(完整版)高考等差等比数列知识点总结

高考数列知识点
等差数列
1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
2．等差数列通项公式：*
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a
推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m
n a a d m
n --=
；
3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b
a A +=
或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212
n n n n a a S n a +++++=
=
+
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2
n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）
6．等差数列的证明方法
定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列
7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ；
前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列
(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 (6)求n S 的最值
法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性
*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由⎩⎨
⎧≤≥+0
1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001><d a 由⎩⎨
⎧≥≤+0
1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。

若S p = S q 则其对称轴为2
p q
n +=
（二）等比数列1. 等比数列的定义：()()*1
2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比
n q =2. 通项公式：()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q
-==
=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m
n m a a q -= 3. 等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
A ab =
或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列{}n a 是等比数列⇔2
11n n n a a a -+=⋅
4. 等比数列的前n 项和n S 公式：(1) 当1q =时， 1n S na =(2) 当1q ≠时，()11111n
n n a q a a q
S q q
--==
-- 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有1
1(0)n n n n n
a a qa q q a a ++==≠或
为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：2
11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列
（3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列
（4） 前n 项和公式：()
'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为 等比数列 6. 等比数列的证明方法依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 等比数列的性质(1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n n
n n a a a q q A B A B q
-==
=⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q
②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q
q q q
--=
=-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数. (2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅=
(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n
k
a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a
b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.
(5) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (6) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列 (7) ①当1q >时， ②当1q <0<时，
110{}0{}{
n n a a a a ><，则为递增数列
，则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列
n m n m a q a -=。