线性系统的可控性和可观性
线性系统的能控性与能观性
u -
R3 u c
R4
(2)当 R1R4 R2R3 u c
u只能控制 i L，
0
不可控，不可观测．
.
4.1 线性系统能控性和能观性的概念 • 含义：
能控性：u(t) x(t) 状态方程 能观性：y(t) x(t) 输出方程
.
1.
定义：
.
2.
x设 AxBu
3.
若存在一分段连续控制向量
u(t)，[t能0 t在f ]
.
教学要求：
1.正确理解定常和离散系统可控性与可观 性的基本概念与判据。
2.熟练掌握能控标准型与能观标准型。 3.掌握对偶原理，规范分解方法。 4.理解传递函数的实现问题，
重点内容： •能控、能观的含义和定义。 •定常系统的能控、能观的各种判据。 •线性变换的不变性。 •实现与最小实现的特点和. 性质。
.
.
3. 定理2：若x AxBu ，
4.
若Ａ为对角型，则状态完全能
控的充要条件为：
5.
Ｂ中没有任意一行的元素全为
零．
.
1
b11 b12 b1p
x.
2 0
0
xb21
b22
b2pu
nnn bn1 bn2 bnp
x1
1
x1
b11u1b12u2
b1pup
x2
2
x2
b21u1b22u2
9.
其中A：P1A,P BP1B
SC[BAB An1B]
.
ranSkc ran[kP1B (P1AP)P1B(P1AP)n1P1B] ran[kP1B P1ABP1An1B]
rankP1[BABAn1B]
第五章线性系统的能控性和能观测性
必要性：已知系统完全能控 ，要证rankQc=n
反证法：设Qc不是行满秩矩阵（rankQc<n），则Qc为行线性相关 ：
0 Rn ,使 Qc 0 B AB
An1B
由Hamilton.Keylay定理易证 Ai B 0, i 0,1, 2, , n 1，
6)
x1 x2
实际上是两个标量方程组的形式：
显然输入u 可决定x1，x2 。
x1 4x1 u x2 5x2 2u
y 6x2
例5.3 考虑如下系统
x
2 1
1 2
x
11u
Ax
bu
y (0 1)x
e At
et
使状态由 x0转移到t1时x(t1)=0，则称此x0是在t0时刻为能控的。
定义5.2、对于系统(5.1)，若状态空间中所有非0状态都是在t0时刻( t0∈J)为能
控的，则称系统(5.1)在t0时刻是完全能控的。
定义5.3、对于系统(5.1)，取定初始时刻 t0∈J，若状态空间中存在一个或
一些非零状态在t0时刻是不能控的,则称系统(5.1)在t0时刻是不完全能控的。 注：1、转移时状态轨迹不限制 2、允许控制表示输入的所有分量在J上是平方可积的无约束是 指对输入的所有分量的幅值不限制，可以取无穷大值。 3、能控是由非0状态转移到0状态 ；能达是由0状态转移到非0状态
t t
e e
3t 3t
不存在u(t)，使x(T)=0，即 u(t),T 0, x(T ) 0
∴在该二维状态空间中，只有子空间 {x: x1=x2}中状态才是能控的，把 {x: x1=x2}称为能控状态的空间. 二、定义
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
x(t) (t,t0 )[x0 (t)]
上式表明能观测性即是x(t)可由y(t) 完全估计的能力。可
把输入u 的 等价状态 (t) 等同初始状态看待，从而在状
态方程和输出方程中去掉u 的相关项。因此相应的状态
空间描述为
x A(t)x(t)
t0,t J
y C(t)x(t)
x(t0 ) x0
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
三、能观测性定义
线性时变系统的状态方程及输出方程为
x A(t)x(t) B(t)u(t) x C(t)x(t) D(t)u(t)
t0,t J x(t0 ) x0
系统状态方程 解
x(t) (t,t0)x(t0)
t
(t, τ)B(τ)u(τ)d τ
现代控制理论 2-0
∫
t
0
e − Aτ f (τ )dτ =
e [ x(0) + ∫ e
At 0 At
t
− Aτ
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
t1 − Aτ
当t = t1时，有 x(t1 ) = e [ x(0) + ∫ e
0
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
λ − 1 0 det[λI − A] = det = (λ − 1)(λ + 3) = 0 λ + 3 2 λ1 = 1, λ2 = −3 0 0 rank [λ1 I − AMb] = rank 2 4 − 4 rank [λ2 I − AMb] = rank 0 系统能控。 1 =2 1 0 1 =2 0 1
0
t1
∫
t1
0
e − Aτ f (τ )dτ为一个确定的值，仅仅相当于把系统
原来的初态改变了一确定的常值。所以在讨论系统 的能控性时，不考虑系统存在的确定性干扰。
第二章 系统的可观性和可控性
(三)能控性判据
判据一： 判据一：若系统能控，则能控性矩阵
Qc = [B AB A 2 B ... A n −1 B ] 满秩，即
第二章 系统的可观性和可控性
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第二章 系统的可观性和可控性
2-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据 －、线性定常系统的能观测性及其判据
线性定常系统状态方程为 x = Ax + Bu 其中x、u分别为n、 r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的 一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义在 时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf)＝ x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
线性系统的能控性和能观测性
三、约当标准形判据
对为约当标准形的线性定常连续系统 (A, B) ,有：
1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;
2．若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线 性无关。
4.2.3 线性定常连续系统的状态能控性判别
一、格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统
x = A x + B u ,x ( 0 ) x 0 ,t 0
状态完全能控的充分必要条件是存在时刻 t1 0
，使如下定义的格拉姆矩阵
W c(0,t1)0 t1eA tB B TeA Ttdt
为非奇异。
