第四章线性系统的可控性和可观性1解析
第四章线性系统得可控性与可观性
第四章 线性系统得可控性与可观性§4-1 问题得提出经典控制理论中用传递函数描述系统得输入—输出特性,输出量即被控量,只要系统就是因果系统并且就是稳定得,输出量便可以受控,且输出量总就是可以被测量得,因而不需要提出可控性与可观性得概念。
现代控制理论就是建立在用状态空间法描述系统得基础上得。
状态方程描述输入引起状态得变化过程;输出方程描述由状态变化所引起得输出得变化。
可控性与可观性正就是定性地分别描述输入对状态得控制能力,输出对状态得反映能力。
它们分别回答: “输入能否控制状态得变化”——可控性“状态得变化能否由输出反映出来”——可观性可控性与可观性就是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出来得。
可控性与可观性得概念在现代控制理论中无论就是理论上还就是实践上都就是非常重要得。
例如:在最优控制问题中,其任务就是寻找输入,使状态达到预期得轨线。
就定常系统而言,如果系统得状态不受控于输入,当然就无法实现最优控制。
另外,为了改善系统得品质,在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可就是状态得值通常就是难以测取得,往往需要从测量到得中估计出状态;如果输出不能完全反映系统得状态,那么就无法实现对状态得估计。
状态空间表达式就是对系统得一种完全得描述。
判别系统得可控性与可观性得主要依据就就是状态空间表达式。
【例如】 (1)分析:上述动态方程写成方程组形式:从状态方程来瞧,输入u 不能控制状态变量,所以状态变量就是不可控得;从输出方程瞧,输出y 不能反映状态变量,所以状态变量就是不能观测得。
即状态变量不可控、可观测;状态变量可控、不可观测。
(2)分析:上述动态方程写成方程组形式:由于状态变量、都受控于输入u,所以系统就是可控得;输出y 能反映状态变量,又能反映状态变量得变化,所以系统就是可观测得。
即状态变量可控、可观测;状态变量可控、可观测。
(3)分析:,似乎该系统得所有状态变量都就是可控得;,似乎系统就是可观测得。
9.2 线性系统的可控性和可观测性
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
线性系统的能控性与能观性 习题与解答
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C显然有[]n Ab bU C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A则有，010******* 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而系统的能控性矩阵为21001110111171117115C U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦有n U C ==3rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为110020B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100030013A则有，3101133030 00000012020AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦23103399030 00000012020A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是，系统的能控性矩阵为2113399000000202020C U BABA B ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知n U C <=2rank不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
§8.4 线性系统的可控性和可观测性
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）
(b)
(c)
图 8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图 8-20 所示的结构图，其中，由图 8.20（a）显见， x1 受 u 的控制，但 x2 与 u 无关， 故系统不可控。系统输出量 y = x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y 能间接获得 x2 的信息，故系统 是可观测的。图 8.20（b）中所示的 x1 、, x2 均受 u 的控制，故系统可控，但 y 与 x2 无关，故 系统不可观测。图 8.20（c）中所示的 x1 、 x2 均受 u 的控制，且在 y 中均能观测到 x1 、 x2 ，
（8-94）
可控性矩阵为
S2 = ⎡⎣G Φ G L Φ n-1G ⎤⎦
（8-95）
⎡u(n −1)⎤
Δ x = ⎣⎡G
ΦG
L
Φ n−1G ⎤⎦
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣u(0) ⎥⎦
（8-96）
该阵为 n × np 矩阵，由于列向量 u(n −1),L, u(0) 构成的控制列向量是 np 维的，式（8-96） 含有 n 个方程和 np 个待求的控制量。由于 Δx 是任意的，根据解存在定理，矩阵 S2 的秩为 n
⎡ u0 ⎤
n−1
∑ e− Atf Δ x = Ambum = ⎡⎣b m=0
Ab
L
An−1b ⎤⎦
⎢ ⎢ ⎢
