复变函数22函数解析充要条件
解析函数的充要条件
那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 那么在曲线的交点处， 、 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
k1 = − u x / u y
k2 = −v x / v y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 方程 利用 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交 两族曲线互相正交. ，
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有 上述条件满足时 有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
f ' ( z ) = ux + iv x = ux − iu y = v y − iu y = v y + iv x
证明 " ⇒ " 方程满足上面已证！ （由f (z)的可导⇒ C-R方程满足上面已证！只须证 的可导 方程满足上面已证 f (z)的可导 ⇒ 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 的可导 、 可微 可导， ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 点 可导
定理2 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 在 内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 在 内可微， 满足Cauchy-Riemann方程 方程 满足
∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时, 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来. 以求出导数来.
例3 若 f ' ( z ) ≡ 0 , z ∈ D ⇒ f ( z ) = C , z ∈ D
复变函数解析的条件(一)
复变函数解析的条件(一)复变函数解析的条件什么是复变函数？复变函数是指定义在复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数既有实部也有虚部，可以用一个复数公式表示。
复变函数的解析性复变函数在某一个区域内解析指函数连续且可导。
解析性是复变函数的重要性质。
复变函数解析的条件复变函数解析的条件有以下几个方面：1.连续性：在某一个区域内，复变函数必须连续。
也就是说，函数在该区域内的实部和虚部分别都必须连续。
2.可导性：在某一个区域内，复变函数必须可导。
也就是说，函数在该区域内的实部和虚部分别都必须可导，且满足柯西—黎曼方程。
3.开区域：复变函数的解析性要求函数定义在某一个开区域内，即不包含边界上的点。
4.解析区域的连接性：复变函数解析的区域必须是连接的，不能存在不连续的点。
复变函数解析的充要条件通过以上条件的讨论，我们可以得出复变函数解析的充要条件为：在某一个区域内，复变函数的实部和虚部都是连续可导的，并且满足柯西—黎曼方程，该区域是一个开区域且连接。
总结复变函数的解析性是指函数在某一区域内连续且可导。
解析的条件包括连续性、可导性、开区域和区域的连接性。
充要条件是函数的实部和虚部都是连续可导，并满足柯西—黎曼方程，该区域是开区域且连接。
复变函数解析的条件是复变函数理论研究和实际应用的基础。
复变函数解析的条件详解1. 连续性在复变函数的解析性中，连续性是首要的条件之一。
连续性要求函数在某一个区域内的实部和虚部都必须连续。
连续函数在数学中是一个基本的概念，它表示函数在取某个点的极限时会无限接近这个点的函数值。
在复变函数的连续性中，实部和虚部的连续性都是必需的，只有实部和虚部都连续，复变函数才能在该区域内连续。
2. 可导性在复变函数的解析性中，可导性是另一个重要的条件。
可导性要求函数在某一个区域内的实部和虚部都必须可导，且满足柯西—黎曼方程。
柯西—黎曼方程是指复变函数的实部和虚部的偏导数满足一定关系，即实部的y偏导数等于虚部的x偏导数的相反数，实部的x偏导数等于虚部的y偏导数。
f(z)解析的充要条件
f(z)解析的充要条件f(z)是复变函数中的一个概念，它的解析性是一个重要的性质。
在本文中，我将探讨f(z)解析的充要条件。
复数是由实部和虚部组成的，可以用z = x + yi表示，其中x和y 分别为实数部分和虚数部分。
在复变函数中，f(z)是一个将复数域映射到复数域的函数。
我们来定义f(z)在复平面上的解析性。
f(z)在复平面上解析的充要条件是它在复平面的某个区域内连续且具有一阶偏导数。
这意味着f(z)在该区域内可以展开为幂级数，即存在一个圆盘D内的幂级数展开，使得f(z)在该圆盘内解析。
我们来讨论f(z)解析的一些重要性质。
如果f(z)在某个区域内解析，那么它在该区域内无处不可导。
这是因为解析函数是可微的，即它在解析区域内的每个点都具有导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内是无穷次可导的。
这是因为解析函数具有良好的性质，可以通过求导的方式来计算其高阶导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内的导数也是解析的。
这意味着解析函数可以通过求导的方式来获得新的解析函数。
对于复变函数而言，解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
在理论上，解析函数是复变函数的一个基本概念，它具有丰富的性质和应用。
在应用上，解析函数在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，解析函数被广泛应用于电磁场和流体力学等领域的数学建模中。
在工程学中，解析函数被应用于信号处理和图像处理等领域。
在金融学中，解析函数被用于期权定价和风险管理等领域。
f(z)解析的充要条件是它在某个区域内连续且具有一阶偏导数。
解析函数具有一些重要的性质，包括无处不可导、无穷次可导以及导数也是解析的。
解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
它在复变函数的研究中起着核心的作用，并在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
复变函数2-2函数解析的充要条件
证 因为 f (z) 2xy , 所以 u 2xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
25
但在点 z 0 , f (z) f (0) 2xy
黎曼方程
u v , u v . x y y x
掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.
