控制系统的状态空间分析与设计
现代控制理论课件2
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二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1、求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学定律 my u by ky
阻 尼 系 数
y(t) b
位移 令
b u(t ) ky m y y
x1 y
x2 y
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动态方程如下
x1 x2
x1 y 1 0 x2
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例：设有如图所示的机 械系统。它由两个彼 此耦合的平台构成。 并借助于弹簧和阻尼 到达地基。试选择合 适的状态变量，写出 该系统的状态空间模 型。
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解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：
M1y1 = u -k1 (y1 - y 2 )-f1 (y1 - y 2 ) M2y 2 = k1 (y1 - y 2 ) + f1 (y1 - y 2 )-k 2y 2 -f 2y 2
其中： a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A — 系统内部状态的联系， an1 an 2 ann
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称为系统矩阵 , 为n n方阵；
多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式 为：
1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x
控制系统的状态空间分析与综合
第8章控制系统的状态空间分析与综合第1~7章涉及的内容属于经典控制理论的范畴，系统的数学模型是线性定常微分方程和传递函数，主要的分析与综合方法是时域法、根轨迹法和频域法。
经典控制理论通常用于单输入－单输出线性定常系统，其缺点是只能反映输入－输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态，不能有效处理多输入－多输出系统、非线性系统、时变系统等复杂系统的控制问题。
随着科学技术的发展，对控制系统速度、精度、适应能力的要求越来越高，经典控制理论已不能满足要求。
1960年前后，在航天技术和计算机技术的推动下，现代控制理论开始发展，一个重要的标志就是美国学者卡尔曼引入了状态空间的概念。
它是以系统内部状态为基础进行分析与综合的控制理论，两个重要的内容如下。
（1）最优控制：在给定的限制条件和评价函数下，寻求使系统性能指标最优的控制规律。
（2）最优估计与滤波：在有随机干扰的情况下，根据测量数据对系统的状态进行最优估计。
本章讨论控制系统的状态空间分析与综合，它是现代控制理论的基础。
8.1 控制系统的状态空间描述8.1.1 系统数学描述的两种基本方法统的内部结构和内部变量，如传递函数；另一种是状态空间描述（内部描述），它是基于系统内部结构的一种数学模型，由两个方程组成。
一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。
外部描述虽能反映系统的外部特性，却不能反映系统内部的结构与运行过程，内部结构不同的两个系统也可能具有相同的外部特性，因此外部描述通常是不完整的；内部描述则能全面完整地反映出系统的动力学特征。
8.1.2 状态空间描述常用的基本概念 1.输入和输出由外部施加到系统上的激励称为输入，若输入是按需要人为施加的，又称为控制；系统的被控量或从外部测量到的系统信息称为输出，若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
控制工程必备知识点总结
控制工程必备知识点总结一、控制系统的基本概念1. 控制系统的定义和基本组成控制系统是一个通过对系统输入信号进行调节，使得系统输出信号满足特定要求的系统。
控制系统由输入、输出、反馈和控制器等基本组成部分构成。
2. 控制系统的分类控制系统根据其控制方式可以分为开环控制系统和闭环控制系统。
开环控制系统只能通过输入信号来控制系统输出，而闭环控制系统可以通过反馈信号来对系统进行调节。
3. 控制系统的性能指标控制系统的性能指标包括稳定性、灵敏度、鲁棒性、动态性能等，这些指标反映了控制系统对信号变化的响应能力和稳定性。
二、控制系统的建模与分析1. 控制系统的数学模型控制系统的数学模型是控制工程的核心，它描述了系统的输入输出关系以及系统内部的动力学特性。
控制系统的数学模型可以用微分方程、差分方程、状态方程等形式进行描述。
2. 控制系统的传递函数传递函数是控制系统数学模型的一种常用表示形式，它描述了系统输入和输出之间的传输特性。
