解析函数的充要条件
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函数解析的充要条件
函数解析的充要条件函数解析是研究函数的定义域和值域的一种方法，用于确定函数的限制条件和特性。
在数学中，函数解析的充要条件对于理解和推导函数的性质至关重要。
本文将介绍函数解析的充要条件及其应用。
一、函数解析的定义和概念在开始讨论函数解析的充要条件之前，我们先来了解一下函数解析的定义和概念。
函数解析是指确定函数的定义域和值域的过程。
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。
二、函数解析的充要条件函数解析的充要条件有以下几个要点：1. 定义域的确定：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。
在确定定义域时，需要避免出现分母为零、负数开偶次方根、负数的对数等不合法的情况。
2. 垂直渐近线的存在性：如果函数在某个点x=a的左右极限存在且相等，那么该点x=a处就存在着一个垂直渐近线。
3. 水平渐近线的存在性：如果函数在无穷远处的左右极限存在且相等，那么函数就存在一个水平渐近线。
4. 每一个分段函数段的解析条件：对于分段函数，每一个分段函数段都要满足解析条件。
也就是说，每一个函数段都需要符合函数解析的充要条件。
三、函数解析的应用函数解析的充要条件在解析函数性质和求解问题中有着广泛的应用。
1. 确定函数的定义域：通过函数解析的充要条件，我们可以确定函数的定义域，从而确定函数的取值范围。
2. 求解极限：函数的垂直渐近线和水平渐近线的存在性可以帮助我们求解函数的极限。
3. 分段函数的分析：分段函数的每一个函数段都需要满足解析条件，通过函数解析的充要条件，我们可以分析每一个函数段的性质。
4. 函数的图像绘制：根据函数解析的充要条件，我们可以确定函数的特性，从而绘制出函数的图像。
四、总结函数解析的充要条件是确定函数的定义域和值域的重要方法，对于理解和推导函数的性质具有重要意义。
本文介绍了函数解析的定义和概念，以及函数解析的充要条件及其应用。
通过了解和应用函数解析的充要条件，我们可以更加深入地研究和理解函数的性质。
解析函数的充要条件
那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 那么在曲线的交点处， 、 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
k1 = − u x / u y
k2 = −v x / v y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 方程 利用 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交 两族曲线互相正交. ，
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有 上述条件满足时 有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
f ' ( z ) = ux + iv x = ux − iu y = v y − iu y = v y + iv x
证明 " ⇒ " 方程满足上面已证！ （由f (z)的可导⇒ C-R方程满足上面已证！只须证 的可导 方程满足上面已证 f (z)的可导 ⇒ 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 的可导 、 可微 可导， ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 点 可导
定理2 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 在 内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 在 内可微， 满足Cauchy-Riemann方程 方程 满足
∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时, 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来. 以求出导数来.
例3 若 f ' ( z ) ≡ 0 , z ∈ D ⇒ f ( z ) = C , z ∈ D
f(z)解析的充要条件
f(z)解析的充要条件f(z)是复变函数中的一个概念，它的解析性是一个重要的性质。
在本文中，我将探讨f(z)解析的充要条件。
复数是由实部和虚部组成的，可以用z = x + yi表示，其中x和y 分别为实数部分和虚数部分。
在复变函数中，f(z)是一个将复数域映射到复数域的函数。
我们来定义f(z)在复平面上的解析性。
f(z)在复平面上解析的充要条件是它在复平面的某个区域内连续且具有一阶偏导数。
这意味着f(z)在该区域内可以展开为幂级数，即存在一个圆盘D内的幂级数展开，使得f(z)在该圆盘内解析。
我们来讨论f(z)解析的一些重要性质。
如果f(z)在某个区域内解析，那么它在该区域内无处不可导。
这是因为解析函数是可微的，即它在解析区域内的每个点都具有导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内是无穷次可导的。
这是因为解析函数具有良好的性质，可以通过求导的方式来计算其高阶导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内的导数也是解析的。
这意味着解析函数可以通过求导的方式来获得新的解析函数。
对于复变函数而言，解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
在理论上，解析函数是复变函数的一个基本概念，它具有丰富的性质和应用。
在应用上，解析函数在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，解析函数被广泛应用于电磁场和流体力学等领域的数学建模中。
在工程学中，解析函数被应用于信号处理和图像处理等领域。
在金融学中，解析函数被用于期权定价和风险管理等领域。
f(z)解析的充要条件是它在某个区域内连续且具有一阶偏导数。
解析函数具有一些重要的性质，包括无处不可导、无穷次可导以及导数也是解析的。
解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
它在复变函数的研究中起着核心的作用，并在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
函数解析的充要条件概述
v 0, x
v 1. y
上一节是由 解析定义判断 处处不解析
不满足柯西－黎曼方程, 故 w z 在复平面内处处不可导，处处不解析.
