线性相关线性无关
线性相关与线性无关
由向量组1， 2， ， m 线性无关知：
k1 k 2 k m 0 故 可由1， 2， ， m线性表示。
下证唯一
设 k11 k 2 2 k m m
n维列向量组 1 , 2 n 可以排成一个m×n分块矩阵
A 1 , 2 , n
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
解： 设 k11 k 2 2 k 3 3 O
k1 2k 2 4k 3 0
k1 k 2 k 3 0
1 2 4 系数行列式为 2 3 1 2k1 3k2 k3 0 1 1 1
3 2 8 12 4 1 0
故 方程组有非零解，即有非零的数 k1, k2 , k3 使
b 1 1 2 2 m m
则称向量是向量组 的线性组合或称向量 b A b能 向量组 线性表示。 A
向量组的等价
定义:
设有两个 n 维向量组
( I ) : 1 , 2 , , r ( II ) : 1 , 2 , , s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性 表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示； 若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示， 则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
n维行向量组
T
a1 n a2n a in a mn
平面向量的线性相关性和线性无关性
平面向量的线性相关性和线性无关性平面向量是数学中的重要概念，用于描述平面上的点和矢量之间的关系。
在研究平面向量时，我们经常遇到线性相关性和线性无关性的概念。
这两个概念在矢量空间理论中具有重要意义，本文将深入探讨平面向量的线性相关性和线性无关性。
一、线性相关性的定义及判断方法线性相关性是指若存在不全为零的系数，使得若干个向量的线性组合等于零向量，则这些向量被称为线性相关。
具体而言，给定平面上的n个向量A1，A2，...，An，若存在不全为零的系数k1，k2，...，kn，使得k1A1 + k2A2 + ... + knAn = 0，则这n个向量线性相关。
判断向量线性相关的方法可以通过解线性方程组或检查行列式来实现。
对于n个向量组成的矩阵M = (A1, A2, ..., An)，我们可以将其行向量作为线性方程组的系数矩阵，并将等式右侧设为零向量。
若线性方程组有非零解，则向量线性相关；若线性方程组只有零解，则向量线性无关。
二、线性无关性的定义及判断方法线性无关性是指若n个向量不满足线性相关性的条件，则这些向量被称为线性无关。
即如果k1A1 + k2A2 + ... + knAn = 0的唯一解是k1 = k2 = ... = kn = 0，则这n个向量线性无关。
要判断向量线性无关，可以使用以下方法：将n个向量组合成矩阵，并将该矩阵进行行简化（高斯消元）操作，得到行简化阶梯形矩阵。
如果行简化阶梯形矩阵的主元个数等于向量的个数n，则向量线性无关；如果主元个数小于n，则向量线性相关。
三、示例分析为了更好地理解线性相关性和线性无关性的概念，我们以具体示例进行分析。
假设平面上有三个向量A、B、C，其坐标表示为：A = (1, 2)B = (3, 4)C = (-2, -4)我们可以将这三个向量组合成矩阵M = (A, B, C)，然后进行行简化操作，得到行简化阶梯形矩阵。
若该阶梯形矩阵的主元个数等于3，则向量A、B、C线性无关；若主元个数小于3，则向量A、B、C线性相关。
线性相关与线性无关
线性相关与线性无关线性相关和线性无关是线性代数中重要的概念，它们描述了向量之间的关系以及它们在空间中的位置和方向。
在本文中，我们将探讨线性相关和线性无关的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 定义线性相关是指存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于零向量。
换句话说，如果存在不全为零的常数c1、c2、…、cn，使得c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的。
而线性无关则是指不存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于零向量。
