线代线性相关与线性无关
线代解析
注：本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版《线代》同济五版《高数》浙大版的《概率》等有时间再写首先是知识框架：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。
换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。
我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。
我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵。
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。
阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。
换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。
考研数学线性代数必考的知识点
考研数学线性代数必考的知识点考研数学线性代数必考的知识点漫长的学习生涯中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
还在苦恼没有知识点总结吗？以下是店铺帮大家整理的考研数学线性代数必考的知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
考研数学线性代数必考的知识点篇1考研数学线性代数必考的重点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。
相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。
复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
考研数学概率以大纲为本夯实基础从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。
概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。
其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。
从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。
第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可以讨论随机变量，这就是第二章的内容。
线性代数的几何意义
线性代数的几何意义注解线性代数是优雅和有趣的一门学科，应用也很多，只是目前多数线性代数教材似乎都偏重"代数"而较少涉及"线性"一词包含的几何意义，所以可能给人印象较抽象，不容易让同学产生兴趣，有幸在以前偶然一次看到一位工程师自编的一本小册子叫《线性代数的几何意义》，加上后来阅读matlab 作者的书籍，才发现原来线性代数的几何含义真的印证了“数学之美”，的确很美，所以想借鉴这些零散的阅读，加上自己后来的理解，把它的部分几何意义注解一下，希望以前对线代没有很多兴趣的同学能喜欢上它，同时我也会保持更新，不断完善，一起体会数学无与伦比的美丽矩阵的几何意义1、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量的集合或由这些向量为基张成的空间（在力学分析，向量空间应用时常取此几何含义，后文把此类几何含义称作矩阵的向量空间）如矩阵5673⎛⎫⎪⎝⎭按照行向量可表示为如下形式2、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量终点组成的图形（在计算机图形学中常取此几何表示，后文把此类几何含义称作矩阵的图形），如矩阵579 635⎛⎫ ⎪⎝⎭按照列向量可表示为如下图形如下图是在matlab 中将z=sin(x)*cos(y)算得的离散点组成的矩阵表示成几何图形注1：如果单独查看一个矩阵m n A ⨯，可以有两种解读：矩阵A 由m 个n 维向量组成，或者由n 个m 维向量组成；在使用时会根据实际情或约定选择其中一种，而在参与变换或其他运算时，这两种解读一般不能混淆，一定要确定注2：当我们把矩阵表示成图形时，其作图没有固定标准，并不一定是把所有向量终点连接起来构成一个多边形，规则是使用者制定的，可以是网格，可以是离散面片等行列式的几何意义一个方阵n n A ⨯的行列式的绝对值是其行向量或列向量所张成的平行几何体的空间积，对于二阶行列式，就是向量张成的平行四边形的面积，对于三阶行列式，就是对应平行六面体的体积；如方阵5673⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式绝对值为27，它就是下图平行四边形的面积注：行列式其实是带有符号的，实际上，正负号表征了这些向量作为线性空间基的手性，正号表示右手系，负号表示左手系，在二阶矩阵的向量空间里，其判别方法是，伸出右手和矩阵的第一个列向量或行向量平行，然后调整手的正反使得能从此向量转过小于180度的角到达第二个向量，这时大拇指如果朝上（从纸面指向自己）则为右手系，矩阵的行列式为正，反之则为左手系，对应行列式为负；如果是三阶矩阵，则从第一个向量转向第二个向量时，如果大拇指指向第三个向量方向（不必重合），则为右手系，其行列式为正，反之为左手系，行列式为负；其实这一点上更广义的表述应是向量空间的基相对自然坐标系的顺序性（代数上可用逆序数表达）克拉默法则的几何意义以二维形式为例来说明其几何意义:方程A x =b ，设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，b =12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，待求的x =12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将A 的两个列向量分别表示为a1,a2，那么原方程可表示为1x a1+2x a2=b ，这样可以把1x 与2x 看作是列向量a1,a2的伸缩因子，经过伸缩后再叠加即得到和向量b ，故原方程可以看作已知列向量被伸缩并叠加后的向量b ，求伸缩因子i x我们已经知道行列式的几何意义，显然矩阵A 对应的平行四边形的面积就是|A|（这里以带符号的有方向面积表示，因为伸缩因子也是有符号的），当某一个向量被伸缩后，如图将OB 边伸长至OE ，形成新的平行四边形OAFE ，记其面积为OAFE S ，这样a1的伸缩因子1x 可表示为||OAFE S A ，显然只要求出OAFE S 即可解出未知量；图中OG 即向量b ，因为它是1x a1，2x a2的线性叠加，所以G 点必在EF 的延长线上，这样OG 和OE 相对OA 边的高就是相同的，故OA 与OG 组成的平行四边形面积和OAFE 相同，即OAFE S =|b a2|，所以可求得1x =|b a2|/|A|，同理可得2x =|a1 b |/|A|，可以看出此表达式和克拉默法则等价矩阵乘法的几何意义我们知道矩阵是由若干向量组成的，因此可自然地把矩阵乘法看作是两个矩阵的同维向量之间做内积（或点乘），而内积的意义是两向量同向投影的乘积，但这只是一个表面的几何含义，比较抽象（也有应用之处，后面会提到）；实际上，对于矩阵乘法C=AB ，作用后得到的新矩阵C 可以看作是矩阵A 经过某种变换得到的，也可以看作是矩阵B 经过某种变换后得到的，而这种变换显然就是乘以另一个矩阵的过程，结合前面提到的矩阵的几何意义，故可以把矩阵乘法C=AB 看作是图形A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新图形C ，或者是向量空间A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新的向量空间C ，对于简单的变换矩阵这一点最容易感性体会到；例如变换矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原3D 图形向x-y 面投影，变换矩阵100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原图形对x 轴镜像，变换矩阵cos30sin 30sin 30cos30-⎛⎫ ⎪⎝⎭会把原2D 图形相对原点逆时针旋转30度。
