高一数学3.2.1《几种不同增长的函数模型》课件一(人教版A版必修1)

在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽 管在x的一定范围内，ax会小xn，但由 于ax的增长快于xn的增长，因此总存在 一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
结论2：
一般地，对于指数函数y=logax (a>1) 和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以 发现：
在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增 大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴 平行一样。尽管在x的一定范围内，
标，准备制定一个激励销售部门的奖励方 案：在销售利润达到10万元时，按销售利 润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着 销售利润x (单位：万元)的增加而增加， 但资金数不超过5万元，同时奖金不超过 利润的25%。现有三个奖励模型： y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中 哪个模型能符合公司的要求呢？
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元； y 40, x N *
方案二：第y 0一.42x天1，x回N* 报10元，以后每天比前一天多回
报10元； y 10 x, x N *
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。
x/天
方案一
y/元 增长量/元
logax可能会小xn，但由于logax的增长慢
于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0 时，就会有logax<xn.
综上所述：
(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1) 和y=xn (n>0)都是增函数。 (2)、随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越 快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.4
51.2
…… … … …
…
…
30 40
0
300 10 214748364.8 107374182.4
画 图
图112-1
从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；
有人认为投资1~4 天选择方案一； 5~8天选择方案二； 9天以后选择方案
函数模型及其应用
1、提出问题
1、如果张红购买了每千克1元的昭通苹果X千 克，需要支付Y元，把Y表示成X的函数。
2、如果正方形的边长为X，面积为Y，把Y表 示成X的函数。
3、某保护区有单位1面积的湿地，每年以5% 的增长率增长，X年后湿地的面积为Y，把Y 表示成X的函数。
分别用三种方法表示这些函数
y x, x N * y x2 , x 0
y log 7 x 1 0.25 成立。
x
x
令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用计 算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减 的，因此
f(x)<f(10) ≈-0.3167<0, 即 log7x+1<0.25x
所以，当x∈ [10,1000]，
模型y=log7x+1
(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上 递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5, 所以它符合奖金不超过5万元的要求。
(2)、再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不 超过利润的25%，即当x∈ [10,1000]时，是否有
结论 投资1~6天，应选择第一种投资方案；
投资7天，应选择第一或二种投资方案； 投资8~10天，应选择第二种投资方案； 投资11天（含11天）以上，应选择第三 种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目
(3)、随着x的增大， y=logax (a>1)的增长速度越来 越慢，会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。
总存在一个x0，当x>x0时，就有 logax<xn<ax
练习：P98 1、 2
实际 问题
读懂问题
将问题 抽象化
基础
过程
几种常见函数的增长情况：
常数函数 没有增长
一次函数 直线上升
数学 模型
关键
解决 问题
目的
指数函数 指数爆炸
作业:P107 T1、2
一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优
(1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最 多，我们就在那段时间选择该方案。
我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模 型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提 供依据。
y (1 5%)x , x N *
X
123
45 6
yx
y x2
123 149
45 6 16 25 36
y (1 5%) x 1.05 1.10 1.16 1.22 1.28 1.34
这3个函数表示的函数类型分别是
y ax b, a 0(直线型)
y ax2 bx c, a 0(抛物线型)
log 7 x 1 0.25 x
例3.探究函数
y 2 x , y x 2 , y log 2 x
的增长情况并分析差异
1.列表：
2.作图： 18
16
14
12
fx = x2
10
gx = 2x
8
6
h(x)=log2x
4
2
-5
O
5
-2
-4
10
15
20
结论1：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0)Leabharlann 通过探索可以发 现：方案二
y/元 增长量/元
方案三
y/元
增长量/元
1 40 0 10
0.4
2 40 0 20 10
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
y kax b, k 0(指数型)
还有哪些函数类型？
y loga x b(对数型)
例题：
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多
回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前
三？
累积回报表
天数
方案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二
10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8