培优专题1用提公因式法把多项式进行因式分解(附附答案解析)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1. 把下列各式因式分解
（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213
（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---322
22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()
()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式
变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 )
243)((]2)(2))[(()
(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算1368
987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯
分析：算式中每一项都含有
9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368
987+++⨯= =⨯=9871368
1368987
3. 在多项式恒等变形中的应用
例：不解方程组23532
x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。

解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。

4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

323233222222n n n n n n n n ++++-+-=+--
=+-+=⨯-⨯3312211035222n n n n ()()
Θ对任意自然数n ，103⨯n 和52⨯n 都是10的倍数。

∴-+-++3
23222n n n n 一定是10的倍数
5、中考点拨：
例1。

因式分解322x x x ()()---
解：322x x x ()()---
=-+-=-+322231x x x x x ()()()()
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

例2．分解因式：412132
q p p ()()-+- 解：412132
q p p ()()-+- =-+-=--+=--+4121212112122132
2
2q p p p q p p q pq ()()()[()]()()
说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：
例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯
精析与解答：
设2000=a ，则20011=+a
∴⨯-⨯200020012001200120002000
=+++-++=+⨯-+⨯=+⨯-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()
()()()()
1000011110000110001110001
110001100010
说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。

其中2000、2001重复出现，又有200120001=+的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542
x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b 、c ，但比较麻烦。

注意到x bx c 2++是362542
()x x ++及3428542x x x +++的因式。

因而也是-+++()3428542x x x 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

解：Θx bx c 2++是362542
()x x ++及3428542x x x +++的公因式 ∴也是多项式3625342854242
()()x x x x x ++-+++的二次因式 而362534285142542422
()()()x x x x x x x ++-+++=-+ Θb 、c 为整数
得：x bx c x x 2225++=-+
∴=-=b c 25，
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式1428702x x -+，从而简便求得x bx c 2++。

例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。

解：1052+++x x x ()
=+++=++52225()()()()
x x x x x Θx x ++25，都是大于1的自然数
∴++()()x x 25是合数
说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。

只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）-+-41222332
m n m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）
（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222
2. 计算：()()-+-221110的结果是（ ）
A. 2100
B. -210
C. -2
D. -1
3. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。

试题答案
1. 分析与解答：
（1）-+-41222332m n m n mn
=--+226122
mn mn m n () （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--
=+---ax ax bx cx d n 132()
（3）原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()322222
=--+-=--=-a a b a b a b a a b a b a a b ()[()]
()()()222
22333
注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。

2. B
3. Θx x y y y x ()()---=12
∴-+=()()x y x y 12
Θx y 、是正整数
∴12分解成1122634⨯⨯⨯，，
又Θx y -与x y +奇偶性相同，且x y x y -<+
∴-=+=⎧⎨⎩∴==⎧⎨⎩x y x y x y 2642
说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。

4. 证明：Θ812797913
-- =--=--=⨯=⨯⨯=⨯333393135335
345
282726
262624224()
∴--812797913能被45整除
5. 解：逐次分解：原式=++++++()()()()111121995x x x x x x …
=++++=++++++==+()()()()()()()()1111111121995
341995
1996x x x x x x x x x x x …………
∴当x =0时，原式=1。