27
思考题
用柯西－黎曼条件判断 f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
28
思考题答案
首先判断 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内是否可微; 其次再看是否满足C - R条件 : u v , u v ;
z
x iy
因为 lim f (z) f (0) 2 ,
xy00
z
1 i
lim f (z) f (0) 0,
x0,y0
z
故函数 f (z) 在点 z 0 不可微.
26
三、小结与思考
在本课中我们得到了一个重要结论—函数
解析的充要条件:
u( x, y)与 v( x, y) 在D内可微, 并且满足柯西－
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
3
所以 u iv
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
复变函数解析的条件
复变函数解析的条件
复变函数解析的条件是指函数在某个区域内能够解析（即可导）。
在复平面上，复数可以表示为z=x+iy，其中x和y分别是实部和虚部。
复变函数是指将复数映射到其他复数的函数。
复变函数解析的条件包括以下几个方面：
1. 实部和虚部的偏导数存在且连续：如果一个复变函数在某个区域内的实部和虚部的一阶偏导数都存在且连续，那么该函数在这个区域内是解析的。
也就是说，函数对于复平面上的每个点都是可导的。
2. 柯西—黎曼方程：柯西—黎曼方程是解析函数的一个重要条件。
它要求函数的实部和虚部满足一定的关系。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个复变函数，如果f(z)在某个区域内解析，那么它的实部和虚部满足以下柯西—黎曼方程：
u/x = v/y
u/y = -v/x
这些方程表明了实部和虚部的偏导数之间的关系。
3. 单连通区域：如果一个区域是单连通的，那么在这个区域内的函数都是解析的。
单连通区域是指没有孔洞或环绕的区域，其中任意两点之间都可以通过一条连续的路径相连。
例如，一个圆形区域就是单连通的。
4. 几何性质：解析函数在某个区域内具有一些重要的几何性质，比如保持角度和保持面积。
总之，复变函数解析的条件包括实部和虚部的连续性、柯西—黎曼方程的满足、区域的单连通性以及几何性质的保持。
这些条件保证了函数在区域内的解析性质，使得我们可以进行复变函数的分析和计算。
第2节：函数解析的充要条件
vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得
2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且
f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2) =(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D
证 ) 显然 ) f (z) u i v v i u 0 x x y y
故 u u v v 0 x y x y
所以u=常数, v=常数, 因而 f(z)在D内是常数.
例4. 设函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域D内解析, 并 满足下列条件之一，那么 f(z)是常数: [书P67: 10]
u v , u v
(*)
x y y x
这时f (z) u i v 1 u v x x i y y
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2)
在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f (z) x 2iy; 2) w z 2 ;
3) f (z) x2 y2 x i(2xy y2 ).
4) f (z) ex (cos y i sin y).
解. 1) 因为 u=x, v=2y,
第二章3解析函数的充要条件
设( + Δ) − () = Δ + Δ， ′ = + ,
(Δ) = 1 + 2
所以Δ + Δ = ( + )(Δ + Δ) + (1 + 2 )(Δ + Δ)
= Δ − Δ + 1 Δ − 2 Δ
+(Δ + Δ + 2 Δ + 1 Δ)
=
−
= −.
充分性
由于 + Δ −
= ( + Δ, + Δ) − (, ) + [( + Δ, + Δ) − (, )]
= Δ + Δ
由(, ), (, )在点(, )可微，可知
Δ =
Δ +
( + ∆) − ()
1 ( ∆ ) + 2 ( ∆ )
⇒
=
+
+
Δ
∆
′ ()
( + ∆) − ()
=
+
= lim
∆→0
Δ
即 在 = + 处可导.
注：函数 = , + , 在一点可导的一个充分条件：
=− .
