§8 复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理是高中数学中的基础知识点之一，也是数学学习的重要环节。
它是指给定一个实系数多项式，可以通过分解成若干个单项式之积的形式来表示。
本文将通过分步骤阐述，来简单介绍实系数多项式因式分解定理。
一、根据多项式的次数选择合适的方法在进行实系数多项式因式分解时，首先需要确定多项式的次数。
如果是1次多项式，则可以直接进行一次式的分解；如果是2次多项式，则考虑二次方程求根的方法来分解；如果是3次或3次以上的多项式，则可应用求有理根和非有理根的方法来进行分解。
二、确定多项式的所有根求出多项式的所有根是进行因式分解的前提。
对于n次多项式，根据代数学基本定理可知，其最多有n个根。
可以利用有理根定理、因式定理、综合除法等方法，求出多项式的所有根。
三、利用多项式各个根的特点进行分解将多项式的根全部求出后，就需要利用这些根的特点，进行分解。
比如一次多项式可以表示为(x-a)，二次多项式可以分解为(x-a)(x-b)，三次多项式则可分解为(x-a)(x-b)(x-c)等等。
对于没有有理根的多项式，可以进行辗转相除法，将这个多项式化为一个低一次多项式与一个高一次的多项式之积的形式，再进行分解。
四、检验分解是否正确分解完多项式后，需要检查分解是否正确。
可以通过将每个单项式展开相加，来比较与原多项式的系数是否一致。
如果展开后得到的式子，与原多项式相同，则说明该分解是正确的。
综上所述，通过利用以上的步骤，我们就可以较为简便地进行实系数多项式因式分解了。
多项式的因式分解是数学学习的重要环节，对于熟练掌握多项式的因式分解方法的人来说，不仅可以简化计算，而且可以在考试中快速地得出正确答案。
因此，我们要认真学习多项式的因式分解这一知识点，提高自己的数学水平。
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
2010年硕士研究生《高等代数》考试大纲
五邑大学2010年硕士学位研究生招生《高等代数》课程考试大纲一、课程的性质，目的和任务高等代数是数学（数学与应用数学，数学教育）专业的一门重要基础课程。
通过本课程的教学，应培养学生良好的数学素养，打下较扎实的代数学理论基础，提高学生的抽象思维的能力和逻辑推理能力，并掌握较系统的代数基础知识，为学习后继课程服务。
二、基本要求这门课程大致分为两部分:多项式理论和线性代数。
前者以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论，向量空间和线性变换。
本课程应着重于基本理论的讲授和基本技能的培养和训练,不适求内容上的完备和全面.三、考试范围(一)多项式理论1. 数域 (A)2. 整除的概念 (A)3. 最大公因式. (A)4. 因式分解定理. (A)5. 重因式. (A)6. 多项式函数. (A)8. 复系数与实系数多项式的因式分解. (A)9. 有理系数多项式. (A)*10.多元多项式. (B)*11.对称多程式. (B)(二) 行列式1. 排列. (A)2. n阶行列式的定义和性质. (A)3. 行列式的依行和依列展开. (A)4. 行列式的计算. (A)5. Crammer法则(克莱姆法则). (A)6. Laplace(拉普拉斯)定理. 行列式的乘法规则. (A)(三)线性方程组1. 线性方程组的消元法. (A)2. n维向量空间 (A)3. 线性相关性. (A)4. 矩阵的秩. (A)5. 线性方组有解的判定定理. (A)6. 线性方程组解的结构. (A)7. 二元高次方程. (B)(四) 矩阵1. 矩阵的概念与运算. (A)2. 矩阵乘积的行列式与秩. (A)3. 矩阵的逆. (A)4. 矩阵的分块. (A)5. 初等矩阵. (A)(五) 二次型1. 二次型的矩阵表示. (A)2. 标准形. (A)3. 唯一性. (A)4. 正定二次型. (A)(六) 线性空间1. 线性空间的定义与简单性质. (A)2. 维数.基与坐标. (A)3. 基变换. (A)4. 线性子空间 (A)5. 子空间的交与和. (A)6. 子空间的直和. (A)7. 线性空间的同构. (A)(七) 线性变换1. 定义和例子 (B)2. 线性变换的运算. (A)3. 线性变换的矩阵. (A)4. 特征值与特征向量. (A)5. 对角矩阵. (A)6. 线性变换的值域与核. (A)7. 不变子空间. (A)8. Jordan标准形介绍. (B)(八) 入一矩阵1. 入一矩阵. (A)2. 入一矩阵在初等变换下的标准形. (A)3. 不变因子. (A)4. 矩阵相似条件. (A)5. 初等因子. (A)*6.Jordan标准形的理论推导. (C)(九) 欧几里得空间1. 定义与基本性质. (A)2. 标准正交基. (A)3. 同构. (A)4. 正交变换. (A)5. 子空间. (A)6. 对称矩阵的准形. (A)四、主要教材和参考书1. 北京大学数学力学系，高等代数（第二版），高教出版社。
复数域与实数域上多项式的因式分解
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设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
2
