等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
等差等比数列的判断
等差、等比数列的判断1． 利用定义证明一个数列成等差或等比数列例1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,n S 是41与2)1(+n a 的等比中项 （1）证明：数列{}nS 是等差数列； （2）若nn n a b 2=，数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n ； （3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧λ++2n n a T 为等比数列？若存在，试求出λ，若不存在说明理由（答案：（1）12-=n a n ；（2）n n n T 2323+-=；（3）3-=λ）例2．两个数列{}n a 、{}n b 满足nna a a a b n n ++++++++=ΛΛ32132321，证明当数列{}n a 是等差数列时{}n b 成等差数列；当{}n b 是等差数列时{}n a 也成等差数列。
例3．设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式函数，数列{}n a 中，,81=a 前n 项和为n S ，对于任意的正整数n ，)(n f S a k n n =+都成立。
⑴ 若0=k ，求证：数列{}n a 是等比数列；⑵ 试确定所有的自然数k ，使得数列{}n a 能成等差数列。
（答案：（1）略；（2）2,1=k ）练习提高：已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c nn n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。
2． 探索成等差、等比数列的条件例4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*)(221N n S a n n ∈+=+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在1+n n a a 与之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为n d 的等差数列① 求证：161511121<+++n d d d Λ； ②在数列{}n d 中是否存在三项p k m d d d p k m ,,(,,成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由。
等差数列和等比数列的证明问题 -高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题05等差数列和等比数列的证明问题【典例1】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+.（1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由.【思路引导】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【典例2】已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且22213,2n n n S n a S n -=+≥．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）求{}n a 的前n 项和n S .【思路引导】（1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列{}1n n a a ++为等差数列；（2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.【典例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【思路引导】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果．【典例4】已知数列{}n a 满足11a =，且1131n n n n a a a a ++-=+.（1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路引导】(1)由1131n n n n a a a a ++-=+，利用定义能证明11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，从而求出21na n =-；(2)由1221nn n n b n a -==⋅+，利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和.【典例5】在正项数列{}n a 中，已知11121n n n n a a a a a ++=-=+,且22nn a b =-.（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）设{}n b 的前n 项和为n S ，证明：123111134n S S S S +++⋯+<.【思路引导】(1)由题设条件证明数列{}2n a 是等差数列，并得出数列{}2n a 的通项公式，进而得出21n b n =+，再由等差数列的定义证明即可；(2)由等差数列的前n 项和公式得出n S ，再由裂项求和法证明不等式.【典例6】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n =．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【思路引导】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =；（2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n na n-=，从而求得12n n a n -=⋅.【典例7】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P-和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【思路引导】(1)在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点,②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证.(3)该游戏获胜的概率,即求99P ，由（2）用累加法可求解.1.在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N .（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.已知数列{}n a 中，11a =且()*12621n n a a n n N +=+-∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．3.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n n S a n =-，*n ∈N .（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）若()2log 1n nb a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .4.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =，1122n n n a a b +=+，1122n n nb a b +=+.（1）证明：数列{}n n a b +，{}n n a b -为等比数列；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：103n S <.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+.（1）证明：数列{}23n a n --是等比数列；（2）设2n n b n a =-，证明：1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<.6.设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+ ，(0,32)BC n =-，na AB AC =⋅ .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .7.已知数列{}n a 满足13a =，()1211n n a a n n n n +=+++.（1）证明：数列{}n na 为等差数列；（2）设()()122n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S .8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，n *∈N .（1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）已知曲线()22:191n n C x a y +-=若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33log 22n n n a a b ⎛⎫⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9.