线性相关和线性无关的结论
32向量组的线性相关与线性无关(二)详解
解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
线性相关和线性无关
1 , 2 , 3 , 。4 线性无关。
14
；
例： 1 (1, 2,3, 2),2 (0, 2, 5,3),3 (1, 0, 2, 4),是否线性相关
；
解：行向量的处理方法，转置
1 0 1 1 0 1
A
2
2
0
0
1
1
3 5 2 0 0 9
2
3
4
0
0
0
r( A) 3,因此1,2,3线性无关
0
0
0
3x1 5x2 2x3 0
这是一个齐次线性方程组。
8
第三步：讨论齐次线性方程组解的问题； 讨论线性相关和线性无关，转化为讨论齐次线性方程 组是否存在非零解问题。有非零解即存在 不全为0的数x1, x2 , , xm ， 使 得 x11 x22 xmm 0 成 立，那么向量组线性相关。如果只有零解，那么向量 组线性无关
15
例: 设 (4,3,3,1),1 (1, 2,3, 4),2 (0,1, 2,3),3 (0, 0,1, 2)
4
(0,
0,
0,1);问
是否可由1,
2
,
3
,
线性表出,结果是多少
4
解: 注意处理行向量的方法
1 0 0 0 4 1 0 0 0 4
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
,
T
)
2 3
或者 存在不全为0的实数k1, k2, k3，使得k11 k22 k33 0
2
一、基本概念
定义（线性相关/线性无关）
设
1
,
，
2
m
3.2线性相关与线性无关
定理3.2.4可以简述为“相关组的截短向量组必为相关 组”.它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关 组”.
注意: “扩充或子组”与“接长或截短”的区别，前者 是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变， 维数增减.
不妨设km 0, 则有
如果m k11
m
k1mk(mk111
m1 ,
k
则
m
1
m
1
).
k11 km1 m1 1 • m 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于k个数k1 ,, km1 , km 1不全为零，故
1
,
2
,,
线性
m
相
关
。
例11设1 ,2 ,,m线 性 相 关 ，m 1且1 0.
证 明 ： 存 在 某 个t
这 就 是 说 ， 若 方 阵 的 行列 式 等 于 零 ， 则 它 的 行向 量 组
和 列 向 量 组 都 线 性 相 关； 若 方 阵 的 行 列 式 不 为零 ， 则
它 的 行 向 量 组 和 列 向 量组 都 线 性 无 关 。
定 理3.2.1m个n维 向 量1,2 ,,m (m 2)线 性 相 关
定理3.2.3可以简述为“相关组的扩充向量组必为相 关组”，或者“部分相关，整体必相关”.它的等价 说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整 体无关，部分必无关”.
定理3.2.4 设有两个向量组，它们的前n个分量对应 相等： i (ai1, ai2 ,, ain ),i 1,2,, m;
i (ai1, ai2 ,, ain , ai,n1 ),i 1,2,, m.
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。
一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。
2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。
二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。
2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。
三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。
§3.3 向量组的线性相关性
证明 记A (1,2 , ,m ), B (1,2 , ,m ,b),
则有R( A) R(B). 因A组线性无关,有R( A) m; 因B组线性相关,有R(B) < m 1.
所以m R(B) < m 1, 即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组(1,2 , ,m )x b
因 1,2,3 线性无关,
故有:
x1 x3 0 x1 x2 0,
1 01
x2 x3 0
1 1 0 2 0 , 故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 , 011
所以向量组 1, 2, 3 线性无关.
二、几个简单结论
定理3.10 设向量组A：1,2, ,m 线性相关,则 向量组B :1, ,m ,m1 也线性相关.
则向量 a, b, c 线性相关, 但 c 不可由 a,b 线性表示.
3. 线性相关性在线性方程组中的应用
当方程组中有某个方程是其他方程的线性组 合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方 程)是线性相关的；当方程组中没有多余方程, 就称 该方程组(各个方程)线性无关．
பைடு நூலகம் 定理3.9 向量组 1,2,,m 线性相关的充要条件是 它所构成的矩阵A=(1, 2,,m )的秩小于向量的
向量组 A：a1, a2, …, am
线性相关
m 元齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A) < m
说明
(1) 含有零向量的向量组必线性相关.
(2) 向量组只含一个向量 时: 若 =0, 则向量组线性相关; 若 0, 则向量组线性无关.
(3) 两个向量 1,2 线性相关的充分必要条件是 存在常数k, 使得 1= k2 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.2性质定理总结：
一、线性相关的判别：
1、m ααα ,,21线性相关⇔存在不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得
1122m m k k k .ααα++= 0
2、1α线性相关⇔ 1α=0.
3、12,αα线性相关⇔ 1α与2α的对应分量成比例.
4、m ααα ,,21线性相关⇔其中至少有一个向量能用其余向量线性表示.
5、n 个n 维向量线性相关⇔它们构成的行列式等于零.
6、m ααα ,,21线性相关 ⇔m ααα ,,21的秩小于m .
7、对调坐标不改变向量组的线性相关性.
8、部分相关⇒整体相关.
9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关.
二、线性无关的判别：
1、m ααα ,,21线性无关⇔如果1122,m m k k k ααα++= 0则有
.021====m k k k
2、整体无关⇒部分无关.
3、无关则加长无关
三、线性相关的性质：
m ααα ,,21线性无关，12m ,,,αααβ 线性相关⇒β可由m ααα ,,21线性表 示，且表示法唯一.
四、线性无关的性质：
1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数.
2、等价线性无关向量组的向量个数相同.
五、向量组的秩的性质：
1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩.
A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组；
A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式.
2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩.
3、等价向量组的秩相同.
六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.。