控制系统的传递函数可以通过系统的输入输出数据进行辨识或通过系统的数学模型进行求解。
3. 控制系统的频域分析频域分析是控制系统分析的重要方法之一，它将控制系统的动态响应从时域转换到频域，通过频域特性来分析控制系统的稳定性、干扰抑制能力等。
4. 控制系统的状态空间分析状态空间分析是控制系统分析与设计的另一种常用方法，它描述了系统的状态变量与输入输出变量之间的关系，并可以用于分析控制系统的稳定性、可控性和可观测性等。
5. 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析是控制工程中的重要内容，它用于评估控制系统的稳定性，并设计满足稳定性要求的控制器。
三、控制系统的设计与实现1. 控制系统的控制器设计控制系统的控制器设计是控制工程的核心内容之一，它通过对系统数学模型的分析和综合，设计出满足性能指标要求的控制器。
2. 控制系统的闭环控制闭环控制系统通过对系统的反馈信号进行处理，实现对系统输出的精确控制，提高系统的鲁棒性和鲁棒性。
状态空间分析与设计
状态空间分析与设计状态空间分析与设计是系统工程与控制工程中常用的分析和设计方法。
它通过建立系统的状态空间模型，对系统的动态行为进行定性和定量分析，并在此基础上进行系统设计和优化。
本文将深入介绍状态空间分析与设计的相关概念、原理和应用。
一、状态空间分析与设计概述状态空间是系统在任意时刻的状态所组成的集合。
在状态空间中，系统的每个状态都可以由一组状态变量完全描述。
因此，状态空间分析与设计的核心是建立系统的状态方程和输出方程，并利用这些方程进行性能分析和控制器设计。
二、状态方程与输出方程状态方程描述了系统状态的演变规律。
它是一个一阶微分方程，用矩阵形式表示为：x' = Ax + Bu其中，x是状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入矩阵，u 是外部输入。
状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。
输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。
它是一个线性方程，用矩阵形式表示为：y = Cx + Du其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
输出方程可以用来分析系统的可控性和可观性，以及设计满足特定输出要求的控制器。
三、状态空间分析方法1. 稳定性分析利用状态方程，可以通过特征值分析判断系统的稳定性。
对于线性时不变系统，当所有特征值的实部小于零时，系统是稳定的。
通过分析系统的特征值，可以设计出稳定性更好的控制器。
2. 响应分析利用状态方程和输出方程，可以分析系统的响应特性。
包括阶跃响应、脉冲响应、频率响应等。
通过分析系统的响应，可以评估系统的性能，并设计出满足要求的控制器。
3. 控制器设计状态空间方法可以直接用于控制器设计。
常见的控制器设计方法包括状态反馈控制、最优控制和鲁棒控制等。
这些方法都是基于状态空间模型进行的，可以根据系统的要求选择合适的控制器设计方法。
四、状态空间分析与设计应用状态空间分析与设计在工程实践中得到广泛应用。
例如，它可以用于电力系统的稳定性分析和控制、飞行器的自动控制系统设计、机械振动控制等。
控制系统状态空间法
控制系统状态空间法控制系统状态空间法是现代控制理论中常用的一种方法，它描述了控制系统的动态行为，并通过状态变量来表示系统的内部状态。
在这篇文章中，我们将详细介绍控制系统状态空间法的基本概念、理论原理以及应用。
一、控制系统状态空间法的基本概念状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过一组一阶微分方程来表示系统的动态行为。
在这个方法中，我们将控制系统看作是一个黑盒子，输入和输出之间的关系可以用状态方程和输出方程来描述。
1. 状态方程状态方程描述了系统的内部状态随时间的演化规律。
它是一个一阶微分方程组，通常用向量形式表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)表示系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)是输入向量。
2. 输出方程输出方程描述了系统的输出与内部状态之间的关系。
它通常用线性方程表示：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)表示系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
3. 状态空间表示将状态方程和输出方程合并，可以得到系统的状态空间表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)在状态空间表示中，状态向量x(t)包含了系统的所有内部状态信息，它决定了系统的行为和性能。
二、控制系统状态空间法的理论原理控制系统状态空间法基于线性时不变系统理论，通过分析系统的状态方程和输出方程，可以得到系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