二、秩判据 设线性定常连续系统的状态方程为
第4章 线性系统的能控性 和能观测性
4.1 引言 4.2 线性连续系统的能控性 4.3 线性连续系统的能观测性 4.4 线性定常离散系统的能控
性和能观测性 4.5 能控标准形和能观测标准形 4.6 系统能控性和能观测性的对偶原理
4.7 线性系统的结构性分解
4.9 系统的实现问题
4.10 MATLAB在能控性 和能观测性分析中的应用
4.8 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系
4.1 引言
线性系统的能控性(controllability)
加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从 任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有 通过控制作用随意支配状态的能力。
线性系统的能观测性(observability) 通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统 的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估 计状态的能力。
线性系统的能控性和能观性
首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。 ~ ~ B 由前章可知，系统(A，B)和( A ， )之间做线性 非奇异变换时有：
10
~ ~ Qc B
P 1 B P 1 B P 1Qc
x P~ x ~ A P 1 AP ~ B P 1 B ~ ~ ~2 ~ ~ n1 ~ AB A B A B
3.1 线性系统能控性和能观测性的概述
系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个 很重要的基础性概念，是由卡尔曼（Kalman）在六 十年代初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间 描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t) 的变化过程；输出方程则描述了由状态x(t)变化引起 的输出y(t)的变化。 能控性，指的是控制作用对被控系统状态进行控 制的可能性； 能观测性，则反映由系统输出的量测值确定系统 状态的可能性。 对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了 控制系统构成中的两个基本问题。
x(0) A B k ( )u( )d
k tf k 0 0 n1 k 0
n 1
因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令
tf
0
k ( )u( )d k
7
x (0) A k B k
k 0
n 1
0 B AB A 2 B A n1 B 1 n1 若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态 x(0)都应从上述方程中解出 0，1，…，n 1来。这就 要求系统能控性矩阵的秩为n，即 rank[ B AB A2B … An 1B ] = n
t0
tf
A( t f )
Bu( )d
线性系统理论第4章 线性系统的能控性和能观测性
u(t )
x1 (0)
1 s
1
x1
x 2 ( 0)
1 s
2
x2 y(t )
该系统是不完全能观测的 由于
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t ) Bu( )d
t0 t
可见系统的状态x(t)的能观测性与 x(t0)的能观测性是等价的。
3/3,3/45
4．2 连续时间线性系统的能控性判据
t0
t1
(t0 , ) B ( )u ( )d
T t0
t1
(t0 , ) B ( )u ( )d 0
T t0
t1
说明α=0,矛盾
2/8,5/45
结论2： 连续时间线性时不变系统： x Ax Bu x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵
和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时 刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。
定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0∈J 均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。
能观测性定义 对连续时间线性时变系统和指定初始时刻 t0∈J,如果存在一个时刻t1∈J，t1>t0，使系统 以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即 y(t)≡0，t∈[t0,t1]，则称非零状态x0在时刻t0为 不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时 刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完 全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态 或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则 称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对 任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始 时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观 测。
第4章 线性系统的能控性和能观性
态X0在t0时刻为能控。
如果存在一个时刻t1∈J, t1>t0, 以及一个无约束的容许控制 u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则 称非零状态xf在t0时刻为能达。
* 对连续时间线性时不变系统,能控性和能达性等价;对离散时 间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则 能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性 一般为不等价。
u(t )
x1 (0)
1 s
x1
x2 (0)
1 s
x2 y (t )
由于 x (t ) (t t ) x (t )
0 0
(t ) Bu( )d
t t0
1
2
该系统是不完全能观测的
可见系统的状态x(t)的能 观测性与x(t0)的能观测性是等 价的。
