精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)
初中数学培优：因式分解小结(含答案)
因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。
【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式解二：原式=2. 通过变形达到分解的目的例1. 分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：设，则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
2024年中考数学复习-因式分解的多种方法考点培优练习
因式分解的多种方法考点培优练习 考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三 角形或直角三 角形 解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。
因式分解精练(培优)
因式分解精选练习一分解因式 1.2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 4 、2. 5x n+1－15x n ＋60x n —1 、 3.()()431241a b a b ---4. (a+b)2x 2-2(a 2-b 2)xy+(a-b)2y 2 、5. x 4-1、6.－ａ2－ｂ２＋2ab ＋４7. 134+--x x x 、 8.()()422223612y y y y x y y x -++-+9. ()()()()422223612y x y x y x x y x x +-+++-+、10.a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac11.x 2-2x-8、 12．3x 2+5x-2 、13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1、14. (x 2+3x+2)(x 2+7x+12)-120.15．把多项式3x 2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x 2―6xy ―8y 2分解因式。
因式分解精选练习二、证明题17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
18.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.19.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
20.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。
三 求值。
21.已知a,b,c 满足a-b=8,ab+c 2+16=0,求a+b+c 的值 .22．已知x 2+3x+6是多项式x 4-6x 3+mx 2+nx+36的一个因式，试确定m,n 的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习1. 解：原式=2xy 2·x 3－2xy 2·2x 2＋2xy 2·5y 2 =2xy 2 (x 3－2x 2＋5y 2)。
2.解：原式=5 x n--1·x 2－5x n--1·3x ＋5x n--1·12=5 x n--1 (x 2－3x ＋12)3.解：原式=3a(b-1)(1-8a 3) =3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a 2)*4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)25.解：原式=(x 2+1)(x 2-1)=(x 2+1)(x+1)(x-1)6.解：原式＝－（a 2－2ab ＋b 2－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）7. 解： 原式= x 4-x 3-(x-1)= x 3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 3-1)=(x-1)2(x 2+x+1)*提8. 解：原式=y 2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y 4=y 2(x+y-6)2-y 4=y 2[(x+y-6)2-y 2]=y 2(x+y-6+y)(x+y-6-y)= y 2(x+2y-6)(x-6)9. 解：原式== (x+y)2(x 2-12x+36)-(x+y)4=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)10.解：原式=.（a 2+b 2 +2ab ）+2bc+2ac+c 2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2 =(a+b+c)211.解：原式=x 2-2x+1-1-8 =(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)12．解：原式=3(x 2+53x)-2 =3(x 2+53x+2536-2536)-2 =3(x+56)2-3×2536-2=3(x+56)2-4912 =3[(x+56)2-4936]=3(x+56+76)(x+56-76)=3(x+2)(x-13) =(x+2)(3x-1)13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)+1令x 2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1=a 2+10a+25=(a+5)2=(x 2+5x+5)14. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x 2+5x+6)(x 2+5x+4)-120令 x 2+5x=m, 代入上式,得原式=(m+6)(m+4)-120=m 2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x 2+5x+16)(x 2+5x-6)=(x 2+5x+16)(x+6)(x-1)15．解：原式＝(x+2)(3x+5)提示：把二次项3x 2分解成x 与3x （二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x =x ×5+3x ×2。
因式分解的12种方法精讲
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3 -2x 2-xx，~x=x(x^_2x_ 1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式。
，把它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解:m2 +5n・mn・5m= m 2-5m-mn+5n =(m2 -5m )+(-mn+5n)4.十字相乘法对于mx2 ^px^-q形式的多项式，如果a^b=m, c^d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7, 2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)=・19解：7x2-19x-6=f7x+2；(x-3；5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5.分解因式+6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 )2 =[(x+3)+7][(x+3) —7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6.分解因式bc(b^c)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a^-b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)-^bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+⋯+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2例题3分解因式：a3+b3+c3－3abc．