判断函数组线性无关的一个充要条件
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.【图片】中【图片】的系数等于（）.参考答案:-12.设【图片】是【图片】阶正定矩阵，则下列结论正确的是参考答案:__也是正定矩阵_3.任意一个对称的可逆实矩阵一定与同阶的单位矩阵（）.参考答案:(相抵)等价4.设【图片】的三个特征值为【图片】下列结论正确的是 ( )参考答案:如果则__如果的三个特征值互不相同, 则一定可以对角化.5.设E+A可逆，E-A不可逆，则下列正确的是( ).参考答案:1是A的一个特征值_-1不是A的一个特征值6.已知【图片】为一线性方程组的通解. 则下述陈述中正确的是:参考答案:该方程组系数矩阵的秩是2._该方程组至少含有两个方程.7.设有向量【图片】, 下列哪个向量【图片】可以与【图片】组成【图片】的基?参考答案:_8.关于向量线性关系说法正确的是参考答案:若向量组的秩小于向量个数, 则向量组线性相关._若向量组由一个可逆矩阵的列向量组成, 则向量组线性无关.9.已知向量组【图片】和【图片】,下列结论正确的是( ).参考答案:若存在不全为零的数，使得，则向量组线性相关10.下列各项中，是【图片】元向量组【图片】【图片】线性相关的充要条件的是 ( ).参考答案:中至少有一个部分组线性相关11.空间中过下列哪两个点的直线是平行的?【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】参考答案:(d),(a)12.矩阵【图片】其中【图片】为待定常数, 则 ( ).参考答案:当时, 秩为 1_当且时, 秩为 3_当时, 秩为 213.假设【图片】是【图片】矩阵,【图片】是【图片】元非零列向量,【图片】是【图片】元零列向量, 下列说法正确的是 ( )参考答案:若有唯一解, 则仅有零解_若有无穷多解, 则有非零解_若仅有零解,则有唯一解14.下列结论正确的是( ).参考答案:任意一个方阵一定可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和._与任意n阶方阵均乘法可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵._秩为r(r>1)的矩阵中，一定存在不为零的r-1阶子式.15.设非零方阵【图片】满足【图片】,则下列结论不正确的是（）.参考答案:不可逆16.已知【图片】, 其中【图片】为【图片】阶可逆矩阵，【图片】为【图片】阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是 ( ).参考答案:_G不可逆_17.以下结论正确的是( ).参考答案:若或不可逆，则必有不可逆_若均可逆，则必有可逆18.下列矩阵方程解正确的是( ).参考答案:的解是_的解是_的解是_的解是19.设P是数域，【图片】是【图片】的一个特征值．记【图片】，则下列结论正确的是( ).参考答案:_是空间的线性子空间20.设【图片】为实对称矩阵，则下列成立的是（）。
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
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函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
常微分方程
常微分方程第一二章考测验试卷(8)班级： 学号： 姓名： 得分：一．填空题（10 分）1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2．当 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程。
3.方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是 ，有只含y 的积分因子的充要条件是 。
4． 称为伯努利方程，它有积分因子 。
5． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经换 ，可化为伯努利方程。
二.求一曲线，是其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。
（10 分）三.出伯努利方程的积分因子。
（15 分）四．求下列方程的通解。
（45 分）1．33(1)0y x y ''--= 2. dxdy =312+++-y x y x 3．x(4ydx+2xdy)+y 3(3ydx+5xdy)=04．（y-1-xy ）dx+xdy=05．dxdy =y+sinx 6．(x 2y 3+xy)y '=17．(x 2-1)y '+y 2-2xy+1=0 8.32y x dx+4223yx y -dy=0 五．证明题。
（20 分）（1） 一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解（2） 齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。
参考答案一． 填空题。
1．dxdy =P （x ）y+Q(x) e dx x P )( e ⎰dx x P )((⎰+⎰-c dx e x Q dx x P )()() 2．x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( 3．N X N y M x ∂∂-∂∂=)(ϕ MX N y M y -∂∂-∂∂=)(ϕ 4．n y x Q y x P dxdy )()(+= e ⎰-dx x P n )()1( 5．)()()(2x R y x Q y x P dx dy ++= y(x)=)(x y +z 二．解：设曲线的切点为（x,y ），设切线的方程为Y-y=y '(X-x)，与坐标轴的交点为（0,y-xy '），（x-'yy ） 由题意得：y-xy '=x, 即 dx dy =xy -1 令 x y =u 得y=ux 则dx du =u-1 u=-ln x +c 即x y =-ln x +c 方程的通解为y=cx--xln x 三．解：伯努利方程为：dxdy =P (x)y+Q(x)y n 两边同乘以y n -得：y n -dxdy = p(x)y 1+-n +Q(x) 则 [p(x)y 1+-n +Q(x)]dx- y n -dy=0N x N y M ∂∂-∂∂=n nyy n x P ----)1)((=(n-1)P(x) 则积分因子为)(x μ=e ⎰-)()1(x P n 则)(x μyn -dy= )(x μ[p(x)y 1+-n +Q(x)]dx 令'μ(x) =yn -)(x μ= y n - e ⎰-)()1(x P n 则'μ(x)即为伯努利方程的积分因子。
