等差等比数列的证明例举
等差数列、等比数列的证明及数列求和(DOC)
等差数列、等比数列的证明例1．已知数列{}n a 满足11a =，()13232n n a a n n -=+-≥， （Ⅰ）求证：数列{}n a n +是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
例2．已知数列{}n a 满足12a =，112nn na a a +=+，（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
例3．已知数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，且()*142n n S a n N +=+∈，11a =（Ⅰ）设()*12n n n b a a n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设2nn n a c =，求证：数列{}n c 是等差数列； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式。
练习1．已知数列{}n a 满足15a =，()*123n n n a a n N +=+∈， （Ⅰ）求证：数列{}3nn a -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
2．已知数列{}n a 满足11a =，()1222n n n a a n -=+≥， （Ⅰ）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
3．数列{}n a 的前n 项和n S ，且()131-=n n a S ,（1）证明数列{}n a 等比数列；（2）求通项公式.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，数列{}n n S a +是公差为2的等差数列. （1）证明{}2-n a 是等比数列；（2）求通项公式.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，正整数n 对应的n n S a n ,,成等差数列. （1）证明{}2++n S n 成等比数列；（2）求n S求通项公式（一） 给出递推公式求通项公式类型一、，可利用累加法已知关系式)(1n f a a n n +=+例1{}中在数列n a ，已知,11=a 当2≥n 时，有)2(121≥-+=-n n a a n n ，求数列的通项公式.变式：{}中在数列n a ，,11=a )2(311≥+=--n a a n n n ，求通项.类型二、)(1n n f a a n ∙=+已知关系式，可利用累乘法例2{}中在数列n a ，已知11=a ，有()()211≥+=-n a n na n n ，求数列的通项公式.变式{}中在数列n a ，已知211=a ，有n n n a a 21=+，求数列的通项公式.类型三、构造新数列① 递推关系形如()1,01≠≠+=+p p q pa a n n ，利用待定系数法求解令)(1c a p c a n n +=++，其中c 为待定系数，化为等比数列{}c a n +求通项. 例3已知数列{}n a 中，若)1(32,111≥+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式.变式上例中递推关系变为)1(31≥+-=+n a a n n ，求数列的通项公式.② 递推关系形如111,)"0,("---≠=-n n n n n n a a q p a qa pa a 两边同除以递推关系形如“)0,,(11≠+=--r q p rqa pa a n n n ”，取倒数法 例4{}中已知数列n a ，2),2(2111=≥=---a n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式.变式{}中已知数列n a ，21=a ，)(421++∈+=N n a a a nnn ，求数列{}n a 的通项公式.练习1.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
等差等比数列性质以及证明
等差等比数列性质以及证明知识点：1．等差数列的性质 ⑴(),m nm n a a a a m n d d m n-=+-=- ⑵在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+ ⑶若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．⑷在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ．⑸等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等差数列，公差为2n d ．⑹若等差数列的项数为2n ，则有1,nn S a S S nd S a +-==奇偶奇偶． ⑺等差数列的项数为奇数n ，则n n S S S a S S =+=-奇偶中间项奇偶且，11S n S n +=-奇偶． ⑻{}n a 为等差数列，()2121n n S n a -=-．⑼通项公式是n a An B =+ ()0A ≠是一次函数的形式；前n 项和公式()20n S An Bn A =+≠是不含常数项的二次函数的形式．（注当0d =时，1n S na =，1n a a =）（10）若10a >，0d <，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≥≤来确定n ．若10a <，0d >，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≤≥来确定n ．2.等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）：⑴n m n m a a q -=，n q =； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； ⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．3．主要方法⑴解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．