第三版线代第四章
推论： 对n阶矩阵 A [a1 a2 an ], r( A) n 的充要条件是至 少有一列可由其余列线性表出，此时又等价于 det( A) 0 。
定理5 若已知向量v1、… 、vk线性无关，而加上
向量 v后，向量v 、v1、… 、vk成线性相关，则向量v
可依v1、… 、vk线性表出，且表出式是惟一确定的.
（ 5-
先用反证法证明，其中的 先用反证法证明，其中的 不可能等于零 不可能等于零 .
例6 给定向量集S1 {1 , 2 , 3}及S2 {1 , 2 , 3 , 4 }，其中
1 1 3 2 ， = 2 ， = 0 ， = 5 ， 1 = 1 ）S1是否线性相关，（2）S2是否线性相关以及 4可否依S1线性表出？
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax b
(4-4)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的 m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2
… bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与 之具有相同系数矩阵的方程组
若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行
列式或者简称为子式，则定义１可以说成r (A)是A
的一切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k ,则A
至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子 式(如果存在的话)的值必为零.
例1 求下列矩阵的秩:
2 1 1 (2) B (1) A 2 2 1 4 8 2 1
(4)若r(A)=k，则A至少有一个非零的k阶子式，但
不能说明A的所有k阶子式均不为零，然而可以断 定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。
线代题型知识点总结
线代题型知识点总结在线性代数的学习中，有一些重要的知识点需要掌握，包括向量空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值和特征向量等。
下面我们来对这些知识点进行总结。
1. 向量空间向量空间是线性代数的基本概念，它是集合中的元素按照一定的规则进行线性组合形成的空间。
向量空间必须满足一些基本的性质，包括封闭性、结合律、交换律、单位元和逆元等。
在向量空间中，我们可以定义加法和数乘运算，并且这两种运算满足线性性质。
向量空间的一些重要的性质包括线性相关和线性无关、基和维数、子空间等。
线性相关是指向量之间存在一定的线性关系，而线性无关则表示向量之间不存在线性关系。
基是指向量空间中的一组线性无关的向量，并且这组向量可以生成整个向量空间。
向量空间的维数是指生成向量空间的最小的基的大小。
2. 线性变换线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，并且满足一定的线性性质。
线性变换可以使用矩阵来表示，并且线性变换具有一些重要的性质，包括线性性、保持加法和数乘运算、保持零向量等。
线性变换的一些重要的性质包括核和像、秩和零化度等。
核是指线性变换的零空间，它包括所有被映射到零向量的向量，而像是指线性变换映射到的向量空间。
线性变换的秩是指像的维数，而零化度是指核的维数。
3. 矩阵矩阵是线性代数中的一个重要工具，它可以用来表示线性变换、解线性方程组等。
矩阵的一些重要的性质包括行空间和列空间、转置矩阵、逆矩阵等。
行空间是指矩阵的所有行张成的空间，而列空间是指矩阵的所有列张成的空间。
转置矩阵是将矩阵的行和列进行交换得到的矩阵，而逆矩阵是指矩阵的乘法逆元。
4. 行列式行列式是矩阵的一个重要的性质，它可以用来求解线性方程组的解、判断矩阵的逆是否存在等。
行列式的计算包括按照对角线元素进行乘积减去反对角线元素进行乘积，并且可以使用化简和展开等方法来计算。
行列式的一些重要的性质包括行列式的性质和余子式和代数余子式的关系等。
宋浩线代辅导讲义
宋浩线代辅导讲义一、引言宋浩线代辅导讲义是为了帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法而编写的。
线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
本讲义将从基础概念开始介绍，并逐步深入，帮助学生建立起对线性代数的系统性理解。
二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组2.1.1 定义与表示定义：线性方程组是由一系列线性等式组成的方程组。
例如，下面是一个包含三个未知数x、y、z的线性方程组：2x + y - z = 4x - y + 3z = -13x + 2y + z = 72.1.2 解的存在唯一性对于一个线性方程组，它可能有三种解的情况：•无解：当方程组中存在矛盾等式时，即出现了0=1这样不可能成立的等式。
•有唯一解：当方程组中的方程数量等于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组有唯一解。
•有无穷多解：当方程组中的方程数量小于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵不满秩时，方程组有无穷多解。
2.2 矩阵与向量2.2.1 矩阵的定义与运算定义：矩阵是一个按照长方阵列排列的数表。
一个m×n的矩阵有m行n列。
例如，下面是一个3×3的矩阵：1 2 34 5 67 8 9矩阵可以进行加法、减法和乘法等运算。
其中，加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，乘法则需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
2.2.2 向量与线性组合定义：向量是一种特殊类型的矩阵，它只有一列。
向量可以表示为：v = [v1, v2, ..., vn]其中vi表示向量v中第i个元素。
线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行加权求和的操作。
例如，对于向量v1和v2，它们的线性组合可以表示为：c1 * v1 + c2 * v2其中c1和c2为常数。