已知数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，1232a a a +=，且对任意的n ∈N*，n≥2都有1112(25)n n n nS n S S ra +--++=．（1）若1a ≠0，213a a =，求r 的值；（2）数列｛n a ｝能否是等比数列？说明理由；（3）当r ＝1时，求证：数列｛n a ｝是等差数列．10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比22340,22,2q S a S a >=-=-.数列{}n b 满足()2*2114,(1)n n a b nb n b n n n N +=-+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（3）设数列{}n c 的通项公式为：24n nn n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，其前n 项和为n T ，求2n T .11.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．参考答案【典例1】解：（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =，由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21nn a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2nn n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.【典例2】解：（1）当2n ≥时，22221113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠，所以21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+，所以11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（又n=2时，2222(3+)129,6a a a =+∴=所以39a =，所以2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(，所以数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）当n 为偶数时，12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++- 2(321)323()22nn n n +-=⋅=+当n 为奇数时，1231()()n n n S a a a a a -=+++++21(521)3233(59(21))33(2)322n n n n n -+-=++++-=+=+-+ ()23n n 2=+综上：()23S n n 2n =+【典例3】解：(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b +=，111a b -=，所以1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-，即()1112n n nn a b ab ++++=，所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，(112n n n a b -+=，因为()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-，所以112n n n n a b a b ++=-+-，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n a b n -=-．(2)由(1)可知，(112n n n a b -+=，21n n a b n -=-，所以()111222nn nn n n a ab a b n =++-=+-，()111222nn n n n n b a b a b n 轾=+--=-+臌．【典例4】解：（1）因为1131n n n n a a a a ++-=+，所以113n n n a a a +-=+，两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+，所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n na a +-=++，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，且首项是11112a =+，所以112n n a =+，即21n a n=-.（2）因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和1211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，①则12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，②由①－②，得()121111212122121n n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=--，所以()121nn S n =-⋅+.【典例5】解：（1）∵112n n n na a a a ++-=+∴2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 是公差为2的等差数列.∵11a =∴()2211121n a a n ==+-，，∴221n a n =-，∴22n n a b =-，∴22n n b a =+，∴21n b n =+，∴()123211n n b b n n +-=+-+=，∴数列{}n b 是等差数列.（2）由（1）可得∴()()32122n n n S n n ++==+，∴111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴1231111n S S S S ++++…，11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (1111311131221242124)n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.【典例6】解：（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅．【典例7】解：(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =．棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=．棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -．故211122n n n P P P --=+．(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--．又因为1012P P -=-，所以1{}(1,2,,100)n n P P n --= 是首项为12-，公比为12-的等比数列．(3)由(2)知，11111222n nn n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+ 99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭．1.【思路引导】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解.解：（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N，所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n an -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭.所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.2.【思路引导】（1）根据递推公式可得111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++===+++,即可证明；（2）由（1）1322n n na =⨯-,进而利用分组法求得数列的和即可解：（1）证明：∵()12621N*n n a a n n +=+-∈,∴1132n n a a n +=+-,∴111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n a a a +++++-++===+++,11131222a +=+= ,∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为32,公比为3（2）解：由（1）得,13133222n n n n a -+=⨯=⨯,∴1322n n na =⨯-,123n n S a a a a =++++……()()12311333312322n n =++++-++++…………()()()23133311112132244n n n n n n --++=-=--12334n n n +---=3.【思路引导】（1）利用1n n n a S S -=-可得121n n a a -=+，再证明111n n a a -++是定值即可；（2）将1n a +代入()2log 1n n b a =+，然后利用裂项相消法求和.