高中数学解题的基本规律(三)

高中数学解题的基本规律（三）
＂无间道（二）＂让大家初步体会到数学解题基本规律带来的一丝轻松和宽
慰，那真是享受＂海阔天空＂的必经之路。相信大家还是有疑问的，如：难道立
体几何问题的解题规律与代数问题的解题规律是一样的吗？肯定会有同学说：＂
荒唐！这怎么可能呢？！＂ok,本老师现在就告诉你，还真是一样的，不是想不
到，而是你可能没有意识到！本次讲解将完成本单元尚未完成的所有任务，让我
们掌握解题规律，从战略高度上来指导你将来的学习。
第一节 解题基本规律（终结版）
这一次，我举两个例题，一个是平面几何问题，另一个是立体几何问题。由
于解析几何问题是用代数方法解几何问题，其解题规律是连续化简是容易理解
的，在这里就我就略去不讲，请原谅。

例３、ABC中，已知2,2,BCBCAB求证：A=90………问题一

分析：这是一个平面几何问题，我现在就给大家讲清楚，此问题的思考方法
肯定是遵循解题基本规律，即：连续化简！
首先看一个＂聪明＂的做法：

想：要证明90,A先证明什么呢？

假如考虑延长BAD到，去证明CADA………………（A）
问你：怎样证明（Ａ） ？太难说！如果说使,,ADABCDCB去证明推想
去证明CABCAD。
此时只能考虑用（ＳＳＳ），再问：如何证明CDCB？这时你又傻眼啦！
哈哈哈哈…………。
假如你不服输：回答说可作BCD的中位线AM，去证明AMBM，哦！
My God!…………无间道，你怎么总是和我相伴呢？！
为什么？因为你违背解题的基本原则了！！！如果你这样都能成功，无异于
是在向全世界说：此结论如此简单，我可以不要条件也可以证明了！这才是：荒
唐！
你不能只是单纯的从结论出发，要联系条件呀！这正是＂多导一＂的雏形，
不说是多导一，至少应该是二导一才对呀！
吸取上述经验，请看下述思维方法，当然是海阔天空！
此题条件在两项以上，所以你应该考虑条件与结论是否有直接的（许多时候
是非因果关系的联系）联系。此乃我之名言，没有我你花钱也买不到哦！关于这
一点，我会在以后的讲解中娓娓道来。到时候，我会教你把所有数学题分成几类
而已！不管它是几何还是代数，也不管它是小学的还是大学的，统统地消灭掉！

290,90.BCAA已知，需要证明也就是最后肯定有
。联系这两
个条件你会想到什么？也就是由它们能推出什么结论？
对！就是必有：30C。试问：如果已证明30C，能得到90A吗？
这个问题太小儿科了吧！
到此为止，结论已转化为证明：30C。再来一次联系条件，即此结论
与另一个条件2BCAB相互怎样起作用呢？
想：边、角、关系？在哪里学过？对！就是三角函数中学的正弦定理：

sinsinsinabcABC


为了便于运用此定理，设1,2ABBC则。则有下述推理：
21,212sinsin(1803)sinsin1802sinsin3BCABBCABBCCCCAABCCC


























这不是解方程吗？这时，问题已经大大简化了！下面简述证明过程：

22
2sinsin32sinsin(2)2sinsincos2cossin22sinsin(12sin)2sincosCCCCCCCCCCCCCCC






……………全部用sinC表示出来，你们肯定会做，我就偷一会
儿懒吧！最后化为：2sin(4sin1)0CC。
因为sinC≠0,(为什么？)

所以24sin10C，易得到1sin2C，结合……？肯定会得到30C。以后
的，嘿嘿，我不讲了。
另外，如果你还是一个初中生，或只会用纯粹的平面几何的知识来解决该问
题，怎么办？还是那句话：
你不能只是单纯的从结论出发，要联系条件呀！不说是＂多导一＂，至少应该
是二导一才对呀！
但是，用纯几何的知识，则上述思路已不能用也！这时，我们是井底观天，
不能将条件与结论直接挂钩（这是所有数学难题的共同特点），目前就只有一条
路了，即充分应用条件，找条件之间的联系，从而得到一个与结论有联系的过渡
性结论。请看下面的思路，这对许多学习数学有困难的同学有指导性意义。