简而言之，如果c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0只有当c1= c2 = … = cn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性无关的。
2. 性质线性相关和线性无关有一些重要的性质。
2.1 线性相关性的传递性如果向量组{v1, v2, …, vn}中的某个向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组是线性相关的。
具体而言，如果存在c1、c2、…、cn-1，使得vn = c1v1 + c2v2 + … + cn-1vn-1，则这个向量组是线性相关的。
2.2 仅有一个向量的向量组是线性无关的只含一个向量的向量组肯定是线性无关的。
因为要使c1v1 = 0成立，必须令c1 = 0。
2.3 子集的线性相关性如果向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的，那么它的任意子集也是线性相关的。
这是因为如果向量组中的向量可以线性表示成零向量，那么删除其中的向量后，仍然可以通过相同的系数得到零向量。
3. 应用线性相关和线性无关在实际问题中具有广泛的应用。
3.1 线性方程组的解的个数对于一个包含n个未知数和m个线性方程的线性方程组，如果系数矩阵的秩等于扩展矩阵的秩，那么方程组的解存在且唯一。
换句话说，如果方程组的系数向量是线性无关的，那么方程组有唯一解。
3.2 判断向量空间的维数对于一个向量空间，其中向量组的线性无关的最大个数称为该向量空间的维数。
向量组线性相关与线性无关的判定方法_侯雯昕
向量组线性相关与线性无关的判定
方法_侯雯昕
向量组线性相关与线性无关的判定方法：
1. 直接比较：如果两个向量组之间的元素是一一对应的，可以直接比较它们的值，看它们是否存在线性关系。
2. 斜率比较：可以通过计算两个向量组之间所有元素对应位置的斜率，并将其与某一常数（如 1）进行比较，若斜率都相等，则说明两个向量组存在线性关系；若斜率不同，则说明两个向量组没有线性关系。
3. 相关系数比较：可以通过计算两个向量组的相关系数来判断它们是否存在线性关系。
相关系数的取值范围是[-1,1]，当相关系数大于 0 时，说明两个向量组存在正相关的线性关系；当相关系数小于 0 时，说明两个向量组存在负相关的线性关系；当相关系数等于 0 时，说明两个向量组没有线性关系。
向量的线性相关与线性无关
向量的线性相关与线性无关向量是线性代数中的一个重要概念，它与线性相关与线性无关的关系密切相关。
本文将对向量的线性相关性和线性无关性进行详细介绍，并给出具体的例子。
在线性代数中，我们将一个非零向量集合中的向量称为线性相关的，如果存在一组不全为零的实数，使得这些实数与向量的乘积之和为零。
换句话说，对于线性相关的向量集合，存在一组非零解，使得线性组合等于零向量。
否则，向量集合则被称为线性无关。
接下来，我们可以通过一个例子来更好地理解这个概念。
假设我们有两个向量a和b，它们分别为[1, 2]和[2, 4]。
我们可以看到，向量b是向量a的倍数，即存在一个不为零的实数k，使得k * a = b。
因此，这两个向量是线性相关的。
这可以通过以下的等式来证明：2*[1, 2] = [2, 4]。
因此，我们称向量a和向量b是线性相关的。
那么如何判断一个向量集合是否线性无关呢？我们可以通过求解线性方程组来判断。
如果方程组的只有零解，那么向量集合是线性无关的。
我们可以使用矩阵来表示向量集合，其中每列是一个向量。
假设我们有三个向量a，b和c，它们分别为[1, 2, 3]，[2, 4, 6]和[1, 0, 1]。
我们可以构建一个矩阵A，它的列向量是a，b和c。
我们可以将其写成如下形式：A = [1, 2, 3][2, 4, 6][1, 0, 1]为了判断这三个向量是否线性无关，我们需要将其转化为一个线性方程组，并求解出该方程组的解。
将A与一个未知向量乘积等于零向量，我们可以得到一个线性方程组：A * x = 0。
其中x是一个未知向量，0是零向量。
将上述的线性方程组进行求解，我们可以得到如下的简化形式：x1 + x2 = 0x1 + x3 = 03x1 + 2x2 + x3 = 0通过求解上述线性方程组，我们可以发现只有一个解，即x1 = 0，x2 = 0，x3 = 0。
因此，该向量集合是线性无关的。
通过这个例子，我们可以得出以下结论：1. 如果一个向量是零向量，那么它是线性相关的，因为可以通过与任意实数相乘等于零向量。
线性相关和线性无关
1 , 2 , 3 , 。4 线性无关。
14
；
例： 1 (1, 2,3, 2),2 (0, 2, 5,3),3 (1, 0, 2, 4),是否线性相关