2005—数二真题、标准答案及解析
2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题,每小题4分，满分24分。
把答案填在题中横线上）(1）设x x y )sin 1(+=，则|x dy π==______ 。
（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为______ .（3)=--⎰1221)2(xxxdx______ 。
（4) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为______ 。
（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ______ 。
（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 。
二、选择题（本题共8小题，每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则f(x)在),(+∞-∞内（A ） 处处可导。
(B) 恰有一个不可导点.（C ） 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x ）是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x ）是偶函数⇔f(x ）是奇函数。
（B ） F(x ）是奇函数⇔f （x)是偶函数。
（C ） F （x ）是周期函数⇔f （x)是周期函数.(D) F （x)是单调函数⇔f(x ）是单调函数。
［ ］(9）设函数y=y （x ）由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y （x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是33002 80EA 胪 ］21477 53E5 句38360 95D8 闘38444 962C 阬I7(A)32ln 81+. （B) 32ln 81+-。
(整理)自考微分方程试题a.
常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是x x x e ,e ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 开 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是1±=y ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ B ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11.y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'= 四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．第二套一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ,2,1,0,±±==k k y π或,2,1,0,2±±=π+π=k k x ． 2．方程y x xy sin d d 2+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 x o y 平面 ． 3．线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 充分必要 条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ．4．方程)sin(d d y x y xy +=的任一非零解 不能 与x 轴相交． 5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程1d d +=y x y （ B ）奇解．（A ）有无数个 （B ）无 （C ）有一个 （D ）有两个7. 方程21d d y xy -=过点)0,0(（ A ）． （A ）只有一个解 （B ）有无数个解 （C ）只有两个解 （D ）无解 8．),(y x f y '有界是方程),(d d y x f x y =初值解唯一的（ C ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 9．方程03=+'+''xy y x y 的任一非零解在xoy 平面上（ A ）与x 轴相切．（A ）不可以 （B ）只有在点)0,1(-处可以（C ）只有在原点处可以 （D ）只有在点)0,1(处可以10．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.y x xy -=e d d 12. 1d d =-xy x y 13. 0d )2e (d e =++y y x x y y14．)1ln(2y y '+= 15．012=+'+''y y y四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程x y y 2cos 4=+''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x ty y t x 2d d d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设方程)(d d 2y f x xy =中，)(y f 在),(∞+-∞上连续可微，且0)(<y yf ，)0(≠y ．求证：该方程的任一满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 必在区间),[0∞+x 上存在． 19．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