4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据
μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。
结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统， 状态维数为n，则系统能控性指数μ＝n。 结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统, 状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指 数满足 n n r 1
p
设 n 为矩阵A的最小多项式次数，则
rank[ B AB An1 B] n
4 线性系统的能控性与能观性
4 线性系统的能控性与能观性内容提要能观性与能控性是现代控制理论中的两个重要问题。
比如在设计最优控制系统时，目的在于通过控制变量的作用，使系统的状态按预期的轨迹运行，如果状态变量不受控制，当然无法实现最优控制。
另外，一个系统的状态变量往往难以测取，需要由输出量来估计状态，不能观测的系统就无法实现此目的。
本章主要介绍线性系统的能控能观方面的基本知识，内容包括：1) 能控性与能观性两个基础性概念，它们的判别准则以及对偶关系；2) 分析系统的内在结构，按能控性与能观性进行的标准分解；3) 系统能控性、能观性和传递函数矩阵间的关系，即系统状态空间描述法与输入输出描述法的关系；4) 能控标准形和能观标准形；5) 系统的实现和传递函数矩阵的最小实现问题。
习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x4) u x x x x x x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110 000000000001432111114321λλλλ 5) u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031 2025016200340321321解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab 从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C 显然有[]n Ab b U C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
第三章线性系统的能控性和能观性
0 1 3 1 1
x
x1
x2
x3
u
u1 u2
判断能控性
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
S rank c =2<3,不能控
对于： 行数＜列数的情况下求秩时：
rankSc =rank [Sc ScT ]nn
.
解：
Sc [b Ab]
Sc b Ab
如果rank Sc =2,
b1 b2
则必须要求
1b1 2b2
b1b2(2 1)
b1 0,b2 0
.
4. 定理3：设 x Ax Bu，
若Ａ为约当型，则状态完全能控的充 要条件是：
一重特征值对应单一约当块时，Ｂ阵 中与每一个约当块的最后一行相应的所 有的行元素不全为零．
2. 定理：设 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
则系统完全能控的充要条件： rankSc=n
其中：
SC [B AB An1B]
例1：
1 0
x(k
1)
0
2
判断系统的能控性1．1
0 1
2 x(k) 0 u(k)
0
1
解：
1 1 1
Sc [b Ab A2b] 0 2 2
1 1 3
0
0
b 0
1
且：
例：
. 1 1 1 求x能控1标准0型．x 1u
解：
1 0
rSaCnkS[cb=2Ab]能控1 1
SC
1
1 1
0 1
1 P1 [01]1
0 1
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线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。
本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。
本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。
通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。
那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。
这便是控制系统的能控性与能观性问题。
控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。
在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的[1]。
1 可控性能控性所考察的只是系统在控制作用)(t u 的控制下，状态矢量)(t x 的转移情况，而与输出)(t y 无关，所以只需从状态方程的研究出发即可。
1.1 线性连续定常系统的可控性定义线性连续定常系统Bu Ax x+= （1） 如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在有限时间区间],[0f t t 内，使系统由某一初始状态)(0t x ，转移到指定的任意终端状态)(f t x ，则称此状态是能控的。
若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的[2]。
1.2 线性定常连续系统的可控性判据线性连续定常单输入系统bu Ax x += （2） 其可控的充分必要条件是由b A ,构成的能控性矩阵[]b A b A Ab bM 12-=n （3）满秩，即n rank =M 。
否则当n rank <M 时，系统为不能控的。
下面来推导系统状态完全能控的条件，在不失一般性的条件下，假设终端状态)(f t x 为状态空间的原点，并设初始时间为零，即00=t 。
方程（1）的解为⎰-+=tt td ue e t 0)()()0()(τττb x x A A由能控性定义，可得⎰-+==ff ft t t f d eet 0)()()0(0)(τττbu x x A A即 ⎰--=ft d e 0)()0(τττbu x A （4）注意到τA -e可写成k n k k eA A ∑-=-=1)(τατ（5）将方程（5）代入方程（4）中，可得⎰∑-=-=ft k n k k d 01)()()0(ττταu b A x （6）设 k t k fd βτττα=⎰)()(u那么方程（6）变为k n k k β∑-=-=1)0(b A x[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=--1101n n βββ b A Ab b（7） 要是系统能控，则对任意给定的初始状态)(0t x ，应能从式（7）解出110,,,-n βββ 来，因此，必须保证[]b A b A Ab b M 12-=n的逆存在，亦即其秩必须等于n 。