1. 系统稳定性系统稳定性是判断系统是否能够在有限时间内达到稳定状态的重要指标。
对于线性时不变系统，当且仅当系统的所有状态变量都是稳定的，系统才是稳定的。
通过分析状态方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 系统可控性系统可控性表示是否可以通过选择合适的输入来控制系统的状态。
一个系统是可控的，当且仅当存在一组输入矩阵B的列向量线性组合可以使得系统的状态从任意初始条件变为目标状态。
通过分析状态转移矩阵的秩，可以判断系统的可控性。
控制系统中的系统建模与分析
控制系统中的系统建模与分析在控制系统中，建模分析是十分重要的一环。
通过对系统进行精细的建模，可以实现对系统的深刻理解，为控制系统的设计提供支持和依据。
本文将介绍控制系统中的系统建模与分析，帮助读者更好地理解和应用控制系统。
一、控制系统简介控制系统是一个涉及工程、数学、物理、计算机等多个学科的复杂系统，它的作用是在符合一定性能指标的前提下，使系统达到一定的预定目标。
常见的控制系统包括飞行器控制系统、汽车自动驾驶系统、机器人控制系统等。
二、系统建模1. 建模方式在控制系统中，系统建模有两种主要方式：基于物理方程（物理建模）和基于实验数据（数据建模）。
物理建模是通过物理学、力学、电学等学科，建立控制对象的系统模型，包括状态空间模型、传递函数模型等。
物理建模效果较好，其模型能够准确地反映控制对象的物理特性。
但是物理建模需要精通相关物理学原理和数学知识，建模难度较大。
数据建模是通过采集已知控制对象的实验数据，利用机器学习等方法，建立控制对象的模型。
数据建模对专业知识的要求相对较低，但是数据采集和处理需要耗费时间和精力，并且在建立模型中可能存在误差。
2. 建模过程系统建模的目的是利用数学模型描述和分析实际系统，从而实现对系统的控制。
建模过程可以分为以下几步：（1）收集系统信息：了解控制对象的系统结构、工作原理、性能指标等相关信息。
（2）选择建模方法：选择合适的建模方法，根据具体情况进行物理建模或数据建模。
（3）建立模型：针对控制对象的工作原理和性能指标，建立相应的数学模型。
（4）验证模型：对建立的模型进行测试和验证，检验其准确性和可靠性。
（5）优化模型：根据验证结果对模型进行调整和优化，实现对模型的完善和精细化。
三、系统分析1. 稳定性分析稳定性是控制系统中最基本的性质之一。
稳定性分析可分为稳定性判据和稳定性分析两方面。
稳定性判据是建立在数学理论基础上，针对控制系统建立一系列的稳定性判定定理，如Routh-Hurwitz准则、Nyquist准则等，根据这些判据来判断控制系统的稳定性。
1.控制系统的状态空间模型
Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中，采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n 阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1（6P 例1.1.1） 如下面RLC （电路）系统。
试以电压u 为输入，以电容上的电压C u 为输出变量，列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC 电路图解：由电路理论可知，他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论：消去变量)(t i ，得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程：)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换：)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数：202202)(ωζω++=s s s G ，LC10=ω，L R 2=ζ 现代控制理论：选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量，2=n （2个储能元件）；1个输入为)(t u ，1=m ；1个输出C u y =，1=r 。
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控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一，它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。
状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具，其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。
一、状态空间模型的基本概念
状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态，包括系统的状态变量和输入输出关系。