盐城工学院基础部应用数学课程组
(2) f ( z) e x (cos y i sin y)
u e x cos y, v e y y x
u 常数, v 常数,
因此 f ( z) 在区域 D 内为一常数.
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例4 问常数 a, b, c, d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处
设 f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ),
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(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
u u x e cos y, e x sin y, x y v v x e sin y, e x cos y, x y u v u v 即 , . x y y x
由于四个偏导 数均连续
故 f ( z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
f ( z) e x (cos y i sin y) f ( z). 指数函数
解析? u u 解 2 x ay , ax 2by, x y v v 2cx dy , dx 2 y , x y u v u v 欲使 , , x y y x
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
课件：解析函数的充要条件
3
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定f (z) 在 D内是解析的.
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在且连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f (z) 在 D 内解析.
Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris),
France
16
u v , u v . x y y x
2
根据定理一, 可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z x yi 处的导数公式:
f (z) u i v 1 u v . x x i y y
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是 : u( x, y)与 v( x, y) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
ux (0,0)
lim
x0
u( x,0) x
u(0,0) 0
0
vy (0,0),
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx
(0,0),
柯西－黎曼方程在点z 0 成立.
8
但当 z 沿第一象限内的射线y kx 趋于零时,
f (z) f (0) z0
xy
x iy
k, 1 ik
4
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f (z) e x (cos y i sin y); (3) w z Re(z).
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定f (z) 在 D内是解析的.
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在且连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f (z) 在 D 内解析.
Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris),
France
16
u v , u v . x y y x
2
根据定理一, 可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z x yi 处的导数公式:
f (z) u i v 1 u v . x x i y y
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是 : u( x, y)与 v( x, y) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
ux (0,0)
lim
x0
u( x,0) x
u(0,0) 0
0
vy (0,0),
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx
(0,0),
柯西－黎曼方程在点z 0 成立.
8
但当 z 沿第一象限内的射线y kx 趋于零时,
f (z) f (0) z0
xy
x iy
k, 1 ik
4
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f (z) e x (cos y i sin y); (3) w z Re(z).
2-2 函数解析的充要条件
u=0 v=10
x 0 y 0
x 0 y 0
u ax by 1x 2 y , v bx ay 2 x 1y
当 y 0 时，
0
当 x 0 时，
u u u u lim b lim 2 b lim a lim 1 a y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
z 0
令 f z a ib ， z 1 i 2 其中 lim 1 0 , lim 2 0
故
ax by 1x 2 y i bx ay 2 x 1y
u iv a ibx iy 1 i 2 x iy
u e x cos y
[解] w x yi 故 u =x ,v =-y
[解 ]
v e x sin y
u v 1 1 x y u v 00 y x
不满足C-R方程
u v x e cos y x y
u v x e sin y y x
0 0
v v v v lim a lim 1 a lim b lim 2 b y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
u v 因此 u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微, 且 x y
0
u v y x
u v v u i i y 1 i 3 x 2 i 4 y x x y x y
x0 y0
根据柯西-黎曼方程得
f z z f z u v x y i 1 i 3 2 i 4 所以 z x x z z
第2节：函数解析的充要条件
vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得
2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且
f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2) =(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D
证 ) 显然 ) f (z) u i v v i u 0 x x y y
故 u u v v 0 x y x y
所以u=常数, v=常数, 因而 f(z)在D内是常数.