解：（1）由题可知2n n S a n =-，①当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，②①－②并整理，得121n n a a -=+，所以()1121n n a a -+=+，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知()22log 1log 2nn n b a n =+==，则()1111111n n b b n n n n +==-++，所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=+++⋅⋅⋅+111111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+1n n =+.4.【思路引导】（1）将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证．（2）根据（1）结论可求出1344n nn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则前n 项和n S 为两个等比数列的前n 项和之和，代入公式，即可求解．解：（1）依题：11122122n n n n n n a a b b a b++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相加得：()1134n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +为等比数列，两式相减得：()1114n n n n a b a b ++-=-，∴{}n n a b -为等比数列.（2）由上可得：13324n n n a b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，11124n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭②，两式相加得：1344nnn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133114444131144n n n S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--1310441331144<+=--.5.【思路引导】（1）由已知当2n ≥时，可得11221n n n n S n S a a --=--+=，整理为[]12322(1)3n n a n a n ---=---，根据等比数列的定义，即可证明结论；（2）由（1）求出n a ，进而求出323nn b =⨯-，根据()111232321nn n b =≤⨯-(1n =取等号），要证1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立，转化为证等比数列12{}32n ⨯前n 项和小于或等于23，即可证明结论.解：（1）当2n ≥时，由221122(1)n n n n S a n S a n --⎧=+⎨=+-⎩1221n n a a n -⇒=-+[]12322(1)3n n a n a n -⇒--=---，令1n =1121S a ⇒=+11a ⇒=-，则12360,230n a a n --=-≠∴--≠，12322(1)3n n a n a n ---=---故{}23n a n --为等比数列；（2）由（1）得1236232n n n a n ---=-⋅=-⨯，2332n n a n =+-⨯，323n n b =⨯-，()111232321n n n b =≤⨯-111(132n n -=⨯=时，取等号），所以原式01111322n -⎡⎤≤⨯+⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦111211312n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⨯-2121323n ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立.6.【思路引导】(1)先求解出AC的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出{}n a 的通项公式，再根据定义判断{}1n n a a +-是否为等差数列；(2)根据(1)中结果求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后根据裂项相消法求解出n S 的表达式.解：（1）(31,31)AC AB BC n n =+=++，2(31)3(31)(31)(34)n a n n n n ∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n n a a n n n n n +-=++-++=+ ，()()21118n n n n a a a a +++∴---=为常数，{}1n n a a +∴-是等差数列.（2）111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111111347710313434341216n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ .7.【思路引导】（1）在等式()1211n n a a n n n n +=+++两边同时乘以()1n n +，结合等差数列的定义可证明出数列{}n na 为等差数列；（2）结合（1）中的结论求出数列{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项求和法求出数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）由()1211n n a a n n n n +=+++得()112n n n a na ++-=，又13a =，所以数列{}n na 首项为3，公差为2的等差数列；（2）由（1）得，()32121n na n n =+-=+，所以2112n n a n n+==+.所以11222n a n n ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以1121n a n +-=-+，所以()()()11112211n n n b a a n n n n +=--==-++，所以1111111111112233445111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.8.【思路引导】（1）利用{}n S 的递推公式证明出111n n S S +++为非零常数，即可得出结论；（2）利用（1）中的结论求出n S ，由n a 与n S 之间的关系求出n a ，结合题意得出190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，可求出n 的值；（3）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出n T .解：（1）对任意的n *∈N ，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31n n S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩，n N *∈ ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，②①-②得()()012111312312333333132n n n nnnn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=- ，因此，()21314n nn T -⋅+=.9.【思路引导】（1）令2n =，得到321149S S S ra -+=，再将和用项来表示，再结合条件，求得结果；（2）假设其为等比数列，利用21112a a q a q +=，结合10a ≠，得到关于q 的方程，求解得出2q =或1q =-，将其回代检验得出答案；（3）将r ＝1代入上式，类比着写出()()1114213n n n S n a a ra n --=---≥，两式相减得到()()112233n n n na a n a n +-+=+≥，进一步凑成()1124n n n n a a a a n ----=-≥，结合322112a a a a a -=-=，从而证得数列{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列.解：（1）令n ＝2，得：321149S S S ra -+=，即：()()321211149a a a a a a ra ++-++=，化简，得：3211454a a a ra --=，因为，1232a a a +=，213a a =，所以，111145534a a a ra ⨯-⨯-=，解得：r ＝1.（2）假设{}n a 是等比数列，公比为q ，则21112a a q a q +=，且10a ≠，解得2q =或1q =-，由()111225n n n nS n S S ra +--++=，可得()11422n n n S na a ra n +=--≥，所以()()1114213n n n S n a a ra n --=---≥，两式相减，整理得()11223n n n na a n a +-+=+，两边同除以1n a -，可得()2231n q q q -=-，因为1q ≠，所以20q q -≠，所以上式不可能对任意3n ≥恒成立，故{}n a 不可能是等比数列.