函数线性相关与无关的判断方法
函数线性相关与无关的判断方法
判断函数集合中的函数是否线性相关或线性无关，可以使用以下方法：
1. 解线性方程组：对于给定的函数集合，可以将其表示为一个线性方程组，然后解该方程组，如果方程组存在非零解，则函数集合线性相关；反之，如果方程组只有零解，则函数集合线性无关。
2. 行列式判断法：对于一个函数集合，可以构造一个矩阵，将函数依次作为矩阵的行或列。
然后计算该矩阵的行列式，如果行列式的值不为零，则函数集合线性无关；反之，如果行列式的值为零，则函数集合线性相关。
3. 线性组合判断法：对于给定的函数集合，可以尝试找到一组不全为零的系数，使得函数集合中的函数的线性组合等于零函数。
如果能找到这样的系数，则函数集合线性相关；反之，如果不存在这样的系数，则函数集合线性无关。
4. 维数判断法：对于一个函数集合，在向量空间中可以将其表示为向量的形式。
如果该函数集合所生成的向量空间的维数等于函数集合中函数的个数，则函数集合线性无关；反之，如果向量空间的维数小于函数集合中函数的个数，则函数集合线性相关。
微分方程选择题及答案
选择题（50）（1）知识、概念层次，难度等级11、 下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.（1）43322320d y d y y dx dx ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）336x dy dy x y e dx dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ （3）1323yd y ye dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）33sin d ydx dy e y dx +=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案： C难度等级1 知识点：常微分方程的阶的定义分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C ） 2、 函数（）是微分方程42y y x '=-的通解. （）(A)112y x =+ (B) 2x y Ce = （C ）21212x y C e x C =++ (D)2112x y Ce x =++答案 D难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A ）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C ）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B ）不满足方程，故应选（D ）3、 下列等式中（）是线性微分方程.(A) 22y x y '=+ (C) 2x y y e ''+= (B)20y x ''+= (D) 2y y xy '-=答案： B难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义 分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2y ,故应选（B ）4、 微分方程(1)2(1)(2)(1)n n xx nn n x n n d y d ydy e e e e y e dx dx dx-++-++++= 是（）.（A ）n 阶常系数非齐次线性常微分方程 （B ）n 阶常系数齐次线性常微分方程（C ）n 阶变系数非齐次线性常微分方程 （D ）n 阶常变系数齐次线性常微分方程 答案： C难度等级1 知识点：齐次线性常微分方程的定义分析：所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，故应为线性常微分方程，又因为其系数是变量x 的函数，故应是变系数，并且有自由项(2)n x e +,因此是非齐次方程，故应选（C ） 5、 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为（ ）. （A ）6y = （B ）6y x =- （C ）y x =- （D ）y x = 答案： D难度等级1 知识点：常微分方程解的定义 分析：将（A ），（B ），（C ），（D ）所给函数代入所给方程，易知只有y x =满足方程，故应选（D ）6、 下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.(A)2,x x (B) ln(),ln()x x x （C) cos(2),sin(2)x x (D)sin(2),cos()sin()x x x答案： D难度等级1 知识点：函数组的线性相关与线性无关 分析：由函数组线性相关与无关的判定，（A ），（B ），（C ）中所给的两个函数的比值不为常数，而sin 22sin cos xx x= ，因此应选（D ）7、 下列（ ）不是全微分方程.(A)32(3)0ydx x xy dy +-= (C) 3()()0x y dx x y dy ++-=(B)2210xy y xdx dy y y+-+= (D) 0ydx xdy += 答案： A难度等级1 知识点：全微分方程的判定分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充要条件是M N y x ∂∂=∂∂ ，因此（B ），（C ），（D ）均满足此条件，而22119M Nx y y x∂∂=≠-=∂∂ ，因此应选（A ）8、 方程22()0ydx x y x dy -++= 的积分因子为（ ）.