函数解析的充要条件概述
函数解析的充要条件
函数解析的充要条件函数解析是研究函数的定义域和值域的一种方法，用于确定函数的限制条件和特性。
在数学中，函数解析的充要条件对于理解和推导函数的性质至关重要。
本文将介绍函数解析的充要条件及其应用。
一、函数解析的定义和概念在开始讨论函数解析的充要条件之前，我们先来了解一下函数解析的定义和概念。
函数解析是指确定函数的定义域和值域的过程。
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。
二、函数解析的充要条件函数解析的充要条件有以下几个要点：1. 定义域的确定：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。
在确定定义域时，需要避免出现分母为零、负数开偶次方根、负数的对数等不合法的情况。
2. 垂直渐近线的存在性：如果函数在某个点x=a的左右极限存在且相等，那么该点x=a处就存在着一个垂直渐近线。
3. 水平渐近线的存在性：如果函数在无穷远处的左右极限存在且相等，那么函数就存在一个水平渐近线。
4. 每一个分段函数段的解析条件：对于分段函数，每一个分段函数段都要满足解析条件。
也就是说，每一个函数段都需要符合函数解析的充要条件。
三、函数解析的应用函数解析的充要条件在解析函数性质和求解问题中有着广泛的应用。
1. 确定函数的定义域：通过函数解析的充要条件，我们可以确定函数的定义域，从而确定函数的取值范围。
2. 求解极限：函数的垂直渐近线和水平渐近线的存在性可以帮助我们求解函数的极限。
3. 分段函数的分析：分段函数的每一个函数段都需要满足解析条件，通过函数解析的充要条件，我们可以分析每一个函数段的性质。
4. 函数的图像绘制：根据函数解析的充要条件，我们可以确定函数的特性，从而绘制出函数的图像。
四、总结函数解析的充要条件是确定函数的定义域和值域的重要方法，对于理解和推导函数的性质具有重要意义。
本文介绍了函数解析的定义和概念，以及函数解析的充要条件及其应用。
通过了解和应用函数解析的充要条件，我们可以更加深入地研究和理解函数的性质。
解析函数的充要条件
那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 那么在曲线的交点处， 、 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
k1 = − u x / u y
k2 = −v x / v y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 方程 利用 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交 两族曲线互相正交. ，
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有 上述条件满足时 有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
f ' ( z ) = ux + iv x = ux − iu y = v y − iu y = v y + iv x
证明 " ⇒ " 方程满足上面已证！ （由f (z)的可导⇒ C-R方程满足上面已证！只须证 的可导 方程满足上面已证 f (z)的可导 ⇒ 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 的可导 、 可微 可导， ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 点 可导
定理2 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 在 内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 在 内可微， 满足Cauchy-Riemann方程 方程 满足
∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时, 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来. 以求出导数来.
