线性相关与线性无关
2.3线性相关和线性无关
例设
2 1 1 2
3
,
1
1 ,2
2
,
3
3
1
2
3
5
试判断 可否由1,2 ,3 线性表出，如果可以，
请给出它的一种表达式。
解设
k11 k2 2 k33
即
k1 k1
k2 2k2
2k3 3k
3
2
3
2k1 3k2 5k3 1
关的。
【复习思考题】 1、利用非齐次和齐次线性方程组的向量形式,谈谈 你是怎样理解线性组合、线性相关、线性无关这几 个概念的. 2、叙述证明一个向量组线性无关(或线性)的过程. 3、一个行向量组的线性相关性与它们对应的列向量 组的线性相关性否相同?为什么?
a1r1k1 a2r1k2 asr1ks 0
a1n k1 a2n k2 asn ks 0
在前面n个等式中，前面r个等式表明由于向量组
a1, a2 ,, as 是线性无关的，所以有
k11 k2 2 ks s
于是上面的方程组只有零解 k1 k2 ks 0，
因此向量组1, 2 ,, s 线性无关。
(l1
k1 k
)1
(l2
k2 k
)2
(ln
kn k
)n
由a1, a2 , , an 线性无关，有
li
ki k
0(i 1, 2,
, n)
即
l1
k1 k
, l2
k2 k
,
, ln
kn k
所以表示方法唯一。
性质3 如果向量组 a1 , a2 ,, as线性相关，则添加
若干个向量以后得到的新的向量组
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性标题：线性相关性与线性无关性的原理和应用引言：在数学和统计学中，线性相关性和线性无关性是两个基本概念。
它们对于解决各种实际问题和优化模型都具有重要意义。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的原理、性质以及在实际应用中的具体应用案例。
一、线性相关性的定义与性质1.1 线性相关性的定义线性相关性指的是两个或多个变量之间存在线性关系，即它们的数值可以通过线性方程或线性组合相互表示。
如果存在非零系数，能够使得线性组合等于零，则这些变量是线性相关的。
1.2 线性相关性的性质（1）线性相关性是对称的，即若变量A与变量B线性相关，则变量B与变量A也线性相关。
（2）如果变量A与变量B线性相关，并且变量B与变量C线性相关，则变量A与变量C也线性相关。
（3）若某组变量中存在一个变量与其他变量线性无关，则该组变量是线性无关的。
二、线性无关性的定义与性质2.1 线性无关性的定义线性无关性指的是一个向量组中的各个向量之间不存在线性关系，即不能由其他向量线性表示。
2.2 线性无关性的性质（1）线性无关性并不意味着所有变量都是相互独立的，它只是表示线性关系的独立性。
（2）如果变量A与变量B线性无关，并且变量B与变量C线性无关，则变量A与变量C也线性无关。
（3）在具有n个未知数和n个方程的线性方程组中，如果其系数矩阵满秩，那么方程组的解是唯一的。
三、线性相关性与线性无关性的应用案例3.1 线性相关性在金融领域的应用在金融领域，线性相关性常用于构建投资组合和风险管理。
通过对不同资产的历史数据进行线性相关性分析，可以评估它们之间的相关性程度，有助于投资者进行有效的分散投资和风险控制。
3.2 线性无关性在图像处理中的应用在图像处理领域，线性无关性可以用于图像压缩和去噪。
通过去除图像中线性相关的冗余信息，可以有效减小图像文件大小，提高存储和传输效率。
同时，利用线性无关性的特性，可以去除图像中的噪声，还原出清晰的图像。
向量的线性相关与线性无关
向量的线性相关与线性无关向量是线性代数中的重要概念，线性相关与线性无关是衡量向量之间关系的重要性质。
本文将介绍向量的线性相关与线性无关的概念、判断方法以及相关性质。
一、线性相关与线性无关的概念1. 向量的线性组合在线性代数中，给定n个向量v1、v2、...、vn和任意的实数c1、c2、...、cn，称向量u=c1v1+c2v2+...+cnvn为向量v1、v2、...、vn的线性组合。
2. 向量的线性相关如果存在不全为0的实数c1、c2、...、cn，使得向量v1、v2、...、vn的线性组合等于零向量0，则称向量v1、v2、...、vn线性相关。
3. 向量的线性无关如果向量v1、v2、...、vn的线性组合等于零向量0时，只有所有的系数c1、c2、...、cn都为零，则称向量v1、v2、...、vn线性无关。
二、判断向量的线性相关与线性无关的方法1. 利用矩阵求解将向量v1、v2、...、vn按列排成矩阵A=(v1 v2 ... vn)，则向量v1、v2、...、vn线性相关等价于齐次线性方程组AX=0有非零解，其中X是列向量(x1 x2 ... xn)。
如果齐次线性方程组只有零解，则向量v1、v2、...、vn线性无关。
2. 利用向量间线性组合的性质设有向量v1、v2、...、vn，若存在实数c1、c2、...、cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，且至少存在一个ci≠0，则向量v1、v2、 (v)线性相关；若仅当c1=c2=...=cn=0时，向量v1、v2、...、vn线性无关。