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多 项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是 可约的.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
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因此 f ( x)能被
g( x) ( x )( x ) x2 -( )x
整除.
因 和 都是实数,所以g( x)是实系数多
项式, 故有
f ( x) g( x)h(x),
证 对f ( x)的次数用数学归纳法. 因一次多项式本身不可约,定理成立. 假设定理对次数 n的多项式来说成立.
设f ( x)是n次多项式,由代数基本定理, f ( x)有一复根.
如果是实数, 那么
f ( x) ( x ) f1( x)
其中f1 ( x)是n 1次实系数多项式.
如果不是实数, 那么也是f ( x)的根,于是
次式与二次不可约多项式的乘积. 故f ( x)也可以分解成实系数的一次式与二次不
可约多项式的乘积.
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实系数多项式
55
第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1（代数基本定理的等价叙述） f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
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§8复系数与实系数多项式的因式分解
的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
证：设
f ( x ) a n x a n1 x
n n1
a0 ,
ai R
若 为根，则
f ( ) a n
n
a n 1
n1
a0 0
n1
两边取共轭有
f ( ) a n
2 n1
解： 1)
这里
co s
2 n
i sin
2 n
,
n
1
k
co s
n
2 k n
i sin
2 k n
,
k 1, 2 , , n
2 n1
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
)
在实数域范围内
i 1, 2 r
，即
x pi x qi
2
为
R上的不可约多项式.
推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
1, , , ,
k
nk
,
k
k
2 co s
2 k n
,
k
k
1
k 1, 2 , , n
∴
n
当n为奇数时
2 n1
x 1 ( x 1)[ x (
n1 n1
) x
n1 2
n1
842高等代数考试内容范围
高等代数考试内容范围
1．多项式：数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式；2．行列式：排列，级行列式的概念、性质和计算，行列式按行（列）展开，法则；
3．线性方程组：消元法，维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构；
4．矩阵：矩阵的概念及运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆及分块，初等矩阵，矩阵分块乘法的初等变换及应用；
5．二次型：二次型及矩阵表示，标准型，唯一性，正定二次型；
6．线性空间：集合与映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间及其交与和，子空间的直和，线性空间的同构；7．线性变换：线性变换的定义、运算与矩阵表示，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，标准形；
8．欧几里得空间：欧几里得空间的定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离与最小二乘法；9．双线性函数与辛空间：线性函数，对偶空间，双线性函数。
主要参考教材：
《高等代数》（第三版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳，石生明修订。
第一章多项式(教案)
高等代数 北大三版第一章 多项式教学目的：1．了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。
2．会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。
3．了解多项式与对称多项式的概念。
教学重点与难点：1．整除理论。
2．有理数域上的因式分解。
§1． 数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质 引入：关于数的范围的讨论定义：设P 是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P 中的数，那么称P 为一个数域。
另一说法： 如果包含0和1 的一个数集P ，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P 为一个数域。