例3 若 f ' ( z ) ≡ 0 , z ∈ D ⇒ f ( z ) = C , z ∈ D
f(z)解析的充要条件
f(z)解析的充要条件f(z)是复变函数中的一个概念，它的解析性是一个重要的性质。
在本文中，我将探讨f(z)解析的充要条件。
复数是由实部和虚部组成的，可以用z = x + yi表示，其中x和y 分别为实数部分和虚数部分。
在复变函数中，f(z)是一个将复数域映射到复数域的函数。
我们来定义f(z)在复平面上的解析性。
f(z)在复平面上解析的充要条件是它在复平面的某个区域内连续且具有一阶偏导数。
这意味着f(z)在该区域内可以展开为幂级数，即存在一个圆盘D内的幂级数展开，使得f(z)在该圆盘内解析。
我们来讨论f(z)解析的一些重要性质。
如果f(z)在某个区域内解析，那么它在该区域内无处不可导。
这是因为解析函数是可微的，即它在解析区域内的每个点都具有导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内是无穷次可导的。
这是因为解析函数具有良好的性质，可以通过求导的方式来计算其高阶导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内的导数也是解析的。
这意味着解析函数可以通过求导的方式来获得新的解析函数。
对于复变函数而言，解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
在理论上，解析函数是复变函数的一个基本概念，它具有丰富的性质和应用。
在应用上，解析函数在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，解析函数被广泛应用于电磁场和流体力学等领域的数学建模中。
在工程学中，解析函数被应用于信号处理和图像处理等领域。
在金融学中，解析函数被用于期权定价和风险管理等领域。
f(z)解析的充要条件是它在某个区域内连续且具有一阶偏导数。
解析函数具有一些重要的性质，包括无处不可导、无穷次可导以及导数也是解析的。
解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
它在复变函数的研究中起着核心的作用，并在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
复变函数22函数解析充要条件
黎曼介绍
课件
2
证 (1) 必要性. 设 f(z)u(x,y)iv (x,y)定义在 D 内 , 区域 且 f(z)在 D 内一 zx点 y可 i ,导 则对于充 z分 xi小 y的 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
其l中 im ( z)0, z 0
令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,
f(z)aib , ( z )1 i2 ,
课件
3
所 u 以 i v
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
(a x b y1 x2 y) i(b xa y2 x1 y)
于 u a x 是 b y 1 x 2 y ,
[证毕]
课件
8
根据 ,可 定得 理 f(z)函 一 u (x ,y 数 )i(v x ,y)在 点 zxy处 i 的导 : 数公式
f(z)uiv1uv. x x iy y
函数在区 D内域解析的充要条件 定理二 函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在其定义 域D内解析的充:要 u(x条 ,y)与 件 v(x是 ,y)在 D内可,并 微且满足柯西 程.－黎曼方
课件
11
(2 )f(z) ex (cy o issiy )n 指数函数
u exco y, s v exsiy,n
uexcoy,suexsiyn ,
x
y
四个偏导数
vexsiyn, vexcoy,s 均连续
x
y
即uv, uv. x y y x
故f(z)在复平面内处 ,处处 处可 解 . 导 析
且 f ( z ) e x (c y i s o y ) i s n f ( z ).
复变函数2-2函数解析的充要条件
证 因为 f (z) 2xy , 所以 u 2xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
25
但在点 z 0 , f (z) f (0) 2xy
黎曼方程
u v , u v . x y y x
掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.
27
思考题
用柯西－黎曼条件判断 f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
28
思考题答案
首先判断 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内是否可微; 其次再看是否满足C - R条件 : u v , u v ;
z
x iy
因为 lim f (z) f (0) 2 ,
xy00
z
1 i
lim f (z) f (0) 0,
x0,y0
z
故函数 f (z) 在点 z 0 不可微.
26
三、小结与思考
在本课中我们得到了一个重要结论—函数
解析的充要条件:
u( x, y)与 v( x, y) 在D内可微, 并且满足柯西－
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
3
所以 u iv
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
2-2 函数解析的充要条件
u=0 v=10
x 0 y 0
x 0 y 0
u ax by 1x 2 y , v bx ay 2 x 1y
当 y 0 时，
0
当 x 0 时，
u u u u lim b lim 2 b lim a lim 1 a y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
z 0
令 f z a ib ， z 1 i 2 其中 lim 1 0 , lim 2 0
故
ax by 1x 2 y i bx ay 2 x 1y
u iv a ibx iy 1 i 2 x iy
u e x cos y
[解] w x yi 故 u =x ,v =-y
[解 ]
v e x sin y
u v 1 1 x y u v 00 y x
不满足C-R方程
u v x e cos y x y
u v x e sin y y x
0 0
v v v v lim a lim 1 a lim b lim 2 b y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
u v 因此 u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微, 且 x y
0
u v y x
u v v u i i y 1 i 3 x 2 i 4 y x x y x y
x0 y0
根据柯西-黎曼方程得
f z z f z u v x y i 1 i 3 2 i 4 所以 z x x z z
第2节：函数解析的充要条件
vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得
2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且
f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2) =(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D
证 ) 显然 ) f (z) u i v v i u 0 x x y y
故 u u v v 0 x y x y
所以u=常数, v=常数, 因而 f(z)在D内是常数.