三、线性相关与线性无关的性质1. 线性相关和线性无关的基本性质（1）一个向量线性相关，则至少存在一个非零向量与之线性相关；（2）若向量组中有一个零向量，则线性相关；（3）若向量组中向量的个数大于向量的维数，则线性相关；（4）若向量组中含有相同的向量，则线性相关。
2. 线性相关与线性无关的基本关系（1）若向量组B可由向量组A线性表示，则向量组B线性相关；（2）若向量组B含有一个线性相关的向量，则向量组B线性相关；（3）若向量组B与向量组A等价，则向量组B线性相关或线性无关。
空间向量的线性相关与线性无关性质
空间向量的线性相关与线性无关性质空间向量的线性相关与线性无关性质是线性代数中的重要概念。
在本文中，我们将探讨空间向量的线性相关与线性无关性质，并说明它们的定义、性质和应用。
一. 线性相关和线性无关的定义在空间向量的研究中，我们将一个向量集合称为线性相关，如果存在不全为零的标量使得这些向量的线性组合等于零向量。
换句话说，如果存在一组不全为零的标量α1、α2、...、αn，使得向量v1、v2、...、vn的线性组合满足α1*v1 + α2*v2 + ... + αn*vn = 0那么这个向量集合就是线性相关的。
相反地，如果向量集合中的任何线性组合只能等于零向量，当且仅当所有标量都为零时，这个向量集合就被称为线性无关的。
二. 线性相关与线性无关的性质1. 若向量集合中存在一个零向量，则这个向量集合一定是线性相关的。
证明：由于零向量可以被表示为任意向量的线性组合，所以上述线性组合中的所有标量都可以为零，从而向量集合为线性相关。
2. 若向量集合中的向量个数大于向量的维数，则该向量集合一定是线性相关的。
证明：若向量集合中的向量个数大于向量的维数，根据线性代数的理论，该向量集合无法构成一个线性无关的生成集，从而必然存在非零标量的线性组合等于零向量，因此向量集合为线性相关。
三. 线性无关的应用线性无关是研究向量空间的重要性质，它在许多应用中扮演着重要角色。
下面介绍几个典型的应用。
1. 线性方程组的解唯一性对于一个由线性方程组组成的问题，如果该线性方程组的系数矩阵的列向量是线性无关的，那么该线性方程组的解是唯一的。
否则，如果系数矩阵的列向量是线性相关的，那么解的个数将大于1。
2. 子空间的维度在研究向量空间的子空间时，线性无关的向量个数决定了子空间的维度。
具体来说，如果一个子空间由n个线性无关的向量生成，那么该子空间的维度为n。
3. 矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的线性无关列向量的最大个数。
它是矩阵理论中的一个重要概念，被广泛应用于线性代数、概率论、图论等各个领域。
高中数学中的向量线性相关与线性无关
高中数学中的向量线性相关与线性无关在高中数学学习中，向量是一个非常重要的概念。
而在向量的研究中，线性相关与线性无关是一个基础而又关键的概念。
本文将探讨高中数学中的向量线性相关与线性无关的概念及其应用。
一、向量的线性相关与线性无关的定义在向量的研究中，我们经常会遇到多个向量同时出现的情况。
而这些向量之间的关系可以分为线性相关和线性无关两种情况。
1. 线性相关如果存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以下关系：$k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=0$其中，$0$表示零向量。
那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性相关。
2. 线性无关如果不存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以上关系，那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性无关。
二、线性相关与线性无关的几何意义线性相关与线性无关的概念在几何上有着重要的意义。
我们以二维向量为例进行说明。
假设有两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$，我们可以将它们画在二维平面上。
如果这两个向量共线，即它们的方向相同或相反，那么它们是线性相关的。
反之，如果这两个向量不共线，即它们的方向不同，那么它们是线性无关的。
同样地，对于三维向量，我们可以将它们画在三维空间中。
如果多个向量共面，那么它们是线性相关的。
反之，如果多个向量不共面，那么它们是线性无关的。
三、线性相关与线性无关的应用线性相关与线性无关的概念在向量的运算中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 向量的线性组合线性相关的向量可以通过调整系数的大小，通过线性组合的方式得到零向量。
而线性无关的向量则不能通过线性组合得到零向量。
2. 坐标系的建立在坐标系的建立中，我们通常会选择线性无关的向量作为坐标轴。