证明：必要性
( + Δ) − ()
()在 = + 处可导， ⇒ () = lim
存在
Δ→0
Δ
∀ > 0, ∃ > 0, 当0 < Δ < 时，有
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黎曼介绍
课件
2
证 (1) 必要性. 设 f(z)u(x,y)iv (x,y)定义在 D 内 , 区域 且 f(z)在 D 内一 zx点 y可 i ,导 则对于充 z分 xi小 y的 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
其l中 im ( z)0, z 0
令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,
f(z)aib , ( z )1 i2 ,
课件
3
所 u 以 i v
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
(a x b y1 x2 y) i(b xa y2 x1 y)
于 u a x 是 b y 1 x 2 y ,
[证毕]
课件
8
根据 ,可 定得 理 f(z)函 一 u (x ,y 数 )i(v x ,y)在 点 zxy处 i 的导 : 数公式
f(z)uiv1uv. x x iy y
函数在区 D内域解析的充要条件 定理二 函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在其定义 域D内解析的充:要 u(x条 ,y)与 件 v(x是 ,y)在 D内可,并 微且满足柯西 程.－黎曼方
课件
11
(2 )f(z) ex (cy o issiy )n 指数函数
u exco y, s v exsiy,n
uexcoy,suexsiyn ,
x
y
四个偏导数
vexsiyn, vexcoy,s 均连续
x
y
即uv, uv. x y y x
故f(z)在复平面内处 ,处处 处可 解 . 导 析
且 f ( z ) e x (c y i s o y ) i s n f ( z ).
课件
15
但当 z沿第一象限 y内 kx趋 的于 射,零 线时
i[v(xx,yy)v(x,y)] ui v, 又u ( 因 x ,y )与 v ( 为 x ,y )在 (x ,y ) 点 可 , 微
课件
5
于 u 是 u x x u y y1 x 2 y ,
v x v x v y y3 x4 y, 其 lx中 i0m k0 , (k1 ,2 ,3 ,4 )
课件
10
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1 )w z; (2 )f(z) ex (cy o issiy )n ; (3 )w zRz)e.( 解 (1)wz, u x ,v y ,
u1 , u0 , v0 , v 1 . x y x y 不满足柯西－黎曼方程, 故wz在复平面内处 ,处处 处不 不.可 解导 析
第二节 函数解析的充要条件
一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理
定理一
设函数f (z) u(x, y)iv(x, y)定义在区域
D内,则f (z)在D内一点z x yi可导的充要条
件是: u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微,并且在该
点满足柯西－黎曼方程
柯西介绍
u v , u v. x y y x
课件
12
(3)wzRze)(x2 xy,i ux2, vx,y u2 x , u0 , vy, vx . x y x y 四个偏导数均连续 仅当 xy0时,满足柯西－黎 , 曼方 故w 函 zR z 数 )仅 e(z 在 0 处,可导 在复平面内处处不解.析
课件
13
例3 设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2),
问常a数 ,b,c,d取何值 , f(时 z)在复平面内处
解析 ? 解 u2xay,
x
v 2cxdy, x
u ax2by, y v dx2y, y
欲使 uv, uv, x y y x
2xaydx2y, 2cx d yax2by,
所 a 2 ,b 求 1 ,c 1 ,d 2 .
课件
14
例4 证明函 f(z) 数xy在点 z0满足柯 西－黎曼方 z0程 不但 可 . 在 导点
证 因为 f(z) xy , 所u 以 x,yv0,
u x(0,0)lx i0u m (x,0 x ) 0 u (0,0)0 vy(0,0), uy(0,0)ly i0m u(0,yy) 0 u(0,0) 0vx(0,0), 柯西－黎曼方z程 0成 在立 点 .
v b x a y 2 x 1 y .
因l为 im ( z)0, z 0
所以lxi m0 1
limx02源自0,y0y0
课件
4
由此 u (x ,y )与 可 v (x ,y )在 知 (x ,y ) 点 可 , 微 且满 足 uv方 , u 程 v. x y y x
(2) 充分性. 由于 f(z z) f(z) u(xx,yy)u(x,y)
f(zz)f(z) z
u x
i
v x
(1i3) x z(2i4) y z.
课件
7
因为 x1, y1,
z
z
lz i0 m (1 i3) x z (2 i4) y z 0 ,
所f( 以 z) lif m (z z)f(z) u i v .
z 0
z
x x
即 f ( z ) 函 u ( x , y ) i( x v , 数 y ) 在 z x y 点 可 i .
y 0
因 f(z 此 z ) f(z )
u x i x v x u y i v y y (1 i3 ) x (2 i4 ) y .
课件
6
由柯西－ u 黎 v, 曼 u 方 vi程 2v, x y y x x
f(z z)f(z)
u xi x v(xiy)(1 i3 ) x (2 i4 ) y .
课件
9
解析函数的判定方法: (1)如果能用求导导 公法 式则 与证 求实复变 数f(z)的导数在D区 内域 处处,存 则在 可根据 解析函数的定f(义 z)在 断 D内 定是解.析的
(2)如果复变函 f(z数 )uiv中u,v在D内 的各一阶偏导数、都连存(续 因 在而u,v(x, y) 可微 )并满足 CR方程 ,那么根据解析函数 的充要条件可以 f(z断 )在定 D内解.析