；
解：行向量的处理方法，转置
1 0 1 1 0 1
A
2
2
0
0
1
1
3 5 2 0 0 9
2
3
4
0
0
0
r( A) 3,因此1,2,3线性无关
0
0
0
3x1 5x2 2x3 0
这是一个齐次线性方程组。
8
第三步：讨论齐次线性方程组解的问题； 讨论线性相关和线性无关，转化为讨论齐次线性方程 组是否存在非零解问题。有非零解即存在 不全为0的数x1, x2 , , xm ， 使 得 x11 x22 xmm 0 成 立，那么向量组线性相关。如果只有零解，那么向量 组线性无关
15
例: 设 (4,3,3,1),1 (1, 2,3, 4),2 (0,1, 2,3),3 (0, 0,1, 2)
4
(0,
0,
0,1);问
是否可由1,
2
,
3
,
线性表出,结果是多少
4
解: 注意处理行向量的方法
1 0 0 0 4 1 0 0 0 4
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
,
T
)
2 3
或者 存在不全为0的实数k1, k2, k3，使得k11 k22 k33 0
2
一、基本概念
定义（线性相关/线性无关）
设
1
,
，
2
m
3.2线性相关与线性无关
定理3.2.4可以简述为“相关组的截短向量组必为相关 组”.它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关 组”.
注意: “扩充或子组”与“接长或截短”的区别，前者 是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变， 维数增减.
不妨设km 0, 则有
如果m k11
m
k1mk(mk111
m1 ,
k
则
m
1
m
1
).
k11 km1 m1 1 • m 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于k个数k1 ,, km1 , km 1不全为零，故
1
,
2
,,
线性
m
相
关
。
例11设1 ,2 ,,m线 性 相 关 ，m 1且1 0.
证 明 ： 存 在 某 个t
这 就 是 说 ， 若 方 阵 的 行列 式 等 于 零 ， 则 它 的 行向 量 组
和 列 向 量 组 都 线 性 相 关； 若 方 阵 的 行 列 式 不 为零 ， 则
它 的 行 向 量 组 和 列 向 量组 都 线 性 无 关 。
定 理3.2.1m个n维 向 量1,2 ,,m (m 2)线 性 相 关
定理3.2.3可以简述为“相关组的扩充向量组必为相 关组”，或者“部分相关，整体必相关”.它的等价 说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整 体无关，部分必无关”.
定理3.2.4 设有两个向量组，它们的前n个分量对应 相等： i (ai1, ai2 ,, ain ),i 1,2,, m;
i (ai1, ai2 ,, ain , ai,n1 ),i 1,2,, m.
2-2 线性相关与线性无关
向量组可以互相线性表示，则称它们等价．
向量组等价的性质
1.自身性 每个向量组与自身等价.
2.对称性
若向量组A与B等价，
则向量组B与A等价.
3.传递性
若向量组A与B等价，向量组B与C等价， 则向量组A与C等价.
例 6 设向量组 1 , 2 ,3 和向量组 1, 2 , 3 满足：
1 2 3 2 3 1 3 1 2
i k11
,m 中有一个向量（比如 i ） 能由其余向量线性表示. 即有
ki 1i 1 ki 1i 1 kmm
k11
ki 1i 1 (1)i ki 1i 1
kmm 0
所以，1 , 2 ,
, m 线性相关.
求证：向量组 1, 2 ,3 和向量组 1, 2 , 3 等价.
通过矩阵来表述线性表示
若记向量组 A : 1 , 2 ,
存在数ki1 , ki 2 , kis , 使
, r , 和 B : 1 , 2 ,
, s ,
, r ),
A 能由 B 线性表示，即对每个向量i (i 1, 2,
T
例
设向量组 1 , 2 , 3 , 4 ，令 1 1 2 ,
2 2 3 , 3 3 4 , 4 4 1 ，证明
向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关．
二、线性相关性的定理
定理1 若向量组 A：1 , 2 ,
1 ,2， ,m , 线性相关,
, km , k m 1 km m km 1 0
km m km 1
存在一组不全为0的数k1 , k2 , 使得k11 k2 2