2.3 矩阵的转置与逆2.3.1 矩阵的转置定义：矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如，对于一个3×2的矩阵A，其转置矩阵记为A^T，可以表示为：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32]2.3.2 矩阵的逆定义：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式.............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线.................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式.............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质.......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式.............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素.............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵...................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则...................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式.............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵.................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块.............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换...................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价.................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵.................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵.......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题...................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵.................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形：...................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩：.............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论................................................................................................................................ - 10 -22、线性方程组概念.................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念........................................................................................................ - 11 -25、线性方程组的向量形式........................................................................................................................................ - 12 -26、线性相关与线性无关的概念.......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题 ...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念.......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题 .......................................................... - 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理........................................................................................................ - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩............................................................................................................................ - 12 -33、线性方程组解的结构............................................................................................................................................ - 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结1线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。
下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对20__考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。
考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n维 基 本 向 量
2 、已知n维单位向量1 , 2 ,, n , 其中 i (0,0,1, 0,, 0), i 1, 2,, n; 任一n维向量 (b1 , b2 ,, bn )能由1 , 2 ,, n 线性表示.
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应
二、线性表示的概念及判定
给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一 定义１ 组实数k1，k2， , km， 向量 k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
6.n维基本向量 1 , 2 ,, n一定线性无关 .
例1：判别向量组1 (1,1,1), 2 (0, 2,5), 3 (1,3,6)的线性 相关性 .
判断1， 2， ， m是否线性相关 x11 x2 2 xm m 0仅有零解
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例.
T m
T 2
T 1
T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
T 1
T 2
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
n个m维列向量所组成的向量组1 , 2 ,, n , 构成一个m n矩阵
A (1 , 2 , , n )
五、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 四个定理．（难点）
作业：
P113 1, 3（1）
题型 Ⅰ 向量组的线性相关性的判断
证
设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x （ x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, 1 1 2） 亦即 （ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
向量组a , a ,, a n称为矩阵A的列向量组.