例4. 设函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域D内解析, 并 满足下列条件之一，那么 f(z)是常数: [书P67: 10]
u v , u v
(*)
x y y x
这时f (z) u i v 1 u v x x i y y
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2)
在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f (z) x 2iy; 2) w z 2 ;
3) f (z) x2 y2 x i(2xy y2 ).
4) f (z) ex (cos y i sin y).
解. 1) 因为 u=x, v=2y,
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NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
u v , u v . x y y x
定理2 函数 f (z) u(x, y)在 i区v(域x, y)内解析的D充要条件是： 与 在 u内(x,可y)微，v(x并, y且) 满D足柯西—黎曼方程
NUDT
第二章 解析函数
✓§1 解析函数的概念 ✓§2 解析函数的充要条件
§3 初等函数 — 指数函数 — 对数函数 — 幂函数 — 三角函数
NUDT
上次课主要内容回顾
什么是区域?
区域
D
区域的分类问题?
有界的单 连通区域
有界区域和无界区域, 单连通区域和多连通区域
复变函数的极限定义与连续性
NUDT
NUDT
§1 解析函数的概念
定义 设函数 w f定(z义) 于区域 ， D ，z若0 极D限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在，则称 f (在z) 处z0可导，该极限值称为
数.记为
或f (z0 ) .
dw d z zz0
在f (z)处的z0导
若函数在区域内处处可导,就称该函数在区域内可导,又 若其导函数连续则称该函数是连续可导,若其导函数可 导则称该函数二阶可导,若函数的各阶导函数都存在则 称该函数无穷次可导或可微.
柯西-黎曼方程的复形式: f i f x y
定理1
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
奇点产生的原因有很多,比如函数在该点没定义,或者不 连续,或者连续却不可导,或者可导却不能保证在该点的 某个邻域内可导等等情况.
总之 f (在z) 点z具0 有奇异性.
NUDT
§1 解析函数的概念
连续,可导与解析三者之间的关系
(1)当函数在某一点上
解析
可导
连续
(2)当函数在某个区域内
解析
可导
连续
Example. f (z) z2, g(z) x 2yi, h(z) z 2
u(r, ), v在(r, ) 点可(r微,且)满足柯西-黎曼方程
11 ur r v , r u vr (r 0)
定理2 设函数 f (z) u(r, )在 i区v(r域,D) 内解析的充要条件
是:
在u(Dr可,微),且v(满r,足) 柯西-黎曼方程
ur
1 r
v
,
1 r
u
vr (r
0)
Note. 上两个定理在原点处无法判断.
求导公式
f (z) ei (ur ivr )
NUDT
例题
再谈:判断函数 f (z) z 2, g(z) z 的可导性 和解析性
利用f (zg) (z)zzr,xux2yry,i2 u
相求由应 偏 柯由ux地 导 西uuxg-r(黎u0xvfx2y曼(1可xz,)u方得y2z2z)x程xz,,uu02可yg,0yv(,得0rxy)2:2x0x20yyy,,v2vyzzx2yu(0x0x;,,,y0yv)y0
举例:多项式, 有理分式函数 解析函数的特性
➢ 解析函数可无限可导 ➢ 非常值解析函数的零点孤立 ➢ 在局部上解析函数是幂级数的和函数
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
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§1 解析函数的概念
求导法则:
(1) (c) 0(c为复常数)
(2) (zn ) n zn1(n为正整数 )
(zn ) lim (z z)n zn
z 0
z
lim zn c1n zn1z cn2 zn2 (z)2 L (z)n zn nzn1
z 0
z
(3) ( f (z) g(z)) f (z) g(z)
u v , u v , (x, y) D. x y y x
定理1,2的另一个版本
利用复数的三角表示形式 z r(cos i sin )
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§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(r, ) 定iv义(r在,区) 域D内,
则 f (z在) D内一点 z r(cos可导i s的in充)要条件:
§6 复变函数的极限与连续性
定义
如果
lim
zz0
f (z) ，f则(z称0 )
在 处f 连(z)续.z若0
f (z)
在区域 D内每一点连续，则称 f在(z) 内D连续.