（3）1r =时，令2n =，整理得1231454a a a ra --+=，又由1232a a a +=可知21313,5a a a a ==，令3n =，可得4321611S S S a -+=，解得417a a =，由（2）可知()11422n n n S na a a n -=--≥，所以()()1114213n n n S n a a a n --=---≥，两式相减，整理得()()112233n n n na a n a n +-+=+≥，所以()()()2121214n n n n a a n a n ---+=+≥，两式相减，可得()()()()()()1111224n n n n n n n n n a a a a a a a a n +-------=---≥，因为()()43320a a a a ---=，所以()()()11204n n n n a a a a n ------=≥，即()1124n n n n a a a a n ----=-≥，又因为322112a a a a a -=-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列.10.【思路引导】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可确定数列的通项公式；(2)由题意结合递推关系证明1n 1n b b n n +-+为定值即可证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(3)首项求得212n n n p c c -=+的表达式，然后结合通项公式的特点错位相减即可确定数列{}n c 的前n 项和n T .解：（1）∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比22340,22,2q S a S a >=-=-.∴3422a a a =-，可得()2222a q a q =-，∴220q q --=，解得2q =.∴12222a a a +=-，即121222a a a =-=-，解得12a =.∴2n n a =.（2）证明：∵214a b =，∴11b =∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴*1n 1,1n b b n N n n +-=∈+，综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111b =，公差是1的等差数列.∵n b n n =，∴2n b n =.（3）令22122221212(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n n p c c n n -----⋅⋅=+=-+=-⋅=-⋅012123474114(41)4n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⋅123243474114(41)4nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⋅01231233444444444(41)4n n n T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⋅--⋅,()12161433(41)414n nn T n -⨯--=+--⋅-2164334(41)433n nn T n -=-+⨯--⋅277123433n n n T --=-+⋅27127499n n n T -=+⋅.11.【思路引导】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .解：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i ii i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.。
等差数列与等比数列的通项公式
2等差数列与等比数列的通项公式例1、已知3()3x f x x =+，数列{}n a 满足11()(1,0)n n a f a n a -=>≠。
（1）求证：1{}n a 是等差数列；（2）若114a =，求40a 的值。
例2、数列{}n a 的前n 项和212()2n S n n n N *=-∈，数列{}n b 满足1()n n na b n N a *+=∈。
（1）判断数列 {}n a 是否为等差数列，并证明你的结论；（2）求{}n b 中最大项和最小项。
例3、公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知1122631,,a b a b a b ====；（1）求{}n a 的公差d 和{}n b 的公比q ；（2）是否存在实数,m k ，使对一切正整数n ，log n m n a b k =+能成立？说明理由。
例4、设数列{}n a 满足111(2,)2n n a a n n N *-=+≥∈且11a =；（1）求常数λ使11()2n n a a λλ--=-；（2）求数列{}n a 的通项公式。
例5、已知数列{}n a 中135a =，1112(2,)n n n a a a n n N *--+=≥∈，数列{}n b 满足1()1n n b n N a *=∈-。
（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项与最小项，并说明理由。
例6、（1）设数列{}n a 中，11a =且11()(1)n n a a n N n n *+=+∈+，求通项公式n a ； （2）设正数数列{}n a 中，11a =且2211(1)0()n n n n n a na a a n N *+++-+=∈，求通项公式n a ；练习：1、首项为24-的等差数列{}n a 从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围为 ；2、若数列{}n a 满足111,2()()n n n a a a a n N *+==+∈，则它的通项公式n a = ；3、在共有2005项的等差数列{}n a 中，有等式13520052420041003()()a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=成立，类比上述性质，相应地，在共有2005项的等比数列{}n b 中，有等式 成立；4、若等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410():()a a a a a a ++++= ； 5、等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a += ；6、411,,242x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成等比数列是lg ,lg(2),lg(21)x x x ++成等差数列的 条件。
等差等比数列的证明ppt课件
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
证明或判断等差(等比)数列常用方法
证明或判断等差(等比)数列常用方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华 玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来．一、 利用等差（等比）数列的定义在数列{}n a 中，若1n n a a d--=（d 为常数）或1nn a q a -=（q 为常数），则数列{}na 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数 ， 记2111234n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）21321111144228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以541132416a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 猜想：{}n b 是公比为12的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242n n n n n b a a a b n *++-⎛⎫=-=-=-=∈ ⎪⎝⎭N ， 所以{}n b 是首项为14a -，公比为12的等比数列．评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。