⑵深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键． ⑶错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{}n n a b ⋅，此数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．等比数列的n 项和也构成一个等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．通项公式：11n n m n m a a q a q --==；前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．等比数列前n 项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知2132121,,,,n n n n a a q a a q a a q a a q ---====， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =． 法二：211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一． 法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．板块一 等差数列与等比数列——性质以及运用 一、 利用“下标和相等” ①等差数列3071020251.30255,.S a a a a =+++（二星）等差数列前项的和求答案：34 123181920201.24,78,.a a a a a a S ++=-++=（二星）等差数列求 510131621251.20,_______.a a a a a S ++++==（二星）等差数列则 1.421467286（二星）等差数列前项和为，末项和为，且各项和为，求项数. 211212.(){0(2),4.2.0.1.2n n n n n a a a a n S n A B C D +---+=≥-=-（二星）江西文在各项均不为零的等差数列}中,若则（ ）221:20,2,42(21)42,.n n n n a a a S n n n A --=∴=∴-=--=-解选2.（一星）(2015全国2文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 答案：A3.（二星）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9420S S =+，则13S 的值为 . 解：S9-S4=a5+a6+a7+a8+a9=5a7=20，所以a7=4，S13=13(a1+a13)/2=13a7=526.（二星）（2016广州市调研）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（D ）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72②等比数列{}2199205080371127124.0,,10160[]28,512,.n n a a a a x x a a a a a a a a a q >-+=⋅⋅=++=⋅⋅=（二星）等比数列中为方程的两根，则类似题求答案：64 243546355.0,225,n a a a a a a a a a >⋅+⋅+⋅=+=（二星）等比数列则 答案：53.1100,2,.n n n +（二星）在与之间插入个正数使这个数成等比数列求插入的个数的积 答案：略 5631323106.0,9,log log log n a a a a a a >⋅=+++=（二星）等比数列则答案：10二、利用“连续等长片段和”为等差（比） ①等差数列101001101.3021003[]100,10,.m m m S S S ===（二星）等差数列中前项和为，前项和为，前项和类似题求答案：210。
数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导
数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
它们在数学、科学和日常生活中都有重要的应用。
本文将对这两种数列的公式进行整理和推导。
一、等差数列等差数列是一种数列，其中相邻两项之差保持恒定。
设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d（1）其中，a₁为首项，n为项数，d为公差。
为了更好地理解等差数列的公式，我们可以通过一个例子进行推导。
假设我们有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...，其中首项a₁=2，公差d=3。
我们可以按照公式（1）计算第5项的值：a₅ = a₁ + (5-1)d= 2 + 4 × 3= 2 + 12= 14因此，这个等差数列的第5项为14。
二、等比数列等比数列是一种数列，其中相邻两项之比保持恒定。
设首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n-1)（2）其中，a₁为首项，n为项数，r为公比。
同样，我们通过一个例子来推导等比数列的公式。
假设我们有一个等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...，其中首项a₁=2，公比r=2。
按照公式（2），我们可以计算第5项的值：a₅ = a₁ × r^(5-1)= 2 × 2^4= 2 × 16= 32因此，这个等比数列的第5项为32。
三、等差数列的公式整理与推导在前面的讨论中，我们已经给出了等差数列的通项公式，即公式（1）。
现在，我们来推导这个公式的正确性。
设等差数列的首项为a₁，公差为d。
我们知道第n项aₙ与前一项aₙ₋₁之间的关系是：aₙ = aₙ₋₁ + d（3）我们使用数学归纳法来证明等差数列的通项公式。
（1）初始条件：当n=1时，等式（3）成立，即a₁=a₁+0，初始条件满足。
（2）归纳假设：假设当n=k时等式（3）成立，即aₙ=aₙ₋₁+d。
等差数列的证明
＝－＝－＝1.又b1＝＝－.
∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，
易知f(x)在区间和内为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.
设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋.
∴＝＋，解得λ＝－1.