同理，可以证明，对于多输入系统Bu Ax x += （8） 其能控的充分必要条件是由B A ,构成的能控性矩阵[]B A B A ABBM 12-=n （9）满秩，即n rank =M 。
否则当n rank <M 时，系统为不能控的。
需要注意的是，对于单输入系统，M 阵为n n ⨯的方阵，n rank =M 与M 的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算M 的行列式的值是否为零来判断M 是否满秩。
而对于多输入系统，此时M 为nr n ⨯的矩阵，其秩的确定一般的说要复杂一些。
由于矩阵M 和TM积TMM 是n n ⨯方阵，而它的秩等价于M 的秩，因此可以通过计算方阵TMM 的秩来确定M 的秩[3]。
2可观性控制系统大多采用反馈控制形式。
在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。
但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是便提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题 2.1 可观性概念能观性表示的是输出)(t y 反映状态矢量)(t x 的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即Cxy x x Ax x ===00)(;t （10）如果对任意给定的输入)(t u ，在有限的观测时间0t t f >，使得根据],[0f t t 期间的输出)(t y 能唯一地确定系统在初始时刻的状态)(0t x ，则称状态)(0t x 是能观的。
若系统的每一个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观测的[4]。
2.2 线性定常连续系统的可观性判据线性连续定常系统Cxy Ax x== （11）其能观的充分必要条件是由C A ,构成的能观性矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1n CA CA C N （12）满秩，即n rank =N 。
否则当n rank <N 时，系统为不能观的。
证明 由式（11）可以求得)0()(x C y A t e t =由于 k n k k tt e A A ∑-==1)(α我们可得)0()()(1x CA y k n k k t t ∑-==α[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1110)()()(n n t t t CA CA C I I I ααα （13）因此，根据在时间区间f t t t ≤≤0测量到的)(t y ，要能从式（13）唯一地确定)(0t x ，即完全能观的充要条件是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1n CA CA C N 满秩。
同样，对于单输出系统，N 阵为n n ⨯的方阵，n rank =N 与N 的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算N 的行列式的值是否为零来判断N 是否满秩。
而对于多输出系统，此时N 为n nm ⨯的矩阵，由于矩阵TN 和N 积N N T是n n ⨯方阵，而它的秩等价于N 的秩，因此可以通过计算方阵N N T的秩来确定N 的秩。
3 可控标准型和可观标准型由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。
在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式：如约旦标准型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。
能控标准型对于状态反馈来说比较方便，而能观标准型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。
无论选用哪种标准形，其实质都是对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换，而且关键在于寻找相应的变换矩阵T 。
这样做的理论依据是非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性，能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数为：111012211)(a s a s a s b s b s b s b s W n n n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=------ （14）的系统，可以证明，当其无相消的零极点时，系统一定能控能观，则可直接由传递函数写出其能控、能观标准型[5]。
3.1 可控标准型当系统的传递函数如式（14），则可直接写出其能控标准型：u x x x x a a a a x x x xn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1000100001000010121121121（15）[]x 1210-=n b b b b y如果给定的能控系统是用状态空间表达式描述的，且并不具有能控标准型的形式，则可用下面的方法将其化为能控标准型。
设系统的状态空间表达式为：cxy bu Ax x =+= （16）若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换，x T x c = （17）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11112132121n n n n c a a a a a ab b A bAT （18） 其中i a 为系统特征多项式中对应项系数。
使其状态空间表达式（16）化为：xc y u b x A x=+= （19）其中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==--1211100001000010n c c a a a aAT T A （20）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-10001b T bc （21）[]1210-==n c b b b b CT C （22）能控的。