例2．（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+， 又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．故总有112(1)n n a a n *++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而1121n n a a ++=+． 所以数列{1}n a +是等比数列．评析：这是常见题型，由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子，得到1n n a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n a 的表达式，则较繁．注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a q a -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．二．运用等差或等比中项性质212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法．例3．（2005江苏卷）设数列{}n a 的前项为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A B ，为常数．（1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列；（3）略．解：（1）由1231611a a a ===，，，得1231718S S S ===，，．把12n =，分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，解得，20A =-，8B =-．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即11582208n n n na S S n ++--=--，①又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-．②②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．④④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=，又215a a -=，因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．评析：此题对考生要求较高，通过挖掘n S 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．例4．（高考题改编）正数数列{}n a 和{}n b 满足：对任意自然数1n n n n a b a +，，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列．证明：数列为等差数列．证明：依题意，1002n n n n n a b b a a +>>=+，，，且1n a +=，2)n a n ∴=≥．2n b ∴=由此可得=2)n =≥．∴数列为等差数列．评析：本题依据条件得到n a 与n b 的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．三．运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k =时命题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡．例5．(2004全国高考题)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，12(1,2,)n n n a S n n ++==．证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列． 证明：由11a =，12(1,2,)n n n a S n n++==，知211213,1a S a +==214222S a ==，111S =，猜测n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列． 下面用数学归纳法证明：令n n Sb n=.(1)当2n =时，212b b =，成立．(2)当3n =时，312332132(13)12,42S a a a b b =++=+++===，成立．假设n k =时命题成立，即12k k b b -=． 那么当1n k =+时，111222111k kk k k k k k k S S S S a k b S b k k k k++++++=====+++，命题成立．综上知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列．例6．（2005浙江卷）设点1(0)(2)n n n n n A x P x -，，，和抛物线2:()n n n C y x a x b n *=++∈N ，其中11242n n a n -=---，n x 由以下方法得到：11x =，点22(2)P x ，在抛物线2111:C y x a x b =++上，点11(0)A x ，到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，，点11(2)n n n P x ++，在抛物线2:n n n C y x a x b =++上，点(0)n n A x ，到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．（1）求2x 及1C 的方程．（2）证明{}n x 是等差数列． 解：（I ）由题意得：2111(1,0),:7A C y x x b =-+．设点(,)P x y 是1C上任意一点，则1||A P ==令2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意：'2()0,f x =即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-=又22(,2)P x 在1C 上，222127,x x b ∴=-+解得：213,14.x b ==，故1C 方程为2714.y x x =-+(II)设点(,)P x y 是n C 上任意一点，则||n A P = 令222()()()n n n g x x x x a x b =-+++，则'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++．由题意得g 1'()0n x +=，即211112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++= 又2112,n n n n n x a x b ++=++11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*）下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当1n =时，11,x = 等式成立．②假设当n k =时，等式成立，即21,k x k =- 则当1n k =+时，由（*）知 110(12)2k k k k k x x a ++=+-+ 又11242,k k a k -=--- 1122 1.12k k kk k x a x k ++-∴==++ 即当1n k =+时，等式成立．由①②知，等式对n N ∈成立．{}n x ∴是等差数列．评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前n 项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作．四．反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：例7．（2000年全国高考（理））设{}{}n n a b ，是公比不相等的两等比数列，n n n c a b =+．证明数列{}n c 不是等比数列．证明：设{}{}n n a b ，的公比分别为p q ，，p q ≠，n n n c a b =+，为证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠．事实上，2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++ 2222222213113311111111()()()()()c c a b a b a b a p b q a p b q a b p q =++=++=+++222p q p q pq ≠+>，，又11a b ，不为零，2213c c c ∴≠，故{}n c 不是等比数列．评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证{}n c 不是等比数列，只要由特殊项（如2213c c c ≠）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性?． 五．看通项与前n 项和法若数列通项n a 能表示成n a an b =+（a b ，为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；若通项n a 能表示成n n a cq =(c q ，均为不为0的常数，n +∈N )的形式，则数列{}n a 是等比数列． 若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2n S an bn =+ (a ，b 为常数)的形式，则数列{}n a 等差数列；若S n 能表示成n n S Aq A =-(A q ，均为不等于0的常数且q ≠1)的形式，则数列{}n a 是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．例8．(2001年全国题)若S n 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =,则{}n a 是( ). Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列 Ｃ．等差数列，而且也是等比数列 Ｄ.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B ，大大节约了时间，同时大大提高了命中率．六．