定理2 函数 f (z) u(x, y)在 iv(x, y)处连z0续 的x0 iy0
充要条件是：u(x, y和) v(在x, y) 处(x连0, y续0 ). 连续函数也可做有理运算
Example1.求函数 f (z)的 导z2 函数.
Example2. f (z) x是否2 y可i 导?
该函数在复平面内是处处连续但处处不可导.导数的性质
NUDT
神秘的无穷小量
牛顿的看法:在他的一些经典的推导中,他既用无穷
小量作分母进行除法,这意味着无穷小量不是零;然而 他又把被无穷小量所乘的项当做没有而去掉,这说明他 又认为无穷小量是零.奇怪的是,这样所推导的公式在 力学和几何学的应用中证明了它们都是正确的.他本人 也意识到了这种逻辑上的混乱,但无法摆脱.
可导与可微的关系
f (z0 )
dw dz
z z0
dw
f (z0 )dz
NUDT
§1 解析函数的概念
定义 若函数 w 在f (z)的某z0 邻域内可导，则称
f (z)
在 z0处解析.若 f在(z区) 域 内每D 一点均解析，称 f (在z) 区域 内D解析.
可导
D
.z z0
解析
若 f (z在) 处z不0 解析,则称 为 z0的奇f 点(z).
判断三个函数的连续性,可导性和解析性.
Thinking. f (z) z
NUDT
§1 解析函数的概念
定理 （1）在区域 D内解析的两个函数 f和(z) 的g和(z)、差、 积、商（除分母等于零的点）在 内解析. D （2）设函数 h g在(z) 平面z 上的区域 内解D析，函数 在 w平 面f (的h) 区域h 内解析，若G ，则复合g(函D)数 G 在 内解析. w f [g(z)] D
证法1:由导数的定义
f
(
z0
)
lim
z0
f
( z0
z) z
f
(z0 )
等价于：
f
(z0
z)
f
( z0 )
f
(
z0
)z
(z)z,
lim
z0
(z)
0.
证法2: 由连续的定义
lim ( f
zz0
(z)
f
(z0 ))
lim [
zz0
f
(z) z
f( z0
z0
)
(
z
z0
)]
f (z0 ) 0 0
u v , u v . x y y x
求导公式 f (z) u i v v i u u i u x x y y x y
可利用求导公式来求导:
Example1. 求 f (z) z 2 的导函数. Example2. 求 f (z) 2(x 1) y i( y2 x2 2x 1) 的导函数. f (z) ux ivx 2y 2(1 x)i 2i(x iy 1) 2i(z 1)
0 i,
0
0
它结结点论由论不:u该y:可该函导函数vx但数可仅处在得在处x复原不平点0,解面y可析内导0.处而处在不平可面导其,
处处不解析
NUDT
练习题
Exercise1. 若一个函数的导函数在区域内处处为 零,则该函数在该区域内为常数. Exercise2. 设 f (z) z R, e(z2 )
u v , u v . x y y x
f (z z) f (z) f (z)z (z)z, lim (z) 0. z0
f (z z) f (z) u iv, f (z) a ib, (z) 1 i2
u ax by 1x 2y, v bx ay 2x 1y.
u v , u v . x y y x
f (z z) f (z) u iv, Q u, v在(x, y)可微，
u
u x
x
u y
y
1x
2 y,
v
v x
x
v y
y
3x
4y.
f
(z
z)
f
(z)
( u x
i
v )x xຫໍສະໝຸດ (u yiv )y y
(1
i3)x
( 2
i 4 )y
f
(z
z) z
Example: f (z) x 2yi 在z 处0 连续否?
lim f (z) lim (x 2yi) 0 f (0)
z0
( x, y)(0,0)
例如:多项式, 有理分式函数
Note.连续函数在有界闭集上有界且一致连续。 Ch2 解析函数