分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．对应练习题分解因式：(1)x2n x n1y21；94 (2)x10+x5－2422332232(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x52222(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2c2对应练习题分解因式：3、x2x 9y23y4、x2y2z22yz综合练习题 分解因式：（1）x 3x 2y xy 2 y 3 （2）ax 2 bx 2 bx ax a b（3）x 26xy 9y 2 16a 2 8a 1（4）a 26ab 12b9b 24a（5）a 42a 3 a 2 9 （6）4a 2x 4a 2y b 2x b 2y（7）x 22xy xz yz y 2（8）a 22a b 22b2ab1（9）y(y2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)（11）a 2(bc) b 2(a c) c 2(ab) 2abc（12）a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.（13）(axby)2 (ay bx)2 （14）xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3（15）x 4ax 2xa2a3 22（）x3x(a2)x2a16（17）(x1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式——x 2 (pq)xpq (x p)(x q)进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式： x 25x 6例题2分解因式： x 27x 6对应练习题 分解因式：(1)x 214x 24(2)a 215a 36(3)x 24x 5(4)x 2x 2(5)y 22y 15(6)x 210x 24（二）二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c条件：（1）aa 1a 2a 1 c 1 （2）cc 1c 2a 2 c 2 （3）ba 1c 2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc=(a 1xc 1)(a 2xc 2)例题3分解因式：3x 211x10对应练习题 分解因式：（1）5x 27x 6（2）3x27x2（3）10 x217 x32（）6y11y104（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2例题6分解因式：x2y23xy2对应练习题分解因式：（1）27xy4y2（）22ax6ax82综合练习题分解因式：（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y) 10（4）(a b)24a 4b3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n2（7）x24xy 4y22x 4y 3（8）5(a b)223(a2b2) 10(a b)2（9）4x24xy 6x 3y y210（10）12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：（1）A a1a2，C c1c2，F f1f2（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D即：a1c1f1a2c2f2a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)例题7分解因式：（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2x x∴原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xy xy，4y9y13y，2x3x x∴原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式：（1）x2xy 2y2x 7y 6（2）6x27xy 3y2xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y 1)(x21) x(2y22y1)例题9分解因式：ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x23xy 10y2x 9y2对应练习题分解因式：(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(x27x 6)(x2x 6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题62222分解因式：4(3x x1)(x2x3)(4xx4)提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(a b)4(a b)4(a2b2)2例题9分解因式：(y 1)4(y 3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习43－36x2－7x+6．分解因式：6x+7x例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）x42x3x2 1 2(x x2)（3）2005x2(200521)x2005（4）(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2（5）(x1)(x3)(x5)(x7)15（6）(a1)(a2)(a3)(a4)24（7）(2a 5)(a29)(2a 7) 91（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）(a21)2(a25)24(a23)2（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）(a 2b c)3(a b)3(b c)3（12）xy(xy1)(xy3)2(xy12)(x y1)2（13）(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时， 整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x 3－9x+8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x+1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）x 3 3x 2 4（2）x 22(a b)x 3a 2 10ab 3b 2（3）x 4 7x 2 1（4）x 4x 22ax1a 2（5）4442 22 2 2 2 444xy(xy)（）2ab2ac2bcab c6（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2（9）x 3+9x 2+26x+24 （10）x 4－12x+323（11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)x 2y 24x6y5(15)(1a 2)(1b 2)4ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy 6y2x 13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)对应练习题分解因式：（1）6x27xy 3y2x 7y 2（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20（3）x23xy 10y2x 9y 2（4）x23xy 2y25x 7y6例题2（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求a b的值.