熟记一些常规结论，有助于解题若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则（1）数列{}n a {}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列； （2）若{}n b 是公比为q '的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq '的等比数列；（3）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列；（4）{}n a 是公比为q 的等比数列；（5）在数列{}n a 中，每隔()k k *∈N 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1k q +；（6）11212{}{}{}{}n n n n n n a a a a a a ++-+-，，，，123456789{}a a a a a a a a a ++++++，，，，等都是等比数列；（7）若()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等比数列； （8）232n n n n n S S S S S --，，均不为零时，则232n n n n n S S S S S --，，成等比数列； （9）若{log }b n a 是一个等差数列，则正项数列{}n a 是一个等比数列．若数列{}n a 是公差为d 等差数列，则（1）{}n ka b +成等差数列，公差为kd （其中0k k b ≠，，是实常数）； （2）(1){}n k kn S S +-，（k k ∈N ，为常数），仍成等差数列，其公差为2k d ；（3）若{}{}n n a b ，都是等差数列，公差分别为12d d ，，则{}n n a b ±是等差数列，公差为12d d ±；（4）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时，数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列；（5）()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等差数列．例9．（96年全国高考题）等差数列{}n a 的前n 项和为30，前2n 项和为100则它的前3n 项和为（ ）Ａ．130 Ｂ．170Ｃ．210Ｄ．260解：由上面的性质得：232n n n n n S S S S S --，，成等比数列，故2322()()n n n n n S S S S S -=+-，32(10030)30(100)n S ∴-=-， 3210n S ∴=．故选Ｃ．评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．。
等差数列与等比数列的证明
3.2.3 证明数列是等差、等比数列证明一个数列是等差数列或者等比数列是高考的常考题型，是近几年出现的高频考点。
证明一个数列是等差数列的方法有（1）定义法：1()n n a a d n N ++-=∈，其中d 为常数；则数列}{n a 是等差数列（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n -+=+≥，则数列}{n a 是等差数列；（3）通项公式法：若一个数列的通项公式为n a qn p =+，其中,p q 则数列}{n a 是等差数列。
证明一个数列是等比数列的方法：（1）定义法：1(0)n na q q a +=≠其中q 为常数，则数列}{n a 为等比数列（2）定比中项法：211n n n a a a +-=(2)n ≥，则数列}{n a 为等比数列。
例1、数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.解：2122n n n a a a ++=-+Q ，2112n n n n a a a a +++∴-=-+，即112,2n n n n b b b b ++=+∴-=1211b a a =-=，1(1)221n b n n ∴=+-⨯=-（2）1213221,1,3n n n a a b n a a a a +-==-∴-=-=Q 1...23n n a a n --=- 21(1)n a a n ∴-=-，222n a n n ∴=-+例2、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，111,0,1,n n n n a a a a S λ+=≠=-其中λ为常数（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得}{n a 为等差并说明理由解：1121(1)1,(2)1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-Q ，(2)(1)∴-得：121()n n n n a a a a λ+++-=0n a ≠Q 2n n a a λ+∴-=（2）112121,1,1a a a S a λλ==-∴=-Q 31a λ=+Q ，令2132a a a =+，4λ∴= 由（1）可知：2n n a a λ+∴-=，}{21n a -∴是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-}{2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-，121,2n n n a n a a +∴=--=∴存在4λ=，使得数列}{n a 为等差数列例3设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知121,2,a a ==且2133n n n a S S ++=-+，n N +∈（1）证明：23n n a a +=；解：2133,(1)n n n a S S ++=-+Q 当2n ≥时，2133,(2)n n n a S S +-=-+(1)(2)-得：2113n n n n a a a a +++-=-，2(2)n n a a n +∴=≥ 123121121,2,333()3a a a S S a a a ===-+=-++Q ，23n n a a +∴=（n N +∈） 设等差数列}{n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上，（1）证明：数列}{n b 为等比数列解：(,)n n a b Q 在函数()2x f x =的图象上，2n a n b ∴=，112n a n b ++=，1122n n a a d n nb b +-+== ∴数列}{n b 为等比数列。
等差、等比数列证明的几种情况
例 ：已知数列前n 项和n s n n 22+=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。
解：1=n 时，32111=+==s a ；2≥n 时，()()[]1212221-+--+=-=-n n n n s s a n n n12+=n因为1=n 时，31121=+⨯=a所以12+=n a n因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。
2、数列的通项经过适当的变形后的证明例： 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。
（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设nn n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列； 证明：（1）2≥n 时11144-++-=-=n n n n n a a S S a ，()11222-+-=-∴n n n n a a a a ，12-=∴n n b b又3232112121=+=-=-=a a S a a b{}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。
（2）,232,23111-+-⨯=-∴⨯=n n n n n a a b(),432321221221111111=⨯⨯=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21211==a c ，{}n c ∴是首项为21，公差为43的等差数列。
3、证明一个数列的部分是等差（等比）数列例3：设数列{}n a 的前n 项的和()+∈++=N n n n S n ,422，⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ；⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。
解：⑴由n s 与n a 的关系 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 得到 74121211=+⨯+==S a5742222122=-+⨯+=-=S S a()75743232233=+-+⨯+=-=S S a⑵当2≥n 时，()()()[]12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。
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等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n nn n n na a a a a a +++=⇒=+ 即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++ 1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列小炼有话说：（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。