在控制系统中，状态变量是指影响系统行为的内部变量，如电压、速度、位置等。
通过状态空间模型，可以将系统行为转化为线性代数方程组，从而进行分析和设计。
1. 状态方程
控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。
一般形式的状态方程可以表示为：
x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
其中，x(t)是系统在时刻t的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u(t)是系统的控制输入，y(t)是系统的输出，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
2. 状态空间矩阵
状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出
矩阵C和直接传递矩阵D。
通过这些矩阵，可以准确描述系统的状态
变化与输入输出之间的关系。
3. 系统的可控性和可观性
在状态空间分析中，可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性
能的重要指标。
可控性是指通过调节控制输入u(t)，系统的状态可以在有限时间内
从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。
可控性可以通过系统的状
态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。
可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。
可观性
可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。
二、状态空间分析方法
状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性
能指标分析。
1. 系统响应分析
系统的响应分析可以通过状态方程进行。
主要分析包括零输入响应
和零状态响应。
零输入响应是指当控制输入u(t)为零时，系统的输出y(t)变化情况。
可以通过状态转移矩阵A和直接传递矩阵D计算得到。
零状态响应是指当初始状态x(0)为零时，系统的输出y(t)变化情况。
可以通过状态方程和初始条件计算得到。
2. 系统稳定性分析
系统稳定性是评估控制系统稳定性能的重要指标。
可以通过系统的
状态转移矩阵A的特征值进行判断。
当系统的状态转移矩阵A的所有特征值的实部小于零时，系统是稳
定的。
否则，系统是不稳定的。
3. 系统性能指标分析
系统的性能指标包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C计算得到。
调节时间是指系统的输出达到其最终值所需要的时间。
上升时间是指系统的输出从初始值到其最终值所需要的时间。
超调量是指系统的输出超过最终值的幅度，用百分比表示。
峰值时间是指系统的输出首次超过最终值所需要的时间。
三、状态空间设计方法
控制系统的状态空间设计是根据系统要求和设计目标，选择合适的
状态矩阵A、B、C和D的过程。
1. 状态矩阵的选择
状态矩阵A的选择可以根据系统特性和性能要求进行。
一般情况下，会根据系统的数学模型和控制目标来选择。
2. 控制输入矩阵的选择
控制输入矩阵B的选择可以根据控制目标来决定。
一般情况下，会
根据系统的执行机构和控制策略来选择。
3. 输出矩阵的选择
输出矩阵C的选择可以根据系统的监测要求来决定。
一般情况下，
会根据系统的性能指标和监测需求来选择。
4. 直接传递矩阵的选择
直接传递矩阵D的选择可以根据系统的结构和特性来决定。
一般情
况下，会根据系统的执行机构和控制策略来选择。
通过选择合适的状态矩阵，可以实现对控制系统的性能指标优化和
系统稳定性的保证。
四、状态空间分析与设计应用举例
将控制系统的状态空间分析与设计应用于实际问题中，可以有效解
决多种工程控制问题。
1. 电路控制系统
在电路控制系统中，可以利用状态空间分析方法对电路的稳定性和
响应进行分析和设计。
通过选择合适的状态矩阵和输入矩阵，可以实
现对电路动态性能的优化。
2. 机械控制系统
在机械控制系统中，可以利用状态空间分析方法对机械系统的稳定性和性能进行分析和设计。
通过选择合适的状态矩阵和输出矩阵，可以实现对机械系统的运动轨迹和力学性能的优化。
3. 自动化控制系统
在自动化控制系统中，可以结合状态空间分析方法和控制理论对系统的稳定性和性能进行综合分析和设计。
通过选择合适的状态矩阵和输出矩阵，可以实现对自动化系统的智能化控制和优化。
总结：
控制系统的状态空间分析与设计提供了一种全面、精确地描述和分析控制系统特性的方法。
通过状态方程和状态空间矩阵的建立，可以进行系统行为分析、稳定性分析和性能指标分析。
在实际应用中，可以根据具体的控制问题选择合适的状态矩阵，实现控制系统的优化设计和性能提升。
掌握状态空间分析与设计方法，对于控制工程师来说具有重要意义，可以提高控制系统设计的准确性和效率。