这样可以保证坐标系的唯一性和准确性。
3. 向量的基与维数如果向量组中的向量线性无关，并且能够通过线性组合得到其他向量，那么我们称这组向量为基。
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
空间向量的线性相关与线性无关
空间向量的线性相关与线性无关在线性代数中，空间向量的线性相关性和线性无关性是非常重要的概念。
线性相关和线性无关是用来描述多个向量之间的关系，它们在向量的线性组合中起着至关重要的作用。
本文将详细解释空间向量的线性相关和线性无关的概念，以及它们在实际问题中的应用。
一、线性相关和线性无关的定义在讨论线性相关和线性无关之前，我们首先需要了解向量的线性组合的概念。
对于给定的向量集合{v₁,v₂,...,vₙ}，它们的线性组合可以表示为：a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ其中a₁,a₂,...,aₙ为标量。
如果存在一组不全为零的标量a₁,a₂,...,aₙ使得上述线性组合等于零向量，即：a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ = 0那么我们说这组向量是线性相关的。
反之，如果只有当所有的标量a₁,a₂,...,aₙ都等于零时，上述线性组合才能等于零向量，那么我们说这组向量是线性无关的。
二、线性相关和线性无关的判断方法对于一组给定的向量，我们如何判断它们是线性相关还是线性无关的呢？一个常用的方法是使用行列式。
假设我们有n个n维向量组成的矩阵A=[v₁,v₂,...,vₙ]，其中v₁,v₂,...,vₙ为这组向量。
如果矩阵A的行列式det(A)=0，则这组向量是线性相关的；否则，它们是线性无关的。
这是由于线性相关性的定义中，线性组合等于零向量相当于系数矩阵的行列式等于零。
三、线性相关和线性无关的性质线性相关和线性无关具有一些重要的性质。
首先，如果一组向量中存在一个零向量，那么这组向量一定是线性相关的，因为只需将对应的标量取为1，其余标量取为零，线性组合就等于零向量。
其次，如果一组向量中包含的向量个数大于向量的维数，那么这组向量一定是线性相关的。
这是因为如果向量的个数大于维数，则存在自由变量，可以通过系数的选择使得线性组合等于零向量。
最后，如果一组向量中没有零向量，并且向量的个数小于等于向量的维数，那么这组向量可能是线性相关的也可能是线性无关的，需要进一步判断。
线性相关和线性无关
1 , 2 , 3 , 。4 线性无关。
14
；
例： 1 (1, 2,3, 2),2 (0, 2, 5,3),3 (1, 0, 2, 4),是否线性相关
；
解：行向量的处理方法，转置
1 0 1 1 0 1
A
2
2
0
0
1
1
3 5 2 0 0 9
2
3
4
0
0
0
r( A) 3,因此1,2,3线性无关
0
0
0
3x1 5x2 2x3 0
这是一个齐次线性方程组。
8
第三步：讨论齐次线性方程组解的问题； 讨论线性相关和线性无关，转化为讨论齐次线性方程 组是否存在非零解问题。有非零解即存在 不全为0的数x1, x2 , , xm ， 使 得 x11 x22 xmm 0 成 立，那么向量组线性相关。如果只有零解，那么向量 组线性无关
15
例: 设 (4,3,3,1),1 (1, 2,3, 4),2 (0,1, 2,3),3 (0, 0,1, 2)
4
(0,
0,
0,1);问
是否可由1,
2
,
3
,
线性表出,结果是多少
4
解: 注意处理行向量的方法
1 0 0 0 4 1 0 0 0 4
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
,
T
)
2 3
或者 存在不全为0的实数k1, k2, k3，使得k11 k22 k33 0
2
一、基本概念
定义（线性相关/线性无关）
设
1
,
，
2
m
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把它们相加得到2(k1 k2 k3 ) 0.据此立得
k1 k2 k3 0, 这就证明了1 , 2 , 3线性无关.
3.2.2求相关系数的方法
考虑m个n维列向量：
a11
a12
a1m
1
a21 an1
,
2
a22 an2
,
,m
a2m anm
.
1,2 , m线 性 相 关 存 在m个 不 全 为 零 的 数 k1 , k2 , , km , 使 得k11 k22 kmm 0
k1
,
k
2
,
k
使得
3
k11 k22 k33 0.
2 1 3
1 1 1
解
A
(1
,
2
,
3
)
3
2
2
r1 r3
3
2
2
1 1 1
2 1 3
1 1 1
1 1 1
r1 ( 3 ) r1 ( 2 )
r2
r3
0 0
1 1
5
r2 ( 1)r3
0
1
5
5
0 0 0
由于 R( A) 2 3 ,从而 1,2,3 线性相关
方 程x11 x22 x33 0的 同 解 线 性 方 程 组 为
x1 x2
x2 x3 5x3 0.