所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换11n nb a =-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。
个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。
例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈（*）．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解解：213122n n S a n n +=--+ ① ()()()211131112,22n n S a n n n n N --+=----+≥∈ ②∴ ①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--⇒=--()()()1112112n n n n a n a n a n a n --∴+=+-⇒+=+-⎡⎤⎣⎦ 即112n n b b -= {}n b ∴是公比为12的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：11131122S a +=--+=- 112a ∴=- 112b ∴=111122n n n b b -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 12nn n a b n n ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令n =即可（因为11S a =）（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。
这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。
所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *--=-+=∈且2n ≥，求证：13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列 解：设13n n b a =-，则13n na b =+代入11690n n n a a a ---+=可得：11111336390n n n b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⋅++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133691890n n n n n b b b b b ---⇒+++--+= 111330n n n nb b b b --⇒-+=113n n b b -⇒-={}n b ∴为等差数列，即13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列例4：已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =. （1）求n x 与1n x +的关系式； （2）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； 解：（1）曲线1:C y x =()1:2n n n l y y x x x -=--+ ()11111121n n n n n n n nn y xy y x x x y x ++++⎧=⎪⎪⎪∴-=--⎨+⎪⎪=⎪⎩12n n n x x x +∴=+（2）11121233n n n n b x x b =+⇒=+--，代入到递推公式中可得：11112222111333n n n b b b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭11111112211111133422=411133333333n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⇒++-+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭---()()11111211444439339n n n n n n n n n b b b b b b b b b +++++⇒+++=-+-++()()1112433n n n n n b b b b b +++⇒+=-+ 12n n b b +⇒=- {}n b ∴是公比为2-的等比数列小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出n b 的形式，所以考虑用代入法直接求解例5：已知数列{}n a 满足()()1146410,21n n n a n a a a n N n *++++==∈+，判断数列221na n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出n a 解：设()221221n n n n a b a n b n +=⇒=+-+ 代入到()14641021n n n a n a n ++++=+可得：()()()14621241023221n n n n b n n b n +++-++⎡⎤⎣⎦+-=+()()()()123214222321812410n n n n b n n n b n n +⇔++--=++--++ ()()()()1232122321n n n n b n n b +⇔++=++ 12n n b b +⇔=而112233a ab ++== ∴① 2a =-时，10b =，{}n b 不是等比数列② 2a ≠-时，{}n b 是等比数列，即221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列11222213n n a a n -++∴=⋅+ ()()1221223n n a n a -++∴=⋅-例6：（2015山东日照3月考）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 思路：所证数列为232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，可发现要寻找的是{}n a 偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2n a 与()21n a -之间的关系，再进行构造证明即可证明：由11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数可得：()2211213n n a a n -=+- ()2122322n n a a n --=-⋅-()2221322213n n a a n n -∴=--+-⎡⎤⎣⎦ 22222112221133n n n a a n n a --∴=-++-=+222223111323232n n n a a a --⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭∴数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意非负整数(),m n m n >均有：()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+ （1）求02,a a（2）求证：数列{}1m m a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式 解：（1）令m n =可得：202011m m a a a a +-=⇒=再令0n =可得：()201212m m a m a a +-=+ 2423m m a a m ∴=+- 21413a a ∴=-= 021,3a a ∴==（2）思路：考虑证明数列{}1m m a a +-是等差数列，则要寻找1m m a a +-，1m m a a --的关系，即所涉及项为11,,m m m a a a +-，结合已知等式令1n =，利用（1）中的2423m m a a m =+-，将2m a 代换为m a 即可证明，进而求出通项公式 证明：在()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+中令1n =得： ()1122122m m m a a m a a +-++-=+ 11222224m m m a a m a a +-∴++-=+由（1）得22423,3m m a a m a =+-=代入可得：11222442m m m a a m a m +-∴++-=+()()1111222m m m m m m m a a a a a a a +-+-∴+-=⇒---= ∴ 数列{}1m m a a +-是公差为2的等差数列()()121212m m a a a a m m +∴-=-+-= ()121m m a a m -∴-=-()-1222m m a a m --=-212a a -=()()121211m a a m m m ∴-=+++-=-⎡⎤⎣⎦()11m a m m ∴=-+例8：（2010 安徽，20）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0，求证：{}n a 是等差数列的充分必要条件是：对n N *∀∈都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。