例： 1．Q R C Z W 2Z （前3个是，后3个不是） 2．R * C + }0{ +C （均不是）3．},|2{1Q b a b a P ∈+=＝)2(Q 是 证明封闭 }|2{2N n n P ∈= 不是4．},,|{, (31)10+++++∈∈=N m n Z a P j n mnn b i b b b a a a ππππ 是 重要结论： 最小数域为有理数域 （任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一． 一元多项式的概念定义：设n 是一非负整数，x 是一个符号（文字），形式表达式：01111...a x a x a x a n n n n ++++-- 其中P n i a i ∈=)...0(。
称为系数在数域P 中的一元多项式。
（数域P 上的一元多项式）① 记 )(x f ＝01111...a x a x a x a n n n n ++++--＝i ni i x a ∑=0)(x g ＝01111...b x b x b x b m m m m ++++--＝j mj j x b ∑=0② 其中ini i xa ∑=0称为)(x f 的i 次项 i a 为i 次项系数。
③ 0≠n a ，则n n x a 为)(x f 的首项 n a 为首项系数，n 为)(x f 的次数。
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其中f 1(x)是n－1次实系数多项式 . 如果 不是实数， 则 也是 f (x)的根且 .
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于是
f ( x) ( x )( x ) f 2 ( x).
显然 ( x )( x ) x 2 ( ) x 是一实系数二
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x 2 pi x qi (i 1,2, , r )
是不可约的，也就是满足
pi2 4qi 0, i 1,2, , r.
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§8 复系数与实系数多项式的 因式分解
对与复数域，有下面重要的定理：
代数基本定理
每个次数 ≥ 1的复系数多项式在复数域中有一个 根.
注1 代数基本定理的内容十分明了，但它的证明
需要用到进一步的知识，例如复变函数论，或微分拓 扑学 .
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注2 代数基本定理显然可以等价叙述为：
每个次数 ≥1的复系数多项式，在复数域上一定 有一个一次因式 .
次不可约多项式 . 从而 f 2(x)是n－2次实系数多项式 . 由归纳法假设，f1(x)与 f2(x)可以分解成一次与二次不 约多项式的乘积，因此 f (x)也可以如此分解 .
注 实系数多项式具有标准分解式
f ( x) an ( x c1 )l1 ( x cs )ls ( x 2 p1x q1 ) k1 ( x 2 pr x qr )kr , 其中c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr 全是实数，l , l , , l , k , 1 2 s 1 , kr 是正整数 . 且
由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式
全是可约的 . 换句话说，不可约多项式只有一次多项 式 . 于是我们有 复系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的复系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式的乘积 .
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因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x) an ( x 1 )l1 ( x 2 )l2
其中 1 , 2 ,
( x s ) ls ,
, s 是不同的复数，l1 , l2 , , ls 是正整数 .
标准分解式说明了每个n个复系数多项式恰有n个复根 （重根按重数计算）. 即 l1 l2
ls n.
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实系数多项式的分解 如果 是实系数多项式 f (x)的复根，则 的共 轭复数 也是 f (x)的根 . 因为设
f ( x) an x n an1x n1
其中 a0 , a1 ,
a0 ,
, an 是实数 . 由假设
f ( ) an n an1 n1 a0 0. 两边取共轭数，有 f ( ) an n an1 n1 a0 0, 即 f ( ) 0, 也是 f (x)的根 .
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实系数多项式因式分解定理
每个次数 ≥1的实系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 . 证明：定理对一次多项式显然成立 .
假设定理对次数< n的多项式已经证明 . 设 f (x)是n次实系数多项式 . 由代数基本定理， f (x)有一复根 是实数，则 f ( x) ( x ) f1 ( x),