事实上，bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{}为首项为2、公差为1的等差数列．
例：(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
等差数列与等比数列的证明方法
1、 ＝常数， { }为等差数列。其本质意义是证数列任意后一项减前一项的差为常数，但不一定是 ,例如证数列{ }为等差数列，需证 ＝常数。
例2 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．
例：已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值．
(2)是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列{}为等差数列．
(1)证明数列{}是等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数列；(2)求数列{an}的通项；
高中数学数列等差等比公式推导
高中数学数列等差等比公式推导数列是高中数学中的一个重要概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。
在数学中，我们常常会遇到等差数列和等比数列，它们有着重要的应用和推导公式的需求。
本文将从等差数列和等比数列的概念入手，逐步推导出它们的公式，并举例说明其应用。
一、等差数列的推导与应用等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有如下关系式：aₙ = a₁ + (n - 1)d我们可以通过一个具体的例子来说明等差数列的应用和推导公式的过程。
例1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项的值。
解：根据等差数列的推导公式，我们可以得到第10项的值为：a₁₀ = a₁ + (10 - 1) × 4= 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39在实际应用中，等差数列的推导公式可以帮助我们计算数列中的任意一项的值，而不需要逐项进行计算。
这在数学题目中经常出现，例如求等差数列的和、确定某一项的值等。
例2：已知等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。
解：根据等差数列的求和公式，我们可以得到前10项的和为：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2= (2 + (2 + (10 - 1) × 3)) × 10 ÷ 2= (2 + (2 + 27)) × 10 ÷ 2= (2 + 29) × 10 ÷ 2= 31 × 10 ÷ 2= 310 ÷ 2= 155二、等比数列的推导与应用等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则有如下关系式：aₙ = a₁ × q^(n - 1)我们可以通过一个具体的例子来说明等比数列的应用和推导公式的过程。
数学中的等差数列与等比数列推导
数学中的等差数列与等比数列推导数学中的等差数列和等比数列是常见的数列形式，它们在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将对等差数列和等比数列进行推导和分析。
首先，我们来介绍等差数列的推导。
一、等差数列的推导等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有以下推导过程：1. 推导首项a₁：根据等差数列的定义，首项与它的前一项之差相等，即a₁-a₀=d。
由于a₀未知，我们将其设为a₁-d，代入上式得到a₁-(a₁-d)=d，整理得到a₁=d。
2. 推导第n项aₙ：根据等差数列的定义，第n项与它的前一项之差相等，即aₙ-aₙ₋₁=d。
代入a₁=d，得到aₙ-d=aₙ₋₁，整理得到aₙ=aₙ₋₁+d。
通过以上推导过程，我们可以得到等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。
二、等比数列的推导等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则有以下推导过程：1. 推导首项a₁：根据等比数列的定义，首项与它的前一项之比相等，即a₁/a₀=r。
由于a₀未知，我们将其设为a₁/r，代入上式得到a₁/(a₁/r)=r，整理得到a₁=r。
2. 推导第n项aₙ：根据等比数列的定义，第n项与它的前一项之比相等，即aₙ/aₙ₋₁=r。
代入a₁=r，得到aₙ/r=aₙ₋₁，整理得到aₙ=aₙ₋₁*r。
通过以上推导过程，我们可以得到等比数列的通项公式为aₙ=a₁*r^(n-1)。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有广泛的应用。
下面我们将介绍它们在几个具体应用中的运用。
1. 财务管理：等差数列和等比数列在财务管理中常用于计算资金的增长或减少情况。
例如，如果某项投资每年增长固定金额，那么投资的总额可以表示为等差数列的和；如果某项投资每年增长固定比例，那么投资的总额可以表示为等比数列的和。
2. 物理学：等差数列和等比数列在物理学中常用于描述物体的运动情况。
等差数列与等比数列十大例题
等差数列与等比数列十大例题例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a从而））（（）（））（（n nn 211382112114--=----=S 10分 例 4、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。
证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。
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等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列小炼有话说：（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。
所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换11n nb a =-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。
个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。
例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈（*）．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解解：213122n n S a n n +=--+ ① ()()()211131112,22n n S a n n n n N --+=----+≥∈ ②∴ ①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--⇒=--()()()1112112n n n n a n a n a n a n --∴+=+-⇒+=+-⎡⎤⎣⎦ 即112n n b b -= {}n b ∴是公比为12的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：11131122S a +=--+=- 112a ∴=- 112b ∴=111122n n n b b -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 12nn n a b n n ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令1n =即可（因为11S a =）（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。