（3）已知：x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、f x 的意义：已知多项式fx ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为 fx 在x =c 的多项式值，用 fc 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx 除以gx 所得的商式为 qx ，余式为rx ，则：fx =gx ×qx +rxb3、余式定理：多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b)；多项式f(x)除以axb 之余式f( ).a例如：当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当f(x)9x26x 7除以 (3x1)时，则余数=f(1)9( 1)2 6(1)78.3334 a,bR ， a0， f(x) 为关于x 的多项式，则 xb为f(x)的因式、因式定理：设f(b)0；axb 为f(x)的因式f(b 0.)a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n 1x n1c 1xc 0 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b为整数,a 0,且a,b 互质)，则（1）ac n ,bc 0（2）(a –b)f(1), (a b)f( 1)例题1设f(x)3x 32x 2 19x 6，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x –1，(2)x –2，(3)3x –1，(4)4x ＋1，(5)x –1，(6)3x –4例题2把下列多项式分解因式：(1) x 35x4(2) x 34x 2x 6(3) 3x 35x 2 4x 2（4）x 4 9x 3 25x 227x10（5）x 45x 3 1x 2 1x 16223课后作业分解因式：（1）x4＋4（2）4x3－31x＋15（3）3x3－7x＋10（4）x3－41x＋30（5）x3＋4x2－9（6）x3＋5x2－18（7）x3＋6x2＋11x＋6（8）x3－3x2＋3x＋7（9）x3－11x2＋31x－21（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y33223（1412）x－9ax＋27ax－26a（15）4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2（16）(x26x8)(x214x48)12（17）(x2x4)28x(x2x4)15x2（18）2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2（19）x4＋x2y2＋y44224（20）x－23xy＋y（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2（22）a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24）（ab)2(ab1)1（25）x42(a2b2)x2(a2b2)2（26）(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)（27）x619x3y3216y6（28）x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz（29）3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.2、2n －1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8整除．3、已知2 481可以被 60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.24可被40 至50之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知7－15、求证： 817279 913能被45整除.66、求证：14+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证： 4x 2+7xy －2y 2能被9整除．8、已知x 2 xy 2y 2=7，求整数x 、y 的值．9、求方程6xy4x9y 7 0的整数解.10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解．11、求方程 4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为 a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a=______，b=_______.13、计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9 ×31.4＋180×0.314； 19953－219952－1993(2)．19953＋19952－1996＋ 1＋1＋ 1＋1 ＋1＋1的14、求积(11 )(14)(1)(14 )(1)(1)32 35 698 10099 101整数部分？15、解方程：（x 2＋4x)2－2(x 2＋4x)－15=02 2 2 216、已知ac ＋bd=0，则ab(c ＋d)＋cd(a ＋b)的值等于___________．17、已知a －b=3,a －c=3 26,求(c —b)[(a －b)2+(a －c)(a －b)+(a －c)2]的值．18、已知x 2x 1 0，求x 8x 41的值．19、若x 满足x 5 x 4 x1 ，计算x 1998x 1999x 2004.20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式a 3b 3c 33abc ，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题 分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题 分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题 分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题 分解因式：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题 分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题 分解因式：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +- 例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题 分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习题 分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式： （1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题 分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题 分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题 分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习 分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习 分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习 分解因式：144234+++-x x x x对应练习题 分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1 （2）)(2122234x x x x x +++++（3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++（5） (1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3； (2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题 分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4 （8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24 （10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1； （12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1 (14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1 分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题 分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a , b为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则 （1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x （4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x课后作业分解因式： （1）x 4＋4（2）4x 3－31x ＋15 （3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （ （25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、 计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯．14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解培优题(超全面,详细分类)
因式分解培优题(超全面,详细分类)因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，具有多种方法。
以下是初中阶段常用的因式分解方法：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。
2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。
3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法。
一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$．还有以下常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+。
+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-。
+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-。
-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，正确选择公式。
例如：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$可以使用十字相乘法，得到$(2-x^{n-1}y^n)(x^{3n-1}y^n-1)$。
2) $a^3+b^3+c^3-3abc$可以使用公式$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$得到$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$。
因式分解培优题(超全面、详细分类)资料讲解
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：( 1)提公因式法；( 2)公式法；( 3)十字相乘法；( 4)分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a2－b2=(a+b)(a－b)；(2) a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4) a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7) a n—b n=(a—b)(a n_ 1+a n_2b+a n「3b2+…+ab n—2+b n_ 1)，其中n 为正整数；(8) a n—b n=(a+b)(a n—1—a n—2b+a n—3b2—…+ab n—2—b n—1)，其中n 为偶数;(9) a n+b n=(a+b)(a n—1—a n—2b+a n—3b2—…一ab n—2+b n—1),其中n为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例题 1 分解因式：(1) —2x5n—1y n+4x3n—1y n+2—2x n—1y n+4；(2) x3—8y3—z3—6xyz；(3) a2+b2+c2—2bc+2ca—2ab；(4) a7—a5b2+a2b5—b7.例题2 分解因式：a3+b3+c3—3abc.例题 3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1.对应练习题分解因式:x 9y10 . 5(2) x +x —2(3) x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4 x2 3 y2)4(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2—x5(5) 9(a- b)2+12(a2- b2)+4(a+b)2⑹(a- b)2- 4(a- b- 1)(7) (x+y)3+2xy(1 —x—y) —1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题 1 分解因式：am an bm bn分析：从“整体” 看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系. 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提.例题 2 分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y 1（二）分组后能直接运用公式例题 3 分解因式：x2 y2 ax ay例题 4 分解因式：a2 2ab b22 c对应练习题分解因式：3、x2 x 9y2 3y4、22yz 2yz1) x 32 xy 2 xy 3y3) x 26xy 9y 2 16a 28a 1综合练习题 分解因式： 222) axbx bx ax a b224) a 26ab 12b 9b 2 4a5) a 4 2a 3 a 2 9 2 2 2 26) 4a x 4a y b x b y7) 2 x 2xy xz 2 yz y 9) y(y 2) (m 1)( m 1) 228) a 22a b 2 2b 2ab 110) (a c)(a c) b(b 2a)11)a 2(b c) b 2 (a c) c 2(a b) 2abc 4 3 2 2 3 412)a 2a b 3a b 2ab b .2213) ( ax by) ( ay bx)14) xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3 x 3 x 3y 34 2 215) x 4 2ax 2x a 2a16) x 3 3x 2 (a 2) x 2a17) (x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式2直接利用公式--- x （p q）x pq （x p）（x q）进行分解.