（A ）21()x xμ=（B ）21()y y μ= （C ）221(,)x y x y μ=+ （D ）1(,)x y x yμ=+ 答案： C难度等级1 知识点：积分因子的定义分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 不是全微分方程时，若存在二元函数(,)x y μ ,使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程，则称(,)x y μ为方程的积分因子，因此代入(A),（B ），（D ）所给函数均不满足条件，因此应选（C ）9、 下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）（A ）sin dy y dx x = (B) 1dy y dx x x =+ (C) 2dy y ydx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (D)1dy y dx x=+ 答案： D难度等级1 知识点：齐次方程与线性方程的判定分析：由题意只有(B),(D)是线性微分方程，而（B ）不是齐次方程，因此应选（D ）10、 试指出下列哪个（）函数是二阶微分方程20,(0)y y ωω''+=>的通解.(式中12,C C 为任意常数).(A) 1cos 2sin y C x x ωω=+ (C) 12cos sin y C x C x ωω=+ (B)11cos 2sin y C x C x ωω=+ (D) 212cos sin y C x C x ωω=+答案： C难度等级1 知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，故(A),(B)不符合要求，（D ）中虽有两个独立常数，但210C > 不是任意常数，故应选（C ）11、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12x x y C e C e -=+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)xy y e ''-= (B)20y y ''-=（C)0y y ''+=(D)0y y ''-=答案： D难度等级1 知识点：二阶齐次常系数线性常微分方程 分析：由通解中的两个独立解,xxe e- 知，方程对应的特征方程的特征根为121,1λλ==- ，因此对应的特征方程是2(1)(1)10λλλ-+=-= ，因此对应的微分方程应是0y y ''-=，故应选（D ）12、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12()x y C C x e =+,其中12,C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A) 20y y y '''--= (C) 20y y y '''-+=(B)210y y '''+=+ (D) 210y y '''-+=答案： D难度等级1 二阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的两个独立解,x xe xe 知，方程对应的特征方程的特征根为121λλ== ，因此对应的特征方程是22(1)210λλλ-=-+= ，因此对应的微分方程应是210y y '''-+=，故应选（D ）13、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为2123y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= （C)0y y '''-= (D) 0y '''=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解21,,x x 知，方程对应的特征方程的特征根为1230λλλ=== ，因此对应的特征方程是30λ= ，因此对应的微分方程应是0y '''=，故应选（D ）14、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123xy C C x C e =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0y y '''-= (C) 10y y y ''''''--=+(B)0y y ''''-= (D) 0y y '''''-=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,,xx e 知，方程对应的特征方程的特征根为1230,1λλλ=== ，因此对应的特征方程是232(1)0λλλλ-=-= ，因此对应的微分方程应是0y y '''''-=，故应选（D ） 15、 可用变换（ ）将伯努利方程33dyx y y dx=+ 化为线性方程. （A ）1z y -= （B ）2z y -= （C ）3z y -= (D) 4z y -= 答案： B难度等级1 知识点：一阶线性常微分方程、伯努利方程分析：在原方程的两边同除以3y ,得3231dyy y x dx--=+,因此要使方程为线性，只需令2z y -=,则32dz dy y dx dx -=- ，原方程则化为3112dz zx dx-=+，这是线性方程，故应选（B ）16、 微分方程ln (ln )0y ydx x y dy +-= 是（ ）.(A) 可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 答案： B难度等级1 知识点：一阶常微分方程类型的判定 分析：将方程改写为ln ln dy y ydx y x=-,因此不是可分离变量方程，也不是贝努利方程，又由(,)ln ,(,)ln M x y y y N x y x y ==- ,ln 1,1M Ny y x∂∂=+=∂∂ 因此不是全微分方程，又将方程改写为ln 11ln ln dx y x x dy y y y y y-==-+因此是线性方程（将x 看作关于变量y 的函数） ，故应选（B ） 17、 微分方程cos 2y x ''=的通解是（）.