u1 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣un
−1
⎥ ⎦
(8-103)
名词解释线性系统的可控性
名词解释线性系统的可控性在现代控制理论中，线性系统的可控性是一个重要的概念。
可控性指的是对于一个给定的线性系统，是否存在一种控制方法，可以将系统从任意初始状态控制到任意目标状态。
在本文中，我们将对线性系统的可控性进行解释。
1. 线性系统首先，我们需要了解什么是线性系统。
线性系统是指满足线性等式的系统，其输出仅依赖于输入和系统本身的性质。
线性系统具有许多重要的特性，例如可以通过叠加原理来分析系统的行为，使得控制设计变得相对简单。
2. 可控性的定义可控性是指在给定时间范围内，系统的状态可以从任意初始状态控制到任意目标状态的性质。
换句话说，如果一个线性系统是可控的，那么存在一种控制方法，可以使得系统从任何初始状态到达任何目标状态。
这种控制方法可能需要对系统施加一系列的输入信号，以实现对系统状态的精确调节。
3. 可控性矩阵要判断一个线性系统是否是可控的，我们需要引入可控性矩阵的概念。
可控性矩阵是由系统的状态方程和控制输入组成的矩阵，用于描述系统的可控性。
该矩阵的秩可以告诉我们系统的可控性。
4. 可控性判据通过可控性矩阵的秩的计算，我们可以得到一个重要的结论：当且仅当可控性矩阵的秩等于系统状态的维数时，系统才是可控的。
要注意的是，当系统的可控性矩阵的秩小于系统状态的维数时，系统是不可控的。
5. 可控性的意义为什么可控性是一个重要的概念呢？可控性是控制系统设计的基础，它决定了我们是否能够通过适当的输入信号实现对系统状态的控制。
如果一个系统是不可控的，那么无论我们采取怎样的控制策略，都无法将系统从某个初始状态控制到目标状态，这是控制系统设计中的一个致命缺陷。
6. 提高可控性的方法对于一个不可控的系统，我们需要采取措施来提高其可控性。
一种常用的方法是增加系统的输入维度。
通过引入更多的控制输入，我们可以扩展控制空间，从而增加系统可控性矩阵的秩。
另一种方法是通过设计适当的反馈控制策略，利用系统动态特性来增强系统的可控性。
线性定常系统的可控性和可测性
• 结论： 结论： 状态完全可控和可观的必要条件是： 状态完全可控和可观的必要条件是： 系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。 相约现象。 或： 系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约 的
六.线性系统可控性和可观性的对偶关系 1.对偶关系 对偶关系 • 设 • 设 • 称
S1 为系统∑（A,B,C,D 为系统∑ S2 为系统 S1 和 S2对偶 对偶.
• 对定义的说明 对定义的说明: 1). t0 时刻的状态应是任意的 也即x(t)的各 时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各 也即x(t) 时的值无论如何给定,都存在容许 分量在 t0 时的值无论如何给定 都存在容许 控制,在 时刻将初始状态转移到零,系统方 控制,在 t1 时刻将初始状态转移到零,系统方 为可控,否则系统不可控 否则系统不可控. 为可控 否则系统不可控 2). t1 应为有限的时间 t1 的选取与 t0 有关 应为有限的时间, 有关, 趋于无穷则可控失去意义. 若 t1 趋于无穷则可控失去意义
y = [ β0
ˆ β1 ⋯ βn−1] x + du
• 其中
1 a 1 O n−1 p = An−1b ⋯ Ab b ⋮ ⋮ ⋱ a2 a3 ⋯ 1 a1 a2 ⋯ an−1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的 由于{A,b}对可控, {A,b}对可控 一定是非奇异的
0 0 ɺ = ⋮ ˆ x 0 −− −a0 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ˆ x + u 1 ⋮ ⋮ −− −an−1 1
−− −− −− −a1 −a2 ⋯
__ __ __ __ | __ ɺ = 1 0 ⋯ 0 | −a1 x + β1 u ˆ x ˆ 0 1 ⋯ 0 | −a2 β2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 | −an−1 βn−1
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①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。于是原可控性定义可表述为：
定义4.2（离散系统的可控性定义）：
对于n阶线性定常离散系统 ，若存在控制作用序列 ，在有限时间间隔 内，能使系统从任意非零初始状态 经有限步转移到零状态，即 ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
（4）
（5） （6）
解：（1）系统是可控的。
（2）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ统是不可控的。
（3）系统是可控的。
（4）系统是不可控的。
（5）系统是不可控的。
（6）系统不可控（注意定理4.3中“且每一个重特征值只对应一个独立特征向量”这一关键点）。当不满足定理4.3中的条件时，应使用秩判据。
， ，即系统是不可控的。
§4-3线性定常离散系统的可控性
（2）
分析：上述动态方程写成方程组形式：
由于状态变量 、 都受控于输入u，所以系统是可控的；输出y能反映状态变量 ，又能反映状态变量 的变化，所以系统是可观测的。
即状态变量 可控、可观测；状态变量 可控、可观测。