特点：（1）二次项系数是1 ；（2）常数项是两个数的乘积；（3）—次项系数是常数项的两因数的和例题1 分解因式：x2 5x 6例题2分解因式：x2 7x 6对应练习题分解因式:(1) x214x 24 ⑵a215a 36 ⑶x24x 52⑷x x 2 ⑸y22y 15 ⑹x210x 24（二）二次项系数不为1的二次三项式-ax bx c条（1）a a〔a? a C1件：（2）c C1C2 a2- C2（3）b a〔C2 a2 G b a© a2&分解结果：ax2 bx c =（a1x G）（a2x c2）例题3分解因式：3x211x 10 对应练习题分解因式：（1）5x2 7x 6 （2）3x2 7x 2(3)10x217x 3 2(4) 6y 11y 10（三）二次项系数为1的齐次多项式 例题4 分解因式：a 2 8ab 128b 2分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解8b+( — 16b)= — 8b对应练习题分解因式:2 2 (1) x 3xy 2y2 2(2) m 6mn 8n⑶a 3 ab 6b 2（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例题5分解因式：2x 2 7xy 6y 2对应练习题分解因式:(1) 15x 2 7xy 4y 22 2(2) a x 6ax 8综合练习题分解因式:2 2(2) 12x 11xy 15y2(4) (a b) 4a 4b 33 (x y)2 3(x y) 10(5) x 2 y 2 5x 2y 6x 28b —16b例题6 分解因式：x 2y 2 3xy 2(1) 8x 6 7x 312 2(6) m 4mn 4n 3m 6n 2(7) x 2 4xy 4y 2 2x 4y 3 (8) 5(a b)2 23(a 2 b 2) 10(a b)2(9) 4x 2 4xy 6x 3y y 210 2 2 (10) 12(x y) 11(x 2 2 y ) 2(x y) 思考：分解因式: abcx 2 (a 2b 2 c 2)x abc 2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 型多项式的分解因式 条件：(1) A a 1a 2, (2) a 1c 2 a 2c ! 即：C C 1C 2,B , c f 2C 1F ff c 2 f 1 E , a f2 a ? f. C 2 a 〔C 2 a 2c i B , c 2f 1 E ,a 1 f 2 a 2 f 1 D 则Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F (ax Gy gy f 2)例题7 分解因式： (1) 2 x 3xy 10y 2 x 9y 2(2) 2 x xy 6y 2 x 13y 6解: (1) 2 x 3xy 1 0y 2 x 9y 22 a 2应用双十字相乘法： x 2xy •••原式=(x 5yx 5xy 2)(x 5y 2y 3xy , 5y 4y 9y , x 2x x2y 1) 23xy 2xy xy , 4y 9y 13y , 2x 3x x •原式=(x 2y3)( x 3y 2)对应练习题分解因式:(1) x 2 xy 2y 2 x 7y 62 2 2(2) 6x 7xy 3y xz 7yz 2z3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：y(y 1)(x2 1) x(2y2 2y 1)例题9 分解因式：ab(x222 y ) (a b2)(xy 1) (a2 b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x2 3xy 10y2 x 9y 2对应练习题分解因式：22(1) x xy 6y x 13y 622(3)6x2 7xy 3y2 x 7y 222(4) a2 ab 6b2 5a 35b 3622(2) x xy 2y x 7y 6五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题 1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题 2 分解因式：(x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2例题 3 分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5) 9 分析：型如abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题 4 分解因式：(x2 7x 6)(x2 x 6) 56 .例题 5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3) －90．例题 6 分解因式：4(3x2x 1)(x22x 3) (4x2x 4)2提示: 可设3x2x 1 A,x22x 3 B ，则4x2x 4 A例题7 分解因式：x6 28x3 27例题8 分解因式：(a b)4 (a b)4 (a2 b2)2例题9 分解因式：(y 1) 4 (y 3)4 272并用一个新的字母替B.例题9 对应练习分解因式：a4 44 (a 4)4例题10 分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y, v=xy，用换元法分解因式．例题11 分解因式：2x4 x3 6x2 x 2分析：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” . 这种多项式属于“等距离多项式”.方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11 对应练习分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6.例题11 对应练习分解因式：x4 4x3 x2 4x 1对应练习题分解因式:(1)X4+7X3+14/+7X+1(2)x4 2x3 x2 1 2(x x2)(3)2005x2(20052 1)x 2005(4)(x 1)(x 2)(x 3)( x 6) x2(5)(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15(6)(a 1)(a 2)( a 3)(a 4) 24(7)(2 a 5)(a29)(2a 7) 91(8)(x+3)(x2—1)(x+5) —20(9)(a2 1)2 (a2 5)2 4(a2 3)2(10) (2x2—3x+1)2—22X2+33X— 1(11) (a 2b c)3(a b)3(b c)31 2(12) xy(xy 1)(xy3) 2(x y (x y 1)(13) (a b 2ab)(a b 2) (1 ab)六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算． 在多项式乘法运算时， 整理、 化简常将几个同类项合 并为一项， 或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零． 在对某些多项式分解因式时， 需要 恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中 添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能 用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的 是要依靠对题目特点的观察， 灵活变换， 因此拆项、 添项法是因式分解诸方法中技巧性最强 的一种．例题 1 分解因式： x 3－ 9x+8．例题 2 分解因式：（1）x 9+x 6+x 3－3；（2）（m 2－1）（n 2－1）+4mn ； （3）（x+1）4+（x 2－1）2+（x －1）4； （4）a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．