊（重要）今天要讲的内容是十字相乘法：十字相乘：适用形如ax^2+bx+c 的二次三项式首先：二次项系数a等于1时：套用书上公式：x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)例.：x^2-5x+4其中两个数a,b的和-5，两个数a,b的乘积是4.那这两个数是多少：－1和－4 即这个式子分解因式为（x-1)(x-4)例.：x^2+5x+6 其中两个数a,b的和5，两个数a,b的乘积是6.那这两个数是多少：2和3 即这个式子分解因式为(x+2)(x+3)然后看二次项系数不为1时：ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)如何得出：首先画一个十字：系数a分解成a1和a2，c分成c1和c2，a1乘a2等于a ，c1乘c2等于c,交叉乘积的和等于b，即b＝a1c2+a2c1;在得出最后结果的时候一定要注意要横着写即(a1x+c1)(a2x+c2)例：3x^2-11x+10=(x-2)(3x-5)__不是一次性成功的，可以吗慢试，做多了题目就会越来越快。
例：3a^2-7a-6=(X-3)(3X+2)例：6x^2+x-35=(2x+5)(3x-7)例：(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8=(x^2+3x+2)(x^2+3x-4)课后思考：（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x^2+5x+5)^2（综合）。
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当我们把 1,3，2,5 写成
1
2
3
5
后发现 1×5+2×3 正好等于一次项的系数 11。
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式 ax2 bx c 进行因式分解。
a1x c1 a2x c2
我们知道， a1a2 x2 a1c2 x a2c1x c1c2
a1a2 x2 a1c2 a2c1 x c1c2
例 4 把 x2 2x 15 分解因式。
解：因为-15=(-3)×5，并且(-3)+5=2，所以
通过例 1︿4 可以看出，把 x2 px q 分解因式时：
如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数 p 的
符号相同。
如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次
积 ， 并 且 a+b 等 于 一 次 项 的 系 数 p ， 那 么 它 就 可 以 分 解 因 式 ， 即
x2 px q x2 a b x ab x a x b。运用这个公式，可以把某些二次项系数
为 1 的二次三项式分解因式。
例 1 把 x2 3x 2 分解因式。
分析：这里，常数项 2 是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而 2=1×2=(-1)(-2)， 要使它们的代数和等于 3，只需取 1,2 即可。
考点分析
第（ 1 ）课时 共（ 1 ）课时
授课时段
学生活动
教师活 动
分解因式之十字相乘法
我们知道 x 2 x 3 x2 5x 6 ，反过来，就得到二次三项式 x2 5x 6 的因式
分解形式，即 x2 5x 6 x 2 x 3 ，其中常数项 6 分解成 2,3 两个因数的积，而且
把 2 y2 分解成-y 与-2y 的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。
我们知道， x 23x 5 3x2 11x 10 。反过来就得到 3x2 11x 10 的因式分解
的形式，即 3x2 11x 10 x 23x 5 。
我们发现，二次项的系数 3 分解成 1,3 两个因数的积；常数项 10 分解成 2,5 两个因数的积；
1 -5
2y -4y
教师活 动
课后作业
学生成长 记录
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________
项系数 p 的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数 p。 例 5 把下列各式分解因式：
(1) x4 6x2 8
(2) a b2 4a b 3
例 6 把 x2 3xy 2 y2 分解因式。
分析：把 x2 3xy 2 y2 看成 x 的二次三项式，这时，常数项是 2 y2 ，一次项系数是-3y，
这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1 c2 + a2 c1 ，如果它们正好等于 ax2 bx c 的一次
项系数 b ，那么 ax2 bx c 就可以分解成
a1x c1 a2x c2 ，其中 a1 ， c1 位于上图的上一行， a2 ， c2 位于下一行。
像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫 做十字相乘法。
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十字相乘法教学设计
教师
王洪
学生姓名
上课日期
学科
数学
年级
教材版本
类型
知识讲解□：
考题讲解□:
本人课时统计
学案主题 教学目标
复习 教学内容
课时数量 第（ 1 ）课时
（全程或具体时间）
复习应用
教学重点、 如何进行系数的分解 难点 十字相乘法主要是在解题过程中的一个重要的方法
1
2
3
5
相乘就可以了。
例 7 把下列各式分解因式：
(1) 2x2 7x 3 (2) 6x2 7x 5 (3) 5x2 6xy 8 y2
解 : (1)2x2 7x 3
x 32x 1
(2)6x2 7x 5
2x 13x 5
教学过程
课堂练习
1 2 2 3
学生活动 2 5
-3 -1
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确
定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式 3x2 11x 10
中，二次项的系数 3 可以分解成 1 与 3，或者-1 与-3 的积，常数项 10 可以分解成 1 与 10，
或者-1 与-10，或者 2 与 5，或者-2 与-5 的积，其中只要选取十字
这两个因数的和等于一次项的系数 5，即 6=2×3，且 2+3=5。
一 般 地 ， 由 多 项 式 乘 法 ， x a x b x2 a b x ab ， 反 过 来 ， 就 得 到
教学过程
x2 a b x ab x ax b
这就是说，对于二次三项式 x2 px q ，如果能够把常数项 q 分解成两个因数 a、b 的
反过来，就得到 a1a2 x2 a1c2 a2c1 x c1c2 a1x c1 a2x c2
我们发现，二次项的系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，并且把 a1 ，a2 ，c1 ，c2
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文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 排列如下：
解：因为 6=(-1)×(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以
例 3 把 x2 4x 21分解因式。
分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21 可以分解成-21=(-1) ×21=1×(-21)=(-3)×7=3×(-7)，其中只需取 3 与-7，其和 3+(-7)等于一次项的系数-4。
解：因为 2=1×2，并且 1+2=3，所以 x2 3x 2 x 1 x 2
例 2 把 x2 7x 6 分解因式。
分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而 6=1×6=(-1)×(-6)=2
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. ×3=(-2)×(-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6 即可。