0,
令x3 1, 可 得 一 组 解 为x2 5, x1 4.取k1 4,
k2 5, k3 1, 得 41 52 3 0
两个重要结论：
（1）n个n维 列 向 量1,2 ,
线
性
相
关
组
：
（
1，3，1）, (2,1,0), (1,4,1)和
2
1， 43， 00
1 0 2
2 30 因 为 1 4 0 22 0，
以 下m元 齐 次 方 程 组 有 非 零 解
a11 x1 a12 x2 a1m xm 0,
a21x1a22 x2 a2m xm
0,
an1 x1 an2 x2 anm xm 0,
即 Ax 0有非零解，这里A (1,2 , ,m )为 n m
矩阵.求出的非零解的m个分量x1 k1, x2 k2 , , xm km ,
证 设k11 k22 k33 0.将 已 知 条 件 代 入 得
k1(2 3 ) k2 (1 3 ) k3 1 2 0.
把它整理后可得
（k2 k3 )1 (k1 k3 )2 (k1 k2 )3 0.
因为
1
,
2
,
线性无关
3
，
必有
k2 k3 0, k1 k3 0, k1 k2 0.
x1
x2
x3
0.
因为它的系数行列式
2 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 0, 111 1 0 0
所 以 此 线 性 方 程 组 只 有零 解,这 说 明1,2 ,3
线性 无关.
例7若1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
证
明
以
下
向量
组
线
性
无
关
：
1 2 3，2 1 3，3 1 2 .
见书中例1－2（P87）
3.2.1线性相关性概念
定义1 设 1 ,2 , ,m是m个n维向量，如果存
在m个不全为零的数 k1, k2 , , km 使得
k11 k22 kmm 0
则称向量组1,2 ,
,
线
m
性
相
关,
称k1
,
k2
,
, km
为相关系数.否则，称向量组1,2 ,
,
线
m
性
无
关.
例3(1)单个向量 (1,1,2)线性相关还是线性无关? (2)向量1 (1,2,3)与向量2 (2,4,6)是否线性相关? (3)判断向量组1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)线性相关性.
结论(1)任意一个含零向量的向量组必为线性相关组.
如：1，2 , ,m ,0, 则必有 01 02 0m 1 • 0 0.
(2)单个向量线性相关 0；单个向量线性无关
0.
(3)两个非零的n维向量 , 线性相关当且仅当存在不 .
k
l
例5 n维 标 准 单 位 向 量 组 ：
i
0,
,0, 1 ,0, 第i列
,0 ,
i
1,2,
,n
线 性 无 关.
因 为k1 1,0, ,0 k2 0,1,0 ,0 kn 0, ,0,1 (0, ,0)
k1
k2
kn
0,
所
以
1，
2，
，
线
n
性
无
关
。
例6 问 向 量 组1 （2，3，1）,2 1,2,1,3 3,2,1
就是所要求的相关系数。类似地，
m个n维行向量1 ,2 , ,m 线性相关
m个n维列向量
T 1
,
T 2
,
,
T 线性相关
m
齐次线性方程组 Ax 0有非零解，这里
A
(
T 1
,
T 2
,
,
T m
)为n
m矩阵
.
2 1 3
例
讨论向量组
1
3
,
2
2
,
3
2
的线性相关性.若
1
1
1
线性相关，则 求出一组不全为零的数
成 比 例).
(3)k1(1,0,0) k2 (0,1,0) k3 (0,0,1) 0 k1 k2
km 0,因 此,向 量 组1 , 2 , 3是 线 性 无 关.
定义2 设1 ,2 , ,m是一个n维向量组.若 k1 1 k22 kmm 0仅当k1 k2 km 0 时成立, 则称向量组1 ,2 , ,m线性无关.
解 (1)k(1,1,2) 0 k 0所 以 向 量线 性 无 关.
切 记 任 意 非 零 向 量 都 是线 性 无 关 的.
(2)k1(1,2,3) k2(2,4,6) (0,0,0),取k1 2, k2 1,
所
以
向
量
组
1
,
线
2
性
相
关.
(两 个 向 量 的 向 量 组 线 性相 关 充 要 条 件 为 对 应 分量
是否线性相关？
解 设x11 x2 2 x3 3 0,即
x1 2，3，1 x2 1,2,1 x3 3,2,1 0,0,0.
令 等 式 两 边 的 三 个 分 量分 别 相 等 ， 就 可 以 列 出
组 合 系 数 满 足 的 线 性 方程 组
2 x1 x2 3 x3 0,
3x1 2x2 2x3 0,
,
线
n
性
无
关
矩阵
A (1,2 , , an ) 0.
(因为齐次线性方程组Ax 0只有零解当且仅当A 0)
(2)当m n时 ，m个n维 列 向量1,2 , ,m一 定 线性 相 关. - 1 3 1 即变量个数大于方程个数有自由变量
例10 因为 2 1 0 0，所以下面的两个向量组都是
1 41