2 2 22) x 2 2(a b)x 3a 2 10ab 3b 24 2 24) x 4 x 2 2ax 1 a 222 2 2 22 4 4 4( 6) 2a b 2a c 2b c a b c8)x 4－11x 2y 2+y 2 10)x 4－12x+323(12) x 3－11x ＋ 20；(14) x 2 y 2 4x 6y 5(15) (1 a 2)(1 b 2) 4ab对应练习题 分解因式：（1） x 3 3x 2 4 （3） x 4 7x 2 1 （5） x 4 y 4 （x y ）4（7）x 3+3x 2－4 （9）x 3+9x 2+26x+24 （11）x 4＋x 2＋1；（13）a 5＋a ＋1七、待定系数法例题 1 分解因式： x 2 xy 6y 2 x 13y 6分析：原式的前3项x 2 xy 6y 2可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2y n)对应练习题 分解因式：（1）6x 2 7xy 3y 2 x7y 2(2)2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3） x 2 3xy 10y 2 x9y 2（4） x 2 3xy 2y 2 5x 7y 61) 当 m 为何值时，多项式 x 2 y 2 mx322) 如果 x 3 ax 2 bx 8 有两个因式为 x3y 2 6x 14y p 能分解成两个一次因式之积， 求常数 p 并且分解因22xy ky 2 3x 5y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项例题 25y 6 能分解因式，并分解此多项式1和x 2，求a b 的值•(3) 已知： x 2 2xy 式• (4) k 为何值时， x 2式•八、余式定理(试根法)1、f x的意义：已知多项式f X，若把x用c带入所得到的值，即称为f x在x = c的多项式值，用f c表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式 f x除以g x所得的商式为q x ,余式为r x，则：f x = g x x q x + r xb3、余式定理：多项式f (x)除以x b之余式为f (b)；多项式f (x)除以ax b之余式f(—).a 例如：当f(x)=x2+x+2 除以(x -1)时，则余数=f(1)=1 2+1+2=4.2 1 1 2 1当f(x) 9x 6x 7 除以(3x 1)时，则余数=f( —)9(—) 6(-)7 8.3 3 34、因式定理：设a,b R , a 0, f (x)为关于x的多项式，则x b为f(x)的因式bf (b) 0 ; ax b 为f (x)的因式f(—) 0.a整系数一次因式检验法：设f(x) = C n X n C n 1X n 1c^ c°为整系数多项式，若ax七为f(x)之因式(其中a , b为整数，a 0 ,且a , b互质)，则(1)ac n, be。
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因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a xabx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-+--=--+++++a xabx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。
解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+-把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。
4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
323233222222n n n n n n n n ++++-+-=+--=+-+=⨯-⨯3312211035222n n nn()()对任意自然数n ，103⨯n 和52⨯n 都是10的倍数。
∴-+-++323222n n n n一定是10的倍数5、中考点拨：例1。
因式分解322x x x ()()--- 解：322x x x ()()---=-+-=-+322231x x x x x ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：412132q p p ()()-+- 解：412132q p p ()()-+-=-+-=--+=--+412121211212213222q p p p q p p q pq ()()()[()]()()说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯ 精析与解答：设2000=a ，则20011=+a∴⨯-⨯200020012001200120002000=+++-++=+⨯-+⨯=+⨯-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。
其中2000、2001重复出现，又有200120001=+的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b 、c ，但比较麻烦。
注意到x bx c 2++是362542()x x ++及3428542x x x +++的因式。
因而也是-+++()3428542x x x 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解： x bx c 2++是362542()x x ++及3428542x x x +++的公因式 ∴也是多项式3625342854242()()x x x x x ++-+++的二次因式 而362534285142542422()()()x x x x x x x ++-+++=-+ b 、c 为整数得：x bx c x x 2225++=-+∴=-=b c 25，说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式1428702x x -+，从而简便求得x bx c 2++。
例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。
解：1052+++x x x ()=+++=++52225()()()()x x x x xx x ++25，都是大于1的自然数 ∴++()()x x 25是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。
只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】 1. 分解因式：（1）-+-41222332m n m n mn（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数） （3）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222 2. 计算：()()-+-221110的结果是（ ）A. 2100B. -210C. -2D. -13. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。
4. 证明：812797913--能被45整除。
5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。
试题答案1. 分析与解答：（1）-+-41222332m n m n mn =--+226122mn mn m n () （2）a x abxacx adxn n nn 2211++-+--=+---axax bx cx d n 132()（3）原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()322222=--+-=--=-a a b a b a b a a b a b a a b ()[()]()()()22222333注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。
2. B3. x x y y y x ()()---=12 ∴-+=()()x y x y 12 x y 、是正整数∴12分解成1122634⨯⨯⨯，，又 x y -与x y +奇偶性相同，且x y x y -<+∴-=+=⎧⎨⎩∴==⎧⎨⎩x y x y x y 2642说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。
4. 证明： 812797913--=--=--=⨯=⨯⨯=⨯333393135335345282726262624224()∴--812797913能被45整除5. 解：逐次分解：原式=++++++()()()()111121995x x x x x x …=++++=++++++==+()()()()()()()()11111111219953419951996x x x x x x x x x x x …………∴当x =0时，原式=1因式分解·公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()=++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222--分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()由此可得21112023a a b m b+=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =123. 在几何题中的应用。