例4. 设函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域D内解析, 并 满足下列条件之一，那么 f(z)是常数: [书P67: 10]
u v , u v
(*)
x y y x
这时f (z) u i v 1 u v x x i y y
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2)
在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f (z) x 2iy; 2) w z 2 ;
3) f (z) x2 y2 x i(2xy y2 ).
4) f (z) ex (cos y i sin y).
解. 1) 因为 u=x, v=2y,
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v 0, x
v 1. y
上一节是由 解析定义判断 处处不解析
不满足柯西－黎曼方程, 故 w z 在复平面内处处不可导，处处不解析.
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(2) f ( z) e x (cos y i sin y)
u e x cos y, v e y y x
u 常数, v 常数,
因此 f ( z) 在区域 D 内为一常数.
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例4 问常数 a, b, c, d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处
设 f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ),
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(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
u u x e cos y, e x sin y, x y v v x e sin y, e x cos y, x y u v u v 即 , . x y y x
由于四个偏导 数均连续
故 f ( z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
f ( z) e x (cos y i sin y) f ( z). 指数函数
解析? u u 解 2 x ay , ax 2by, x y v v 2cx dy , dx 2 y , x y u v u v 欲使 , , x y y x
即 2 x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
在复平面内处处不解析.
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例2 讨论函数 f ( z ) x 2 i y 2 的可导性与解析性。
解 由 ux ,v y ,有
2 2
u u 0, 2x , y x v v 2y, 0, y x
由C - R 方程， x y,
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例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); (3) w z Re( z ). 解 (1) w z ,
u x, v y ,
u 1, x
u 0, y
第二节
第二章
函数解析的充要条件
一、点可导的充要条件
二、区域解析的充要条件
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问题：对于函数 f ( z ) u ( x , y ) i v ( x , y ) , 在上一节， 我们用解析的定义判别 f (z)的解析性. 那么有没有其它更好的方法呢？
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y
x y
x
2 2 f ( z ) x i y 所以 仅在直线 x y 上点可导，
且处处不解析。
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例3 如果 f ( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在
区域 D 内为一常数.
证 利用求导公式 u u v v i 0, f ( z ) i y x x y
v x y f ( z z ) f ( z ) u i (1 i 3 ) ( 2 i 4 ) . 则 z z x x z
极限存在,故f ( z)在点z x iy 处可导，且有求导公式:
u v 1 u v f ( z ) i . x x i y y
a 2, b 1, c 1, d 2.
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内容小结 1.函数点可导的充要条件:
u( x, y )与 v( x, y ) 在某点处可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
u v , x y
u v . y x
2.函数区域可导或解析的充要条件:
u( x, y )与 v( x, y ) 在D 内可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
复习 实二元函数可微定义：
u u u x y o ( x 2 y 2 ). x y
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证 仅证
. 由于 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微,
u u 于是 u x y 1x 2y, 其中 lim k 0, x 0 x y y 0 v v v x y 3x 4 y, x y
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二、区域解析的充要条件
定理2 函数 w f ( z) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析
u( x, y ) 和 v( x, y ) 在区域 D 内可微， 且满足
C - R 方程。 注：偏导数连续
二元函数可微
推论 若函数u( x, y ) 和 v ( x, y ) 偏导数在D 内存在连续， 且满足C - R 方程 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域D 内解析。
一、点可导的充要条件 定理1 函数 w f ( z) u( x, y ) i v( x, y ) 在点 z x i y 可导
u( x, y ) 和 v ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微，且满足
柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：
u v u v , . x y y x