怎么用2BC呢？为此，作ABC中B的平分线BD，如下图所示，则
12C
，于是ＢＤ＝ＣＤ。

DCB是等腰三角形
。此时我们已将问

题转变为下面问题：

ABC
中，已知12,2,DCBBCAB是等腰三角形，求证：A=90

……………………问题二
联想到等腰三角形的三线合一以及BC=2AB，我们选取BC的中点E,连接ED，
则有下述推理：

1
22EBCBCBCABABBC



1
是中点BE=CE=

2

BA=BE，再由＂三线合一＂知90DEB，结
合12，需求证＂90A＂。（问题三）
你是否已吃惊的发现上述阴影部分已经是一个最基础的平面几何问题？到
此为止，我再点拨一下你，我们是不是把一个较难的问题转化成了一个较简单的
基本问题？难道不是吗？
什么几何题困难？当然是那些所要求的结论与我们掌握的知识实在难以联
系的问题，这是＂难、繁＂；怎样化解困难？就是将问题转化为其结论与我们掌
握的知识联系紧密的问题，这是＂易、简＂。
这就是化简嘛！只不过它不同于一般的代数化简，它是不断地将问题转化为
我们较为熟悉的问题，直到它成为一个基本问题为止！你看由＂问题一＂到＂问
题二＂直至＂问题三＂，不正是这样吗？
上次我说过这样一句话：¨化繁寸步难行，化简海阔天空。¨下面，让我们
再一次享受这美好的意境：
有了第二种分析的经验，我们知道，将一个陌生问题转化为熟悉问题是我们
解几何题的一种化简思路，经过推敲，你会觉得下面的思路也十分有趣！
如图，2BCAB，
,BCABBACC进而可得：
。

为了运用2BC，在A内作CAMC，点M在BC上。这时可用：
CAMCAMCMCMA是等腰三角形
……(1)；

再用：2122212CCBMAABCBC……(2);
用(1)、(2)可推出：MC=AB
此条件用充分了，可还有条件没用呢！用：

又122BCABABBC
12CMBC，结合BC=MC+MB就有：1
2
MBBC

MCMAMB
，12MABC。

我可以结束了吧！结论就自己下吧。
例4、三棱锥S—ABC中，,SAABCABBC面，DE垂直平分SC于E,D
在AC内。SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的度数。
分析：如果你这么想，求二面角E-BD-C的度数，可以过E点作EH⊥BD，垂足
为H……。好似正确无比，实则谬以千里！为什么？
我问你：垂足究竟在哪里？这种抛开条件提供的信息，糊糊涂涂乱跳的方法
怎么能够成功呢？实际上数学很美！可我们糊糊涂涂地能感受到她地美吗？如果
这样，岂不是变成了癞蛤蟆想吃天鹅肉吗？
吸取例3的经验，我们来推敲和品味该题：
∵DE垂直平分SC于E,味道如何呀？这道菜的味道是：
DE⊥SC,且E是SC的中点。只是这道菜可吃不饱哟，我说过，起码要二导一
嘛！（当然菜鸟题可能是一导一哦）好，再来一道菜，SB=BC,看两棵绿菜，好吃！
由＂三线合一＂知道：BE⊥SC。你瞧SC,前面也有它，真是到处调皮！前后
联系（看颜色），有：SC⊥平面DEB,当然进一步有：SC⊥BD。嘿，你看，这菜
越吃越有味！别忙！慢慢吃。
现在吃到了BD,请问BD何许人也？呀呀呀呀………他是二面角E—BD—C的
棱呀！你知道二面角的平面角的概念吗？对，少不了棱哦！结合平面角的概念来
想，BD⊥SC似乎不太重要，我们做梦都想这棱和什么线条垂直呀？至少现在这
结论好像还用不上耶。
龙门阵要摆，别忘了还有一道菜没吃呢。SA⊥面ABC，你一看到面ABC，看
图，原来BD在平面ABC内，∴SC⊥BD,结合BD⊥SC（哈哈，唐僧和八戒一块儿
吃！）得：
BD⊥面SAC,直线和平面垂直，该想什么？当然是直线垂直于平面内任何直
线。
∴BD⊥ED, BD⊥CD。我的天，原来品味的结果是EDC就是要求的平面角！
以后的计算就不用我讲了，提醒同学们仔细回味一下刚才的分析过程，我们
会发现：
不断地用两条或两条以上的信息综合起来，得到一条与结论相对较近的新信
息是至关重要的！这就是化简，这也正是多导一的影子，但还不够………。