28 高中数学等差等比数列证明专题训练

专题28高中数学等差等比数列证明专题训练
【方法总结】
1．等差数列的四个判定方法
(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．
(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．
(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．
(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．
提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．
(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．
2．等比数列的四个判定方法
(1)定义法：a n ＋1a n
＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．
(3)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．
(4)前n 项和公式法：S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．
提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
【高考真题】
1．(2022·全国甲理文) 记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n
＋n ＝2a n ＋1． (1)证明：{a n }是等差数列；
(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．
【题型突破】
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26．
(1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝S n n
(n ∈N *)，求证：数列{b n }为等差数列． 2．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1
(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．
3．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是等差数列；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和S n ． 4．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12
． (1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3n ＋1＋3(n ∈N *)．
(1)设b n ＝a n 3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝a n n －a n 3n ，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，求T n ． 7．(2021·全国乙)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n
＝2． (1)证明：数列{b n }是等差数列；
(2)求{a n }的通项公式．
8．(2014·全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．
(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．
9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12
S n －1＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n )λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
10．若数列{b n }对于任意的n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．如数
列c n ，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4n －1，n 为奇数，4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n ．
(1)求证：{a n }是准等差数列；
(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20．
11．已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1
(n ∈N *)，且a 1＝23． (1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和T n ．
12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54
，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n － 1．
(1)求a 4的值；
(2)证明：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． 13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；
(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式． 14．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在
直线y ＝－12
x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求证：数列{b n }是等比数列．
15．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＋1，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，设
b n ＝a 2n －1． (1)求b 2，b 3，并证明b n ＋1＝2b n ＋2；
(2)①证明：数列{b n ＋2}为等比数列；
②若a 2k ，a 2k ＋1,9＋a 2k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．
16．(2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4．
(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；
(2)求{a n }和{b n }的通项公式．
17．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n
． (1)求b 1，b 2，b 3；
(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{a n }的通项公式．
18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数．
(1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；
(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
19．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n
项和为T n ，且满足12n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ； (2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．
20．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数)．
(1)试探究数列{a n＋λ}是不是等比数列，并求a n；
(2)当λ＝1时，求数列{n(a n＋λ)}的前n项和T n．。