1
2
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1 n a2n a in a mn
定义2 对于n维行（列）向量 1， 2， ， m，，如果存在 一组数1，2， ，m，使得
11 2 2 m m 则称向量 是向量组1， 2， ， m的一个线性组合，或 称向量 能由向量组1， 2， ， m线性表示（线性表出） .
方法一 利用定义或结论判别
（1）两向量线性相关的充要条件是其分量成比例 （2）单独一个零向量组成的向量组线性相关；含 有零向量的向量组必线性相关 （3）向量组线性无关，则该向量组的任何部分 向量组必线性无关；向量组的部分向量组线性相 关，则该向量组必线性相关。 （4）一向量组线性无关，则在相同位置增加相同个数的 分量所得的向量组必线性无关；一向量组线性相关，则在 相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关。 （5）任意n+1个n维向量必线性相关
若给方程组有非零解，则向量组1， 2， ， m 线性相关；若只有零解，则线性无关。
题型Ⅱ 判断向量能否由向量组线性表出
方法一 先根据定义设 =x11 x2 2 xt t 非齐次线性方程组。然后求解该方程组。如果有 解就能线性表出，如果无解就不能线性表出。
由向量相等的关系，写出以x1 , x2 ,, xt为未知元的
方法二 如果1 , 2 ,, m线性无关，而1 ,
2 ,, m， 线性相关，则 可由1 , 2 ,, m唯一
线性表出。
练习题
1、讨论下列向量组是线性相关还是线性无关
2 1 （） 1 1 ， 2 5 3
线性无关
1 0 1 ， 2 ， 0 （2）1 2 2 3 3 5 2
必要性
设 1 , 2 ,, m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使 k11 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设k1 0, 则有
k2 k3 km 1 k 2 k 3 k 1 1 1 m .
方法二
设x11 x2 2 xm m 0 其中 i ( a1i , a2 i , , ami ), 得到 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1m xm 0 a2 m xm 0 anm xm 0
4.2 线性相关与线性无关
一、向量 向量组与矩阵 二、线性表示的概念及判定 三、线性相关性的概念及判定 四、线性相关性的有关结论
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
因1， 2， 3线性无关，故有
x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
由于此方程组的系数行 列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1 故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
仅有零解 线性无关 有非零解 线性相关
例2 已知向量组1 , 2 , 3 线性无关 , b1 1 2 , b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
1 , 2 ,, m中，若存在某子向量组 定理 3 在n维向量组 线性相关，则向量组 1 , 2 ,, m一定线性相关 .反之， 若向量组 1 , 2 ,, m线性无关，则它的任意 子向量组
都线性无关 .
1 , 2 ,, m同时去掉相应的 n s(n s) 定理 4 n维向量组 个分量后得 s维数向量组 1 , 2 ,, m，其中
能由其余向量线性表示. 即有
m 11 2 2 m1 m1
故 11 2 2 m1 m1 1 m 0
Байду номын сангаас
因 1 , 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 , 2 ,, m 线性相关.
T m 个 n维 行 向 量 所 组 成 1 T T T T 2 的向量组 1 , 2 , m , B T 构成一个 m n矩 阵 m
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
当b1 b2 bm 0 时，称为齐次线性方程组 当 b1 , b2 ,, bm 不全为零时，称为非齐次线性方程组
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
四、线性相关性的有关结论
,, m 定理1 向量组1 , 2 m 2时）线性相关 （当 的充分必要条件是 1 , 2 ,, m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 1 , 2 ,, m 中有一个向量（比如 m ）
a1 j a1 j a a 2j 2j j , j , j 1,2, , m , 则 a nj a sj
(1)若1 ,2 ,,m线性相关，则 1 , 2 ,, m也一定线性相关 ; (2)若1 , 2 ,, m线性无关，则 1 ,2 ,,m也一定线性无关 .
线性相关
2、设 （0，1，2，3），1 （2，2，3，1），
2 （-1，2，1，2）， 3 （2，1，-1，-2）， 问 能否由1， 2， 3线性表出？
不能线性表出
3、判断 能否由向量组1 ， 2， ， m线性表示 非齐次线性方程组x11 x2 2 xm m b 是否有解.
三、线性相关性的概念及判定
定义3 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 全为零的数k1 , k2 , , km使 k11 k2 2 km m 0 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关 注意 1. 若 1 , 2 , , n线性无关 , 则只有当 1 n 0时, 才有 11 2 2 n n 0 成立 .