(A) 121sin(2)4y x C x C =++ (C) 121cos(2)4y x C x C =++(B)121sin(2)4y x C x C =-++ (D) 121cos(2)4y x C x C =-++答案： D难度等级1 知识点：可降阶的高阶常微分方程的求解 分析：将方程连续积分两次，得通解121cos(2)4y x C x C =-++，故应选（D ） 18、 微分方程21x y '=的通解是（ ）.(A)1y C x =+ (B) 1y C x =+ （C ）1Cy x =-+ (D) 1y x C =-+答案： D难度等级1 知识点：一阶常微分方程的求解 分析：将方程改写为21dy dx x = 并积分，得通解1y xC =-+，故应选（D ） 19、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123cos sin y C C x C x =++,其中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)0y y '''''=- (B) 0y y -''''= （C)0y y '''''+= (D) 0y y ''''+=答案： D难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,cos ,sin x x 知，方程对应的特征方程的特征根为12,30,i λλ==± ，因此对应的特征方程是2(1)0λλ+= ，因此对应的微分方程应是0y y ''''+=，故应选（D ）20、 若6y x = 是微分方程22(1)6y x y xy x '''''+++= 的唯一解，则初始条件应该是（）（A ）(1)6,(1)6,(1)0y y y '''=== （B ）(1)6,(1)0,(1)6y y y '''=== （C ）(1)6,(1)6,(1)6y y y '''=== （D ）(1)0,(1)6,(1)0y y y '''=== 答案： A难度等级1 知识点：常微分方程的定解条件分析：由6y x =是方程原唯一解，应该满足初始条件，故有(1)6,(1)6,(1)0y y y '''===,故应选（A ）（2）知识简单应用层次，难度等级221、 微分方程xy y e '''-=的通解是（ ）.(A) 122x x xy C C e e =++ (C) 121x x y C e C xe =++(B)12x x y C C e e x x =++ (D) 12x x y C C e xe =++答案： D难度等级2 知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为0y y '''-=，故其特征方程为2(1)0λλλλ-=-= ，特征根为120,1λλ== ，因此齐次方程的通解应为12xy C C e =+ ，因此应在(A),(D)中选择，又因函数2xx y e *=不满足方程，故应选（D ）22、 若1()y x ϕ= , 2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为（）。
线性代数判断题及其答案
线性代数判断题线性代数课程组判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）1、以数k 乘行列式D ，等于用数k 乘行列式的某一行（或某一列）. （ ）2、行列式01111≠--a a 的充要条件是a≠2且a≠0. （ ）3、3阶行列式843576321的值等于行列式853472361的值. （ ） 4、交换行列式的两列，行列式的值变号. （ ）5、行列式321332211321321321321333c c c a b a b a b a a a c c c b b b a a a D +++==成立. （ ）6、行列式2211221122221111d b d b c a c a d c b a d c b a D +=++++=成立. （ ）7、行列式25434232124108684642⨯==D 成立. （ ）8、n 阶行列式中元素ij a 的余子式ij M 与代数余子式ij A 的关系是ij ij M A -=. （ ）9、主对角线右上方的元素全为0的n 阶行列式称为上三角形行列式. （ ）10、行列式25479623875156422547962356428751==D 成立. （ ） 11、设D 是行列式，k 是不为零的实数，则kD 等于用k 去乘以行列式的某一行得到的行列式. （ ）12、如果行列式D 有两行元素对应相等，则0=D . （ ）13、设D 是n 阶行列式，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式.如果将D 按照第n 列展开，则nn nn n n n n A a A a A a D +++= 2211. （ ）14、行列式4444543225169454321111=D 是范德蒙行列式. （ ）15、克拉默法则可用于解任意的线性方程组. （ ）16、齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解. （ ）17、由n 个方程构成的n 元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解. （ ）18、行列式1694432111中第三行第二列元素的代数余子式的值为-2. （ ）19、设行列式3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则62525253332313123222121131211111=+++=a a a a a a a a a a a a D . （ ） 20、设行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则3222111=++c b a c b a . （ ）21、如果行列式D 有两列元素对应成比例，则0=D . （ ）22、设D 是n 阶行列式，则D 的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0，即03232223121=+++n n A a A a A a . （ ）23、任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值. （ ） 24、任意一个矩阵都有主次对角线. （ ） 25、两个零矩阵必相等. （ ） 26、两个单位矩阵必相等. （ ）27、3阶数量矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001000000a a a a . （ ）28、若矩阵A≠0，且满足AB=AC ，则必有B=C. （ ） 29、若矩阵A 满足T A A =，则称A 为对称矩阵. （ ）30、若矩阵A ，B 满足AB=BA ，则对任意的正整数n ，一定有（AB ）n=A n B n. （ ）31、因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A 与B ，AB 的行列式||AB 与BA 的行列式||BA 也不相等. （ ） 32、设A 为n 阶方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2. （ ） 33、设A,B 都是三阶方阵，则B A B A +=+. （ ）34、同阶可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也可逆，且111)(---=B A AB . （ ） 35、若A ，B 都可逆，则A+B 也可逆. （ ）36、若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆. （ ） 37、若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆. （ ）38、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵. （ ） 39、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵. （ ）40、设A ，B ，C ，E 均为n 阶矩阵，若ABC=E ，可得BCA=E. （ ）41、如果A 2-6A=E ，则1-A = A-6E. ( )42、设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2531，则A *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1532. ( )43、设A 是n 阶方阵，且1=A ，则115)5(---=n T A . （ ）44、分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的. （ ）45、由单位矩阵E 经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. （ ） 46、矩阵的等价就是指两个矩阵相等. （ ）47、设A 是3阶矩阵，交换矩阵A 的1，2两行相当于在矩阵A 的左侧乘以一个3阶的初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000101012E . （ ）48、对n 阶矩阵A 施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是相等的. （ ）49、设A 是4×5矩阵，)(A r =3，则A 中的所有3阶子式都不为0. （ ） 50、对矩阵A 施以一次初等行变换得到矩阵B ，则有)()(B r A r =. （ ） 51、若6阶矩阵A 中所有的4阶子式都为0，则4)(0<≤A r . （ ） 52、满秩矩阵一定是可逆矩阵. （ ）53、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. （ ） 54、等价的矩阵有相同的秩. （ ） 55、n 阶矩阵就是n 阶行列式. （ ）56、用矩阵A 左乘以矩阵B 等于用矩阵A 与矩阵B 中对应位置的元素相乘. （ ）57、设A 为三阶方阵且2-=A ，则=A A T 3108. （ ）58、方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积. （ ） 59、方阵A 可逆的充分必要条件是A 与同阶的单位矩阵等价. （ ） 60、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为满秩矩阵. （ ） 61、若|A|≠0，则|A*|≠0. ( )62、矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数. （ ）63、设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，O 为n 阶零矩阵，C 为2n 阶分块对角矩阵即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B O O A C ，则C 的逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--O BA O C 11. （ ） 64、向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出. （ ）65、零向量可由任意向量组线性表出. （ ）66、若4321αααα，，，线性无关，则)4(21>n n ααα ，，线性相关.（ ）67、两个n 维向量线性相关的充要条件是两个n 维向量的各个分量对应成比例. （ ） 68、若02211=++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性相关. （ ）69、若对任意一组不全为的数n k k k ，，， 21，都有02211≠+++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性无关. （ ）70、若向量组A ：m ααα,,,21 线性相关，且可由向量组B ：s βββ,,,21 线性表出，则s m ≤. （ ）71、等价的向量组所含向量个数相同. （ ） 72、任意一个向量组都存在极大无关组. （ ）73、设向量组im i i ααα,,,21 是向量组n ααα,,,21 的一个子组。