（3）
分析：上述动态方程写成方程组形式：
从状态方程看，输入u能对状态变量 、 施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出方程看，输出y能反映状态变量 ， 的变化，似乎系统是可观测的。实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全可控的，也不是完全可观测的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
（3）系统可控。
（4）系统不可控。
【例4.2.3】判别下列系统的状态可控性。
解：在应用定理4.2这个判别准则时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵 中含有相同元素时，上述判据不适用。应根据定理4.1的秩判据来判断。对于本题：
二、可控性的判别准则
定理4.1：（可控性秩判据）
对于n阶线性定常系统 ，其系统状态完全可控的充分必要条件是：由A、B构成的可控性判别矩阵
满秩，即
其中，n为该系统的维数。
【例4.2.1】判别下列状态方程的可控性。
（1） （2）
（3） （4）
解：（1） ， ，∴系统不可控。
（2） ， ，∴系统不可控。
（3） ， ，∴系统可控。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】
（1）
分析：上述动态方程写成方程组形式：
从状态方程来看，输入u不能控制状态变量 ，所以状态变量 是不可控的；从输出方程看，输出y不能反映状态变量 ，所以状态变量 是不能观测的。
即状态变量 不可控、可观测；状态变量 可控、不可观测。
关于可控性定义的说明：
（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态 ，那么相平面上的P点是可控状态。假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入 ，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控。
要解释和说明这一情况，就必须首先弄清楚可控性和可观性的严格定义及判别方法。
§4-2线性定常连续系统的可控性
一、线性定常连续系统状态可控性的定义
定义4.1（状态可控性定义）：
对于线性定常系统 ，如果存在一个分段连续的输入 ，能在 有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态 转移到指定的任一终端状态 ，则称此状态是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
对于给定的线性定常系统 ，如果存在一个分段连续的输入 ，能在 有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态 转移到零状态 ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即 ，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：
对于给定的线性定常系统 ，如果存在一个分段连续的输入 ，能在 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 转移到任一指定的非零终端状态 ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。
第四章线性系统的可控性和可观性
§4-1问题的提出
经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入 引起状态 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出 的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入 对状态 的控制能力，输出 对状态 的反映能力。它们分别回答：
（4） ， ，
∴系统不可控。
定理4.2：
设线性定常系统 ，具有互不相同的实特征值，则其状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型
中， 阵不存在全零行。
【例4.2.2】判别下列系统的状态可控性。
（1） （2）
（3） （4）
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
“输入能否控制状态的变化”——可控性
“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性
可控性和可观性是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出来的。可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入 ，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入 ，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的 中估计出状态 ；如果输出 不能完全反映系统的状态 ，那么就无法实现对状态的估计。
， ，即系统是不可控的。
定理4.3：
若线性定常系统 ，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型
中，每个约当小块 （ ）最后一行所对应的 阵中的各行元素不全为零。
【例4.2.4】判别下列系统的状态可控性。
（1） （2）
（3）