这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。
所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *--=-+=∈且2n ≥，求证：13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列 解：设13n n b a =-，则13n na b =+代入11690n n n a a a ---+=可得：11111336390n n n b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⋅++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133691890n n n n n b b b b b ---⇒+++--+= 111330n n n n b b b b --⇒-+=113n n b b -⇒-= {}n b ∴为等差数列，即13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列例4：已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =. （1）求n x 与1n x +的关系式； （2）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； 解：（1）曲线1:C y x=()1:2n n n l y y x x x -=--+()11111121n n n n n n n nn y xy y x x x y x ++++⎧=⎪⎪⎪∴-=--⎨+⎪⎪=⎪⎩12n n n x x x +∴=+（2）11121233n n n n b x x b =+⇒=+--，代入到递推公式中可得：11112222111333n n n b b b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭11111112211111133422=411133333333n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⇒++-+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭---()()11111211444439339n n n n n n n n n b b b b b b b b b +++++⇒+++=-+-++()()1112433n n n n n b b b b b +++⇒+=-+ 12n n b b +⇒=- {}n b ∴是公比为2-的等比数列小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出n b 的形式，所以考虑用代入法直接求解例5：已知数列{}n a 满足()()1146410,21n n n a n a a a n N n *++++==∈+，判断数列221na n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出n a 解：设()221221n n n n a b a n b n +=⇒=+-+ 代入到()14641021n n n a n a n ++++=+可得：()()()14621241023221n n n n b n n b n +++-++⎡⎤⎣⎦+-=+()()()()123214222321812410n n n n b n n n b n n +⇔++--=++--++ ()()()()1232122321n n n n b n n b +⇔++=++12n n b b +⇔=而112233a ab ++==∴① 2a =-时，10b =，{}n b 不是等比数列② 2a ≠-时，{}n b 是等比数列，即221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列 11222213n n a a n -++∴=⋅+ ()()1221223n n a n a -++∴=⋅-例6：（2015山东日照3月考）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 思路：所证数列为232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，可发现要寻找的是{}n a 偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2n a 与()21n a -之间的关系，再进行构造证明即可证明：由11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数可得：()2211213n n a a n -=+- ()2122322n n a a n --=-⋅-()2221322213n n a a n n -∴=--+-⎡⎤⎣⎦ 22222112221133n n n a a n n a --∴=-++-=+222223111323232n n n a a a --⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭∴数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意非负整数(),m n m n >均有： ()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+ （1）求02,a a（2）求证：数列{}1m m a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式 解：（1）令m n =可得：202011m m a a a a +-=⇒=再令0n =可得：()201212m m a m a a +-=+ 2423m m a a m ∴=+- 21413a a ∴=-= 021,3a a ∴==（2）思路：考虑证明数列{}1m m a a +-是等差数列，则要寻找1m m a a +-，1m m a a --的关系，即所涉及项为11,,m m m a a a +-，结合已知等式令1n =，利用（1）中的2423m m a a m =+-，将2m a 代换为m a 即可证明，进而求出通项公式 证明：在()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+中令1n =得： ()1122122m m m a a m a a +-++-=+ 11222224m m m a a m a a +-∴++-=+由（1）得22423,3m m a a m a =+-=代入可得：11222442m m m a a m a m +-∴++-=+()()1111222m m m m m m m a a a a a a a +-+-∴+-=⇒---=∴ 数列{}1m m a a +-是公差为2的等差数列()()121212m m a a a a m m +∴-=-+-= ()121m m a a m -∴-=-()-1222m m a a m --=-212a a -=()()121211m a a m m m ∴-=+++-=-⎡⎤⎣⎦()11m a m m ∴=-+例8：（2010 安徽，20）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0，求证：{}n a 是等差数列的充分必要条件是：对n N *∀∈都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。